# Cone Elementos
#Cone Reto (ou de Revolução)
#Panificação do Cone Reto
Eixo
Geratriz Superfície Geratriz
Lateral
Geratriz
Geratriz
Altura
2Raio
Altura
Raio
Raio
Base
Raio
Base
Base
# Secção Meridiana do Cone Reto:
Intersecção do cone com um plano que
contém o eixo: triângulo isósceles
# Planificação das Superfície
Lateral do Cone Reto
G
G
G
G
H

G
Secção
Meridiana
R
R
2R
G
2R
Sendo: R o raio da base e H a altura do cone e G a geratriz do cone reto:
Área da Base 
Área do Círculo
Volume 
V Cone =
1
 Área da BaseAltura
3
No cone reto:
Área da Superfície Lateral 
 A Base  π  R 2
 VCone 
A S. Lateral = Área do Setor Circular
Área Total  A Total = Área da Superfície Lateral + Áreas da Base
Ângulo do setor circular que forma a superfície lateral  α 
1
π R2 H
3
 A S. Lateral  π  R  G
 A Total  π  R  G π  R 2
2π R
rad
G
Observação: Cone equilátero é um cone cuja secção meridiana é um triângulo equilátero.
1
 ATIVIDADES 
 PARTE A 
1) Um cone de revolução tem 8 cm de altura e raio da circunferência da base valendo 6 cm. Calcule:
a) a geratriz
b) a área lateral
c) a área total
d) a área da secção meridiana
e) o volume
f) o ângulo do setor circular que forma a superfície lateral
2) Um cone equilátero tem 6m de geratriz. Calcule:
a) a geratriz
b) a área lateral
c) a área total
d) a área da secção meridiana
e) o volume
f) o ângulo do setor circular que forma a superfície lateral
3) (UNESP 2014) Prato da culinária japonesa, o temaki é um tipo de sushi na forma de cone, enrolado
externamente com nori, uma espécie de folha feita a partir de algas marinhas, e recheado com arroz,
peixe cru, ovas de peixe, vegetais e uma pasta de maionese e cebolinha.
Um temaki típico pode ser representado matematicamente por um cone circular reto em que o diâmetro
da base mede 8 cm e a altura 10 cm. Sabendo-se que, em um temaki típico de salmão, o peixe
corresponde a 90% da massa do seu recheio, que a densidade do salmão é de 0,35 g/cm3, e tomando
π  3, a quantidade aproximada de salmão, em gramas, nesse temaki, é de
a) 46
b) 58
c) 54
d) 50
e) 62
 PARTE B 
4) Um cone reto tem 8 cm de altura e 6 cm de raio. Ache o comprimento da geratriz.
5) A altura da secção meridiana de um cone eqüilátero mede 3 cm. Ache quanto mede o raio da base
do cone.
6) Ache a área lateral e a área total de um cone reto de raio igual a 21 cm e altura, 28 cm.
7) A circunferência que limita a base de um cone reto tem comprimento igual a 36 cm. Sendo 24 cm a
altura do cone, ache sua área lateral.
2
8) A altura de um cone reto mede o dobro do raio. Ache sua área lateral e total, sabendo que a geratriz
mede 125 cm.
9) Ache o volume de um cone com raio de 13 cm e altura de 24 cm.
10) Um cone de 25 cm de altura tem volume de 4800 cm3. Determine o raio da sua base.
11) A área lateral de um cone reto é 605 dm2. Ache seu volume, sabendo que a geratriz mede 27,5dm.
12) Ache o volume do sólido gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo de lados iguais a
18 cm, 24 cm e 30cm em torno:
a) do menor cateto
b) do maior cateto
13) A área da secção meridiana de um cone eqüilátero é 225 3 cm2. Determine a área da sua base e a
altura do cone.
 PARTE C – Exercícios de Vestibulares 
14) (UPE 2014) Um torneiro mecânico construiu uma peça retirando, de um cilindro metálico maciço,
uma forma cônica, de acordo com a figura 01 a seguir:
Considere π  3
Qual é o volume aproximado da peça em milímetros cúbicos?
a) 2,16  105
b) 7,2  104
c) 2,8  105
d) 8,32  104
e) 3,14  105
15) (ITA 2014) Três circunferências C1, C2 e C3 são tangentes entre si, duas a duas, externamente. Os
raios r1, r2 e r3 destas circunferências constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão
1
.
3
A soma dos comprimentos de C1, C2 e C3 é igual a 26π cm. Determine:
a) a área do triângulo cujos vértices são os centros de C1, C2 e C3.
b) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do triângulo em torno da reta que contém o
maior lado.
16) (UEMG 2014) Uma empresa deseja fabricar uma peça maciça cujo formato é um sólido de
revolução obtido pela rotação de um trapézio isósceles em torno da base menor, como mostra a figura a
seguir. As dimensões do trapézio são: base maior igual a 15 cm, base menor igual a 7 cm e altura do
trapézio igual a 3 cm.
3
Considerando-se π  3, o volume, em litros, da peça fabricada corresponde a
a) 0,212.
b) 0,333.
c) 0,478.
d) 0,536.
17) (ENEM 2014) Um sinalizador de trânsito tem o formato de um cone circular reto. O sinalizador
precisa ser revestido externamente com adesivo fluorescente, desde sua base (base do cone) até a
metade de sua altura, para sinalização noturna. O responsável pela colocação do adesivo precisa fazer
o corte do material de maneira que a forma do adesivo corresponda exatamente à parte da superfície
lateral a ser revestida. Qual deverá ser a forma do adesivo?
a)
b)
c)
d)
e)
4
18) (UFG 2013) Um chapeuzinho, distribuído em uma festa, tem a forma de um cone circular reto e,
quando planificado, fornece um semicírculo com 10 cm de raio. Para o cone, que representa o formato
do chapeuzinho,
a) o raio da base é 10 cm.
b) a área da base é 50 π cm2 .
c) a área lateral é 25 π cm2 .
d) a geratriz mede 5 cm.
e) o volume é
125 3 π
cm3 .
3
19) (PUCRS 2013) Um desafio matemático construído pelos alunos do Curso de Matemática tem as
peças no formato de um cone. A figura abaixo representa a planificação de uma das peças construídas.
A área dessa peça é de ______ cm2.
a) 10π
b) 16π
c) 20π
d) 28π
e) 40π
20) (UEL 2013) Considere uma lata, com o formato de um cilindro reto de altura h cm e raio r cm
(Figura 1), completamente cheia de doce de leite. Parte do doce dessa lata foi transferido para dois
recipientes (Figura 2), iguais entre si e em forma de cone, que têm a mesma altura da lata e o raio da
base igual à metade do raio da base da lata. Considere também que os dois recipientes ficaram
completamente cheios de doce de leite.
Desprezando a espessura do material de que são feitos os recipientes e a lata, determine quantos
outros recipientes, também em forma de cone, mas com a altura igual à metade da altura da lata e de
mesmo raio da lata (Figura 3), podem ser totalmente preenchidos com o doce de leite que restou na
lata.
5
Observação: Na lata e nos recipientes completamente cheios de doce de leite, o doce não excede a
altura de cada um deles e, na transferência do doce de leite da lata para os recipientes, não há perda
de doce.
21) (UFMG 2013) Um cone circular reto de raio r  3 e altura h  2 3 é iluminado pelo sol a um
ângulo de 45°, como ilustrado a seguir.
A sombra projetada pelo cone é delimitada pelos segmentos PA e PB, tangentes ao círculo da base do
cone nos pontos A e B, respectivamente.
Com base nessas informações,
a) DETERMINE a distância de P ao centro O do círculo.
ˆ
b) DETERMINE o ângulo AOB.
c) DETERMINE a área da sombra projetada pelo cone.
22) (FGV 2012) Um ralador de queijo tem a forma de cone circular reto de raio da base 4 cm e altura
10 cm. O queijo é ralado na base do cone e fica acumulado em seu interior (figura 1). Deseja-se retirar
uma fatia de um queijo com a forma de cilindro circular reto de raio da base 8 cm e altura 6 cm, obtida
por dois cortes perpendiculares à base, partindo do centro da base do queijo e formando um ângulo α
(figura 2), de forma que o volume de queijo dessa fatia corresponda a 90% do volume do ralador.
Nas condições do problema, α é igual a
a) 45°.
b) 50°.
c) 55°.
d) 60°.
e) 65°.
6
23) (UPE 2011) Ao se planificar um cone reto, sua superfície lateral é igual a um quarto de um círculo
com área igual a 12π . Nessas condições, a área de sua base é igual a
a) π
b) 2π
c) 3π
d) 4π
e) 5π
24) (UFPB 2011) A prefeitura de certo município realizou um processo de licitação para a construção
de 100 cisternas de placas de cimento para famílias da zona rural do município. Esse sistema de
armazenamento de água é muito simples, de baixo custo e não poluente. A empreiteira vencedora
estipulou o preço de 40 reais por m2 construído, tomando por base a área externa da cisterna. O modelo
de cisterna pedido no processo tem a forma de um cilindro com uma cobertura em forma de cone,
conforme a figura abaixo.
Considerando que a construção da base das cisternas deve estar incluída nos custos, é correto afirmar
que o valor, em reais, a ser gasto pela prefeitura na construção das 100 cisternas será, no máximo, de:
Use: π = 3,14
a) 100.960
b) 125.600
c) 140.880
d) 202.888
e) 213.520
25) (UNICAMP 2011) Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma
superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio
igual ao dobro do raio da base do cilindro.
A altura do cone formado pela areia era igual a
3
da altura do cilindro.
4
1
b) da altura do cilindro.
2
a)
2
da altura do cilindro.
3
1
d) da altura do cilindro.
3
c)
7
26) (UFSC 2011) O volume de um cone reto é 1024 πcm3 Se a altura, o raio da base e a geratriz desse
cone formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então calcule a medida da geratriz, em
centímetros, e assinale o valor obtido no cartão-resposta.
27) (CFTMG 2010) Um aluno gira um retângulo em torno do eixo que contém um de seus lados e
calcula o volume V do sólido obtido. Depois, ele traça a diagonal do retângulo e o separa em dois
triângulos,como mostra a figura.
Ao girar cada um dos triângulos, em torno do mesmo eixo de rotação, os volumes dos sólidos obtidos
são
a)
1
2
Ve V
3
3
b)
1
3
Ve V
4
4
c)
1
4
Ve V
5
5
d)
1
5
Ve V
6
6
28) (UECE 2010) A superfície lateral de um cone circular reto, quando planificada, torna-se um setor
circular de 12 cm de raio com um ângulo central de 120 graus. A medida, em centímetros quadrados, da
área da base deste cone é
a) 144 π .
b) 72 π .
c) 36 π .
d) 16 π .
 RESPOSTAS 
3) Alternativa D.
Solução: O volume do cone (recheio) será dado por:
Tomando π  3, o volume do cone será dado por:
v
1
 π  42  10  160 cm3
3
Considerando que o peixe representa 90% do volume do recheio, temos: 0,9  160  144 cm3 (volume do
salmão).
Portanto, a massa do salmão será dada por 0,35  144  50,4 g. Logo, a alternativa correta é a [D].
8
6) A l =735 cm2 e A t = 1176 cm2
7) 540 cm2
8) A l =625 cm2 e A t =650 cm2
9) 1352 cm3
11) 2662 dm3
12) a)3456 cm3
13) B=225 cm2 e h=15 3 cm.
4) 10 cm
5)
3 cm
b)2592 cm3
10) 24 cm
14) Alternativa A.
Solução: O volume do cone retirado é dado por
1
 π  32  6  54 cm3 , enquanto que o volume do cilindro
3
é π  32  10  270 cm3 . Portanto, o volume da aproximado da peça é igual a
270  54  216cm3  2,16  105 mm3 .
15) Solução:
a) De acordo com os dados do problema, temos:
r1  9r, r2  3r e r3  r e
2π  9r  2 π  3r  2 π  r  26 π  r  1 cm
Temos então um triângulo de lados 4cm, 10cm e 12cm com vértices nos centros das circunferências.
Portanto, sua área será dada por:
4  10  12
 13
2
A  13  (13  4)  (13  10)  (13  12)
p
A  3 39cm2
b) O sólido de revolução é a união entre dois cones.
Calculando a medida do raio da base dos cones, que também é a altura do triângulo considerado.
12  R
 3 39  R 
2
39
cm
2
Portanto o volume do sólido será dado por:
9
2
V
2
π  39 
π  39 
2
 
  (x  y)   
  12  39 πcm
3  2 
3  2 
16) Alternativa B.
Solução: Volume da embalagem em cm3: V  Vcilindro  2Vcone
V  π  32  15  2 
1
 π  32  4  135 π  24 π  111π  333cm3  0,333L
3
17) Alternativa E.
Solução: Lembrando que a superfície lateral de um cone é obtida a partir de um setor circular, seguese que o objetivo do responsável pelo adesivo será alcançado se ele fizer o corte indicado na figura
abaixo.
18) Alternativa E.
Solução: Fazendo a planificação da superfície lateral do cone, temos:
2  π  r  10 π  R  5
h2  102  52  h  5 3
Cálculo da área lateral: A  π  R  g  50π
Cálculo do volume: V 
π  52  5 3 125 π 3

3
3
19) Alternativa B.
Solução: A área pedida corresponde à soma das áreas de um círculo de diâmetro 4 cm e de um setor
circular de raio 6cm e ângulo central igual a 120. Portanto, a área da peça, em cm2 , é igual a
2
120
4
π     π  62 
 4 π  12 π
360
2
 16 π.
20) Solução:
Volume da figura 1: V1  π  r 2  h
2
Volume da figura 2: V2 
1 r
π  r 2  h V1
π   h 

3 2
12
12
Volume da figura 3: V3 
1
h π  r 2  h V1
π  r2  

3
2
6
6
10
V1
V1  2  V2 V1  2  12
Número de recipientes da figura 3:

5
V1
V3
6
21) Solução:
a) O ΔPOT é isósceles, pois PO = OT, logo PO = 2 3 (figura 1)
b) No ΔPOA (figura 2), temos:
cos α 
3
2 3

1
 α  60  AÔB  2α  120
2
c) Sendo A = área da sombra do cone, temos:
A  APAOB  A setor(120)
1
π 3
A  2   3  2 3  sen60 
2
3
2
 3 3  π.
22) Alternativa A.
Solução: Volume do ralador: VR 
π  42  10 160 π

3
3
Volume do pedaço de queijo: VQ  π  82  6 
Como VQ =90% de VR, temos:
α
16 π  α

360
15
16α
90 160 π


 α  45
15 100
3
23) Alternativa C.
Solução: Considerando 12π como sendo a área da superfície lateral, r o raio da base e g sua geratriz
temos:
 .r.g  12  r.g  12
 2 .r 

  g  4.r
 g
2
2
Logo, r.4r.  12  r  3 . Portanto, a área da base será A =  . 3  3 .
11
24) Alternativa E.
Solução:
Área de uma cisterna = Área da sup. lateral do cone + área da superfície lateral do cilindro + área do
círculo.
Área da Cisterna = .2.2,5 + 2. .2.2 + .22
Área da cisterna = 17.m2
Área de 100 cisternas 1700.m2
Valor das cisternas 40.1700.3,14 = 213.520 reais.
25) Alternativa A.
Solução: Como o volume de areia é o mesmo, segue que:
1
1
2
2
   rcon
 hcon    rcil
 hcil   (2R)2  hcon  R2  hcil
3
3
3
 hcon   hcil.
4
26) Solução:
H(altura), R(raio da base) e g(geratriz) formam uma P.A, que pode ser escrita da seguinte forma:
(R - r, R, R + r) onde r é a razão da P.A.
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
(R  r)2  R 2  (R  r)2
R2  2.R.r  r 2  R2  R2  2.R.r  r 2
R2  4.Rr  0
R  0( não convém)
R  4.r(convém)
logo h = 3r e g = 5r
Considerando o volume do cone 1024 π , temos:
1
.π.(4r)2 .3r  1024π  r 3  64  r  4cm
3
Portanto, a geratriz do cone será g = 5 . r = 20 cm.
12
27) Alternativa A.
Solução:
V  π.R 2 .h
1
1
π.R2 .h  .V
3
3
V 2
V2  V  V1  V   V
3 3
V1 
28) Alternativa D.
Solução:
2 .R 
2 .12
3
R4
A   .4 2
a  16cm 2
13