CONE
Cone
Vamos considerar um círculo C, de centro O e de
raio r, em um plano , e um ponto V não pertencente
ao plano .
Chamamos de cone circular, ou apenas cone, a reunião de todos os
segmentos de reta com uma extremidade em V e outra em um ponto
de C.
Elementos do cone
Classificação dos cones
O cone pode ser classificado de acordo com a inclinação do eixo
relação ao plano que contém a base:
 se o eixo
é
perpendicular
ao plano que
contém a
base, então o
cone é reto
 (h =
).
cone reto
 se o eixo
não é
perpendicular ao
plano que contém
a base, então o
cone é oblíquo
 (h <
).
cone oblíquo
em
Observações
 Um cone circular reto também é denominado
cone de revolução, pois pode ser obtido pela
rotação
de
uma
superfície
triangular,
determinada por um triângulo retângulo, em
torno de uma reta que contém um de seus
catetos. A medida desse cateto será igual à
altura do cone, e a medida do outro cateto
será igual à medida do raio da base do cone.
Secção meridiana de um cone
Uma secção meridiana de um cone é determinada pela intersecção do
cone com um plano que contenha seu eixo.
Observações
 Se um cone reto tem medida da geratriz igual ao dobro da medida do
raio da base (g = 2r), ele é chamado de cone equilátero.
 Se um cone é equilátero, então sua secção
meridiana é uma triângulo equilátero
Secção transversal de um cone
Uma secção transversal de um cone é a intersecção do cone com um
plano paralelo ao plano da base e que não passe por seu vértice.
Planificações da superfície de um cone reto
Planificações da superfície de um cone reto
Relações entre os elementos de um cone reto
Área da superfície e volume de um cone reto
Abase = r2
Alateral = rg
Atotal = r(r + g)
Vcone =
r2h
Exercícios
1. Calcular o comprimento da circunferência da base e a altura de um
cone reto cuja geratriz mede 13 cm e cujo raio mede 5 cm.
Resolução
O comprimento da circunferência da base é dado por C = 2r. Sabemos que o cone tem raio
de medida r = 5 cm. Assim: C = 2 ∙  ∙ 5 ⇒ C = 10 ⇒ C ≃ 31,4
Portanto, o comprimento da circunferência da base é aproximadamente 31,4 cm.
Sabendo que o cone é reto, podemos obter a altura por meio
de um triângulo retângulo, cuja
hipotenusa é a geratriz e as medidas dos catetos são a altura e o raio da base do cone. Assim:
Portanto, a altura do cone é 12 cm.
Exercícios
2. Um cone reto de altura 10 cm tem por planificação da superfície
lateral um setor circular de ângulo  medindo 150º. Determinar o
raio da base e a medida da geratriz do cone.
Resolução:
Como r2 + h2 = g2, temos: r2 + 102 = g2. Logo: g2 – r2 = 100 (I)
Como :
, temos: 150º=
De (I) e (II), concluímos que:
(II)
⇒
⇒
Portanto, o raio da base do cone mede aproximadamente 4,58 cm.
Como
, o comprimento da geratriz mede aproximadamente 11 cm.
Exercícios
3. Calcule a área lateral de um cone reto cuja altura é 16 cm e cujo raio
da base mede 12 cm.
Resolução:
Inicialmente vamos obter o comprimento da geratriz do cone:
Portanto, o comprimento da geratriz do cone é 20 cm.
A área lateral do cone é:
Alateral = rg ⇒ Alateral =  ∙ 12 ∙ 20 ⇒ Alateral = 240 ⇒
⇒ Alateral ≃ 753,6
Logo, a área lateral do cone é 240 cm2 ou aproximadamente,
≃ 753,6 cm2.
Exercícios
4.
Determinar a área total da superfície de um cone equilátero de
geratriz g.
Resolução:
Vamos considerar um cone equilátero de raio da base r, comprimento da
geratriz g e altura h.
Sabemos que, no cone equilátero, g = 2r; portanto: r =
Logo:
Atotal = Alateral + Abase
Atotal =  ∙ r ∙ g +  ∙ r2
Atotal =  ∙
∙g+∙
Portanto: Atotal =
 g2
=
∙  ∙ g2
6. (Fuvest – SP) Um cone circular reto está inscrito em um
paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura.