Embora com pouco tempo, devido à preparação da 3ª edição do livro Estatística – ESAF,
preocupado com os candidatos que farão a prova para Fiscal-RS em 19/08/06 resolvi, mesmo em
cima da hora, fazer um resumo sobre o assunto Teste de Hipóteses (que servirá também para
outros concursos), contando com a colaboração do meu filho, Márcio Bello, na digitação.
TESTE DE HIPÓTESES
Definição: É uma regra de decisão utilizada para aceitar ou rejeitar uma hipótese
estatística com base em elementos amostrais.
Hipóteses: Teremos sempre duas hipóteses, H0 (Agá-zero), que é a hipótese nula ou
hipótese probanda e H1 ou HA (hipótese alternativa). Geralmente a hipótese alternativa (H1)
representa a suposição que o pesquisador quer provar, sendo a hipótese nula (H0) formulada com
o expresso propósito de ser rejeitada. Conseguindo rejeitar H0, a hipótese alternativa terá de ser
aceita, conseguindo então o pesquisador provar o que queria. A hipótese nula é sempre a
hipótese a ser examinada. Se a aceitarmos, implicitamente estaremos rejeitando H1 e se
rejeitarmos H0, então não podemos rejeitar H1, devendo esta ser aceita.
Tipos de erro: Dois tipos de erro podem ser cometidos num Teste de Hipóteses:
Erro Tipo I (α) Æ A hipótese nula é verdadeira e o pesquisador a rejeita.
Erro Tipo II (β) Æ A hipótese nula é falsa e o pesquisador a aceita.
Qual dos dois tipos de erro é o mais grave e que deve ser evitado? Façamos uma
analogia com a decisão de um Juiz de Direito: o que será mais grave? Condenar um inocente ou
absolver um culpado? É claro que será mais grave a condenação de um inocente. Rejeitar a
hipótese nula sendo ela verdadeira equivale a condenar um inocente, logo o Erro Tipo I é o mais
grave e deverá ser minimizada a probabilidade deste tipo de erro ser cometido. Essa
probabilidade chama-se Nível de Significância do Teste, dado por α. Já a probabilidade de β do
Erro Tipo II não pode ser calculada, a menos que se especifique um valor alternativo para μ. O
poder ou potência do teste é dado por (1 − β).
Podemos resumir as possibilidades do Teste num quadro:
Se a Hipótese Nula (H0) é:
O PESQUISADOR
VERDADEIRA
ACEITA
DECISÃO
H0
CORRETA
REJEITA
H0
Teste de Hipóteses.doc
COMETE O
ERRO TIPO I
(α)
Pedro Bello
FALSA
COMETE O
ERRO TIPO II
(β)
DECISÃO
CORRETA
Página 1
TIPOS DE TESTE DE HIPÓTESES PARA A MÉDIA:
1) Bicaudal ou Bilateral
H0: μ = μ0
H1: μ ≠ μ0
Onde: μ é a média populacional e μ0 é o valor suposto para a média populacional.
Gráfico do teste bilateral:
Onde: R.A. é a região de aceitação (da hipótese nula) e R.C. é a região crítica ou região
de rejeição. A fronteira entre essas regiões será dada por um valor tabelado (Tabela da
Distribuição Normal ou da Tabela da Distribuição t-Student) como veremos mais adiante.
2) Teste Unicaudal ou Unilateral à direita
H0: μ ≤ μ0
H1: μ > μ0
Gráfico do teste:
Teste de Hipóteses.doc
Pedro Bello
Página 2
3) Teste Unicaudal ou Unilateral à esquerda
H0: μ ≥ μ0
H1: μ < μ0
Gráfico do teste:
OBS: Repare que na hipótese nula sempre temos uma igualdade (=, ≤ ou ≥) e na
hipótese alternativa uma desigualdade (≠, > ou <).
Distribuição Normal ou t-Student?
Qual usar para arbitrar o valor tabelado que será a fronteira entre as regiões de aceitação
e rejeição? Para esclarecer melhor, vamos fazer o seguinte quadro:
TAMANHO DA
SE A VARIÂNCIA
AMOSTRA
POPULACIONAL (σ2)
É GRANDE
(n > 30)
É PEQUENO
(n ≤ 30)
USO A DISTRIBUIÇÃO
É CONHECIDA
NORMAL
É DESCONHECIDA
NORMAL
É CONHECIDA
NORMAL
É DESCONHECIDA
t-STUDENT
Vemos então, que só iremos utilizar a Distribuição t-Student (chamada de distribuição das
pequenas amostras) quando a amostra for pequena (para até 30 elementos observados) e a
variância populacional for desconhecida. Se a amostra for grande (maior do que 30 elementos),
pouco importará ser conhecida a variância populacional e usaremos a Tabela da Distribuição
Normal para arbitrar o valor ZTAB (ZTABELADO).
B
Teste de Hipóteses.doc
Pedro Bello
Página 3
Assim, vemos que na maior parte dos casos usaremos a Distribuição Normal, pois basta que
uma das condições seja atendida: amostra grande (n > 30) ou variância populacional conhecida.
Já
para
usar
a
Distribuição
t-Student,
duas
condições
terão
de
acontecer
simultaneamente: amostra pequena (n ≤ 30) e variância populacional desconhecida.
Para procedermos ao teste, além de conhecer o valor tabelado (Z TAB se usarmos
B
Distribuição Normal ou t TAB se usarmos Distribuição t-Student), temos que encontrar o
B
valor calculado (Z CALC ou t CALC ), dado por:
Z CALC =
X−μ
se o desvio padrão populacional (σ) for conhecido ou;
σ
n
Z CALC =
X−μ
, pois se a amostra for grande (n > 30) e não soubermos o valor do desvio
S
n
padrão populacional (σ), usaremos o desvio padrão amostral (S).
Se a amostra for pequena (n ≤ 30) e o desvio padrão populacional for desconhecido,
usaremos a Distribuição t-Student e teremos a estatística teste:
t CALC =
X−μ
S
n
Supondo que usaremos a Distribuição Normal Padrão (Z):
1) Para o teste bilateral:
Se – ZTAB < ZCALC < ZTAB, aceitaremos H0.
B
B
ZTAB
- ZTAB
Caso ZCALC < –ZTAB, ou ZTAB < ZCALC, rejeitaremos H0.
Teste de Hipóteses.doc
Pedro Bello
Página 4
2) Para o teste unilateral à direita:
Se ZCALC < ZTAB, aceitaremos H0.
ZTAB
Se ZTAB < ZCALC, rejeitaremos H0.
B
3) Para o teste unilateral à esquerda:
Se –ZTAB < ZCALC, aceitaremos H0.
B
-ZTAB
B
Se ZCALC < −ZTAB, rejeitaremos H0.
O mesmo raciocínio vale para os casos em que usarmos a Distribuição t-Student, com a
diferença que compararemos tCALC com tTAB.
B
Teste de Hipóteses.doc
Pedro Bello
Página 5
Para facilitar, vamos fazer o seguinte roteiro (receitinha de bolo, passo a passo) para
resolução de questões de Teste de Hipóteses e a seguir aplicá-lo em alguns exemplos:
1º Passo: Pelo enunciado do problema, estabelecer a Hipótese Nula (H0) e a Hipótese
Alternativa (H1);
2º Passo: Também pelos dados do enunciado, definir a distribuição a ser utilizada
(Normal ou t-Student);
3º Passo: Utilizando a Tabela Normal Padrão ou a Tabela t-Student, encontrar o valor de
ZTAB ou tTAB;
B
4º Passo: Fazer o desenho da curva, plotando no eixo das abscissas o valor tabelado,
que será a fronteira entre a área de aceitação (RA) e a(s) área(s) de rejeição (RC-Região Crítica);
5º Passo: Calcular a estatística teste (ZCALC ou tCALC) utilizando uma das fórmulas dadas
anteriormente.
6º Passo: Comparar o valor calculado com o valor tabelado e concluir pela aceitação ou
rejeição da Hipótese Nula.
Antes de partimos para os exemplos, vamos praticar um pouco o uso das tabelas com os
principais níveis de significância (α) geralmente adotados:
I) Na Tabela da Distribuição Normal Padrão:
I.1) Para o Teste Bilateral:
I.1.a) Se α = 1%, teremos α/2 = 0,5% = 0,005 (para cada lado) e a área de aceitação será
de 99% (0,99), sendo 0,495 à esquerda e 0,495 à direita do ponto máximo da curva (a Distribuição
Normal é simétrica). Verificando a Tabela Normal, temos 0,4949 para uma abscissa de 2,57 e
0,4951 para uma abscissa de 2,58. Logo, por interpolação, a abscissa correspondente à área de
0,495 será a média das duas abscissas, ou seja, 2,575. Mas para facilitar, vamos adotar, no teste
bilateral, quando α = 1%, ZTAB = 2,58. Vejamos o gráfico da curva normal:
α
α
2
2
Nesse caso, H0 só será aceita se o valor de ZCALC estiver entre −2,58 e 2,58.
Teste de Hipóteses.doc
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Página 6
I.1.b) Se α = 5%, teremos α/2 = 2,5% = 0,025 (para cada lado) e a área de aceitação será
de 95% (0,95), sendo 0,475 à esquerda e 0,475 à direita. Verificamos, na Tabela Normal, que uma
área de 0,475 corresponde à abscissa 1,96. Logo, no teste bilateral, quando α = 5% então
ZTAB=1,96. Vejamos o gráfico da curva normal:
α
α
2
2
Aceitaremos H0 se: −1,96 < ZCALC < 1,96
I.1.c) Mesmo raciocínio para α = 10%, α/2 = 5% = 0,05 (para cada lado). Área de aceitação
igual a 0,90, sendo 0,45 à esquerda e 0,45 à direita. Na Tabela Normal uma área de 0,4495
corresponde à abscissa 1,64 e uma área de 0,4505 corresponde à abscissa de 1,65. Logo, com
precisão, a abscissa seria 1,645. Mas para facilitar vamos adotar no teste bilateral, quando α = 10%,
ZTAB = 1,64. Vejamos o gráfico da curva normal:
α
α
2
2
Aceitaremos H0 se: −1,64 < ZCALC < 1,64
Teste de Hipóteses.doc
Pedro Bello
Página 7
I.2) Para o teste unilateral (vamos considerar apenas o teste à direita, sabendo que vale o
raciocínio para o teste à esquerda, bastando inverter os lados).
I.2.a) Se α = 1% (0,01), a área de aceitação será de 99% (0,99) à esquerda. Mas até
a metade da curva (a Distribuição Normal é simétrica) temos 50% (0,5) de área. Logo,
queremos a abscissa correspondente a uma área de 0,49. Verificando, na Tabela Normal, o
valor mais próximo é de 0,4901, correspondente à uma abscissa de 2,33. Assim, no teste
unilateral à direita, quando α = 1%, teremos ZTAB = 2,33. e no teste unilateral à esquerda para
o mesmo α, −ZTAB = −2,33. Vejamos o gráfico da curva normal:
α
I.2.b) Se α = 5% (0,05), teremos área de aceitação = 0,95 à esquerda. Procuraremos, na
tabela normal a área de 0,45 (0,95 − 0,50), que corresponde à abscissa de 1,64. Portanto, no
teste unilateral à direita, quando α = 5%, então ZTAB = 1,64 e no teste unilateral à esquerda para o
mesmo α, −ZTAB = −1,64. Vejamos o gráfico da curva normal:
α
Teste de Hipóteses.doc
Pedro Bello
Página 8
I.2.c) Se α = 10% (0,10), área de aceitação = 0,90 à esquerda. Na Tabela Normal o valor
mais próximo de 0,40 (0,90 – 0,50) é de 0,3997, que corresponde à abscissa de 1,28. Portanto, no
teste unilateral à direita, para α = 10%, ZTAB = 1,28 e no teste unilateral à esquerda, −ZTAB = −1,28.
Vendo o gráfico da curva normal:
α
II) Na Tabela da Distribuição t-Student:
Nesta tabela, temos que levar em consideração dois parâmetros: α (alfa), que é o nível
de significância e ϕ (fi) que é o número de “graus de liberdade” (g.l.) ou “degrees of freedom” (d.f.),
dado por: n (número de elementos da amostra) menos 1 unidade ou seja: ϕ = n – 1.
Temos que ter atenção também para o tipo de tabela, que pode ser: bilateral ou unilateral.
Aqui, a tabela que usaremos é bilateral, como pode ser notado no desenho da curva na própria
tabela (no final deste resumo). Assim, no teste bilateral o α da tabela será o próprio α utilizado no
teste. Mas para o teste unilateral teremos que procurar, nesta tabela, o dobro do α.
II.1) Teste bilateral, supondo uma amostra de 25 elementos (n = 25). Então, ϕ = 25 – 1 ⇒ ϕ = 24.
Para um α = 5%, vemos na tabela que a célula interseção de α = 0,05 e ϕ = 24 nos fornece
2,0639. Portanto: tTAB = 2,0639 para α = 5% e n = 25. Vejamos o gráfico:
Teste de Hipóteses.doc
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Página 9
II.2) Agora, se o teste for unilateral, com o mesmo tamanho de amostra, e o mesmo α,
não poderemos pegar diretamente a interseção de α=0,05 com ϕ = 24, pois o valor fornecido é
para um teste bilateral. Teremos que pegar a interseção de ϕ = 24 com α = 0,10, pois nesta tabela
(bilateral), α = 0,05 corresponde a 0,025 de cada lado. Teremos que pegar α = 0,10, que
corresponderá a 0,05 de cada lado. Assim a célula interseção de α = 0,10 com ϕ = 24 fornecerá
tTAB = 1,7109. Vejamos o gráfico:
Aqui, neste resumo foi mostrado apenas o Teste de Hipóteses para a Média, que é o
assunto explicitamente descrito no Edital para Fiscal-RS e os princípios básicos do que seja um
Teste de Hipóteses. Mas há outros tipos de Testes de Hipóteses, como: Teste de Hipóteses para
a Proporção, Teste de Hipóteses para a Variância, Teste de Hipóteses para a Diferença entre
Médias e outros tipos de Teste de Hipóteses. Os mesmos princípios descritos no início deste
resumo aplicam-se aos demais testes. O que muda é a forma de cálculo da estatística teste e as
tabelas a serem utilizadas. Por exemplo, no Teste de Hipóteses para a Variância, a Tabela a ser
utilizada é a da Distribuição de Qui-Quadrado; já no Teste de Hipóteses para a Proporção
utilizamos apenas a Tabela da Distribuição Normal, já vista aqui.
Em outra oportunidade poderei vir a falar especificamente dos outros Testes de
Hipóteses, mas com a tarefa facilitada por este resumo. Quem o entender bem, não terá
dificuldade em entender os demais Testes.
Vamos aos exemplos:
Teste de Hipóteses.doc
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Página 10
EXEMPLO 1: Uma amostra de 36 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu:
X = 42,3 e S = 5,2. Testar, no nível de significância 0,05, a hipótese de que μ > 40.
Resolução: Seguindo o roteiro, temos:
1º passo:
H0: μ = 40;
H1: μ > 40 (teste unilateral à direita);
2º passo: a amostra é grande (n > 30). Logo, usaremos a Tabela Normal;
3º passo: o teste é unilateral, com α = 0,05. Logo, para uma área de 0,45, teremos Z TAB = 1,64 ;
4º passo: desenhar a curva, plotando ZTAB;
α
5º passo: calcular a estatística teste.
Z CALC =
42,3 − 40
13,8
X−μ
2,3
=
=
=
= 2,65.
5,2
5,2
S
5,2
6
36
n
6º passo: ZCALC > ZTAB.
B
Conclusão: ao nível de significância de 5%, REJEITO H0: μ = 40. Logo, μ > 40.
EXEMPLO 2: Uma amostra de 20 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu:
X = 53,4 e S = 7,5. Testar, no nível de significância 0,05, a hipótese de que μ = 50.
Resolução:
Hipóteses:
H0: μ = 50;
H1: μ ≠ 50 (teste bilateral);
A amostra é pequena (n ≤ 30) e σ (desvio padrão populacional) é desconhecido. Logo, a
distribuição a ser utilizada é a t-Student, com n = 20 ⇒ ϕ = 19 e α = 0,05. Consultando a tabela,
encontraremos t TAB = 2,0930 .
Teste de Hipóteses.doc
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Página 11
Desenhando a curva, temos:
α
t CALC =
α
2
2
53,4 − 50
X−μ
=
≅ 2,027.
7,5
S
20
n
Como: −tTAB < tCALC < tTAB, ao nível de significância de 5% ACEITO H0: μ = 50.
B
B
EXEMPLO 3: Uma indústria produz lâmpadas cuja duração segue uma distribuição N (800;1.600).
Testar a hipótese de que μ = 800 contra a alternativa de μ ≠ 800 se uma amostra aleatória de 30
lâmpadas tem um tempo médio de vida de 788 horas. Adotar α = 0,05.
Resolução: As hipóteses já estão no enunciado:
H0: μ = 800;
H1: μ ≠ 800 (teste bilateral);
Usaremos a distribuição Normal, pois a variância populacional é conhecida, σ2 = 1.600 ⇒ σ = 40.
α = 0,05 ⇒
α
= 0,025 , pois o teste é bilateral. Para uma área de 0,475, Z TAB = 1,96 .
2
Desenhando a curva, temos:
α
Z CALC =
α
2
X − μ 788 − 800
=
≅ −1,64.
40
σ
n
30
Como: −ZTAB < ZCALC < ZTAB, ao nível de significância de 5% ACEITO H0: μ = 800.
B
Teste de Hipóteses.doc
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Página 12
2
EXEMPLO 4: Uma amostra de tamanho n = 18 de população normal tem média X = 31,5 e
desvio padrão S = 4,2. Ao nível de significância de 5%, estes dados sugerem que a média
populacional seja superior a 30?
Resolução:
Hipóteses:
H0: μ = 30;
H1: μ > 30 (teste unilateral à direita);
Amostra pequena (n = 18) e σ desconhecido. Logo, t-Student, com ϕ = 17 e α = 0,05. Mas como o
teste é unilateral e a tabela é bilateral, usaremos α = 0,10. Para este α e ϕ = 17 a tabela fornece:
t TAB = 1,7396 .
Desenhando a curva, temos:
α
t CALC =
31,5 − 30
X−μ
=
≅ 1,515.
4,2
S
n
18
Resposta: Não, a média é igual a 30, pois como: tCALC < tTAB, ACEITO H0: μ = 30.
B
EXEMPLO 5: Em uma amostra de 10 elementos a média da amostra observada foi de 230.
Sabe-se que a variância da população é igual a 160. Testar a hipótese de μ = 218 contra a
alternativa μ > 218 ao nível de significância de 10%.
Resolução: As hipóteses já estão no enunciado:
H0: μ = 218;
H1: μ > 218 (teste unilateral à direita);
A amostra é pequena, mas a variância populacional é conhecida. Por isso, usaremos a
Distribuição Normal. O teste é unilateral, com α = 0,10. Logo, para uma área de 0,40 (0,90 − 0,50)
encontraremos, na Tabela Normal Z TAB = 1,28 .
Teste de Hipóteses.doc
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Desenhando a curva, temos:
α = 0,10
Z CALC =
230 − 218
X−μ
12
=
=
= 3. Vemos que ZCALC > ZTAB.
σ
4
160
n
10
B
Conclusão: ao nível de significância de 10%, REJEITO H0: μ = 218. Logo, μ > 218.
EXEMPLO 6: O diâmetro médio de parafusos em uma amostra de 400 parafusos forneceu o valor
de 25mm. Sendo 4mm o desvio padrão do processo de fabricação, pode-se afirmar, ao nível de
significância de 5%, que o diâmetro médio de todos os parafusos seja inferior a 25,4mm?
Resolução: Temos n = 400; X = 25; σ = 4; α = 5%.
Hipóteses:
H0: μ = 25,4;
H1: μ < 25,4 (teste unilateral à esquerda);
Distribuição: Normal, pois n = 400 (amostra grande). Teste unilateral à esquerda, com α = 0,05.
Então, para uma área de 0,45 (0,95 − 0,50) encontraremos, na Tabela Normal −Z TAB = −1,64 .
α = 0,05
Teste de Hipóteses.doc
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Página 14
Z CALC =
25 − 25,4
X−μ
−0,4
−8
=
=
=
= −2.
4
4
σ
4
20
400
n
Como ZCALC < ZTAB, ao nível de significância de 5%, REJEITO H0: μ = 25,4.
Logo, o diâmetro médio é inferior a 25,4mm.
EXEMPLO 7: Um ensaio de tensões de ruptura de 6 cabos produzidos por uma companhia
mostrou a tensão média de ruptura de 7.750kg e o desvio padrão de 145kg, ao passo que o
fabricante declara que aquela tensão média é de 8.000kg. Será verdadeira a declaração do
fabricante, ao nível de significância α = 0,05?
Resolução: Neste problema as hipóteses não estão explícitas no enunciado e aqui deveremos
interpretá-lo. O que o pesquisador irá querer provar? Que o fabricante está falando a verdade ou
que está mentindo? Falamos anteriormente que H1 representa a suposição que o pesquisador
quer provar, sendo H0 formulada com o expresso propósito de ser rejeitada.
Logo, as hipóteses serão:
H0: μ = 8.000 (afirmação do fabricante);
H1: μ < 8.000 (suposição do pesquisador);
A amostra é pequena (n = 6) e σ desconhecido. Logo, t-Student, com ϕ = 5 g.l. e α = 0,05. Mas o
teste é unilateral à esquerda e a tabela é bilateral. Portanto o nosso t tabelado será a célula
interseção de ϕ = 5 com α = 0,10, ou seja: −t TAB = −2,015 .
α = 0,05
t CALC =
7.750 − 8.000
−250
X−μ
=
=
≅ − 4,223.
145
S
59,196
6
n
Como tCALC < tTAB, ao nível de significância de 5%, REJEITO H0: μ = 8.000.
B
Portanto o fabricante está mentindo, pois μ < 8.000.
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EXEMPLO 8: Suponhamos que em indivíduos normais quanto à visão, a pressão intra-ocular
seja uma variável aleatória normalmente distribuída com média 20 e variância 4 (em unidade
de mm de mercúrio). Um cientista, querendo por à prova a sua hipótese de que o glaucoma
causa um aumento tencional, mediu as pressões de 16 pacientes portadores de glaucoma,
obtendo uma média igual a 24. O cientista deve ou não manter sua hipótese, ao nível de
significância α = 0,005?
Resolução: Novamente, vamos interpretar o enunciado. O que o cientista quer provar?
Que o glaucoma causa aumento da pressão.
Logo, a hipótese alternativa (que o cientista quer provar) é que a média é superior a 20.
Portanto, as hipóteses são:
H0: μ = 20;
H1: μ > 20 (teste unilateral à direita);
Temos: n = 16; X = 24; μ = 20; σ2 = 4; α = 0,005.
A amostra é pequena, mas a variância populacional é conhecida (σ2 = 4) e σ = 2.
Portanto, usaremos a Tabela Normal, onde a área de 0,495 (0,995 − 0,500) corresponde a uma
abscissa de 2,58. Logo, ZTAB = 2,58 .
α = 0,005
Z CALC =
24 − 20
X−μ
4
16
=
=
=
= 8.
2
2
σ
2
4
16
n
Como ZCALC > ZTAB, ao nível de significância de 0,5%, REJEITO H0: μ = 20.
Assim, aceito que μ > 20, ou seja, o cientista está correto e deve manter sua hipótese de que o
glaucoma aumenta a pressão intra-ocular.
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EXEMPLO 9: Os graus dos alunos de Estatística têm sido baixos, com média de 5,2 e
desvio de 1,2. Com um curso de revisão ministrado pelo colega Joselias, pretende-se
aumentar o rendimento dos alunos. Entre 36 alunos que freqüentaram tal curso, a média foi
de 6,4. Pode-se dizer, ao nível de significância de 8%, que o curso é eficiente?
Resolução: Temos n = 36; X = 6,4; μ = 5,2; σ = 1,2; α = 0,08.
Hipóteses:
H0: μ = 5,2;
H1: μ > 5,2 (teste unilateral à direita);
Tabela: Normal, pois n = 36 (a amostra é grande). Para α = 0,08 teremos Z TAB = 1,41 , abscissa
correspondente à área de 0,42 (0,92 − 0,50).
α = 0,08
Z CALC =
6,4 − 5,2
X−μ
1,2
=
=
= 6.
1,2
1,2
σ
6
36
n
Como ZCALC > ZTAB, ao nível de significância de 8%, REJEITO H0: μ = 5,2 e aceito que μ > 5,2, ou
seja, o curso ministrado pelo professor Joselias é eficiente.
EXEMPLO 10: Questão da prova para Analista do BACEN-2005 - Área 4, elaborada pela FCC.
Uma amostra aleatória de 9 valores de salários extraída de uma população, considerada normal e
de tamanho infinito, apresentou média igual a R$800,00 com um desvio padrão igual a R$120,00.
Os registros históricos indicam que a média dos salários da população é igual a R$740,00.
Deseja-se testar a hipótese, ao nível de significância α, se o valor da média verificada na amostra
difere do valor de R$740,00. Seja H0 a hipótese nula do teste (μ = 740), H1 a hipótese alternativa
(μ ≠ 740) e tα/2 > 0 o quantil da distribuição "t" de Student, no nível de significância α, para testes
bicudais com 8 graus de liberdade. Sabendo-se que H0 foi rejeitada, tem-se que:
Teste de Hipóteses.doc
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Página 17
(a) tα/2 < 1,5.
(b) tα/2 > 1,5.
(c) para qualquer nível de significância H0 seria rejeitada, pois (800 − 740) ≠ 0.
(d) o valor da variável do teste (t calculado) obtido através da amostra e necessário para
comparação com −tα/2 e tα/2 é igual a 0,5.
(e) a um nível de significância β, β > α, H0 não teria sido rejeitada.
RESPOSTA: GABARITO LETRA A.
t CALC =
800 − 740
X−μ
60
=
=
= 1,5.
120
S
40
9
n
O gráfico do teste bicaudal:
α
α
2
−tα/2
0
2
tα/2
O enunciado traz dois dados importantes:
1) tα/2 > 0;
2) H0 foi rejeitada.
Vimos que tCALC = 1,5. Então, para H0 ser rejeitada:
tCALC tem que ser inferior a −tα/2 ou;
tCALC tem que ser superior a tα/2.
Mas tα/2 só pode ser positivo. Nesse caso, inferior a 1,5 (tCALC) para que H0 seja rejeitada.
tCALC = 1,5
tα/2
Teste de Hipóteses.doc
Pedro Bello
Página 18
EXEMPLO 11: Questão da prova para o IBGE em 1999 elaborada pelo NCE-UFRJ.
Considere uma amostra aleatória de tamanho 36 de uma distribuição normal com média μ e
desvio padrão 1,8. Deseja-se testar H0: μ ≤ 10 versus H1: μ > 10. O teste uniformemente mais
poderoso de tamanho 1% rejeitará H0 se a média amostral for, no mínimo, igual a:
(a) 10,7
(b) 11,1
(c) 11,5
(d) 11,9
(e) 12,3
RESPOSTA: GABARITO LETRA A.
No teste unilateral à direita, H0 será rejeitada se ZCALC > ZTAB. Para α = 1%, teremos, na Tabela
Normal (n > 30), ZTAB = 2,33. Substituindo ZCALC, na estatística teste, por 2,33 temos:
Z CALC =
X − 10
X−μ
X − 10
⇒ 2,33 =
⇒ 2,33 =
⇒ 0,699 = X − 10 ⇒ X = 10,699 .
1,8
σ
0,3
36
n
Esse é o valor que iguala ZCALC a ZTAB e para um valor de média amostral superior a este, H0 será
rejeitada. Como o enunciado fala “no mínimo”, o menor valor será 10,7.
EXEMPLO 12: Questão da prova para Analista Técnico da SUSEP – 2006, elaborada pela ESAF.
Em uma distribuição de sinistro S, formulando-se a hipótese de que não há diferença entre a
freqüência esperada e a observada (hipótese nula: H0). Donde, segundo um determinado nível de
significância, podemos afirmar que ocorreu
(a) um erro do tipo I, se for aceita a hipótese H0.
(b) um erro do tipo II, se for rejeitada a hipótese H0.
(c) um erro do tipo I, se for aceita a hipótese H0, sendo esta correta.
(d) um erro do tipo II, se for rejeitada a hipótese H0, sendo esta correta.
(e) um erro do tipo I, se for rejeitada a hipótese H0, sendo esta correta.
RESPOSTA: GABARITO LETRA E.
Questão teórica facílima, como eu costumo dizer, essa é “di-grátis”. Só quem não sabia o mínimo
do assunto não a acertou. Basta ver o quadro à página 1 deste resumo para encontrar a resposta.
Desejo bons estudos e excelentes provas de estatística a todos!
PROFESSOR PEDRO BELLO
Nas próximas páginas estão as TABELAS DAS DISTRIBUIÇÕES: NORMAL E t-STUDENT
Teste de Hipóteses.doc
Pedro Bello
Página 19
TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
Extraída do livro “Curso de Estatística”-Jairo Simon da Fonseca & Gilberto de Andrade Martins-Editora Atlas
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Pedro Bello
Página 20
TABELA DA DISTRIBUIÇÃO t de STUDENT
Extraída do livro “Curso de Estatística”-Jairo Simon da Fonseca & Gilberto de Andrade Martins-Editora Atlas
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Pedro Bello
Página 21