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Segmento Orientado
Considere uma reta r e, sobre ela, um segmento de reta AB. Ao admitirmos um sentido para AB, por exemplo,
de A para B, caracterizamos um segmento orientado AB .
No segmento AB , o ponto A é denominado origem e o ponto B, extremidade. Ou seja, o segmento se inicia no
ponto A e termina no ponto B.
Diz-se que r é a reta suporte do segmento.
Um segmento orientado possui três características principais: módulo, direção e sentido.
Direção: É a mesma da reta r, ou seja, é dada pela inclinação de sua reta suporte.
Sentido: Fixada a direção do segmento orientado, o sentido é definido da origem para a extremidade. Isto é, o
sentido é a orientação do segmento, para onde ele “aponta”.
Módulo: É o comprimento do segmento AB , que também pode ser visto como a distância de A até B.
Representa-se o módulo de AB por AB .
Exemplo: O segmento orientado AB está sobre a reta r, como na
figura ao lado. Suas características são:
AB = 4 unidades de comprimento = 4 uc
Direção: Inclinada 30º em relação à horizontal
Sentido: Para cima e para a direita
Atividade 1: No papel milimetrado, desenhe três retas paralelas r, s e t, cortadas por uma transversal w.
Considere A, B e C como pontos de interseção de w com o feixe de paralelas e complete:
a) As retas ___, ___ e ___ têm a mesma _____________ (____________), porque formam o mesmo
ângulo θ com a reta transversal w.
b) A partir de A, B e C, podem-se distinguir 6 (seis) ___________. São eles: ____________________.
c) O módulo de AB é, em centímetros, __________, e BC = ______ cm.
d) O módulo de AC e o módulo de CA são ___________ , porque ____________________________.
Tipos de segmentos orientados
I) Segmento Nulo: É aquele cuja extremidade coincide com a origem. O segmento orientado de A para A é
chamado segmento nulo e seu módulo é igual a zero, ou seja, a distância de A ao próprio A é igual a zero.
II) Segmentos Opostos: Se AB é um segmento orientado, então o seu oposto é o segmento orientado BA ,
uma vez que ambos possuem mesmo módulo, mesma direção, mas sentidos contrários (opostos).
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III) Segmentos Equipolentes: Dois segmentos orientados AB e FE não nulos são ditos equipolentes se, e
somente se, AB e FE possuem mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. Neste caso, diz-se que o
segmento AB é equipolente ao segmento FE (escreve-se AB ∼ FE ). Dois segmentos nulos sempre serão
equipolentes.
Atividade 2: Seja um octógono regular ABCDEFGH de centro na origem do plano cartesiano e inscrito numa
circunferência de raio igual a 1 unidade de comprimento. Esboce os vértices A = (1, 0), C = (0, 1) e E = (-1, 0)
no papel milimetrado. Utilize triângulos retângulos e faça o que se pede:
a) Encontre as coordenadas dos outros vértices do octógono.
b) Construa o desenho do octógono, aproximando
c)
2 ≅ 1, 4 .
Destaque dois segmentos opostos.
d) Destaque dois segmentos de módulos diferentes, mas sentidos contrários.
e) Escreva módulo, direção e sentido para os segmentos: EA , OG , OB , DH .
f)
Destaque dois segmentos de mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo.
Respostas:
 2


 2
2
2
2
2
2
2
a) B = 
,
,
,−
,−
 , D = −
 , F = −
 , G = (0, -1), H = 

 2

 2

 2

 2

2
2
2
2








b)
Existem vários, por exemplo, AB e EF .
d) Existem vários, por exemplo, AB e DH .
e) EA : direção horizontal (mesma de OX), sentido para a direita e EA = 2 uc.
c)
f)
OG : direção vertical (mesma de OY), sentido para baixo e OG = 1 uc.
OB : direção inclinada 45º com o eixo x no sentido positivo, sentido para cima e para a direita
e OB = 1 uc.
DH : direção inclinada 135º com o eixo x no sentido positivo, sentido para baixo e para a
direita e DH = 2 uc.
Existem vários, por exemplo, AB e FE .
Atividade 3: Sobre a atividade 2, assinale (V), se verdadeira, e (F), se falsa.
( ) AB ∼ ED
( ) OA ∼ OD
( ) AB ∼ OC
( ) AD ∼ CF
( ) BC ∼ OA
( ) AB ∼ AB
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Vetor
Definimos vetor como sendo um conjunto de segmentos equipolentes. Observe a figura:
Para um melhor entendimento, desenhe, no papel milimetrado, quatro segmentos orientados equipolentes,
AB ∼ CD ∼ PQ ∼ MN , com as seguintes características: módulo igual a 2 uc, direção horizontal (mesma de OX) e
sentido para a esquerda.
Considere que AB é um vetor que representa todos os segmentos orientados equipolentes a eles, ou seja, que
possuem estas características. Neste caso, também se pode escolher como representante os segmentos CD ou
PQ ou MN . Logo, o vetor AB é igual ao vetor CD , que é igual ao vetor PQ , que é igual ao vetor MN . Assim,
diz-se que v = AB = CD = PQ = MN .
Vetores no Plano Cartesiano
A palavra vetor provém do latim “vector = condutor”. Os vetores são utilizados com grande freqüência na
Física.
No plano (R²), um ponto é um par ordenado (x, y) onde x é a abscissa e y é a ordenada. Se o vetor v é um
representante de todos os segmentos orientados equipolentes a AB , então v = AB . Podemos interpretar que
o vetor v conduz (transporta) o ponto A até o ponto B.
Observe que o vetor não está fixo no plano cartesiano, mas o segmento orientado está determinado pela
origem e extremidade, que são pontos fixos no plano.
A partir da idéia do transporte de A para B, por intermédio de v , com abuso de notação, pode-se expressar:
A + v = B, ou ainda, A + AB = B.
A expressão indica que, a partir do ponto A, promovemos um deslocamento dado pelo vetor AB , chegando ao
ponto B.
Ainda com abuso de notação, pode-se escrever: AB = B – A.
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Exemplo: Se A = (2, 1) e B = (1, 4), então o vetor v que transporta A para B tem as coordenadas do
segmento orientado AB .
Logo, se A + AB = B, então AB = B – A. Ou seja, AB = (1, 4) – (2, 1) = (-1, 3).
Portanto v = (-1, 3).
Atividade 4: Utilize o papel milimetrado e marque, no plano cartesiano, os pontos A = (1, 2) , B = (4, 6),
P=(3,4) e a origem O = (0, 0). Considere os vetores u = AB e OP . Determine:
a) As coordenadas de u = AB .
b) As coordenadas de OP .
c)
AB e OP .
d) Direção e sentido de AB e OP .
Respostas:
a)
u = AB = B − A = (3, 4)
c)
OP = (3, 4)
AB = OP
d)
AB e OP são segmentos eqüipolentes, logo possuem a mesma direção (inclinada em relação a
b)
= 5 uc.
OX) e mesmo sentido (para cima e para a direita).
Conclusões
Conclui-se, pela atividade IV, que AB e OP representam o mesmo vetor, portanto pode-se escrever u = OP .
Note que OP é o único representante de seu conjunto cuja origem é a origem dos eixos (forma canônica). Por
este motivo, pode-se expressar um vetor escrevendo apenas sua extremidade. Como P = (3, 4) é a
extremidade, o vetor u = OP pode ser escrito u = (3, 4) . Entretanto, devemos sempre lembrar que um vetor
expresso desta forma tem sua origem na origem dos eixos.
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Generalizando: Dados dois pontos A = ( xa , ya ) e B = ( xb , yb ) do plano cartesiano e u = AB um vetor, o seu
representante que tem origem na origem dos eixos é dado por u = AB = B − A = ( xb − xa , yb − ya ) . Logo, as
coordenadas de P são ( xb − xa , yb − ya ) .
ATENÇÃO!
Observe que o símbolo (3, 4) pode ter três significados diferentes:
Ponto de abscissa 3 e ordenada 4.
Vetor que liga a origem ao ponto (3, 4).
Intervalo aberto em 3 e aberto em 4.
Você deverá diferenciá-los pelo contexto!