8 Ondas
Constantes
Velocidade do som no ar: vsom = 344 m/s
Velocidade da luz no vácuo c = 3 × 108 m/s
8.1. Considere uma corda de comprimento L e densidade linear µ = m/L,
onde m é a massa da corda. Partindo da equação de Newton para o
movimento de uma pequena porção da corda com comprimento dx,
demonstre que, no caso de haver ondas transversais de pequena amplitude a propagar-se na corda, as oscilações dos pontos da corda
relativamente à posição de equilı́brio podem ser dadas por:
∂2y
1 ∂2y
=
,
∂x2
v 2 ∂t2
p
onde y = y(x, t), v = Tx /µ é a velocidade de propagação da onda na
corda e Tx é a tensão aplicada ao longo do eixo dos xx.
8.2. Na extremidade de uma corda suficientemente longa é imposta uma
perturbação com frequência f = 5 Hz que provoca uma onda de amplitude A = 12 cm e velocidade de propagação v = 20 m/s. A densidade
linear da corda é µ = 5 × 10−2 kg/m.
a) Determine a frequência angular, ω, e o número de onda, k, bem
como a expressão para a onda que se propaga na corda.
Resolução:
A posição dos pontos da corda sujeita à onda resultante da perturbação é dada pela função
y(x, t) = A sin(kx − ωt)
A frequência angular relaciona-se com a frequência por ω = 2πf ,
logo, atendendo ao valor indicado para f , ω = 10π rad/s.
Para determinarmos o número de onda, usando a relação acima,
podemos escrever
y(x, t) = A sin (2π(x/λ − f t))
onde λ é o comprimento de onda. Donde, k = 2π/λ. Mas, a
velocidade de propagação da onda é v = f λ, donde tiramos
k = 2πf /v = π/2 m−1 .
101
8 Ondas
E podemos descrever a onda como
y(x, t) = 0, 12 sin 2π
x
− 5t
4
m
b) Qual a tensão a que está sujeita a corda?
Resolução:
Sabemos já que v =
p
Tx /µ pelo que obtemos,
Tx = µv 2 = 20 N
c) (∗ ) Qual a potência que deverá ser transmitida à corda para
que se consiga manter a corda a vibrar como indicado anteriormente? Se quiséssemos aumentar a frequência num factor de
10, em quanto terı́amos que aumentar a potência?
Sugestão: Comece por demonstrar que a energia de cada pequeno
segmento de corda com comprimento ∆x e massa ∆m está relacionada com a energia cinética máxima desse segmento (Ec,max )
e é dada por
1
∂y(x, t)
∆m
2
∂t
1
µdxA2 ω 2 .
2
Ec,max =
=
2
max
Solução:
A força F aplicada na extremidade da corda a um elemento de
massa dm, imprima uma aceleração a tal que
F = dm ÿ = −dm ω 2 y = −ky
a qual se relaciona com a energia potencial por F = −
nos permite obter por integração,
1
1
dEp = ky 2 = dm ω 2 y 2 .
2
2
Por outro lado, a energia cinética é
1
dEc =
dm v 2
2
1
dm ω 2 A2 cos2 (kx − ωt)
=
2
1
=
dm ω 2 A2 1 − sin2 (kx − ωt)
2
1
=
dm ω 2 A2 − y 2
2
102
dEp
dy ,
o que
Obtendo, para a energia total dE = dEc + dEp ,
1
dE = dm ω 2 A2
2
Numa extensão de corda de um comprimento de onda, a energia
transportada pela onda será
Z
1
dE = ω 2 A2
2
Z
1
dm = µω 2 A2
2
Z λ
0
1
dx = µλω 2 A2 ,
2
onde usamos dm = µdx. Em cada cada perı́odo a potência será,
Z
P =f
1
dE = f µλω 2 A2
2
Como λ = v/f , substituindo valores, obtemos P = 7 W. Por
outro lado como P ∝ f 2 , para aumentar a frequência de um
factor de 10, a potência terá de aumentar 102 vezes.
8.3. Um sinal sonoro é emitido por um par de colunas iguais colocadas
a uma distância de 2D = 3 m. Um ouvinte está a uma distância
de r = 8 m do centro da linha que une as duas colunas e à mesma
distância de ambas as colunas. As colunas estão ligadas a um mesmo
amplificador.
Se o ouvinte se deslocar x = 35 cm na direcção paralela à linha que
une as duas colunas o som anula-se. Qual a frequência do som emitido
pelas colunas?
r’2
r2
D
B
r
x
A
D
r’
1
r1
Figura 8.1: Sobreposição de ondas emitidas por um mesmo amplificador
Sugestão: Considere que a ondas sonoras recebidas pelo ouvinte e
emitidas pelas colunas 1 e 2 podem ser dadas, respectivamente, por
Φ1 = A sin(kr1 − ωt) e Φ2 = A sin(kr2 − ωt) e calcule a resultante da
sobreposição das duas ondas Φ = Φ1 (r1 , t) + Φ2 (r2 , t), onde r1 e r2 são
as distâncias indicadas na figura 8.1.
103
8 Ondas
Resolução:
A onda que é recebida pelo ouvinte é a sobreposição das duas ondas
emitidas, Φ = Φ1 (r1 , t) + Φ2 (r2 , t). Usando a relação trigonométrica
1
1
sin α ± sin β = 2 sin
(α ± β) cos
(α ∓ β)
2
2
,
(8.1)
obtemos
Φ = 2A cos
1
1
k[r1 − r2 ] sin
(k[r1 + r2 ] − 2ωt)
2
2
Ou seja obtemos uma nova onda cuja amplitude depende da distância
r1 − r2 ,
1
0
A = 2A cos
k[r1 − r2 ] .
2
Essa amplitude será zero sempre que o argumento do coseno for π(n +
1/2) com n inteiro. Como k = 2πf /v onde v é a velocidade do som
no ar, a amplitude do som anula-se sempre que se verifique
v
1
f= 0
n+
0
r1 − r2
2
n = 0, ±1, ±2, . . .
Atendendo à figura 8.1 temos
r10 =
(D + x)2 + r2
1/2
r20 =
(D − x)2 + r2
1/2
Substituindo valores, obtemos f = (1,33 , 4,00 , 6,67 , . . .) kHz.
8.4. Duas ondas Φ1 (x, t) = 4 sin(3x − 2t) cm e Φ2 (x, t) = 4 sin(3x + 2t) cm,
propagam-se numa corda de comprimento L que tem as extremidades
fixas.
a) Qual a resultante da sobreposição das duas ondas na corda?
Resolução:
Como as ondas Φ1 e Φ2 têm a mesma amplitude, a resultante é
Φ(x, t) = 4(sin(3x − 2t) + sin(3x + 2t)) cm
mas, usando novamente a relação trigonométrica 8.1, (e como
cos(−α) = cos(α)) a equação anterior pode ser escrita
Φ(x, t) = 8 sin(3x) cos(2t) cm
104
b) Qual a amplitude de oscilação para o ponto x = 2 cm?
Resolução:
A amplitude de oscilação é dada pelo termo A(x) = 8 sin(3x).
Assim, nesse ponto,
A(2) = 8 sin(6) = −2,24 cm
c) Qual a equação de movimento para o ponto x = 2 cm?
Resolução:
Nesse ponto teremos
Φ(2 cm, t) = −2,24 cos(2t) cm
d) Determine as coordenadas x na corda para as quais a amplitude
de oscilação é máxima.
Resolução:
A amplitude é máxima para sin(3x) = 1 ou seja para
3x =
2n + 1
π,
2
n = 0, 1, 2, . . . , nmax
com nmax determinado pela condição xn ≤ L. Os primeiros
máximos de x ocorrem para x = (π/6, 3π/6, . . .) cm.
e) Determine as coordenadas na corda para as quais a amplitude do
movimento é sempre zero.
Resolução:
Neste caso, a amplitude é zero para sin(3x) = 0 ou seja para
x=
n
π,
3
n = 0, 1, 2, . . . , nmax
Os primeiros mı́nimos ocorrem para x = (0, π/3, 2π/3, . . .) cm.
8.5. Numa corda presa em ambas as extremidades e com comprimento
L = 1, 5 m, consigo produzir um som com uma frequência fundamental
de f = 264 Hz.
105
8 Ondas
a) Qual o comprimento de onda da harmónica fundamental, f1 ?
Resolução:
O comprimento de onda das frequências próprias da corda corresponde às fracções inteiras de 2L:
λn =
2L
,
n
n = 1, 2, . . .
A harmónica fundamental corresponde a n = 1. Logo λ1 = 3 m.
b) Calcule a expressão para as frequências possı́veis na corda (fn ).
Resolução:
Como f = v/λ, tem-se
fn = n
v
= nf1
2L
c) Calcule as frequências das duas harmónicas seguintes, f2 e f3 .
Resolução:
Da aplicação directa da expressão acima, temos f2 = 528 Hz , f3 =
792 Hz.
d) Determine a localização dos nodos correspondentes a f1 , f2 e f3 .
Resolução:
Como vimos anteriormente, a amplitude anula-se quando o seno
é zero, isto é para os pontos que obedecem à condição kx = nπ.
Atendendo a que k = 2π/λ, os nodos serão os pontos
λ
xn = n ,
2
n = 0, 1, 2, . . . ,
xn ≤ L
usando a expressão para λm da alı́nea a) podemos construir a
seguinte tabela:
n
1
2
3
106
fn
f1
f2
f3
λn
2L
L
2L/3
nodos
0, L
0, L/2, L
0, L/3, 2L/3, L
e) Qual a velocidade de propagação das ondas na corda quando o
som produzido tem a frequência f1 ?
Resolução:
Podemos escrever v = f1 λ1 = 2Lf1 . Substituindo valores, obtemos v = 792 m/s.
f) Qual a tensão nas extremidades da corda sabendo que a densidade linear é µ = 0, 007 kg/m.
Resolução:
Por outro lado também sabemos que v =
µv 2 = 4390, 85 N.
p
T /µ. Logo, T =
g) Qual a frequência da vibração que passa para o ar? Qual o
comprimento de onda do som no ar? Considere a velocidade do
som vsom = 340 m/s.
Resolução:
Passa a frequência fundamental, far = 264 Hz. Por sua vez, o
comprimento de onda é λar = vsom /far = 1, 29 m.
8.6. Um raio de luz incide com um ângulo de 20o em relação à normal à
face de uma placa de vidro de faces paralelas. A espessura da placa
é de 2 cm. O vidro tem um ı́ndice de refracção n = 1,5 para essa
radiação.
a) Qual o ângulo, em relação à normal, com que o feixe de luz sai
do outro lado da placa de vidro? Faça um esquema.
Resolução:
Com o auxı́lio da figura ao lado, sabemos que os ângulos na
fronteira (1)-(2) obedecem à lei de Snell:
n1 sin θ1 = n2 sin θ2
(onde n1 e n2 são os ı́ndices de refracção), o mesmo acontecendo
na fronteira (2)-(3):
n2 sin θ2∗ = n3 sin θ3 .
θ1
n1 = 1
θ2
n2 = 1,5
θ2
n3 = 1
θ3
Ora, uma vez que as faces são paralelas, θ2 = θ2∗ . O que implica
que θ3 = θ1 . Por outro lado n1 = n3 e portanto o raio sai fazendo
um ângulo de 20o com a normal.
107
8 Ondas
8.7. Um feixe de luz branca incide sobre um placa de vidro fazendo um
ângulo de 80o com a superfı́cie. Sabendo que o ı́ndice de refracção
desse vidro para a luz vermelha é nvermelho = 1, 5885 e para a luz azul
é nazul = 1, 5982 , determine a dispersão angular dessas duas cores
quando o feixe atravessa a placa de vidro. Faça um esquema.
8.8. Uma onda plana incide sobre uma superfı́cie com duas fendas que
distam d = 0, 03 mm. Num ecran a uma distância D = 1, 2 m formase um padrão de interferência.
Qual a relação entre a posição dos máximos, (ymax ), e o comprimento
de onda (λ) da onda plana?
Resolução:
R: ymax =
mD
d λ.
8.9. Duas fendas estreitas são iluminadas pela luz amarela de sódio λ =
589 nm. Num ecran a um metro de distância formam-se riscas espaçadas de 1 cm.
a) Qual a distância entre as fendas?
Resolução:
Com a ajuda da figura ao lado, verificamos que a diferença de
percurso entre dois raios é d sin θ. Para que a interferência entre
dois raios seja construtiva é necessário que se verifique a condição:
d sin θ = mλ ,
θ
d
ym
θ
d senθ
D=1m
m = 0, 1, 2, . . .
para sin θ pequeno, podemos escrever sin θ ≈ tan θ = ym /D e,
portanto,
ym
D
d
= mλ ⇔ ym = m λ
D
d
onde ym indica a ordem do máximo para um e outro lado da
linha divisória das fendas. A distância entre máximos será ∆y =
ym − ym−1 donde tiramos
d=
D
λ
∆y
Substituindo valores, obtemos d = 100 × λ = 58,9 µm
b) Qual seria o espaçamento entre as riscas formadas no ecran se as
mesmas fendas fossem iluminadas com luz vermelha de comprimento de onda λ = 650 nm?
108
Resolução:
∆y =
1m
650
58,9×10−6 m
× 10−9 m = 0,011 m = 1,1 cm
8.10. Faz-se incidir um feixe de luz branca sobre duas fendas e um segundo
feixe (semelhante ao primeiro) sobre um prisma, por forma a comparar o que acontece ao feixe de luz em cada caso. Considere que
cada feixe é composto por radiação que, na zona do visı́vel, tem comprimento de onda entre 350 nanómetros (violeta) e 700 nanómetros
(vermelha). Analise o que se observa em cada caso e responda às
perguntas seguintes.
a) Para o primeiro caso observa-se um padrão de interferência na
parede em frente. Sabendo que as duas fendas distam d =
6×10−6 m, indique a largura angular do máximo de 1a ordem que
sai das fendas. Para isso determine o ângulo θmax,350 (relativo ao
máximo central) para o máximo de 1a ordem correspondente à
radiação violeta e θmax,700 para o máximo de 1a ordem correspondente à radiação vermelha.
Resolução:
A figura ao lado representa o trajecto dos raios que atravessam
as fendas para radiação de dois comprimentos de onda. Para
cada comprimento de onda o primeiro máximo ocorre quando a
condição
d × sin(θλ ) = λ
max(verm)
max(viol)
d
d
é satisfeita. Daqui podedmos obter a diferença dos ângulos, ∆θ =
θ700 − θ350 :
∆θ = arcsin(λvermelho /d) − arcsin(λvioleta /d) = 3,36o
b) No segundo caso o feixe de luz incide perpendicularmente sobre
uma das superfı́cies do prisma, atravessando-o e incidindo com
um ângulo de 30o numa outra face. Sabendo que o ı́ndice de
refracção depende do comprimento de onda (nvermelho,700 = 1,48
e nvioleta,350 = 1,50), calcule a largura angular do feixe que sai do
prisma (largura angular do arco-ı́ris).
θ1
θ2
Δθ2
Resolução:
Recorrendo à lei de Snell, n1 sin θ1 = n2 sin θ2 , para cada um dos
valores de ı́ndice de refracção indicados, obtemos
θvioleta = 48,59o ,
n1
θvermelho = 47,73o
109
n2=1
Δ
8 Ondas
e, ∆θ = 0,86o
c) Compare os resultados das alı́neas anteriores, fazendo um esquema para a imagem que se observa na parede no primeiro caso
(com as duas fendas) e para o segundo caso (com o prisma).
8.11. Um feixe de luz de uma lâmpada de hidrogénio faz-se passar através de
duas fendas que distam d = 41 × 10−6 m. A luz incide posteriormente
sobre um ecran a 2, 5 m de distância. O espectro visı́vel do hidrogénio
compreende radiação com os seguintes comprimentos de onda:
Risca
Hα
Hβ
Hγ
Hδ
λ/nm
656,3
485,8
434,0
410,0
Cor
vermelho
verde
azul
violeta
a) Justifique por que motivo a luz que passa pelas duas fendas dá
origem à formação de máximos e mı́nimos de intensidade luminosa no ecran.
b) Calcule:
ˆ a que distância do ponto central se encontra o máximo de 1a
ordem para a luz violeta de λHδ = 410 nm e para a luz azul
de λHγ = 434, 0 nm;
ˆ a que distância do ponto central se encontra o mı́nimo de
intensidade para a risca violeta e a risca de côr azul.
c) Qual a distância mı́nima a que o ecran deve estar para que se consiga distinguir a luz azul da luz ultravioleta com uma resolução
∆y = 0, 5 mm.
d) Conseguindo distinguir a luz azul da luz violeta conseguirá distinguir a luz vermelha da luz violeta? Justifique.
8.12. Num ecran situado a uma distância L = 1, 2 m de um sistema de
fenda dupla forma-se um padrão de interferência da luz que passa
pelas fendas. A distância entre as fendas é d = 0, 03 mm. O máximo
de segunda ordem, m = 2, dista 4,5 cm do máximo central.
a) Determine o comprimento de onda da radiação que incide nas
fendas.
Resolução:
R: λ = 562, 5 nm.
110
b) Determine a distância no ecran entre dois máximos consecutivos
Resolução:
R: ym+1 − ym = 2, 25 cm.
8.13. Uma fonte de luz emite radiação com comprimentos de onda λ1 =
430 nm e λ2 = 510 nm. Esta fonte é usada numa experiência de interferência com fendas duplas distantes entre sı́ de d = 17 µm. Calcule
a distância a que se encontram os máximos de 3a ordem num ecran à
distância de d = 1 m.
Resolução:
R: ∆y = 1, 4 cm.
8.14. Uma bola de sabão é iluminada com luz, cujo comprimento de onda
no vácuo é λ = 600 nm. O ı́ndice de refracção da água com sabão é
igual ao da água, n = 1, 33.
a) Calcule a espessura mı́nima que deverá ter uma bola de sabão
para que se obtenha interferência construtiva da luz reflectida.
A interferência verifica-se entre a luz reflectida na superfı́cie da
bola de sabão e a luz reflectida no interior da bola.
Resolução:
Quando a luz incide na superfı́cie da bola de sabão, uma parte vai
atravessar a superfı́cie, difractando-se, enquanto outra parte vai
ser reflectida (raio (a)), conforme representado na figura ao lado.
A onda reflectida sofre uma mudança de fase de π por se tratar
de uma reflexão num material com maior ı́ndice de refracção
(n2 > n1 ). A luz difractada vai, por sua vez, ser parcialmente
reflectida na superfı́cie oposta (desta vez sem mudança de fase já
que (n2 < n1 ) ), voltando a atravessar a primeira superfı́cie (raio
(b)) e podendo interferir com o raio (a).
Note que o comprimento de onda da luz na bola de sabão
também se altera de acordo com
λar
λ2 =
n2
a b
1
n1 = 1
d
n2 = 1,33
2
n3 = 1
Considerando que o percurso do raio na bolha de sabão é ≈ 2d,
a condição para que se observe interferência construtiva entre os
dois raios (a) e (b) é
2d = mλ2 +
λ2
,
2
m = 0, 1, 2, . . .
111
8 Ondas
e onde o último termo do lado direito é devido à mudança de
fase discutida acima. Ou, usando a relação entre comprimentos
de onda,
1 λar
2d = m +
2 n2
Pondo m = 0 podemos calcular a espessura mı́nima:
dmin =
1 λar
= 112,8 nm
4 n2
b) Haverá interferência construtiva se a pelı́cula da bola de sabão
tiver uma espessura que seja o dobro da calculada na alı́nea anterior? Justifique.
Resolução:
Podemos escrever a condição para interferência construtiva como
d = (2m + 1)
λar
,
4n2
m = 0, 1, . . .
E vemos que só quando a espessura variar número ı́mpar de vezes
em relação à espessura mı́nima, voltamos a obter interferência
construtiva.
8.15. Um feixe monocromático de luz de um laser de hélio-néon, de comprimento de onda λ = 632, 8 nm incide sobre uma rede de difracção com
6000 fendas por centı́metro.
a) Determine os ângulos a que se observam os máximos de 1a e 2a
ordens.
Resolução:
R: θ1 = 22, 31o ; θ2 = 49, 39o .
b) Determine se é possı́vel observar o máximo de 3a ordem.
Resolução:
R: Para m = 3 obtém-se sin θ3 = 1, 139 o que é impossı́vel.
8.16. Luz de comprimento de onda λ = 589 nm é usada para iluminar um
objecto que se pretende observar ao microscópio. A objectiva do microscópio tem uma abertura com diâmetro d = 0, 9 cm. Calcule o
menor ângulo que se consegue resolver.
112
Se em vez desta radiação for usada luz visı́vel, qual o menor ângulo que
se consegue resolver. Considere que a radiação visı́vel com o menor
comprimento de onda corresponde a luz violeta com λvioleta = 400 nm.
8.17. A intensidade de um som é frequentemente referida em unidades de
decibel (dB). A relação entre o valor da intensidade do som em dB e
em W/m2 é dada por
I(dB) = 10 log10
I(W/m2 )
10−12
!
,
onde I(W/m2 ) é a intensidade do som medida em unidades de W/m2 .
Como pode facilmente verificar, nesta escala considera-se que o valor
de Io = 10−12 W/m2 define o “zero da escala”.
a) A que corresponde uma intensidade de som de I= 1W/m2 na
escala de dB?
b) Num concerto dos Green Flying Dinossaurs, quando um dos GFD
sobrevoa o palco suspenso do tecto, uma fonte sonora pontual
emite um efeito acústico com uma potência Pemitida = 100 W.
Determine a que distância do palco a intensidade deste som é
igual a 90 dB, limite a partir do qual se devem utilizar de protectores auditivos para evitar lesões irreversı́veis do aparelho auditivo?
113