Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim
MÓDULO 7
OBJETIVOS:
-
Adquirir conceitos de múltiplos, divisores e números primos;
Efetuar decomposição e mínimo múltiplo comum;
Conceituar, identificar e representar frações;
Associar fração como divisão de dois números;
Operar com frações (adição, subtração, multiplicação e divisão);
Aplicar as técnicas de operações com frações na resolução de situações problemas.
ROTEIRO DE ESTUDO:
- Leia com atenção e observe as resoluções dos exemplos;
- Faça os exercícios do módulo no caderno seguindo a seqüência de
estudo;
- Confira as respostas no gabarito.
NÃO ESCREVA NA APOSTILA. FAÇA OS EXERCÍCIOS EM SEU
CADERNO.
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2
MÚLTIPLOS ( M ) E DIVISORES ( D )
Duas frases podem ter o mesmo significado apesar de utilizarem
palavras diferentes.
Por exemplo:
“Gabriel é filho de Marcelo”.Significa que “Marcelo é pai de Gabriel “
é filho de
2 é divisor de 10
significa
significa
é pai de
10 é divisível por 2
Na matemática isto também acontece como você pode ver no exemplo
acima.
Você sabe o que quer dizer divisível?
O conceito (idéia) de divisível vem da operação “divisão”
Ex.1: - 20 : 1 = 20
20 : 2 = 10
20 : 4 = 5
20 : 5 = 4
20 : 10 = 2
20 : 20 = 1
Você pode dizer que o nº 20
é divisível por 1,2,4,5,10,20,
pois em todas as divisões efetuadas
o resto é zero
ou 1,2,4,5,10,20 são divisores de 20.
Ex. 2: - Quais são os divisores do nº 42?
É o conjunto D(42) =
1,2,3,6,7,14,21,42
Observe que nos dois exemplos o conjunto dos divisores
começa com o nº 1 e termina no próprio nº.
EX. 3: – E os divisores de 7?
Conjunto D(7) =
1,7
pois 7 : 1 = 7
7:7=1
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3
Você reparou que no exemplo 3 os divisores são apenas dois: o nº 1 e o
próprio número?
O nº que tem apenas 2 divisores ( o nº 1 e o próprio número) é chamado
de NÚMERO PRIMO.
A seqüência de números primos é infinita. São eles:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,...
Copie essa seqüência em seu caderno, pois você vai usá-la mais
adiante.
MÚLTIPLOS
São determinados efetuando a multiplicação do nº pela seqüência dos
números naturais 0,1,2,3,4,5...
EX. 1: - Múltiplos de 5 ( começa sempre pelo nº zero)
Portanto conjunto M5 =
5 • 0
5 • 1
5 • 2
5 • 3
.
.
.
.
.
.
0,5,10,15,20,...
=
=
=
=
0
5
10
15
.
.
.
é infinito ( não tem fim)
EX. 2: – Qual o conjunto dos múltiplos de 3 ?
M3 =
0,3,6,9,12,15,18, ...
seqüência de 3 em 3
EX. 3: – E o conjunto dos múltiplos de zero?
M0 = 0
pois todo nº multiplicado por zero é zero.
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4
EXEMPLO PRÁTICO:
Um bebê precisa mamar de 3 em 3 horas. Começa à zero hora. Quais
serão os horários das mamadas do dia?
M3 = 0,3,6,9,12,15,18,21,24
Neste caso o conjunto dos múltiplos é finito pois o período foi pré
determinado.
DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS
Decompor um número é escrever esse número em forma de
multiplicação.
EX. 1: – decomponha o nº 12
12 = 1
2
3
2
.
.
.
.
12 ou
6 ou
4 ou
2 . 3
FATORES são os números que se multiplicam.
.
FATORES PRIMOS - multiplicação de
números primos.
Você pode usar o método prático para efetuar a decomposição em
fatores primos, dividindo o nº pela seqüência de nº primos já estudada
anteriormente.
Seqüência de nº primos
2,3,5,7,11,13,17,19,13,...
EX. 1: – Decomponha o nº 12 em fatores primos:
12
6
3
1
Divide apenas por nº primos.
O resultado é escrito em forma de potência
2
2
3
R = 2² • 3 ( 2² porque é 2 • 2 )
EX. 2: – decomponha o nº 60 em fatores primos.
Método prático
60
30
15
5
2
2
3
5
2²
R = 2² . 3 . 5
Divide o número por um número primo de
modo que a divisão seja exata.,
O resultado da divisão escreve na linha
debaixo,
Divide novamente pelo mesmo número
primo ou pelo próximo da seqüência.
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5
EX. 3: – decomponha o nº 108
108
54
27
9
3
1
2
2
3
3
3
2²
3³
R = 2² . 3³
não esqueça de escrever a resposta.
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C)
Menor múltiplo pertence a dois ou mais números
Dado dois ou mais números você pode determinar qual é o menor
múltiplo que pertence aos conjuntos dos múltiplos dos números dados.
Qual é o mínimo múltiplo comum (m.m.c) dos números 12 e 4 ?
M12 = {0,12,24,36...}
M4 = {0,4,8,12,16,20...}
m.m.c (4,12) = 12 ( múltiplo que pertence aos dois números )
Unindo o conceito de múltiplo com a decomposição em fatores primos
você pode usar uma técnica prática para calcular o m.m.c.
EX.1:
Ex. 2:
4, 12
2, 6
1, 3
1, 1
2
2
3 efetue a multiplicação
12 = m.m.c
m.m.c (4,5,15)
4, 15, 5 2
Você percebeu que a divisão tem que
2, 15, 5 2
ser exata. Quando não der para dividir
1,15, 5 3
“ abaixa” o número.
1, 5, 5 5
1, 1, 1 60 = m.m.c.
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6
APLICAÇÕES PRÁTICAS
1- Uma pessoa tem que tomar 3 remédios. Um de 2 em 2 horas; outro de 3
em 3 e o último de 4 em 4 horas. Após serem tomados à zero hora, depois de
quanto tempo eles serão tomados novamente juntos?
m.m.c (2,3,4)
2 , 3 , 4
2
1 , 3 , 2
2
1 , 3 , 1
3
1 , 1 , 1
12
Depois de 12 horas.
Copie e resolva em seu caderno:
1) Decomponha os números:
a) 60
b) 150
c) 55
2) Calcule o m.m.c. dos números:
3)
a) m.m.c. ( 12 , 8 )
c) m.mc.(6,3,9)
e) m.m.c.( 8,5)
b) m.m.c. ( 6 , 10 , 12 )
d) m.m.c.(10,8,160)
f) m.m.c.( 2,3,6)
Em um país as eleições para presidente são de 4 em 4 anos e para
senadores de 6 em 6.
Em 1990 houve eleição para os dois cargos. Depois de quanto tempo
isto acontecerá novamente e em que ano?
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7
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS - FRAÇÃO
INTRODUÇÃO
Até agora você estudou e trabalhou com os números inteiros positivos e
negativos. Agora, neste módulo você conhecerá os números fracionários,
utilizados para representar quantidades não inteiras.
O termo fração significa “pedaço” do inteiro dividido em partes iguais.
Observe o exemplo:
A figura abaixo representa um inteiro
Dividindo-a em 3 partes iguais, cada uma desses partes (pedaço)
representará a fração (
1
) do inteiro.
3
Observe os desenhos abaixo:
1
3
2
3
1
3 ou 1/3
3
3
Observe que o número debaixo mostra em quantas partes o inteiro foi
dividido. E o número de cima quantas partes foram consideradas (pintadas).
Cada número que compõe a fração recebe um nome especial.
Ex.: 2
3
numerador (quantas partes considerei)
denominador (quantas partes o inteiro foi dividido)
Copie e resolva em seu caderno:
4) Veja a figura abaixo
e responda::
É uma pizza dividida em 8 pedaços iguais.
a) Qual a fração que representa 1 pedaço de pizza ?
b) Na fração
4
, quantas partes considerei?
8
c) Qual é a fração que corresponde a pizza inteira?
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8
LEITURA:
Para ler uma fração você deve ler primeiro o numerador e depois o
denominador.
Observe:
Ex.:
3
5
lê-se três quintos.
3
2
2
Se o denominador for 3, lê-se terço (s) Ex
3
1
Se o denominador for 4, lê-se quarto (s) Ex
4
Se o denominador for 2, lê-se meio (s)
Ex
três meios
dois terços
um quarto
Se o denominador for 5, lê-se quinto (s) e assim por diante até o número 10
(décimo).
A partir do número 11 fala-se o número acrescido da palavra “avos”.
Exemplos:
4 = quatro onze avos
11
b) 7 = sete treze avos
13
FRAÇÃO É DIVISÃO:
O traço de fração ou barra (
4
= 1 inteiro
4
) também significa “divisão” pois:
10
= 5 inteiros
2
4 4
0 1
10
2
0
5
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES:
Você pode simplificar uma fração, isto é, deixar os números menores,
dividindo sucessivamente os termos (numerador e denominador) por um
mesmo número.
Observe:
48:2 = 24:2 = 12:2 =
72:2
36:2
18:2
6:3 =
9:3
2 fração irredutível
3
FRAÇÕES SIMPLIFICADAS
ou
48:12
72:12
= 4:2 = 2
6:2
3
ou
48:24 = 2
72:24
3
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Quando não
dá mais para
simplificar.
9
Observe que há várias maneiras de se fazer a simplificação. Você pode
utilizar o número que achar mais adequado desde que use sempre o mesmo
número para dividir o denominador e o numerador e que o resultado seja
sempre exato, não sobre resto nas divisões.
Copie e resolva em seu caderno:
5) Simplifique as frações até torná-las irredutíveis:
a) 12
16
b) 9
18
c) 15
20
REDUÇÃO A UM MESMO DENOMINADOR:
Há casos de frações cujos denominadores (n.º debaixo) são diferentes e
precisam ser reduzidos (transformados) a um mesmo denominador.
Para isso é necessário que você:
1- Calcule o m.m.c. dos denominadores (você viu no início deste
módulo );
2- O resultado do m.m.c. será o novo denominador;
3- Divida o novo denominador pelo denominador de cada fração;
4- Multiplique esse resultado pelos respectivos numeradores.
Observe o exemplo abaixo:
Ex.: Reduza ao mesmo denominador as frações:
2 , 3 , 2
3, 2, 4 2
3 21º) m.m.c
4
3, 1, 2 2
3, 1,1 3 (multiplica)
1, 1, 1 12
novo denominador
4º) Multiplica
2 , 3 , 2
3 2 4
3º) Divide
8 , 18 , 6
12 12 12
Modo prático
Divide o novo denominador pelo nº
debaixo e multiplica o resultado pelo nº
de cima.
O resultado final será o novo
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numerador.
10
Copie e resolva em seu caderno:
6) Reduza ao mesmo denominador ( nº debaixo) as frações:
a) 5 , 3
3
7
b) 7 , 2 , 5
8
3
12
c) 4 , 3 , 5
2 3
Observação: no exercício letra c, coloque o n.º 1 embaixo do
4 como denominador para poder fazer a divisão
Comparação de frações
Comparar duas frações significa estabelecer uma relação de igualdade (
igual ) ou de desigualdade entre esses números.
Para identificar a desigualdade você vai usar os símbolos:
< (menor) ou > (maior)
1º caso: os números fracionários têm o mesmo denominador:
Observe os desenhos e compare:o pedaço “a” é maior (>) do que o pedaço
“b”
a)
b)
7
8
7 > 3
8
8
leia: sete oitavos é maior do que
três oitavos
3
8
Quando duas frações têm o mesmo denominador, a maior é aquela que
tem o maior numerador (nº de cima)..
2º caso: os números fracionários têm denominadores diferentes:
Para comparar é necessário que o inteiro esteja dividido na mesma
quantidade de pedaços por isso, você deve reduzir ao mesmo denominador.
3 e 2
m.m.c de 6 e 3. = 6
6 ,3 3
3
6
3
2 ,1 2
6
1
6
3 , 4 então 3 < 4
6
6
6
6
2
3
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11
Copie e resolva em seu caderno:
7)
Usando o conceito de igual, maior ou menor responda reduzindo ao
mesmo denominador quando for necessário:
a) Maria comeu
2
5
de uma pizza e João comeu . Quem comeu menos?
3
8
Para você responder com certeza terá que
denominador as duas frações e depois compará-las.
reduzir
ao
mesmo
b) Complete com os sinais de igual (=), maior (>) ou menor ( < ) :
I ) 3 ___ 15
6
30
II ) 2 ____ 1
4
3
III ) 2 ____ -7
3
5
Operações com frações:
Você já aprendeu que fração é um número que representa
parte(s) do inteiro. Agora você vai aprender a resolver situações
problemas que envolvem números fracionários. Para isso terá que
saber operar (fazer conta) com esses números.
Adição e Subtração de Frações
Quando vamos efetuar uma soma ou uma subtração de frações
devemos considerar dois casos:
1º caso – As frações têm o mesmo número em baixo, ou seja, mesmo
denominadores:
Exemplo:
Uma pizza foi dividida em 3 pedaços iguais. João comeu dois pedaços.
Quanto sobrou?
3 - 2 =1
CONSIDERE A PIZZA
3
3
3
INTEIRA COMO = 3
3
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12
Logo, sobrou 1 da pizza.
3
Conclusão: Quando as frações têm o mesmo denominador
devemos somar ou subtrair apenas os números de cima, ou seja, os
numeradores e manter o mesmo denominador.
2º caso – As frações têm denominadores diferentes:
TÉCNICA para ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO
1º) determine o m.m.c. dos denominadores (nºs debaixo)
2º) o resultado do m.m.c. será o novo denominador
3º) divida o novo denominador pelo nº debaixo e multiplique pelo nº de cima
de cada fração
4º) efetue a adição ou subtração dos numeradores (nºs de cima).conservando
o denominador.
Exemplo:
Para fazer um trabalho escolar você usou dois terços de uma cartolina
e sua irmã usou três quartos. Que fração de cartolina vocês dois usaram
juntos?
multiplica
2
3
+
3
4
=
divide
8 + 9 = 17
12
12
12
Você deve encontrar o m.m.c.
dos denominadores 3 e 4
3,4
2
3,2
2
3,1
3
2 •2 •3 =• m.m.c. = 12
1,1
Observe as flechas ao lado.
Elas mostram as operações que você
deve fazer.
Resp: Usaram juntos 17 da cartolina ou 17 : 12 = 1,4 cartolinas.
12
Conclusão: Quando as frações têm denominadores diferentes,
devemos primeiro reduzir as frações ao mesmo denominador para
depois efetuar a soma ou subtração.
Os dois exemplos a seguir mostram os dois casos e as maneiras
diferentes de serem efetuados.
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13
1-) Um agricultor tem um sítio e quer plantar
1
da área
5
com feijão e
2
com
5
milho. Qual a fração que representará a área plantada?
Se você pensou
1 + 2 = 3 acertou!
5
5
5
(Se têm denominadores iguais, conserva o denominador e soma os
numeradores.)
2-) Esse mesmo agricultor após a colheita vai novamente plantar 1/3 da área
com feijão e 2/5 com milho. Qual a fração que representará a área plantada?
Agora complicou! Você percebeu que os denominadores são
diferentes, portanto a área foi dividida em “pedaços de
tamanhos diferentes”.
Pense. Você já aprendeu a fazer com que os denominadores
fiquem iguais, então, calcule o m.m.c. dos denominadores.
1 + 2 =
3
5
5 + 6 = 11
15 15 15
Resposta.
para resolver reduza ao mesmo denominador:
3 , 5 3
1 ,5 5 x
1 , 1 15
11
é a fração que representará a área plantada.
15
A subtração é efetuada usando a mesma regra da adição.
3) Dos
4
1
da área destinada ao plantio o agricultor vai deixar
para plantar
5
5
mandioca. Quanto irá sobrar para as outras plantações?
4 – 1 = 3
5
5
5
Área destinada ao plantio
Outras plantações
3
Resposta. da área sobrará para as outras plantações.
5
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14
4) Dos
2
1
da área destinada ao plantio o agricultor vai reservar para o pasto
4
5
de animais. Qual a fração que representa a área destinada a outras
plantações?
Não se esqueça!
2 – 1 =
4 , 5 2
Denominadores
diferentes,
4
5
2 , 5 2
calcule o m.m.c.para reduzir
1 , 5 5
ao mesmo denominador.
10 – 4 = 6
1 , 1 20
20 20
20
Resposta: Deixará
6
3
( simplificando por 2) a resposta será:
para outras plantações.
20
10
Para você fazer as adições e subtrações de frações negativas e
positivas observe as regras dos sinais
I-) Mesmo denominador.
a-) 1 + 3 = 4
c-)
6
6
6
b-)
6 –5 = 1
7 7
7
d-)
O
resultado
foi
negativo porque vale a
regra de sinais onde o
negativo é maior do
que o positivo
4 – 6 = –2
5
5
5
–2 – 1 = –3 = -1
3
3
3
“Juntando” duas frações
negativas resulta negativo
Quando o numerador
é
igual
ao
denominador
a
fração representa o
inteiro, pois fazemos
a divisão de 3 por 3
= 1
II -) Denominadores diferentes ( não esqueça do m.m.c. para reduzir ao
mesmo denominador):
a)
3 + 2 =
6
5
15
12
27
+
=
30
30
30
c) – 7 + 1 =
9
5
–
b) -1 - 3 =
8 5
–
5
24
29
–
=–
40
40
40
Observe os sinais das frações: o negativo é
maior do que o positivo, portanto “sobra”
negativo.
35
9
26
+
= –
45
45
45
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15
Copie e resolva em seu caderno:
8) De acordo com o que você aprendeu até agora, resolva as adições e
subtrações de frações:
a) 1 + 4 =
3 3
c) 9 - 2 =
2 3
b) 7 + 2 =
5 8
d) – 1 – 3 =
2 4
Multiplicação de frações
Ex:
Regra Prática:
- multiplique os numeradores (nºs de cima);
- multiplique os denominadores (nºs debaixo);
- observe os sinais das frações para usar a regra.
–
4 2
8
•
=
5 7
35
3
8
24
•– =+
6
5
30
Sinais iguais resulta positivo.
Sinais diferentes resulta negativo.
1-) Um fazendeiro tem 5 fazendas. Dessas, 3 são produtivas.
7
Qual é a fração que representa toda a terra produtiva?
DICA IMPORTANTE!
Quando aparece no problema a palavra “de”, “dessa”, a operação usada
é a multiplicação e a resposta representa a fração em relação ao inteiro
3
de 5 então:
7
3
5
15
15
• =
Resposta:
representa a parte produtiva das 5 fazendas.
7
1
7
7
Nas operações com frações
colocamos o n.º 1 embaixo do
n.º inteiro.
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16
2-) Um fazendeiro vai plantar
3
2
da área da fazenda. Já plantou dessa
5
6
área com soja. Qual a fração que representa a área de plantação de soja em
relação a área da fazenda?
3 • 2 = 6
5 6
30
multiplique os numeradores
multiplique os denominadores
Resposta:A fração que representa a parte plantada com soja em relação a
fazenda inteira é
6
1
( ou simplificando por 6) apenas .
30
5
Divisão de frações
Regra Prática:
- Copie a primeira fração;
- Mude o sinal de divisão ( : ) para o de multiplicação (•);
- Copie a segunda fração invertendo os lugares do numerador com o
denominador;
- Multiplique os numeradores;
- Multiplique os denominadores;
- Observe os sinais das frações aplicando a regra de sinais que é a mesma
da multiplicação.
Exemplo:
1
2
1º) A metade ( ) da área de uma fazenda vai ser dividida em 6 partes
iguais. Qual a fração que representa cada parte?
Observe que:
1 : 6 = 1 . 1 = 1
2
1
2 6
12
1- a divisão foi transformada em
multiplicação
2- a segunda fração foi invertida
R. Cada parte é representada por
1
.
12
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17
Copie e resolva em seu caderno:
9) Efetue as multiplicações e divisões de frações:
a) 2 • 5 =
3 8
c) 2 : 1 =
5 3
b) 1• 3 • 5 =
2 4 7
d) 7 : 4 =
10 6
Potenciação
(multiplicação com o mesmo número)
Regra prática:
- Efetue a potenciação do numerador, multiplicando pelo mesmo número
tantas vezes quanto for o número do expoente;
- Efetue a potenciação do denominador.
1-) Qual é a área de um quadrado cujo lado é ½ m de lado?
A área do quadrado é: A = L²
½m
A = (1/2)² = 1² = 1• 1= 1 m²
2² 2•2 4
Para efetuar a potenciação de fração você deve elevar o numerador e o
denominador ao expoente dado e calcular o resultado:
Ex.
5
4
³ =
5³ = 5 • 5• 5 = 125
4³
4 • 4 •4
64
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18
Radiciação de frações:
Regra prática:
- Determinar a raiz do numerador;
- Determinar a raiz do denominador.
Exemplo:
9
=
16
9
16
3
3.3
pois
4
4.4
=
Copie e resolva em seu caderno:
10) Calcule:
2
3
a)
2
5
=
b)
7
10
c)
9
=
16
d)
25
=
4
=
Usando o conceito de fração onde o denominador identifica em quantas
partes está dividido o inteiro e o numerador quantas partes está sendo
tomado. Pense no problema abaixo e veja como foi resolvido.
Uma granja tem 2400 aves. Destas
3
são galinhas.
5
a)Qual a quantidade de galinhas?
b) Qual a fração que representa os frangos?
c) Qual a quantidade de frangos?
Resolução:
a) 2400 5
480
480
x 3
1440 galinhas
representa o inteiro
5
3
2
b)
=
5
5
5
representa os frangos
d) 2400 – 1440 = 960 frangos
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19
Você percebeu que para cada tipo de operação com frações há uma
técnica específica.
No quadro a seguir você terá um resumo dessas técnicas para usar em
cada operação usada para resolver os exercícios e problemas a seguir.
RESUMO DAS TÉCNICAS DE OPERAÇÕES DE FRAÇÕES
:
Adição e subtração
(tem
que
ter
o
mesmo
denominador)
- M.m.c. dos denominadores;
- O resultado do m.m.c. será o
novo denominador;
- Divida o novo denominador
pelo nº debaixo e multiplique
pelo nº de cima de cada
fração;
- Efetue a adição ou subtração
dos
numeradores
conservando o nº
do
denominador.
Divisão
- Copie a primeira fração;
- Transforme a divisão em
multiplicação;
- Inverta a segunda fração;
- Multiplique os numeradores;
- Multiplique os denominadores.
Potenciação
- Efetue a potenciação do
numerador, multiplicando pelo
Multiplicação
mesmo número tantas vezes
quanto for o número do
- Multiplique os numeradores
expoente;
(nºs de cima);
- Efetue a potenciação do
- Multiplique os denominadores
denominador.
(nºs debaixo).
Radiciação
- Determine
a
numerador;
- Determine
a
denominador.
raiz
do
raiz
do
-
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20
Copie e resolva em seu caderno:
11)
Resolva os problemas em seu caderno lembrando que cada operação
com fração tem uma regra própria. Confira as respostas no gabarito:
I)
Um aluno já executou
4
da tarefa de matemática. Qual a fração da
7
tarefa que resta fazer?
LEMBRE-SE!!
A fração que representa o inteiro tem denominador
7
igual ao numerador. Neste caso o inteiro é
7
II)
Tenho uma divida de R$ 250,00. Já paguei
7
. Quanto estou devendo?
10
Observação: A dívida está dividida em 10 prestações
III)
6
do Kg (quilograma) de pipoca estourada. Quero
8
1
repartir (dividir) em saquinhos de
do Kg. Quantos saquinhos devo
4
Em uma panela há
comprar?
IV)
Em um pomar há três tipos de árvores frutíferas sendo que
laranjeiras,
1
são
4
2
2
são jabuticabeiras e
são limoeiros. Qual a fração que
5
10
corresponde ao total (soma) de árvores desse pomar?
v-) João Carlos é operário e ganha R$ 1400,00 por mês. Gasta
dinheiro com aluguel e
1
desse
4
2
(desse dinheiro) com a alimentação da família.
5
a) Qual é a fração que representa o total de gastos de João Carlos ?
b) Quanto dinheiro ela representa?
1
4
c) Qual o valor do aluguel? ( desse dinheiro)?
d) Quanto gasta com a alimentação? (
2
de R$1400,00)
5
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21
GABARITO
1) a) 2² . 3 . 5
b) 2 . 3 . 5²
c) 5
.
11
2) a) 24
b) 60
c) 18
d) 160
e) 40
f) 6
3) 12 anos em 2002
4) a)1/8
b ) 4 partes
c ) 8/8
5 ) a ) 3/4
b ) 1/2
c ) 3/4
6 ) a ) 35 , 9
21 21
b ) 21, 16, 10
24 24 24
c) 24, 9,10
6 6 6
7) a ) João
8) a)
5
3
b)
9) a)
10
24
b)
b)
10) a)
4
25
11) I ) 3/7
V)
66
40
c)
23
6
15
56
c)
6
5
d)
42
40
343
1000
c)
3
4
d)
5
2
II ) R$ 75,00
13
a)
20
d) -
5
4
III ) 3 saquinhos
b) R$ 910,00
c) R$ 350,00
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IV ) 17/20
d) R$ 560,00
22
MÓDULO 8
OBJETIVOS:
No final desta Unidade de Ensino (U.E.), o aluno deverá :
Entender uma razão como o quociente de dois números racionais em
que o segundo é diferente de zero;
Reconhecer se duas razões formam uma proporção;
Resolver problemas simples que envolvem escalas;
Resolver
uma
situação
problema
envolvendo
grandezas
proporcionais, utilizando a regra de três;
Resolver problemas simples de porcentagem e problemas que
envolvem cálculo de juros simples.
ROTEIRO DE ESTUDO:
- Leia com atenção observando e acompanhando as resoluções dos
exemplos.
- Faça os exercícios do módulo no caderno seguindo a seqüência
de estudo,
- Confira as respostas no gabarito.
NÃO ESCREVA NA APOSTILA. FAÇA OS EXERCÍCOS EM SEU
CADERNO
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23
RAZÃO, UMA GRANDE INVENÇÃO.
Dos 50 alunos de uma sala de computação, 20 são
homens e 30 são mulheres. Qual é a relação entre o
número de homens e o número de mulheres?
número de homens =
número de mulheres=
Simplificando,
isto é dividindo
por um mesmo
número
20 : 10 = 2
30 : 10
3
Você pode concluir que:
- para cada 2 homens há 3 mulheres que estão na sala,ou o número de
homens (2) está para o número de mulheres (3) ou simplesmente 2 está
para 3.
.
A expressão 2 está para 3 é chamada de razão entre 2 e 3 e é indicada
por 2 ou 2 : 3.
3
RAZÂO serve para comparar quantidades entre duas grandezas.
No exemplo acima as duas grandezas são: HOMENS e MULHERES.
Veja o exemplo abaixo:
Se você comparar as quantidades de
gatos com as quantidade de cães, você
têm as grandezas: GATOS e CÃES e a
razão
3
4
ou
seja:
três
está
para
quatro(para cada 3 gatos têm 4 cães)
Copie e resolva em seu caderno:
1) Escreva
a razão simplificando quando for possível:
a) 20 para 50
b) 10 para 40
2) Em um hospital tem 16 pacientes para 2 enfermeiros. Qual a razão
entre o número de pacientes e o número de enfermeiros?
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24
RAZÕES INVERSAS
Para determinar a razão entre o número de homens (20) e o número de
mulheres (30) da sala de computação do primeiro exemplo, você fez
depois de simplificado ficou a mesma coisa que
20
, que
30
2
(dois está para três).
3
Se você quer determinar a razão entre o número de mulheres (30) e o
número de homens (20), é só fazer
30
, que simplificando por 10 é a mesma
20
3
(três está para dois).
2
3
2
As razões e são chamadas de inversas entre si.
2
3
coisa de
O produto (multiplicação) de duas razões inversas é igual a 1.
3 2
• =
2 3
6
= 1
6
Copie e resolva em seu caderno:
3)
Pedro fez uma prova que continha 10 questões de Português e 20 de
Matemática.
a) Qual a razão entre as questões de Português e Matemática?
b) Qual a razão entre as questões de Matemática e Português?
4) Ache a razão inversa de:
a) 3
4
b) 2 : 5
c) 4 : 1
ALGUMAS RAZÕES ESPECIAIS
Você já deve ter ouvido falar ou lido em algum lugar os termos
velocidade média, densidade demográfica e escala.
Na verdade, elas são razões especiais, que utilizamos com freqüência
no dia-a-dia. Vamos então ver qual o significado de cada uma.
VELOCIDADE MÉDIA
Velocidade média de um móvel é a razão entre o espaço percorrido e
o tempo gasto para percorrê-lo.
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25
EXEMPLO:
A velocidade média de um carro que percorre 300 Km em 5 horas é dada
pela razão:
300km
60km
= simplificando por 5 =
ou 60 Km/h (sessenta km por hora)
5horas
1hora
Copie e resolva em seu caderno:
5) Calcule a velocidade média de um carro que percorreu 210 Km em 3
horas.
DENSIDADE DEMOGRÁFICA
Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes de uma
região e a área dessa região.
Exemplo: A cidade de Votorantim (SP) tem uma área aproximada de
177Km² e segundo os dados de 2003 do IBGE a população está
aproximada em 110000 habitantes. Portanto, a densidade demográfica de
Votorantim é dada por:
População = 110000 = 621 hab/Km²
Área
177
110000
177
Isto significa
que têm 621 hab.
em 1 Km²
faça esta operação na calculadora
Copie e resolva em seu caderno:
6)
O censo de 2000 estimou a população do estado de São Paulo em
36351316 habitantes. Calcule a densidade demográfica desse estado da
região Sudeste, sabendo que a área total é de 248811Km².
Faça na calculadora.
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26
ESCALA
Escala é a razão entre a medida do comprimento no desenho e a
medida do comprimento real.
Exemplo:
Se a planta ou croqui (desenho) de uma casa está na escala de 1:100 ou
1
(1 para 100), significa que para cada 1cm do desenho corresponde a 100
100
cm na dimensão real.
Observe:
A planta a seguir foi desenhada na escala 1:100cm:
banheiro
3cm
Lembre-se!!
100cm=1m
2,5cm
quarto A
3cm
1,5cm
6cm
1cm
corredor
quarto B
4,5cm
cozinha
6cm
sala
2,5cm
3,5cm
Agora, responda:
Quais são as dimensões reais (comprimento e largura) da cozinha, da sala
e do quarto A dessa casa.
Se você respondeu que as dimensões reais da cozinha são 3m por 6m,
da sala são 6m por 3,5m e do quarto são 3m por 2,5m, acertou!!!
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27
PROPORCIONALIDADE
A proporção no dia-a-dia:
Fernando e Alex apostaram juntos numa loteria esportiva e foram
premiados. Como eles devem dividir o prêmio de R$ 500 000,00, se as
importâncias que Fernando e Alex apostaram estão na razão 2 para 3?
Como as quantias que eles apostaram estão na razão de
2
é fácil
3
concluir que:
- Fernando vai receber 2 partes portanto R$ 200 000,00
- Alex vai receber 3 partes portanto R$ 300 000,00.
A igualdade entre as razões
2
200000,
=
é uma proporção.
3
300000
A proporção também pode ser indicada da seguinte maneira:
2 : 3 = 200000,00 : 300000,00
Veja um exemplo prático de proporção:
Você sabe que uma foto 3 X 4 tem 3cm de base (largura) e 4 cm de
altura (comprimento) . Do mesmo modo, uma foto 6 X 8 tem 6 cm de base e
8 cm de altura.
Observe as fotos da figura abaixo:
Qual é a razão entre a base e a altura da foto menor? E entre a base e a
altura da foto maior?
Base da foto menor =
Altura da foto menor
Base da foto maior =
Altura da base maior
3 = 0,75 (3 dividido por 4)
4
6 = 0,75
8
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28
Como
3
6
= , ou seja, três está para quatro assim como seis está para
4
8
oito, podemos concluir que existe uma proporção entre as medidas das duas
fotos.
A igualdade entre as razões
3
6
=
4
8
forma uma
proporção.
Você observou que o
resultado das divisões (3:4 e
6:8) são iguais?
Isto mostra que as fotos têm
tamanhos proporcionais.
Na proporção 3 : 4 = 6 : 8, os números e 4 e 6 são chamados de meios:
e
3 e 8 são chamados de extremos
DESAFIO:
Medindo os lados das 2 fotos, verifique se elas são proporcionais (use a
régua) e responda as questões abaixo:
a) Os lados são proporcionais? .
.........
b) ABCD é ampliação de EFGH? ....
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29
Propriedade fundamental das proporções
Em toda proporção, o produto (multiplicação) dos meios é igual ao
produto dos extremos.
Exemplo:
3
4
= 6
8 O produto dos extremos é 3 • 8 = 24
O produto dos meios é 4 • 6 = 24
Os dois produtos são iguais portanto, formam uma proporção.
Copie e resolva em seu caderno:
7) Verifique se as razões formam uma proporção. Utilize a propriedade
fundamental das proporções:
a) 2 e 10
5
25
b) 2 = 3
8
4
CÁLCULO DE UM TERMO DESCONHECIDO OU
APLICAÇÃO DA “ REGRA DE TRÊS”
Com a propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios
é igual ao produto dos extremos), tornou-se simples determinar o valor
desconhecido de um dos termos da proporção.
Veja qual o valor de X (termo desconhecido) nas proporções a seguir:
Multiplique
cruzado
a) 3 = X
4
8
Pela propriedade fundamental: Produto dos meios = produto dos extremos
Então:
4. X = 3 . 8
4. X =
24
X = 24 : 4
X = 6
(calculando o valor de X)
Use a operação inversa
da multiplicação que é a
divisão.
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30
Copie e resolva em seu caderno:
8)
Copie e calcule em seu caderno o valor desconhecido (X) nas
proporções:
a) 2 = X
8
12
c) 12 = 15
X
5
b) 5 = 25
6
X
d)
X = 9
6
2
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
O que são grandezas diretamente proporcionais?
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando ambas
aumentam ou diminuem seus valores ou quantidades.
1 º Exemplo:
Se um padeiro faz 60 pães com 5 Kg de farinha, quantos pães ele fará
com 8 Kg de farinha?
É fácil perceber que, aumentando a quantidade de farinha (primeira
grandeza), a quantidade de pães (segunda grandeza) também aumentará.
Logo, as duas grandezas:quantidade de farinha de trigo e quantidade de
pães são diretamente proporcionais.
Para resolver esse problema você deve:
- montar uma tabela com duas colunas correspondentes a cada grandeza;
- escrever os números nas respectivas colunas;
- analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais;
- resolver para calcular o termo desconhecido.
Veja a montagem:
Quantidade de pães
Quantidade de farinha
60
X terá que aumentar
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5 Kg
8 Kg aumentou
31
Assim, podemos escrever a seguinte proporção:
60
5
=
X
8
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
60 = 5
X
8
5• X = 60 • 8
5• X = 480
X = 480
X = 96
5
Com 5 Kg de farinha o padeiro fará 96 pães
2º Exemplo:
Um padeiro faz 80 pães com 20Kg de farinha de trigo. Quantos pães fará
com 3 Kg de farinha?
Quantidade de pães
Quantidade de farinha
80
X terá que dimimuir
20 Kg
3 Kg diminuiu
É fácil perceber que diminuindo a quantidade de farinha (primeira
grandeza), a quantidade de pães (segunda grandeza) também diminuirá.
As duas grandezas: quantidade de farinha de trigo e quantidade de pães
são diretamente proporcionais.
Então:
80
X
=
20
3
20 • X = 80 • 3
20 • X = 240
X=
240
X = 12
20
O padeiro fará 12 pães.
Observe que:
Duas grandezas são diretamente proporcionais
quando as duas aumentam ou as duas
diminuem.
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32
Copie e resolva em seu caderno:
9) Resolva os problemas de acordo com os exemplos:
a) Roberto comprou 15 lápis por R$ 5,00. Se comprasse 36 lápis, quanto
pagaria?
b) Uma torneira leva 5 horas para encher uma caixa d’água de 1000 litros
de capacidade. Quantas horas levará essa torneira para encher uma caixa
d’água de 3000 litros de capacidade?
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
O que são grandezas inversamente proporcionais?
Duas grandezas são inversamente
proporcionais quando uma
grandeza aumenta e a outra diminui ou vice-versa: uma diminui e a outra
aumenta.
1º Exemplo:
Mário fez uma viagem de carro em 20 horas com uma velocidade média
de 60Km/h. Qual será a velocidade média para fazer essa mesma viagem
em 15 horas?
Tempo gasto (h)
20
15 diminuiu
Velocidade média
(Km/h)
60
X terá que aumentar
Você percebeu que para diminuir o tempo de viagem (horas) a
velocidade média do carro deve aumentar, portanto enquanto uma
grandeza diminui a outra grandeza aumenta.
Dizemos então, que as grandezas velocidade e tempo são inversamente
proporcionais. Para resolver o problema temos que inverter uma das
razões correspondente a uma das grandezas. Pode ser a coluna do X ou a
outra.
20
60
=
invertendo uma das colunas
15
X
15
60
=
20
X
=
15 • X = 20 • 60
15 • X = 1200
X =
1200
15
então X = 80
A velocidade média do carro será de 80Km/h.
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33
2º Exemplo:
Para reformar a quadra de esportes de uma escola, 2 pedreiros vão
trabalhar 24 dias. Em quantos dias 6 pedreiros poderão fazer esse mesmo
serviço?
Temos:
Número de pedreiros
Tempo (dias)
2
24
6
X
aumentou
diminuiu
tem que
inverter a razão
Se você aumentar a quantidade de pedreiros vai diminuir a
quantidade de dias gastos na reforma.
Uma grandeza (pedreiros) está aumentando enquanto que a outra
(dias) está diminuindo.
Uma grandeza é inversa da outra,
logo são inversamente proporcionais.
Invertendo uma das razões da proporção 2 = 24
2 = X
6
X
6
24
6 • X = 2 • 24
6 • X = 48
X=
48
6
X=8
Assim, 6 pedreiros podem fazer o mesmo serviço em 8 dias.
ATENÇÃO! DICA IMPORTANTE!
Quando uma das grandezas for o TEMPO (horas, dias, etc) geralmente é
inversamente proporcional.
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34
Copie e resolva em seu caderno:
10) Resolva os problemas em seu caderno de acordo com os exemplos:
a) 6 homens constroem uma casa em 90 dias. Quantos homens são
necessários para construir essa casa em 60 dias, no mesmo ritmo de
trabalho?
b) Um automóvel a 50Km/h vai de uma cidade a outra em 6 horas. Qual
deve ser a velocidade do automóvel para percorrer a mesma distância em
4 horas?
PORCENTAGEM
A expressão por cento é familiar. Você a vê, praticamente em todos os
dias nos jornais e na televisão.
A expressão por cento quer dizer “por um cento ou cem”. Assim quando
você lê ou escuta uma afirmação como “grande liquidação de verão com
40 por cento de desconto em todos os artigos”, significa que você tem um
desconto de 40 reais para cada 100 reais do preço do artigo.
Isto nos leva então a estabelecer a razão
Assim:
40% é o mesmo que
40
.
100
40
100
Qual é o significado do símbolo %?
O símbolo % usado nas manchetes desse jornal, significa por cento.
Acompanhando um número indica a centésima parte desse número.
Assim:
6 % ou
6
= 0,06
100
16,85% ou
5,82% ou
16,85
= 0,1685
100
5,82
= 0,0582
100
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35
Qual é o valor de 80% de 60?
Veja o exemplo abaixo:
Em uma partida de basquete Hortência acertou 80% dos 60 arremessos que
efetuou. Quantos arremessos ela acertou?
Resolver esse problema significa responder a questão: Quanto vale 80%
de 60?
Solução:
Como 80% =
80
100
ou 0,80 você pode calcular usando a fração ou o nº
decimal fazendo:
80
4800
• 60 =
100
100
= 48
ou
0,80 . 60 = 48
Você também pode usar a regra de três ou propriedade fundamental
da proporção.
80
=
100
X
60
100 • X = 80 • 60
100 • X = 480
X=
480
100
X = 48
Hortência acertou 48 arremessos que correspondem aos 80%.
Copie e resolva em seu caderno:
11) De acordo com o exemplo resolva os problemas de porcentagem:
a) 70% dos alunos da classe de Laura sabem nadar. Quantos alunos
sabem nadar, se a classe de Laura tem 40 alunos?
b) De um total de 30 alunos, 20% foram reprovados. Quantos alunos foram
reprovados?
c) O preço de um aparelho de som é R$500,00. Durante uma liquidação, a
loja anunciou um desconto de 20%. Nessas condições:
I) Qual é a quantia que corresponde ao desconto?
II) Qual é o preço do aparelho com o desconto?
Confira as respostas no final do módulo.
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36
JUROS
Os juros fazem parte do nosso dia-a-dia.
Uma ótica está vendendo óculos nas seguintes condições:
R$ 200,00 à vista ou em 4 parcelas de R$ 70,00. Desse modo o preço
dessa mercadoria a prazo sobe. Por que isso acontece?
O preço dessa mercadoria, à vista, é diferente do preço a prazo, porque
estão sendo cobrados juros pelo parcelamento da dívida.
O juro é uma compensação em dinheiro que a empresa cobra por estar
parcelando a dívida para o cliente.
No caso das aplicações financeiras (poupança), o cliente é que
empresta dinheiro ao banco e, por esse empréstimo, recebe uma quantia
de juros.
A dívida que uma pessoa contrai quando compra uma mercadoria a
prazo ou, a quantia que investe quando faz uma aplicação financeira é
chamada de capital.
A soma do capital e juros é chamada de montante.
Assim, podemos dizer que:
Juro (j) é uma compensação para mais ou para menos, em dinheiro, que
se paga ou que se recebe.
O capital (c) é o dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado.
A taxa (i) é o índice de porcentagem que se paga ou que se recebe pelo
aluguel do dinheiro.
O tempo (t) é o tempo pelo qual o capital fica emprestado.
Exemplo:
Sérgio emprestou R$2 000,00 de um banco por 4 meses a uma taxa de
3% ao mês.
a) Qual a quantia que ele pagará de juros?
b) Qual o total que terá de pagar no final do empréstimo?
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37
Solução:
a) Vamos calcular quanto de juros por mês:
3% de 2000,00
=
3 =
100
X
2000,00
ou
3 . 2000,00
100
X = (3 . 2000,00) : 100
X = 60,00
Como o empréstimo foi feito em 4 meses, temos:
4 • 60,00 = 240,00
b) Ao todo irá pagar:
2000,00 + 240,00 = 2240,00
R.: Sérgio pagará R$240,00 de juros num total de R$2 240,00.
Copie e resolva em seu caderno:
12)
Resolva em seu caderno os problemas e confira as respostas no final
deste módulo:
a) Qual o juro produzido por R$ 2800,00 em 3 meses da aplicação, a 7%
ao mês?
b) Marcos comprou uma bicicleta por R$ 180,00. Pagará em 6 meses, por
isso o vendedor cobrará juros à base de 3% ao mês. Quanto ele pagará de
juros e qual o total que pagará pela bicicleta?
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38
GABARITO:
1) a) 2
5
b) 1
4
2) 16 = 8
2
3) a) 10 = 1
20
2
4) a) 4
3
b) 5
2
b) 20 = 2
10
c) 1
4
5) 70 Km/h
6) 146,1 hab/Km²
7) a) Sim formam proporção, porque 50 = 50
b) Não formam proporção, porque 8 24
8) a) X = 3
b) X = 30
c) X = 4
d) X = 27
8) a) Pagaria R$12,00
b) Levará 15 horas
9) a) Pagaria R$12,00
b) Levará 15 horas
10) a) São necessários 9 homens.
b) A velocidade deve ser de 75Km/h.
11) a) Sabem nadar 28 alunos.
b) Foram reprovados 6 alunos.
c) I )desconto de R$100,00.
II ) Preço do aparelho R$ 400,00.
12) a) Juro de R$ 588,00.
b)Pagará de juros R$ 32,40 e total de R$ 212,40.
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39
Bibliografia:
Desenhos ilustrativos tirados dos livros:
BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano,
José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série
São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995.
IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série
São Paulo. Editora Scipione. 1999.
SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS.
6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997.
ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007:
- Elisa Rocha Pinto de Castro
- Francisco Carlos Vieira dos Santos
- Josué Elias Latance
- Rosy Ana Vectirans
COLABORAÇÃO:
- Adriana Moreira Molinar
- Esmeralda Cristina T. Ramon
- Rosimeire Maschetto Nieri
- Sara M. Santos
DIREÇÃO:
- Elisabete Marinoni Gomes
- Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper
COORDENAÇÃO:
- Neiva Aparecida Ferraz Nunes
APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim
www.ceesvo.com.br
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