EQUAÇÕES BÁSICAS
Lecture 4
Equação de Estado
A equação de estado para um gás ideal é
p = RT
(1)
Onde, p, . R e T são a pressão, a densidade, a constante universal dos gases para o ar
seco e a temperatura absoluta, respectivamente.
Em certas ocasiões, pode ser utilizado o volume específico (=1/ ), no lugar da
densidade, levando a
p = RT
(2)
Se o ar contém vapor d` água, a equação de estado torna-se
p = RTv
(3)
Onde Tv é a temperatura virtual definida como
Tv = T (1+ 0.61w)
(4)
Onde w é a a razão de mistura definida como a razão entre a massa do vapor d` água
num dado volume e a massa de ar seco neste mesmo volume.
Primeira Lei da Termodinâmica
A primeira lei da termodinâmica pode ser expressa da seguinte maneira
H = du + W
(5)
onde H, du e W são, respectivamente, o calor adicionado por unidade de massa, a mudança da energia
interna por unidade de massa e o trabalho realizado por unidade de massa, com relação ao sistema
considerado.
Para um gás invíscido
W = p d
e
H = du + p d
(6)
A mudança da energia interna por unidade de massa pode ser escrita como
du = Cv dT
onde Cv é o calor específico a volume constante. Substituindo esta expressão na equação (6), obtêm-se
H = Cv dT + p d
(7)
O calor específico a volume constante é relacionado ao calor específico a pressão constante e à constante dos
gases para o ar seco pela expressão
Cp = Cv + R
(8)
Usando esta expressão, (7) pode ser escrita como
H = Cp dT – RdT + pd, mas pela equação do estado nos temos pd + dp = RdT.
Entao,
H = Cp dT –  dp
(9)
Equação do Movimento Horizontal
A equação do movimento horizontal na forma vetorial, em coordenadas
cartesianas, pode ser escrita como
dV/dt + f k x V = – 1/ h p + F
(10)
Onde V = u i + v j é o vetor velocidade horizontal, f = 2sin é o parâmetro de
Coriolis,  é a velocidade angular da rotação da terra,  é latitude, F é a
força de fricção, k é o vetor unitário na vertical, and h é o operador del
horizontal, no qual em coordenadas cartesianas é definido como:
h = i/x + j/y + k/z
Desprezando os efeitos de fricção e reescrevendo a equação (10) em
coordenadas de pressão, tem-se
dV/dt + f k x V = – p 
(11)
onde  = gz é a altura geopotencial
Equação Hidrostática
A equação hidrostática (ou aproximação) pode ser escrita como
p/z = – g
(12)
Na expressão (12) a força do gradiente de pressão vertical por
unidade de massa é balanceada pela aceleração da gravidade.
Para movimentos de grande escala, que resultam de sistemas de
escala sinótica, esta expressão é válida.
Para sistemas convectivos ou no caso de escoamento em regiões
com terreno rugoso (montanhas), acelerações verticais são
importantes e a expressão (12) não é válida.
Equação Hipsométrica (ou da Espessura)
A equação hidrostática pode ser integrada para obter a equação hipsométrica ou da espessura. Usando
a equação do estado (p = RT) e substituindo  ( =P/RT) na equação (12), obtemos
p/Z = – pg/RT
(13)
Equação (13) pode ser escrita como
lnp/Z = – g/RT
a qual, integrada no nível (p1, z1) até o nível (p2, z2) resulta em:
⌠p2
⌠z2
⌡p1 d lnp = –g ⌡z1 dz/RT
(14)
(15)
Integrando e aproximando T por Tm (temperatura média para camada de z1 a z2), tem-se
ln (p2/p1) = g (z2 – z1)/(RTm)
(16)
Portanto, para a espessura (z2 – z1) segue que
z2 – z1 = (RTm/g) ln(p1/p2)
(17)
Equação (17) é chamada a equação hipsométrica ou da espessura. É utilizada operacionalmente no
cálculo da altura de um dado nível de pressão a partir dos dados de radiossondagem. Na equação
(17) Tm deveria ser, na realidade, Tvm (temperatura virtual media da camada).
Equação (17) pode também ser utilizada para inferir importantes propriedades da atmosfera terrestre.
Dados dois níveis de pressão, a espessura, z2 – z1, correspondente a essas superficies de pressão é
diretamente proporcional à temperatura media da camada. Esse ponto sera abordado varias vezes
em seções futuras.
Equação da Continuidade
A equação da continuidade pode ser escrita da seguinte forma
1/ d/dt +   V = 0
(18)
onde   V é a divergência tridimensional da velocidade, que em coordenadas cartesianas é dada por
  V = u/x + v/y + w/z
(19)
e d/dt é a variação de massa acompanhando a parcela de ar.
Para o escoamento incompressível, temos
d/dt = 0 and   V = 0
(20)
A equação da continuidade em coordenadas de pressão é matematicamente mais simples, ou seja:
p  V + /p = 0
(21)
onde,
p  V = u/xp + v/yp
e  = dp/dt é o movimento vertical em coordenadas de pressão.
A relação aproximada entre ω e w é ω ≈ w  p/  z ou ω ≈ - g .
Equação da Vorticidade
A equação da vorticidade em coordenadas cartesianas pode ser escrita da seguinte forma
d(ζ+f)/dt = –(ζ+f)hV+(∂w/∂y ∂u/∂z–∂w/∂x ∂v/∂z)+(∂p/∂x ∂α/∂y–∂p/∂y ∂α/∂x)
(22)
(a)
(b)
(c)
onde ζ é a componente vertical da vorticidade relativa e (ζ + f) é a componente vertical da
vorticidade absoluta.
-
O termo (a) representa as mudanças na vorticidade devido a convergencia e divergencia do
campo do vento
o termo (b) representa as mudanças na vorticidade devidas ao movimento vertical diferencial
num campo de vento com cisalhamento vertical (termo de inclinação);
o termo (c) representa as mudanças na vorticidade causadas pelos gradients de densidade ao
longo da direção do movimento (termo solenoidal).
Escrevendo a equação (22) em coordenadas de pressão, o termo solenoidal desaparece, ficando
d(ζ + f)/dt = –(ζ + f)pV + (∂ω/∂y ∂u/∂p –∂ω/∂x ∂v/∂p)
(23)
o termo de inclinação (“tilting”) é pequeno para escoamento de escala sinótica. Este termo é,
contudo, localmente importante quando ocorre desenvolvimento rápido de um ciclone
(ciclogênese) e também para fenômenos de mesoescala, tais como um cumulonimbus em
rotação, tornados e convecção em geral.
COORDENADAS NATURAIS
O sistema de coordenadas naturais é um dos mais úteis para os
meteorologistas sinóticos.
Os eixos deste sistema são obtidos girando os eixos x e y do sistema de
coordenadas cartesianas tal que o eixo x fique na direção do movimento,
denotado por s (ver figura). Mediante rotação o eixo y fica na direção n,
normal e à esquerda do movimento do ar. Os vetores unitários nas
direções s e n, respectivamente, estabelecem a seguinte relação:
sxn=k
(24)
onde k é o vetor unitário na vertical. Por convenção, o ângulo de rotação (δ) é
positivo se a rotação for anti-horária.
Relação entre as coordenadas naturais e as
coordenadas cartesianas
• No sistema de coordenadas naturais os eixos mudam de
orientação à medida que o movimento do ar muda de
direção. Os vetores unitários se n podem então ser função do
tempo.
• Uma vantagem óbvia do sistema de coordenadas naturais é
que o vetor velocidade horizontal tem somente uma
componente, aquela na direção s. Então,
V = Vs
(25)
É conveniente usar a equação do movimento em
coordenadas de pressão pois os dados sinóticos de ar superior
são geralmente fornecidos em níveis de pressão constante.
Equação do Movimento (Coordenadas Naturais )
A equação vetorial do movimento em coordenadas de
pressão (equação 11) pode ser escrita como:
dV/dt + fk x V = – p
(26)
onde f é o parâmetro de Coriolis e  é a altura geopotencial
(gz) de uma dada superfície de pressão.
• Os vetores unitários s e n podem ser expressos em
termos dos vetores i e j, conforme segue:
s = sx i + sy j
n = nx i + ny j
onde
sx = s ● i = | s | | i | cosδ = cosδ,
sy = s ● j = | s | | j | cos (90-δ) = senδ,
nx = n ● i = | n | | i | cos(90+ δ) = – senδ,
ny = n ● j = | n | | j | cos(δ) = cosδ
Desta forma,
s = cosδ i + senδ j
n = – senδ i + cosδ j
Substituindo (25) em (26), obtêm-se
dVs/dt + fk x Vs = – p
Em coordenadas naturais,
p = s ∂/∂sp + n ∂/∂np
(27)
Substituindo p = s ∂/∂sp + n ∂/∂np em (27), obtêm-se
dVs/dt + fk x Vs = – s ∂/∂s – n ∂/∂n
(28)
onde as derivadas parciais são avaliadas numa superfície de pressão constante.
O primeiro termo no lado esquerdo da expressão (28) pode ser escrito da
seguinte forma:
dVs/dt = s dV/dt + V ds/dt
Utilizando a expressão para s em termos de i and j (slide anterior),
ds/dt = (– i sinδ + j cosδ)dδ/dt = n dδ/dt
Porém, dδ/dt é a velocidade angular relativa do ar que pode expressa como
d/dt = (d/ds) (ds/dt)
onde dδ/ds = 1/R, R é o raio da curvatura do escoamento (positivo para
escoamento no sentido anti-horário)
Note: A mudança angular, se o fluxo completa o círculo,
é 2π. A distância que a parcela de ar atravessaria é a
circunferência do círculo 2πR. Então, dδ/ds = 2π/ 2πR =
1/R
δ
R
ds/dt = V, desta forma dδ/dt reduz para
dδ/dt = V/R
e
dVs/dt = s dV/dt + n V2/R
(29)
Assim, a aceleração do vetor velocidade em coordenadas naturais é dada
pela soma de duas acelerações, uma orientada ao longo do escoamento
(aceleração da magnitude) e a outra orientada ortogonal ou na direção
normal ao escoamento (aceleração centripeta).
Agora considerando o termo aceleração de Coriolis
fk x Vs = fVk x s = fVn
(30)
Mediante substituição de (29) e (30) em (28), obtêm-se a equação do
movimento em coordenadas naturais:
sdV/dt + nV2/R + fVn = – s ∂/∂s – n ∂/∂n
(31)
O produto escalar de (31) com os vetores unitários s e n fornece,
respectivamente,
dV/dt = – ∂/∂s
V2/R + fV = – ∂/∂n
(32)
(33)
É evidente em (32) que acelerações na magnitude da velocidade somente se verificam quando a
altura geopotencial varia na direção do movimento do ar. Considere-se a análise esquemática da
altura geopotencial mostrada na Figura abaixo para o HS e assuma que que a velocidade do ar é
maior do que a velocidade de deslocamento do cavado
A
4
3
2
B
40
50
isotacas
C
1
Cavado
No ponto A o vento tem velocidade maximo e o vetor do vento é paralelo aos contornos de altura
geopotencial, /s = 0 e dV/dt = 0). No ponto B, a velocidade esta diminuindo seguindo o
movimento do ar (dV/dt < 0) o que necessita que /s > 0. De modo semelhante, no ponto C,
dV/dt > 0 e /s < 0.
Uma vez que (32) nao envolve f, estes resultados aplicam-se a ambos os hemisférios. Em geral, o
movimento do ar, numa superfície de pressão constante, acelera-se quando o movimento é em
direção a alturas geopotenciais mais baixas e desacelera-se quando o movimento é em direção a
alturas geopotenciais mais altas. O escoamento é dito uniforme, na direção do movimento, se
dV/dt = 0 em todos os pontos.
Se o escoamento for uniforme, então a equação do movimento em
coordenadas naturais reduz-se a (3.11) e diz-se que o vento encontrase em balanço gradiente. Este tipo de vento é chamado vento
gradiente, frequentemente denotado pelo subscrito gr. Então,
Vgr2 /R + fVgr = – ∂/∂n
(34)
Se o escoamento for retilínio (o escoamento atmosférico seguindo
grandes círculos na Terra) então o termo da aceleração centripeta é
zero. O escoamento resultante é dito estar em balanço geostrófico, e
este tipo de vento é chamado vento geostrófico, frequentemente
denotado pelo subscrito g. Então,
fVg = – ∂/∂n
(35)
Em geral, em virtude do ar frequentemente realizar movimentos
curvilíneos, associado com cavados e cristas, o vento gradiente é uma
aproximação melhor do que o vento geostrófico para o vento
observado. Em regiões onde a curvatura é pronunciada, o vento
observado pode variar de 50% a 200% do vento geostrófico
No Hemisfério Norte (f > 0)  deve diminuir na direção n positiva (∂/∂n <
0), e no Hemisfério Sul (f < 0)  deve aumentar na direção n positiva.
HN (f>0)
n
L
H
∂/∂n < 0
HS (f<0)
n
H
L
∂/∂n > 0
Se o escoamento ciclônico for definido como o movimento do ar curvilíneo que
representa no seu centro baixo valor de altura geopotencial, então o
escoamento ciclônico corresponde a R > 0 no HN e R < 0 no HS
HN
HS
N
Escoamento
Ciclônico
N
De modo semelhante, defini-se o escoamento anticiclônico como um
movimento curvilíneo que representa no seu centro alto valor de altura
geopotencial. O escoamento anticiclônico corresponde a R < 0 no HN e R > 0
no HS
HN
HS
Escoamento
Anticiclônico
N
N
Substituindo (35) em 34, temos
Vgr2 /R + fVgr = fVg que pode ser re-escrita como
Vgr – Vg = - Vgr2 /fR
Para o escoamento ciclônico (no HN: R>0, f> 0; no HS: R<0, f<0),
o vento gradiente é menor que o vento geostrófico (Vgr – Vg <
0), e temos escoamento subgeostrófico
Para o escoamento anticiclônico (no HN: R<0, f>0; no HS: R>0,
f<0), o vento gradiente é maior que o vento geostrófico(Vgr –
Vg > 0), e temos escoamento supergeostrófico
HS
NH
N
N
escoamento
ciclônico
(subgeostrófico)
escoamento
anticiclônico
(supergeostrófico)
N
N
Divergência e Convergência
Em geral, a divergência da velocidade horizontal é uma grandeza difícil de medir
acuradamente, em parte por causa dos erros nas medidas dos ventos e em parte porque sua
representação matemática é a soma de dois termos que geralmente são de tamanhos
comparáveis porém de sinais opostos. Também, neste caso o uso de coordenadas naturais
fornece uma representação mais útil para o meteorologista sinótico. Em coordenadas
naturais a divergência da velocidade horizontal pode ser expressa como:
p  V = s∂/∂s  Vs + n∂/∂n  Vs
Expandindo os termos no lado direito da equação acima, obtêm-se:
0
p  V = s  s ∂V/∂s + Vs  ∂s/∂s + ∂V/∂n n  s + Vn  ∂s/∂n
0
p  V = ∂V/∂s + Vs  n ∂δ/∂s + Vn  n ∂δ/∂n or
p  V = ∂V/∂s + V∂δ/∂n
(a)
(b)
(36)
Onde (a) é a variação na magnitude da velocidade na direção do movimento e (b) representa a
confluência ou difluência do escoamento do ar.
Para confluência, ∂δ/∂n é negative, and para difluência ∂δ/∂n é positivo.
Em geral (a) and (b) tem sinais opostos (velocidade aumenta na direção do escoamento para
confluência, e velocidade diminui na direção do escoamento para difluência)
Corrente de Jato
N
δ<0
δ>0
Jet
δ<0
δ>0
Região de entrada do Jato
Região de saída Jato
∂δ/∂n < 0,
∂δ/∂n > 0,
Confluência
Difluência
∂V/∂s > 0
∂V/∂s < 0
Vorticidade
• A curvatura ou rotação apresentada pelo movimento do ar relativo à
Terra é chamada vorticidade relativa, que matemáticamente é
expressa como
Vorticidade Relativa =  x V
(37)
Em coordenadas naturais, a componente vertical de (37) torna-se
ζ = k  [(s ∂/∂s + n ∂/∂n) x Vs
(38)
Expandindo o lado direito da equação(38), temos
ζ = k  (s x ∂(Vs)/∂s + n x ∂Vs/∂n)
Expandindo as derivadas e usando as expressões para s e n em termos
de i e j
s = cosδ i + senδ j
n = – senδ i + cosδ j
obtêm-se,
ζ = k  (Vs x n ∂δ/∂s + s x s ∂V/∂s +
Vn x n ∂δ/∂n + n x s ∂V/∂n)
Como s x n = k, s x s = n x n = 0, n x s = -k e ∂δ/∂s =1/R, a
velocidade relativa em coordenadas naturais pode ser escrita
como:
ζ = V/R – ∂V/∂n
(39)
onde V/R é definido como a vorticidade devido à curvatura e V/n é definido como a vorticidade devida ao cisalhamento
As figuras a seguir mostram exemplos da vorticidade devido
à curvatura e devido ao cisalhamento, tanto no NH e SH.
Vorticidade devido à Curvatura
NH
SH
V/R>0
(a)
(b)
N
N
V/R<0
V/R>0
N
V/R<0
N
Vorticidade
relativa ciclônica
devido ao
escoamento
curvado
Vorticidade
relativa
anticiclônica
devido ao
escoamento
curvado
Vorticidade devido ao Cisalhamento
HN
– ∂V/∂n >0
(a)
n
– ∂V/∂n <0
(b)
HS
– ∂V/∂n <0
Vorticidade
relativa ciclônica
devido ao
cisalhamento
horizontal
Vorticidade
relativa
anticiclônica
devido ao
cisalhamento
horizontal