UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
COMISSÃO COORDENADORA DO VESTIBULAR
PROCESSO SELETIVO UFES 2015
As bancas elaboradoras esperam obter da maioria dos candidatos respostas como as que seguem. No entanto,
para a correção das provas, outras respostas também poderão ser consideradas, desde que corretas.
MATEMÁTICA
1ª QUESTÃO
A) Se
é a quantidade de pacotes e ,
e
são as quantidades de camisas, calças e pares de sapatos, em cada
pacote, respectivamente, então se tem
,
Para
e
,
, logo o máximo valor de
, tem-se
vez escolhida
camisa, há
possíveis escolhas para
e
camisa,
. Assim,
é o máximo divisor comum de
,
B) Para formar um conjunto com
e
calça e
,
é divisor comum de
e
, que é 120.
.
par de sapatos, há possíveis escolhas para
possíveis escolhas para
calça. Uma vez escolhida
camisa e
camisa. Uma
calça, há
par de sapatos. Assim, a quantidade de escolhas, que ele pode fazer, de um conjunto
de três elementos, formado por
camisa,
calça e
par de sapatos, é igual a
.
2ª QUESTÃO
A) O vasilhame de
ml do sabão C custa
reais. Logo seu preço por ml é
de roupas com o sabão C, Sofia gasta
reais por ml. Em cada lavagem
ml do produto. Portanto, ela gasta
reais
reais
centavos de reais.
B) Quando
, Sofia gasta, em cada lavagem de roupas com o sabão D,
que é maior do que
Quando
centavos de reais.
(
, ela gasta
)
, gasta-se a quantia de
Quando
, ou seja, que
)
reais, que é menor do que
, gasta-se a quantia de
sabão D com 128 reais, é preciso que
Quando
(
. Logo o valor
é .
C) Quando
que
) centavos de reais. Para que Sofia gaste
(
menos com o sabão D do que com o C, é preciso que
mínimo de
centavos de reais,
ou
. Como
, então
, gasta-se a quantia de
Portanto, Sofia pode comprar no máximo
PS/UFES 2015 – MATEMÁTICA
(
(
)
)
reais.
reais. Para que Sofia compre os vasilhames de
, ou seja, que
, ou seja,
, logo o valor máximo de
, que é maior do que
vasilhames do sabão D com
.
.
reais.
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3ª QUESTÃO
A) Como
cm2, então
é um triângulo retângulo de área
então
cm. Como
√
cm e
no vértice
portanto,
e
têm o ângulo no vértice
. Como
C) Como os triângulos
e
cm, aplicando o Teorema de Pitágoras a
é retângulo com ângulo reto no vértice , o triângulo
e
cm,
e
cm e
cm,
e
cm e
e
, tem-se
são semelhantes e,
, então
cm.
(que é
), então
cm, logo o ponto
e
é o ponto médio de
é o ponto médio de
, sendo
cm2,
, respectivamente. Como
, então
é retângulo com ângulo reto no vértice
, então
cm2,
. Como o triângulo
é o circuncentro de
, e,
cm.
D) Como o triângulo
no vértice
é retângulo com ângulo reto no vértice , o triângulo
e
portanto,
e
. Como
têm o ângulo no vértice
cm,
,
√( )
√
( )
são semelhantes, e,
cm. Como
cm. Como o triângulo
√
e
, então
cm (conforme obtido no item B) e
tem-se
é retângulo com ângulo reto
em comum, então
cm e
cm, então
vértice
cm,
é retângulo com ângulo reto
em comum, então
têm a mesma altura relativa ao vértice
as áreas de
portanto,
mede
cm.
√
B) Como o triângulo
, e, como
cm e
é retângulo com ângulo reto no
cm, aplicando o Teorema de Pitágoras a
,
cm.
4ª QUESTÃO
A) Para
dm, o líquido ocupa o espaço do prisma cujo volume (em dm3) é igual a
3
outro lado, o volume (em dm ) ocupado na caixa será
que
. Logo
B) O volume de
dm. O valor de , para
entre
e
. Por
. Como
dm, é constante e igual a
é a diferença entre os volumes de duas pirâmides, a saber,
[
, tem-se
dm.
]
, onde
é a altura da pirâmide que completa o tronco . Por semelhança de triângulos, podemos calcular , a saber,
, e, portanto,
dm. Logo
Portanto, o volume (em dm3) do recipiente
isto é,
, logo
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. O volume de
é
(calculado no item A) é
. Pela condição dada, tem-se que
dm3.
,
dm.
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C) Para
entre
ocupado em
Para
entre
e
dm, o valor de
é constante e igual a 3. O valor de
com o volume ocupado em
dm e
, a saber,
dm, a expressão de
triângulos, a saber,
, isto é,
é encontrado igualando-se o volume
, isto é,
, e, portanto,
.
pode ser encontrada usando-se novamente semelhança de
, e, portanto,
. Para encontrar o valor de ,
calcula-se o volume ocupado pelo material no recipiente :
isto é,
.
Como
e
, temos
, isto é,
.
Assim, tem-se
{
e
.
{
5ª QUESTÃO
A) Utilizando as informações fornecidas, conclui-se que, se
conjunto
Portanto,
tiver uma raiz inteira, essa raiz pertencerá ao
. Ao testar cada um desses valores, conclui-se que nenhum deles é raiz de
.
não possui raízes inteiras.
B) Também utilizando as informações fornecidas, conclui-se que, se
raiz pertencerá ao conjunto
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tiver uma raiz racional não inteira, essa
. Ao testar esses valores, conclui-se que
é uma raiz de
.
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C) Como
obtém-se
é
uma
raiz
(
)
, que são dadas por
de
,
então
é
divisível
. As demais raízes de
√
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, ou seja, são
e
por (
) .
Efetuando
essa
divisão,
são as raízes de
. Assim, as raízes de
são
,
e
.
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