Qual o Teorema que você conhece?
Jaqueline Aparecida Campos
Especialista em Matemática – UFMG
Professora do Curso de Matemática- ISED
[email protected]
Resumo: Atualmente, é grande o número de pessoas e estudantes que afirmam que a
Matemática, e em especial, a Geometria, é uma disciplina árdua, que existe cálculos extensos
e a memorização de inúmeras fórmulas. O ensino da Geometria, muitas vezes, é um ensino de
conteúdos compartimentados, que não mostra a relação existente entre os diversos temas
estudados, e que usando determinado resultado, ou um pouco de História da Matemática,
podemos nos livrar de cálculos extensos e termos uma visão mais real da questão que estamos
resolvendo. Ao usarmos o conhecimento de semelhança de triângulos, podemos facilmente
encontrar as medidas dos lados de um triângulo retângulo, sem contudo recorrer
necessariamente ao Teorema de Pitágoras, pois este, por sua vez, envolve potências e radicais
nem sempre tão óbvios de serem resolvidos.
Palavras-chave: Teorema de Pitágoras, Ternos pitagóricos, Semelhança de Triângulos
Qual o Teorema que você conhece?
Se esta pergunta for feita a qualquer pessoa que tenha completado o Ensino Fundamental II,
certamente, a resposta será: o Teorema de Pitágoras (Veja quadro).
Pitágoras, o fundador da escola pitagórica, nasceu em Samos pelos anos
571-70 a.C. Em 532-31 foi para a Itália, na Magna Grécia, e fundou em
Crotona, colônia grega, uma associação científico-ético-política, que foi
o centro de irradiação da escola e encontrou partidários entre os gregos
da Itália meridional e da Sicília. Pitágoras aspirava - e também
conseguiu, fazer com que a educação ética da escola se ampliasse e se
tornasse reforma política; isto, porém, levantou oposições contra ele e foi
constrangido a deixar Crotona, mudando-se para Metaponto, aí morrendo
provavelmente em 497-96 a.C.
A ele se deve a célebre frase "Educai as crianças e não será preciso punir os homens".
Algumas delas até conseguem dizer o enunciado do teorema, muitos sabem que ele se aplica
ao triângulo retângulo e vários arriscam a achar a resposta de um problema simples como o
seguinte:
1ª Questão: Encontre o valor de x no triângulo retângulo abaixo:
Mas se a pergunta for:
2ª Questão: Sem fazer as contas de “elevar ao quadrado” e extrair a raiz quadrada, você é
capaz de resolver o problema acima?
Aí, podemos apostar que a maioria ou, o até mesmo a quase totalidade das pessoas não terá a
solução para esta pergunta.
O teorema de Pitágoras diz que:
“Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”
Então temos que o teorema de Pitágoras se refere a uma figura geométrica específica muito
importante para nossas construções, o triângulo retângulo. Todo triângulo é uma figura rígida
e, portanto, o triângulo retângulo também é uma figura rígida.
E o que significa isso? Significa que o triângulo não se deforma. Se com três varinhas de
madeira construímos um triângulo, observamos que se fizermos uma pressão nos seus lados, a
figura não se deforma, portanto ela é rígida. No entanto, se tentarmos construir com quatro
varinhas um polígono e fizermos pressão em qualquer dos seus lados, se deformará em outra
figura, o que significa que quadrilátero não é rígido.
Isso explica porque em uma porteira há uma barra diagonal. Ou seja, faz-se assim para evitar
que a porteira se deforme.
Devido a essa propriedade dos triângulos, de serem rígidos, facilmente somos capazes de
afirmar se dois triângulos são semelhantes ou não. Para isso basta ver se lados
correspondentes dos dois triângulos são proporcionais. (veja quadro)
SEMELHANÇA DE POLÍGONOS
Dois polígonos são semelhantes se eles satisfazem duas condições:
a) seus lados correspondentes precisam ser proporcionais;
b) seus ângulos correspondentes precisam ser congruentes.
No caso dos triângulos, como são figuras rígidas (que não se deformam), basta verificar
apenas uma das condições acima.
Veja o caso dos quadriláteros semelhantes apresentados na figura abaixo:
Os ângulos correspondentes são congruentes:
A ≡ A´ B ≡ B´ C ≡ C´ D ≡ D´
Os lados correspondentes são proporcionais:
3,6 3 5,7 6
=
=
=
= 1,5
2,4 2 3,8 4
Nota: O símbolo ≡ nas expressões dos ângulos indica que eles têm a mesma medida. Os
lados são proporcionais significa que os lados do quadrilátero A´B´C´D´ valem 1,5 os seus
lados correspondentes no quadrilátero ABCD.
Você deve ter observado, então, que lados correspondentes, são dois lados, cada um de um
polígono, que têm nas suas extremidades os vértices de dois ângulos correspondentes
congruentes.
Quanto mais lados tem o polígono, mais dados são verificados, caso se queira provar que eles
são semelhantes. Por exemplo, se eles têm 6 lados, devemos verificar os pares dos 6 ângulos
correspondentes e determinar se são congruentes, e os 6 pares de lados correspondentes e
determinar se são proporcionais. Ou seja, devemos realizar 12 verificações antes de decidir se
os polígonos são semelhantes.
No caso dos triângulos, fazemos sempre a metade das verificações exigidas para os outros
polígonos, ou seja, verificamos os três pares de lados correspondentes ou verificamos os três
pares de lados proporcionais.
Veja na figura, que mesmo não tendo a informação sobre os ângulos desses triângulos
podemos concluir que os dois triângulos são semelhantes, pois, os seus lados são
proporcionais:
BC
AC
AB
´=
=
B´C
A´C´
A´B´
7,5
6
4,5
=
=
= k
5
4
3
K é a razão de semelhança e neste caso mede k = 1,5.
Os triângulos são semelhantes:
∆ ABC ≅ ∆ A´B´C´
Nota: O símbolo
mesma forma.
≅
indica semelhança, ou seja, os triângulos ABC e A´B´C´ possuem a
Podemos agora juntar mais informações na nossa empreitada para resolver a 2ª questão
colocada no início desse artigo.
Uma das consequências do teorema de Pitágoras é que:
"Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o Teorema de Pitágoras então
pode-se concluir que o triângulo é retângulo ou vice-versa”.
Então podemos afirmar que as medidas 5 cm, 4 cm e 3 cm são lados de um triângulo
retângulo, pois:
5 2 = 4 2 + 32
25 = 16 + 9
25 = 25
Quando três números inteiros a, b e c (não nulos) satisfazem a relação:
a 2 = b2 + c2
(A)
ou seja, no Teorema de Pitágoras, dizemos que esses números formam um terno de números
pitagóricos, ou simplesmente, um terno pitagórico.
Assim, os ternos:
5
13
17
4
12
15
3
5
8
(B)
são alguns ternos pitagóricos. O quadrado do número maior é igual à soma dos quadrados dos
outros dois números. O maior número do terno dará a medida da hipotenusa, os outros dois
números darão as medidas dos catetos.
Existe uma infinidade de ternos pitagóricos (podemos falar sobre eles em um próximo artigo,
inclusive eles podem ser primitivos e não primitivos e os ternos pitagóricos primitivos
possuem propriedade interessantíssima de que nele encontramos sempre um elemento
divisível por 3, um elemento divisível por 4 e um elemento divisível por 5).
O terno pitagórico 5, 4 e 3, pode-se dizer sem sombra de dúvida, é o mais importante na
história da Matemática.
O triângulo cujos lados medem 5 ,4 e 3 é chamado de
. Isso
porque, para os antigos sua medida maior, 5, é o número do matrimônio. Então para atrair
matrimônio para sua vida os antigos cortavam esse triângulo em couro de boi e colocavam em
chaveiros.
Esse triângulo também era usado como amuleto contra picada de escorpião, peste, pois
naquela época, a Antiguidade, se você fosse picado por escorpião ou contraísse peste
fatalmente morreria.
Ainda hoje usamos amuletos como a figa, pé de coelho, ...
Então finalmente, podemos voltar à 2ª questão e respondê-la:
Sem fazer as contas de “elevar ao quadrado” e extrair a raiz quadrada, você é capaz de
resolver o problema abaixo?
Encontre o valor de x no triângulo retângulo abaixo:
Somos, agora, bem capazes de afirmar com certeza que o valor de x é 10 cm, pois, se 5, 4, 3 é
um terno pitagórico, portanto, existe um triângulo retângulo que tem essas medidas de lados.
Esse triângulo acima é semelhante ao triângulo de lados 5, 4, 3 cm (chamado do triângulo
nupcial). Veja o quadro.
Os lados do triângulo acima são proporcionais aos lados do triângulo nupcial:
Veja:
6 8 x
= =
= 2
3 4 5
x = 10
O triângulo dado é semelhante ao triângulo nupcial,
pois seus lados correspondentes são proporcionais.
Podemos, a partir de então, perguntar:
3ª Questão: Quantos triângulos retângulos você conhece?
Certamente, você que leu esse artigo dirá rapidamente, infinitos, pois, se, por exemplo, 5, 4 e
3 são lados de um triângulo retângulo então qualquer triângulo cujas medidas dos lados são
proporcionais a essas medidas é também um triângulo retângulo, como os triângulos
∆MNO de medidas 15 cm, 12cm e 9 cm (essas medidas são o triplo das medidas 5 cm, 4 cm ,
3 cm)
∆PQR de medidas 20 cm, 16 cm e 12 cm (essas medidas são o quádruplo das medidas 5 cm,
4 cm, 3cm)
Ou os triângulos
∆CDE de medidas 26 cm, 24 cm e 10 cm (essas medidas são o dobro das medidas 13, 12, 5
que é terno pitagórico)
∆FEG de medida 39 cm, 36 cm e 15 cm (essas medidas são o triplo das medidas 13, 12, 5 que
é terno pitagórico)
Então, adeus contas desnecessárias!!! Para encontrar um dos lados de um triângulo retângulo,
basta saber alguns ternos pitagóricos (como os da lista deste artigo) e verificar, primeiro, se as
medidas que dispomos são proporcionais às medidas de algum terno pitagórico. Se são, basta
saber qual é a razão de semelhança entre as medidas dos lados correspondentes conhecidos
para descobrir a medida do lado desconhecido. Se você não conseguir, então, mãos à obra e
aplique diretamente o Teorema de Pitágoras fazendo as potências, extraindo a raiz quadrada,...
Podemos agora perguntar:
4ª Questão: Sem usar diretamente o Teorema de Pitágoras, ou seja, sem fazer contas de
“elevar ao quadrado” e extrair a raiz quadrada, você é capaz de resolver o problema abaixo?
Para finalizar, uma questão importante. É certo que todos os que já concluíram o Ensino
Fundamental II deveriam ter estudado os temas envolvidos na resolução da 2ª questão, a
saber: semelhança de polígonos, semelhança de triângulos, Teorema de Pitágoras e dentro dos
aspectos da História da Matemática, ternos pitagóricos. Então, porque a maioria das pessoas
prefere aplicar o Teorema se envolvendo com excessivas operações, às vezes, difíceis como a
extração de raiz quadrada? Acho que todos responderão a mesma coisa: As pessoas são
ensinadas dessa forma, saber o Teorema e aplicá-lo sempre! Por isso, terminamos com uma
afirmação contundente do mestre Malba Tahan:
“Cumpre, pois, ao bom professor apresentar a Matemática com encanto
e simplicidade, de modo a torná-la leve e agradável ao educando; fazer
dela uma ciência de atrações e faces pitorescas.”
Bibliografia:
TAHAN, Malba. As Maravilhas da Matemática. Rio de Janeiro: Editora Bloch, 1987.
http://www.mundodosfilosofos.com.br/pitagoras.html