Sistemas e Sinais (LEIC) – Análise em Frequência
Carlos Cardeira
Análise em Frequência
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Até agora a análise que temos feito tem o
tempo como domínio.
As saídas podiam ser funções no tempo
correspondentes a sinais discretos ou
contínuos ou mesmo sequências de eventos.
Na análise em frequência, vamos ver os sinais
não como funções do tempo mas sim como
combinações de sinusoides
A ferramenta de trabalho vai incidir sobre as
séries de Fourrier
Análise em Frequência
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

As séries de Fourier permitem definior
qualquer função periódica como combinações
de sinusoides.
A representação de sinais periódicos através
de sinusoides está também na base de muitos
trabalhos de compressão de sinais.
Em sistemas lineares, se um sinal de entrada é
uma sinusoide de determinada frequência, a
saída é uma sinusoide da mesma frequência (a
amplitude e a fase é que poderão variar).
Análise em Frequência
Um LTI pode ser caracterizado no tempo
através da resposta impulsiva e também
na frequência através da resposta em
frequência.
 Veremos que a resposta em frequência é
a transformada de Fourrier da resposta
impulsiva.
 As respostas no tempo e na frequência
estão relacionadas.

Exponenciais complexas
A melhor forma de estudar sinusoides é
através das exponenciais complexas.
 O apendice B apresenta um resumo dos
sinais complexos, que deve ser lido para
relembrar conceitos.

Sinusoides
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
Como vimos nos capítulos introdutórios vimos
como as sinusoides representam sons.
Sin (2pi x 880t) corresponde a uma nota
músical definida.
O argumento de um sinal é um ângulo.
Um ângulo mede-se em radianos.
2pi tem unidades radianos, t é em segundos e
a frequência mede-se em ciclos por segundo
(Hz). Ciclos é adimensional pelo que o
resultado é em radianos.
Sinusoides
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
sin (wt) é uma representação mais simples. W=2 x pi
x f, e mede-se em radianos por segundo.
Se o tempo for discreto poderemos ter sin (2 x pi x f x
n). n mede-se em amostras (multiplicado por delta
daria o tempo). f mede-se em ciclos por amostra e w
em radianos por amostra.
O resultado final tem que dar sempre em radianos de
modo a poder ser um argumento do som.
Em Matllab é fácil ver as formas sinousoides dos sons
e ouvi-las.
Para quem sabe de música, é fácil fazer uma escala
musical.
Sinusoides
A soma de duas sinusoides não se
parece com uma sinusoide.
 No entanto, a partir da soma das
sinusoides é possível recuperar cada
uma das suas componentes.

Sinusoides e sons
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


Os ouvidos conseguem distinguir sons de
frequências diferentes.
Os ouvidos não são sensíveis a diferenças de
fase no sinal.
sin (w x t) ou sin (w x t + phi) soam da
mesma forma.
Um atraso num sinal sinusoidal pode ser
representado por um desvio de fase. Nem
todos os sinais têm esta característica.
Sinusoides e sons

Se tivermos um som composto por várias
sinusoides e formos mudando a fase de um
deles, a forma do sinal pode variar bastante
mas o sinal ouvido é o mesmo.

Em imagens, qualquer diferença de fase é
imediatamente reconhecida
Sinusoides e Imagens
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

No lab já vimos imagens que poderiam ser
representadas por sinusoides.
Existe agora uma frequência vertcial e uma frequencia
horizontal que se mede em ciclos por amostra.
As diferenças de fase são imediatamente
reconhecidas.
Jpeg é uma representação da imagem em que se apresentam
apenas os coeficientes destas sinusoides.
Espectro Rádio
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

Onda média vai de 535 a 1705 kHz com 10 Khz de largura de
banda
FM vai de 88 a 108 Mhz com 0,2 Mhz de largura de banda
TV analógica tem 6 Mhz de largura de banda
Com a TV digital terrestre, nos mesmos 6 Mhz seria possível
transmitir muito mais canais.
Espectro Rádio
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

A potência de emissão é limitada.
Como a potência do sinal decai com o quadrado da
distância, a mesma frequência pode ser reutilizada
noutro local.
Em ferquencias elevadas a queda de sinal com a
distância é ainda mais notória.
As antenas de telemóveis usam frequências elevadas
e são em grande número (tipicamente, uma em cada
2 km).
Como o alcance é reduzido, podem repetir a mesma
frequência alguns kilómetros depois.
Quando se muda de estação há um protocolo
complexo (uma máquina de estados) para que as
frequências mudem sem que o utilizador se aperceba.
Sinais Periódicos

Sistemas contínuos:

Um sinal é periodico de periodo p se:
t
R, f (t
p)
f (t )
Sinais Periódicos e Sinusoides

Sistemas discretos:

Um sinal é periodico de periodo p se:
n Inteiros , f (n
p)
f (n)
Sinais Periódicos
Em sistemas contínuos o periodo pode
ter qualquer valor real (0.47 por
exemplo).
 Em sistemas discretos o periodo apenas
assumir valores inteiros uma vez que
p+n tem que continuar a pertencer ao
domínio de f.

Frequência fundamental


Se um sinal tiver
período p chama-se
frequencia
fundamental ao valor
2pi/p
A frequência
fundamental medese em radianos/s
uma vez que o
período se mede em
segundos
w0
2
p
Frequência fundamental
Sinais com a mesma frequência fundamental
Teorema fundamental

Qualquer sinal periódico pode ser
decomposto numa soma de sinusoides
múltiplas da frequência fundamental.
Frequência fundamental e
harmónicas
A primeira sinusóide é a da frequência
fundamental.
 Às sinusoides multiplas desta, chamamse harmónicas.
 As harmónicas tem frequências multiplas
da frequencia fundamental e têm
amplitudes e fases diferentes.
 A0 é a componente DC do sinal (o valor
médio do sinal)

Harmónicas

As ondas triangulares como as
quadradas apresentadas anteriormente
(ou qualquer outro sinal periódico com a
mesma frequência fundamental) podem
ser representados pela soma de
sinusoides, com as mesmas frequências
embora as amplitudes e fases de cada
harmónica sejam naturalmente
diferentes.
Exemplos
Exemplos
Sistemas Lineares
Os sistemas lineares não alteram a
frequência do sinal, podem apenas
mudar a amplitude e a fase.
 Por exemplo, uma estação de emissão
de rádio não é linear porque o sinal de
voz não tem a mesma frequência do
sinal de emissão.

Sinais Finitos

f(t)
t
R
f (t )
g t np
n
p

g(t)
p
p
p
Sinais finitos


Seja f(t) um sinal finito (domínio finito) qualquer
Seja g(t) a sua replicação infinita
t
R
f (t )
g t np
n

g(t) é periódico e pode ser representado por uma
série de Fourier. O que quer dizer que a série de
Fourier também representará o sinal f no seu domínio
Significado de A0

Consideremos o desenvolvimento em série de
fourier de um sinal:
f (t )
A0
Ak cos(kw0t
k
)
k 1

Integrando ao longo de um período:
a p
A0
a

Ak cos( kw0t
k
) dt
k 1
Ou seja, A0 é o valor médio do sinal
A0 p
Exponenciais Complexas
cos
sin
1 j 1
e
e
2
2
1 j
e
e
2j
Apêndice B
j
j
Série de Fourier na forma
exponencial
f (t )
A0
k 1
X ke
k
jkw0t
Ak j ( kw0t
e
2
X
k
k
)
e
j ( kw0t
k
)
A0 if k 0
j k
0.5 Ak e
if k 0
0.5 A k e
j
k
if k
0
Sinais reais


Suponhamos que o
sinal é real
Xk e X-k são
necessariamente
complexos
conjugados
X
k
A0 if k 0
j k
0.5 Ak e
if k 0
0 .5 A k e
j
Xk
k
X
k
k
if k
0
Tempo Discreto

Se f : inteiros → reais for um sinal
periódico (p>0 inteiros) e w0=2pi/p
(rad/amostra):
p
2
f ( n)
A0
Ak cos(kw0 n
k 1
k
)
Tempo Discreto
As unidades passam a radianos por
amostra.
 A soma é finita. O número de
harmónicas é metade do período.

Porquê p/2 ?
Frequência máxima

Num sinal discreto a frequência máxima que se pode
obter é pi rad/s (são necessárias 2 amostras para dar
a volta completa)
Sinais Discretos



A vantagem é que com uma série finita se consegue a
representação exacta de qualquer sinal.
A frequência máxima que se pode obter corresponde a
metade da frequência de amostragem.
Em CDs a frequencia de amostragem é de 44 Khz o
que permite ouvir frequências até 22 Khz. No telefone
a frequência é de 8Khz o que indica que nunca se
poderá ouvir um som de frequência superior a 4 Khz.
Exemplos
t



O sinal é periódico
O período é 1/10 s
Wo=2xpi/p=20pi
f (t )




x(t ) cos(2 50t ) cos(2 10t )
A0
A0= 0
A1=1 phi1=0
A2=0 phi2=0 …
A5=1
Ak cos(kw0t
k 1
k
)
Exemplos
t R x(t ) cos(2 t ) cos(2

3t )
O sinal não é periódico porque não há um
mínimo múltiplo comum para os períodos
Exemplos
Exemplos
Representação em série de
Fourier
Qualquer sinal periódico pode ser
representado pela série de Fourier (uma
fundamental e as suas harmónicas).
 Pode-se fazer compressão da informação
se em vez de se enviar o sinal no tempo,
se enviarem apenas os coeficientes da
série de Fourier.

Sinais Aperiódicos




Um sinal de voz é tipicamente aperiódico.
Pode-se pegar em troços do sinal (por
exemplo 16 ms) e calcular a série de Fourier
associada.
Em cada 16ms basta enviar os coeficientes da
Série de Fourier com ganhos de compressão.
O mesmo princípio aplicado a imagens está na
origem do formato jpeg
Lab
Mostra-se a decomposição em série de
Fourier de vários sinais.
 O cálculo dos coeficientes é dado no
enunciado.
 Mostra-se a representação dos sinais em
frequência e no tempo.
