BINÔMIO DE NEWTON
PROFESSOR: keyson Gondim
Binômio de Newton
Binômio de Newton
Isaac Newton nasceu na pequena cidade inglesa
de Lincolnshire em 4 de janeiro de 1643 e
morreu em 31 de março de 1727. Ele foi um
menino rebelde, mas você também seria se sua
mãe o abandonasse em um colégio interno que
ensinava gramática na maior parte do tempo...
Essa não era a disciplina preferida do jovem
Newton, que, como vamos ver, desenvolveu
várias teorias que revolucionaram a matemática,
física e astronomia.
Em Cambridge, Isaac Newton foi o primeiro da classe. Formou-se em 1665 e
teve que retornar a sua aldeia natal quando a universidade fechou devido ao
surto de peste bubônica. Como a epidemia o impedia de sair de casa, o jovem
se dedicou a rever tudo o que tinha aprendido na faculdade. A partir daí, ele
não parou de pesquisar e realizar experimentos. Nessa época, Newton dava os
primeiros passos rumo às descobertas mais importantes, como a
decomposição da luz, o princípio da gravitação universal, desenvolvimentos
matemáticos diversos e as chamadas três leis de Newton.
Binômio de Newton
3.1- Definição
Denomina-se Binômio de Newton, a todo binômio da forma (a + b)n,
sendo n um número natural, que é chamado de ordem do binômio.
Expansão de alguns Binômios:
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = 1.a + 1.b
(a + b)2 = 1.a2 + 2.a.b + 1.b2
(a + b)3 = 1.a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + 1.b3
(a + b)4 = 1.a4 + 4.a3.b + 6.a2.b2 + 4.a.b3 + 1.b4
(a + b)5 = 1.a5 + 5.a4.b + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a.b4 + 1.b5
(a + b)6 = 1.a6 + 6.a5.b + 15.a4.b2 + 20.a3.b3 + 15.a2.b4 + 6.a.b5 + 1.b6
Binômio de Newton
Para expandir uma equação binomial, pode-se seguir os passos:
01. Todos os membros terão o termo a e, também, o b.
(Ou seja, deve existir o termo a.b em todos os termos).
02. No primeiro termo atribui-se ao expoente de a o valor n e ao
expoente de b o valor 0. A seguir diminui-se de 1 o valor do expoente
de a e aumenta-se de 1 o valor do expoente de b. Continua-se até o
último termo que deve ter o valor 0 no expoente de a e o valor n no
expoente de b.
03. A soma dos expoentes de cada termo deve ser igual ao expoente do
binômio.
04. Os valores numéricos em cada termo, são chamados de coeficientes
binomiais, e são retirados do TRIÂNGULO DE PASCAL
Binômio de Newton
3.2- Triângulo de Pascal
Linha 0
1
Linha 1
1
1
Linha 2
1
2
1
Linha 3
1
3
3
1
Linha 4
1
4
6
4
1
Linha 5
1
5
10
10
5
1
Linha 6
1
6
15
20
15
6
1
Linha 7
1
7
21
35
35
21
7
1
Linha 8
1
8
28
56
70
56
28
8
1
Linha 9
1
9
36
84 126 126 84
36
9
1
Propriedades do triângulo de pascal
P1: Em qualquer linha, dois números binomiais equidistantes dos
extremos são iguais.
Esses binomiais são complementares.
Propriedades do triângulo de Pascal
P2: Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é 2n.
Propriedades do triângulo de Pascal
P3: Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna,
do 1º elemento até qualquer outro é igual ao elemento situado na
coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.
Se n ≥ p,
, sendo n e p naturais. No caso dos
exemplos, temos:
i)
ii)
Propriedades do triângulo de Pascal
P4: Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na
mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de outra
qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.
Se n ≥ p,
sendo n e p naturais. No caso do exemplo, temos:
 2   3   4   5   6   6  1  7 
               
   
 0   1  2   3   4   4   4 
Binômio de Newton
3.3- Exemplos
Qual é o termo em x5 no desenvolvimento de (x + 3)8 ?
sendo ( x  3)8 temos
X x
a3
n8
Termo geral
 n  p n p
TP 1    .a .x
 p
 8  p 8 p
Tp 1    .3 .x
 p
8 p  5
p3
 8  3 5 8.7.6
T4    .3 .x 
.27.x5  56.27.x5  1512 x5
3!
 3
Binômio de Newton
3.4- Fatorial
O Fatorial de um número natural n (n!), é o produto de todos os
números naturais decrescentes de n até 1.
n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3) .... . 3 . 2 . 1
Exemplos:
1! = 1
2! = 2 . 1 = 2
3! = 3 . 2 . 1 = 6
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
Binômio de Newton
3.5- Termo Geral do Binômio
Um termo genérico do desenvolvimento de (a+b)n , sendo p um
número natural, é dado por:
 n  n p p
Tp 1    . a . b
 p
Onde:
n 
n!
   Cn, p 
p! . (n  p)!
 p
é denominado Número Binomial
Números binomiais


Binomiais complementares:
Números binomiais
igualdades
Números binomiais
relação de StiFel
Soma dos coeficientes de um
Binômio de Newton
Basta substituir qualquer variável por 1