Fı́sica para a Mecatrônica
Volume 1 – Mecânica
Fernando C. Guesser
[email protected]
5 de agosto de 2014
versão atualizada disponı́vel em www.joinville.ifsc.edu.br/∼fernando.guesser
Sumário
1 Grandezas Fı́sicas, Unidades de Medida e Vetores
1
2 Movimento Unidimensional
10
3 Movimento Bidimensional e Tridimensional
22
4 Força e Movimento
27
5 Trabalho, Energia Mecânica e Conservação da Energia
32
6 Momento Linear, Impulso e Colisões
38
7 Rotações
41
i
Por que estudar Fı́sica na
Mecatrônica?
Muita gente diz que não gosta de fı́sica, mas você já parou para pensar o quanto esta ciência
colabora para o desenvolvimento tecnológico e cientı́ﬁco, além é claro, de ser a base de todos os
processos mecatrônicos.
A fı́sica está presente em todo campo da mecatrônica, pois todos os princı́pios de funcionamento dos diversos componentes eletrônicos e mecânicos são regidos por fenômenos fı́sicos
apresentados em experiências laboratoriais.
É de extrema importância o conhecimento de muitos conceitos fı́sicos para que o proﬁssional
possa entender como funcionam os diversos componentes presentes na mecatrônica e projetar
novos dispositivos.
A fı́sica pode ser considerada como o bastidor da mecatrônica e das diversas áreas da engenharia, pois muitas tecnologias e componentes tais como, motores, solenóides, sensores, resistores,
prensas e etc, utilizam princı́pios fı́sicos.
- Por que quando desligamos um motor ele ainda continua o seu movimento?
- O que é corrente elétrica?
- Como funciona o termômetro?
- Como funciona um sensor?
- Como é formado um campo magnético?
...
-Como as coisas funcionam?
Vire a página e comece a desvendar as respostas ao longo do primeiro volume deste livro.
Nesse volume iniciamos o estudo da Mecânica que analisa o movimento, as variações de
energia e as forças que atuam sobre um corpo e subdivide-se em:
• Cinemática e Dinâmica
• Trabalho, energia mecânica e potência
• Sistema de partı́culas e centro de massa
• Momento linear e colisões
• Movimento rotacional e momento angular
Os seguintes volumes tratarão de termodinâmica e ondas, eletromagnetismo, ótica e fı́sica
moderna.
ii
Capı́tulo 1
Grandezas Fı́sicas, Unidades de
Medida e Vetores
A Medição na Fı́sica: A fı́sica se baseia na medição de grandezas fı́sicas. Algumas grandezas fı́sicas, como comprimento, tempo e massa, foram escolhidas como grandezas fundamentais; cada uma foi deﬁnida através de um padrão e recebeu uma unidade de medida (como
metro, segundo e quilograma). Outras grandezas fı́sicas são deﬁnidas em termos das grandezas
fundamentais e de seus padrões e unidades.
Comprimento: O metro é deﬁnido como a distância percorrida pela luz durante um intervalo de tempo especiﬁcado.
Tempo: O segundo é deﬁnido em termos das oscilações da luz emitida por um isótopo de
um certo elemento quı́mico (césio-133). Sinais de tempo precisos são enviados a todo o mundo
através de sinais de rádio sincronizados por relógios atômicos em laboratórios de padronização.
Massa: O quilograma é deﬁnido em termos de um padrão de massa de platina-irı́dio mantido
em um laboratório nas vizinhanças de Paris.
Figura 1.1: Protótipo internacional do quilograma
Para medições em escala atômica é comumente usada a unidade de massa atômica, deﬁnida
em termos do átomo de carbono-12.
Unidades do SI: O sistema de unidades adotado neste livro é o Sistema Internacional de
Unidades (SI). As três grandezas fı́sicas mostradas na tabela abaixo são usadas nos primeiros
capı́tulos.
Três Grandezas Fundamentais do SI
Grandeza
Nome da
Sı́mbolo da
Unidade
Unidade
Comprimento metro
m
Tempo
segundo
s
Massa
quilograma
kg
Os padrões, que têm que ser acessı́veis e invariáveis, foram estabelecidos para essas grandezas
fundamentais por um acordo internacional. Esses padrões são usados em todas as medições
1
2
CAPÍTULO 1. GRANDEZAS FÍSICAS, UNIDADES DE MEDIDA E VETORES
fı́sicas, tanto das grandezas fundamentais quanto das grandezas secundárias. A notação cientı́ﬁca
e os preﬁxos da tabela abaixo são usados para simpliﬁcar a notação das medicões.
Prefixos
Fator
109
106
103
10−3
10−6
10−9
das Unidades do SI
Preﬁxo Sı́mbolo
gigaG
megaM
quilok
milim
microµ
nanon
Mudança de Unidades: A conversão de unidades pode ser feita usando o método de
conversão em cadeia, no qual os dados originais são multiplicados sucessivamente por fatores de
conversão unitários e as unidades são manipuladas como quantidades algébricas até que apenas
as unidades desejadas permaneçam.
Exemplo:
3 ✟ 1h
km
10 m
✟
✁
1228,0 km/h = 1228,0
✟ = 341,11 m/s
3600s
1✟
km
h
✁
Alguns Fatores de Conversão
Comprimento, Área e Volume
1 pol
25,4 mm
1 pé
0,305 m
1 jarda
0,9144 m
1 milha
1609 m
1 acre
4046,9 m2
1 hectare 104 m2
1 litro
10−3 m3
1 galão
3,79×10−3 m3
1u
1 libra
1 hora
1 ano
Massa
1,661×10−27 kg
0,454 kg
Tempo
3600 s
365,25 dias
Massa especı́fica: A massa especı́ﬁca ρ de uma substância é a massa por unidade de
volume:
m
(1.1)
ρ=
V
Mol: O número de partı́culas em um mol de um elemento ou substância, chamado número
de Avogadro, NA , é 6,02×1023 .
Análise Dimensional: O método da análise dimensional é muito útil na resolução de
problemas em fı́sica. As dimensões podem ser tratadas como quantidades algébricas.
Estimativas: Fazer estimativas e determinar a ordem de magnitudes nos cálculos permitem
a fazer aproximações das respostas de um problema quando não há informações suﬁcientes
disponı́veis para especiﬁcar uma solução exata.
Números significativos: Quando você computa um resultado a partir de várias medidas,
cada medida tem uma certa acurácia, e o resultado deve ser dado com os números signiﬁcativos
da medida de menor acurácia.
3
Escalares e Vetores: Grandezas escalares, como a temperatura, possuem apenas um valor.
São especiﬁcadas por um número com uma unidade (10◦ C, por exemplo) e obedecem as regras
da aritmética e da álgebra comum. As grandezas vetoriais, como o deslocamento, possuem um
módulo e uma orientação (5m para cima, por exemplo), e obedecem às regras da álgebra vetorial.
Soma Geométrica de Vetores: Dois vetores ~a e ~b podem ser somados geometricamente
desenhando-os na mesma escala e posicionando-os com a extremidade de um na origem do outro.
O vetor que liga a origem do primeiro à extremidade do segundo é o vetor soma, ~s. Para subtrair
~b de ~a invertemos o sentido de ~b para obter −~b e somamos −~b a ~a. A soma vetorial é comutativa
e associativa.
Componentes de um Vetor: As componentes (escalares) ax e ay de um vetor bidimensional ~a em relação aos eixos de um sistema de coordenadas xy são obtidas traçando retas
perpendiculares aos eixos a partir da origem e da extremidade de ~a. As componentes são dadas
por
ax = a cos θ
e
ay = a sin θ,
(1.2)
onde θ é o ângulo entre ~a e o semi-eixo x positivo. O sinal algébrico de uma componente indica
seu sentido em relação ao eixo correspondente. Dadas as componentes, podemos encontrar o
módulo e a orientação de um vetor ~a através das equações
q
ay
e
tan θ =
.
(1.3)
a = a2x + a2y
ax
Notação com Vetores Unitários: Os vetores unitários ı̂, ̂ e k̂ têm módulo unitário
e sentido igual ao sentido positivo dos eixos x, y e z, respectivamente, em um sistema de
coordenadas dextrógiro. Podemos expressar um vetor ~a em termos de vetores unitários como
~a = ax ı̂ + ay ̂ + az k̂,
(1.4)
onde ax ı̂, ay ̂ e az k̂ são as componentes vetoriais de ~a; e ax , ay e az são as componentes
escalares.
Soma de Vetores na Forma de Componentes: Para somar vetores na forma de componentes, usamos as regras
rx = ax + bx
ry = ay + by
rz = az + bz
(1.5)
onde ~a e ~b são os vetores a serem somados e ~r é o vetor soma.
Produto de um Escalar por um Vetor: O produto de um escalar s por um vetor ~v é
um vetor de módulo sv com a mesma orientação de ~v se s é positivo e com a orientação oposta
se s é negativo. Para dividir ~v por s, multiplicamos ~v por 1/s.
4
CAPÍTULO 1. GRANDEZAS FÍSICAS, UNIDADES DE MEDIDA E VETORES
Exercı́cios Aplicados
1. Hoje em dia, as conversões de unidades mais comuns podem ser feitas com o auxı́lio de
calculadoras e computadores, mas é importante que o proﬁssional da área de tecnologia
saiba usar uma tabela de conversão. Dada a tabela abaixo, faça as transformações pedidas:
1 in = 25,4 mm
1 l = 1000 cm3
2 mm
µm
28 m
km
2,5 cm
m
3,1 m
cm
3/4 in
mm
1 14 in
mm
7,2 s
h
2g
mg
1 km2
m2
5 cm2
m2
3 m3
l
4,5 m3
cm3
2. Na área metalmecânica a unidade de medida mais utilizada é o milı́metro. Mas existem
muitos dispositivos que utilizam o sistema inglês. Por exemplo, muitas porcas e parafusos
vem dimensionados em polegadas que denota-se pelo sı́mbolo (′′ ). Quantos milı́metros
medem:
(a)
1 ′′
2
(b)
3 ′′
4
(c)
5 ′′
8
3. Em mecânica de precisão usa-se muito o micrômetro (1 µm) também chamado de mı́cron.
(a) Quantos mı́crons tem 1,0 m?
(b) Quantos mı́crons tem uma jarda?
4. A edição do jornal A Notı́cia de 19 de fevereiro anunciava:
Há 52 milhões de metros quadrados de vazios urbanos em Joinville.
À primeira vista a medida da área assusta. Mas se a unidade de medida fosse o km2 , como
ﬁcaria a notı́cia? Ela não causaria menos impacto apesar de se referir à mesma área?
5
5. Uma certa marca de tinta de parede promete uma cobertura de 460 pés quadrados por
galão.
(a) Expresse este valor em metros quadrados por litro.
(b) Expresse este valor em unidades do SI.
(c) Qual é o inverso da grandeza original e qual o seu signiﬁcado fı́sico?
6. Os engenheiros hidráulicos dos Estados Unidos usam frequentemente, como unidade de
volume de água, o acre-pé, deﬁnido como um volume de água suﬁciente para cobrir 1 acre
de terra até a profundidade de 1 pé. Uma forte tempestade despejou 2,0 polegadas de
chuva em 30 min em uma cidade com uma área de 26 km2 . Que volume de água, em
acres-pés, caiu sobre a cidade?
7. Uma unidade de área frequentemente usada na medição de áreas de terrenos é o hectare,
deﬁnido como 104 m2 . Uma mina de carvão a céu aberto consome anualmente 75 hectares
de terra até uma profundidade de 26 m. Qual é o volume de terra removido por ano em
quilômetros cúbicos?
8. Um tempo de aula (50 min) é aproximadamente igual a 1 microsséculo.
(a) Qual é a duração de um microsséculo em minutos?
(b) Usando a relação
erro percentual =
medida real − medida aproximado
medida real
× 100
(1.6)
determine o erro percentual dessa aproximação.
9. Os padrões de tempo são baseados atualmente em relógios atômicos. Um padrão promissor
para o segundo é baseado em pulsares, que são estrelas de nêutrons (estrelas altamente
compactas compostas apenas de nêutrons) que possuem um movimento de rotação. Alguns
pulsares giram com velocidade constante, produzindo um sinal de rádio que passa pela
superfı́cie da Terra uma vez a cada rotação, como o feixe de luz de um farol. O pulsar
PSR 1937+21 é um exemplo; ele gira uma vez a cada 1,55780644887275±3 ms, em que o
sı́mbolo ±3 indica a incerteza na última casa decimal (não significa ±3 ms).
(a) Quantas rotações o PSR 1937+21 executa em 7,00 dias?
(b) Quanto tempo o pulsar leva para girar exatamente um milhão de vezes?
6
CAPÍTULO 1. GRANDEZAS FÍSICAS, UNIDADES DE MEDIDA E VETORES
10. Até 1913, cada cidade do Brasil tinha sua hora local. Hoje em dia acertamos nossos
relógios em viagens apenas quando a variação de tempo é igual a 1,0 h (o que corresponde
a um fuso horário). Que distância, em média, uma pessoa deve percorrer, em graus de
longitude, para passar de um fuso horário a outro e ter que acertar o relógio? (Sugestão:
A Terra gira 360◦ em aproximadamente 24 h.)
11. O homem existe há aproximadamente 106 anos, enquanto a idade do Universo é cerca
de 1010 anos. Se a idade do Universo é deﬁnida como 1 “dia do Universo”, dividido em
“segundos do Universo”, como um dia comum é dividido em segundos comuns, há quantos
segundos do Universo o homem existe?
12. A água tem uma densidade ρ de 1,0 g/cm3 .
(a) Determine a massa de um metro cúbico de água em quilogramas.
(b) Suponha que são necessárias 10,0 h para drenar um recipiente com 5700 m3 de água.
Qual é a “vazão de massa” da água do recipiente, em quilogramas por segundo?
13. O ouro, que tem uma massa especı́ﬁca de 19,32 g/cm3 , é um metal extremamente dúctil
e maleável, isto é, pode ser transformado em ﬁos ou folhas muito ﬁnas.
(a) Se uma amostra de ouro, com uma massa de 27,63 g, é prensada até se tornar uma
folha com 1,000 µm de espessura, qual é a área dessa folha?
(b) Se, em vez disso, o ouro é transformado em um ﬁo cilı́ndrico com 2,500 µm de raio,
qual é o comprimento do ﬁo?
14. A Terra tem uma massa de 5,98×1024 kg. A massa média dos átomos que compõem a
Terra é 40 u. Quantos átomos existem na Terra?
15. Um robô de exploração percorre 1,0km do sul para o norte e depois 2,0km de oeste para
leste em um campo horizontal coberto de neve. A que distância ele está do ponto de
partida e em que direção?
~ na ﬁgura? O seu módulo é D = 3,0m e o
16. Quais são os componentes x e y do vetor D
ângulo α = 45◦ .
7
17. Depois da decolagem, um avião viaja 10,4km do leste para oeste, 8,7km do sul para o
norte e 2,1km de baixo para cima. Qual é a sua distância do ponto de partida?
18. Dados os dois deslocamentos
~ = (6ı̂ + 3̂ − k̂)m e E
~ = (4ı̂ − 5̂ + 8k̂)m
D
(1.7)
~ − E.
~
encontre o módulo de deslocamento 2D
19. Numa usinagem de 5s a fresa executa o movimento
3
t
− 2 ı̂ + −2t2 + 8t ̂
~r(t) =
6
em
mm.
Faça o gráﬁco da trajetória da fresa de 0 à 5s, ou seja, o gráﬁco (ry × rx ).
20. Uma estrela está a 400 anos-luz da Terra. Isso signiﬁca que a luz dessa estrela demora 400
anos para chegar à Terra. Qual é a distância entre essa estrela e a Terra em km? (Dado:
velocidade da luz no vácuo = 3 × 108 m/s).
21. Quando, segundo a lenda, Feidı́pedes correu de Maratona até Atenas, em 490 a.C., para
levar a notı́cia da vitória dos gregos sobre os persas, ele provavelmente correu a uma
velocidade de cerca de 23 rides por hora (rides/h). O ride é uma antiga unidade grega
para comprimento, como o stadium e o plethron: 1 ride valia 4 stadia, 1 stadium valia 6
plethra e, em termos de uma unidade moderna, 1 plethron equivale a 30,8m. Qual foi a
velocidade de Feidı́pedes em quilômetros por segundo (km/h)?
Figura 1.2: Feidı́pedes, o “primeiro maratonista”.
22. O arenque é um tipo de peixe abundante no Atlântico Norte. O cran é uma unidade
de volume britânica para arenques frescos: 1 cran = 170,474 litros de arenque, cerca
de 750 arenques. Suponha que, para liberação pela alfandêga da Arábia Saudita, um
8
CAPÍTULO 1. GRANDEZAS FÍSICAS, UNIDADES DE MEDIDA E VETORES
carregamento de 1255 crans deva ser declarado em termos de covidos cúbicos, onde o
covido é uma unidade de comprimento árabe: 1 covido = 48,26 cm. Qual é o volume a
ser declarado? [Dado: 1 litro = 1000 cm3 ]
23. O gráﬁco abaixo modela a distância percorrida, em km, por uma pessoa em certo perı́odo
de tempo. A escala de tempo a ser adotada para o eixo das abscissas depende da maneira
como essa pessoa se desloca. Qual é a opção que apresenta a melhor associação entre meio
ou forma de locomoção e unidade de tempo, quando são percorridos 10 km?
(a) segundos
(b) minutos
(c) horas
(d) dias
(e) semanas
24. SEU OLHAR — (Gilberto Gil, 1984)
Na eternidade
Eu quisera ter
Tantos anos-luz
Quanto fosse precisar
Pra cruzar o túnel
Do tempo do seu olhar
Gilberto Gil usa na letra da música a palavra composta anos-luz. O sentido prático, em
geral, não é obrigatoriamente o mesmo que na ciência. Na Fı́sica, um ano luz é uma
medida que relaciona a velocidade da luz e o tempo de um ano e que, portanto, se refere
a:
(a) tempo
(b) aceleração
(c) distância
9
(d) velocidade
(e) luminosidade
25. Dada a ﬁgura abaixo:
(a) Calcule o comprimento do tirante.
(b) Calcule a inclinação que o tirante faz com a barra, ou seja, com a horizontal.
Respostas: 1. (a)12,7mm (b)19,05mm (c)9,525mm 2. (a)106 µm (b)914400µm 3.
52km2 4. (a)4×104 km (b)5, 10×108 km2 (c)1, 08×1012 km3 5. (a)11,3m2 /litro (b)1,13×104 m2 /m3
(c)2,17×10−3 gal/pé2 e signiﬁca que este volume cobre 1pé2 6. 1,1×103 acres-pés 7. ? 8.
? 9. ? 10. ? 11. 8,6 segundos do universo 12. ? 13. ? 14. 9,0×1049 átomos
Capı́tulo 2
Movimento Unidimensional
Posição: A posição x de uma partı́cula em um eixo x localiza a partı́cula em relação à
origem, ou ponto zero, do eixo. A posição é negativa ou positiva, dependendo do lado da
origem em que se encontra a partı́cula, ou zero, se a partı́cula se encontra na origem. O sentido
positivo de um eixo é o sentido em que os números positivos aumentam; o sentido oposto é o
sentido negativo.
Deslocamento: O deslocamento ∆x de uma partı́cula é a variação de sua posição:
∆x = x2 − x1
(2.1)
O deslocamento é uma grandeza vetorial. É positivo se a partı́cula se move no sentido positivo
do eixo x, e negativo se a partı́cula se move no sentido oposto.
Velocidade Média: Quando uma partı́cula se desloca de uma posição x1 para uma posição
x2 durante um intervalo de tempo ∆t = t2 − t1 , sua velocidade média durante esse intervalo é
dada por:
vméd =
x2 − x1
∆x
=
.
∆t
t2 − t1
(2.2)
O sinal algébrico de vméd indica o sentido do movimento (vméd é uma grandeza vetorial). A
velocidade média não depende da distância que uma partı́cula percorre, mas apenas das posições
inicial e ﬁnal.
Em um gráﬁco de x em função de t, a velocidade média em um intervalo de tempo ∆t é igual a
inclinação da reta que une os pontos da curva que representa as duas extremidades do intervalo.
Velocidade Escalar Média: A velocidade escalar média sméd de uma partı́cula durante
um intervalo de tempo ∆t depende da distância total percorrida pela partı́cula nesse intervalo:
sméd =
distância total
.
∆t
(2.3)
Velocidade Instantânea: A velocidade instantânea (ou simplesmente velocidade) v de
uma partı́cula é dada por:
v = lim
∆t→0
∆x
dx
=
.
∆t
dt
(2.4)
onde ∆x e ∆t são deﬁnidos pela Eq.(2.2). A velocidade instantânea (em um certo instante de
tempo) é igual à inclinação (nesse mesmo instante) do gráﬁco de x em função de t. A velocidade
escalar é o módulo da velocidade instantânea.
Aceleração Média: A aceleração média é a razão entre a variação da velocidade ∆v e o
intervalo de tempo ∆t no qual essa variação ocorre:
améd =
10
∆v
.
∆t
(2.5)
11
O sinal algébrico indica o sinal de améd .
Aceleração Instantânea: A aceleração instantânea (ou simplesmente aceleração) a é
igual à derivada primeira da velocidade v(t) em relação ao tempo ou igual à derivada segunda
da posição x(t) em relação ao tempo:
a=
dv
d2 x
= 2.
dt
dt
(2.6)
Em um gráﬁco de v em função de t, a aceleração a em qualquer instante t é igual à inclinação
da curva no ponto que representa t.
Aceleração Constante: As três equações a seguir descrevem o movimento de uma partı́cula
com aceleração constante:
v = v0 + at
1
∆x = v0 t + at2
2
v 2 = v02 + 2a∆x
(2.7)
(2.8)
(2.9)
Estas equações não são válidas quando a aceleração não é constante.
Aceleração em Queda Livre: Um exemplo importante de movimento unidimensional
com aceleração constante é o de um objeto subindo ou caindo livremente nas proximidades da
superfı́cie da Terra. As equações para aceleração constante podem ser usadas para descrever
este movimento mas devemos fazer duas mudanças na notação:
• O movimento é descrito em relação a um eixo vertical y, com +y orientado verticalmente
para cima, assim nas equações (2.8) e (2.9) substituı́mos ∆x por ∆y;
• A aceleração a é substituı́da por −g nas equações (2.7), (2.8) e (2.9), onde g é o módulo
da aceleração em queda livre. Perto da superfı́cie da Terra, g = 9,8 m/s2 .
Exercı́cios Aplicados
1. A planta de crescimento mais rápido de que se tem notı́cia é uma Hesperoyucca whipplei, que cresceu 3, 7m em 14 dias. Qual foi a velocidade de crescimento da planta em
micrômetros por segundo?
2. Um cilindro pneumático executou um movimento com um curso de 44, 0cm em um tempo
de 0, 70s. Qual é a sua velocidade média em Km/h?
3. Calcule a velocidade média nos dois casos seguintes:
(a) Você caminha 73, 2m a uma velocidade de 1, 22m/s e depois corre 73, 2m a 3, 05m/s
em uma pista reta.
(b) Você caminha 1, 00min com uma velocidade de 1, 22m/s e depois corre por 1min a
3, 05m/s em uma linha reta.
12
CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
(c) Faça o gráﬁco de x em função de t nos dois casos e indique como a velocidade média
pode ser determinada a partir do gráﬁco.
4. A velocidade de corte para tornear um eixo de alumı́nio em um torno mecânico é de
500m/min. Determine esta velocidade em:
(a) m/s
(b) km/h
5. Um automóvel viaja em uma estrada por 40km a 20km/h. Em seguida, continuando no
mesmo sentido, percorre outros 40km a 60km/h. Qual é a velocidade média do carro
durante este percurso de 80km?
6. Uma plataforma executa um movimento com 6s de duração com a seguinte função posição:
x(t) = −
t3
+ 4t2
3
com x em metros e t em segundos.
(a) Determine sua velocidade média.
(b) Em que instante a velocidade é máxima?
(c) Determine sua aceleração média.
(d) Em que instante a aceleração se anula?
7. Gotas de chuva caem 2000m de uma nuvem até o chão. Se elas não estivessem sujeitas
à resistência do ar, qual seria sua velocidade ao atingir o solo? Seria seguro caminhar na
chuva?
8. Para determinar a profundidade de um poço, solta-se uma pedra. Após 3, 5s ouve-se o
barulho do impacto da pedra no fundo do poço. Qual é a profundidade do poço?
9. Faça os gráﬁcos da posição, velocidade e aceleração do movimento da questão 43.
13
x(m)
✻
0
1
v(m/s)
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
✲ t(s)
✻
0
1
a(m/s2 )
✲ t(s)
✻
✲ t(s)
0
0
1
2
3
4
5
6
10. Um trem de 60 m de comprimento, com velocidade de 72 km/h, atravessa um túnel de 80
m de comprimento. Calcule o tempo de travessia.
11. Um dispositivo anda 16m em 2min.
(a) Qual sua velocidade em m/min?
(b) Qual sua velocidade em km/h?
(c) Qual a distância que ele percorre em 1 hora?
(d) Se essa velocidade for mantida, quanto tempo gastará para percorrer 40m?
14
CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
(e) Faça o gráﬁco da posição pelo tempo (x × t).
(f) Faça o gráﬁco da velocidade pelo tempo (v × t).
12. Em uma estrada, um automóvel A, com velocidade escalar 80 km/h, persegue um automóvel B, cuja velocidade escalar é 60 km/h, de modo que os dois automóveis se movem
no mesmo sentido. Num determinado instante, a distância que os separa é de 30 m.
(a) Depois de quanto tempo o automóvel A alcançará o automóvel B?
(b) Qual a posição do encontro?
13. A distância Terra-Lua foi medida por radar e por laser, como na ﬁgura abaixo em que
um laser é disparado até um dos espelhos (prismas retro-reﬂetores, que reﬂetem a luz na
mesma direção da luz incidente) colocados pelos astronautas na Lua (missões Apolo 11,
14 e 15), e o tempo de ida e vinda do laser é medido. Sabendo-se que a primeira medida
foi de 2,4 s. Determine a distância Terra-Lua em quilômetros.
(Dado: velocidade da luz no vácuo = 3 × 108 m/s).
14. Um atirador ouve o ruı́do da bala atingindo um alvo 4.0 segundos após dispará-la com
velocidade média de 1020m/s. Supondo-se que a velocidade do som no ar seja 340m/s,
qual é a distância entre o atirador e o alvo?
15. Uma pessoa que esteja de dieta pode perder 2.3kg por semana. Expresse esta taxa de
perda de massa em miligramas por segundo, como se a pessoa pudesse sentir a perda
segundo a segundo.
16. Dois móveis, A e B, percorreram uma trajetória retilı́nea, conforme as equações horárias
xA = 30 + 20t e xB = 90 − 10t , sendo a posição x em metros e o tempo t, em segundos.
(a) No instante t = 0s , qual era a distância entre os móveis?
(b) Determine o instante de encontro dos dois móveis.
17. Dois automóveis, A e B, se deslocam sobre uma mesma estrada e em sentidos opostos com
velocidades constantes vA = 90km/h e vB = 60km/h. Num determinado instante t0 = 0s
, passam pelo mesmo referencial. Ao ﬁnal de 15min contados a partir da passagem pelo
referencial, qual será a distância entre os automóveis?
15
18. Durante um espirro, os olhos podem se fechar por até 0,50s. Se você está dirigindo um
carro a 100km/h e espirra, de quanto o carro pode se deslocar até você abrir novamente
os olhos?
19. Na busca de meios para diminuir a poluição, principalmente pela emissão de gases provenientes da queima de combustı́veis fosseis, muitas empresas do setor automobilı́stico estão
investindo muito dinheiro. E muitas destas empresas estão conseguindo criar carros “ecologicamente corretos” com o mesmo, ou melhor desempenho do que os movidos a gasolina,
álcool ou diesel. Temos como exemplo o Dodge EV, que é um carro elétrico desenvolvido
por uma fábrica americana. Ele possui um motor elétrico que o acelera de 0 a 108 km/h
em 5 s com velocidade máxima de 205,2 km/h. A sua autonomia pode chegar a 300 km.
(a) Qual é a sua aceleração média em m/s2 ?
(b) Em quantos segundos ele atingirá a sua velocidade máxima?
(c) Partindo do repouso, e mantendo a velocidade constante ao atingir 100 km/h, quanto
tempo ele pode andar sem abastecer?
(d) Considerando que a massa de um carro desse porte é em torno de 1 tonelada, ou seja,
1000 kg, qual é a força média exercida pelo carro durante sua aceleração?
20. Uma pedra é lançada do solo, verticalmente para cima, e atinge a altura máxima em 4 s.
(a) Determine a velocidade inicial de lançamento.
(b) De quanto foi a altura máxima?
21. Um bloco de massa 6,0 kg está inicialmente em repouso sobre uma superfı́cie horizontal
de atrito desprezı́vel. A partir do instante t = 0 aplica-se ao bloco uma força horizontal
cuja intensidade é de 12 N .
(a) Qual é a aceleração adquirida pelo bloco?
(b) Qual é a velocidade do bloco no instante 5,0 s?
(c) Qual é a distância percorrida nesses 5,0 s?
22. Para determinar a profundidade de um poço, solta-se uma pedra. Após 4,0 s você vê a
pedra bater no fundo do poço.
(a) Qual é a profundidade do poço?
(b) Considere agora que estava muito escuro dentro do poço e você não conseguiu ver
a pedra bater. Porém você ouviu o barulho do impacto após 4,0 s. Qual seria a
profundidade do poço?
16
CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
23. A cabeça de um pica-pau está se movendo para a frente com uma velocidade de 7,49 m/s
quando o bico faz contato com um tronco de árvore. O bico para depois de penetrar 1,87
mm no tronco.
(a) Determine o módulo da aceleração supondo que ela é constante.
(b) Quanto é esta aceleração em unidades de g?
[Dado: g = 10 m/s2 ]
24. Em 26 de setembro de 1993, Dave Munday foi até o lado canadense das cataratas do
Niágara com uma bola de aço, equipada com um furo para entrada de ar, e caiu 48 m até
a água (e as pedras). Suponha que a velocidade inicial era nula e despreze o efeito do ar
sobre a bola durante a queda.
(a) Quanto tempo durou a queda de Munday?
(b) Munday podia contar o tempo de queda livre, mas não podia ver o quanto tinha
caı́do a cada segundo. Determine sua posição no ﬁnal de cada segundo de queda.
(c) Qual era a velocidade de Munday ao atingir a superfı́cie da água?
(d) Qual era a velocidade de Munday no ﬁnal de cada segundo? Ele sentiu o aumento de
velocidade?
25. Num concurso para a polı́cia federal o candidato deve correr 2km em 12min.
(a) Qual deve ser sua velocidade em km/h?
(b) Em quanto tempo ele faria 1,4km nesta mesma velocidade?
(c) Um atleta bem treinado percorre a distância de 2km em 8min. Determine esta
velocidade em km/h?
26. A distância Terra-Lua foi medida por radar e por laser, como na ﬁgura abaixo em que
um laser é disparado até um dos espelhos (prismas retro-reﬂetores, que reﬂetem a luz na
mesma direção da luz incidente) colocados pelos astronautas na Lua (missões Apolo 11, 14
e 15), e o tempo de ida e vinda do laser é medido. Sabendo-se que a primeira medida foi de
2,4 s. Calcule a distância Terra-Lua. (Dado: velocidade da luz no vácuo = 3 × 108 m/s).
17
27. Um automóvel movia-se sobre uma estrada com uma velocidade de 30m/s. Num determinado instante o motorista pisa no freio, provocando uma desaceleração constante de
4,0m/s2 , até o automóvel parar. Calcule:
(a) O tempo gasto até parar.
(b) A distância percorrida durante a freada.
28. Uma moto encontra-se parada num semáforo. No exato instante em que o semáforo abre,
um carro a ultrapassa com velocidade de 72km/h e ela, a moto, começa a acelerar a 2m/s2 .
(a) Depois de quanto tempo a moto alcança o carro?
(b) Qual é a distância percorrida até o encontro dos dois?
(c) Qual foi a velocidade ﬁnal da moto em km/h?
29. Um corpo é lançado para cima, a partir do solo, com velocidade de 20m/s.
(a) Quanto tempo o corpo gasta para atingir a altura máxima?
(b) Qual o valor da altura máxima?
(c) Quanto tempo é gasto na descida?
(d) Qual a velocidade do corpo ao atingir o solo?
30. O recorde mundial de velocidade no solo é de 1228,0 km/h, estabelecido em 15 de outubro
de 1997 por Andy Green com o Thrust SSC, um carro movido a jato. Expresse esta
velocidade em m/s.
31. Um motorista dirige a uma velocidade constante de 15m/s quando passa em frente a uma
escola, onde a placa de limite de velocidade indica 10m/s. Um policial que estava parado
no local da placa acelera sua motocicleta e persegue o motorista com uma aceleração
constante de 3,0m/s2 .
18
CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
(a) Qual o intervalo de tempo desde o inı́cio da perseguição até o momento em que o
policial alcança o motorista?
(b) Qual é a velocidade do policial nesse instante?
(c) Que distância cada veı́culo percorreu até esse momento?
(d) Se uma motocicleta de pequeno porte tem em torno de 150kg. Determine a força
média exercida pela motocicleta durante a perseguição.
32. O MiG-25 “Foxbat” é um caça interceptador projetado na extinta União Soviética em
meados da década de 1960 e sua velocidade pode chegar a 3400km/h.
(a) A duração de um piscar de olhos é da ordem de 100ms. Que distância o caça percorre
durante um piscar de olhos do piloto?
(b) Com essa velocidade máxima, quantos minutos gastará para percorrer a distância
entre Joinville e São Paulo que é de 500km?
33. Um jato comercial deve atingir uma velocidade de 360km/h para decolar. Qual é a menor
aceleração constante necessária para que o avião decole do aeroporto de Joinville que possui
uma pista com 1,64km de extensão?
34. Em uma estrada seca, um carro com pneus novos é capaz de frear com uma desaceleração
constante de 4,9 m/s2 .
(a) Quanto tempo esse carro, inicialmente se movendo a 80 km/h leva para parar?
(b) Que distância o carro percorre nesse tempo?
35. Em um prédio em construção, uma chave de grifo ao cair chega ao solo em 3,5 s.
(a) De que altura o operário a deixou cair?
(b) Qual a velocidade da chave ao chegar ao solo em km/h?
36. (ENEM) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e
em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual
a 6370 km, em quanto tempo um avião saindo de Quito, voando em média 600 km/h,
descontando as paradas de escala, chega a Cingapura?
[Dado: distância percorrida x = 2πR onde π ≈3,14]
37. Um portão eletrônico percorre 6,0m em 4,0s.
19
(a) Qual sua velocidade em m/s?
(b) Qual sua velocidade em km/h?
(c) Qual a distância que ele percorre em 5,0s?
(d) Se essa velocidade for mantida, quanto tempo gastará para percorrer 9,0m?
(e) Faça o gráﬁco da posição pelo tempo (x × t).
x(m)
✻
0
1
2
3
4
(f) Faça o gráﬁco da velocidade pelo tempo (v × t).
5
6
5
6
✲ t(s)
v(m/s)
✻
0
1
2
3
4
✲ t(s)
38. A massa de um cubo é 856g e cada aresta tem um comprimento de 5,35cm. Determine a
densidade ρ do cubo em unidades do SI.
39. Suponha que seu cabelo cresce a uma taxa de 1/32 polegadas por dia. Determine a taxa
com que ele cresce em nanometros por segundo. Como a distância entre átomos numa
molécula é da ordem de 0,1nm, sua resposta sugere quão rapidamente a ﬁleira de átomos
é produzida nesta sı́ntese de proteı́nas.
40. Um dispositivo se move ao longo de um trilho. Sua posição varia com o tempo de acordo
com a expressão x = −4t + 2t2 , onde x está em metros e t em segundos.
(a) Esboce o gráﬁco de x × t.
20
CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
x(m)
✻
0
1
2
3
✲ t(s)
4
(b) Determine o deslocamento do dispositivo no intervalo de tempo t = 1s à t = 4s.
(c) Calcule a velocidade média neste intervalo.
(d) Determine a velocidade da partı́cula no instante t = 3, 5s.
(e) Determine a aceleração da partı́cula no instante t = 3, 5s.
41. Um motociclista maluco se projeta para fora da borda de um penhasco. No ponto exato
da borda, sua velocidade é horizontal e possui módulo igual a 9,0m/s. Depois de 1,5s
determine:
(a) A posição x e y do motociclista em relação à borda.
(b) A velocidade ~v = vx ı̂ + vy ̂.
42. Qual é a profundidade deste poço em metros.
43. Um braço mecânico executa um movimento com 4s de duração com a seguinte função
posição:
x = −t2 + 5t + 3
com x em metros e t em segundos.
(a) Faça o gráﬁco da posição x × t:
21
x(m)
✻
0
1
2
3
(b) Determine as velocidades nos instantes 1s e 3s.
Resposta:
e
(c) Determine sua aceleração.
Resposta:
(d) Em que instante a velocidade se anula?
Resposta:
4
✲ t(s)
Capı́tulo 3
Movimento Bidimensional e
Tridimensional
Vetor Posição: A localização de uma partı́cula em relação à origem de um sistema de
coordenadas é dada por um vetor posição ~r, que em termos dos vetores unitários assume a
forma
~r = xı̂ + y̂ + z k̂
(3.1)
onde xı̂, y̂ e z k̂ são as componentes do vetor posição ~r e x, y e z são as componentes escalares
(e também as coordenadas da partı́cula). Um vetor posição pode ser descrito por um módulo e
um ou dois ângulos, pelas componentes vetoriais ou pelas componentes escalares.
Deslocamento: Se uma partı́cula se move de tal forma que seu vetor posição muda de ~r1
para ~r2 , o deslocamento ∆~r da partı́cula é dado por
∆~r = ~r2 − ~r1 .
(3.2)
O deslocamento também pode ser escrito na forma
∆~r = (x2 − x1 )ı̂ + (y2 − y1 )̂ + (z2 − z1 )k̂
= ∆xı̂ + ∆y̂ + ∆z k̂
(3.3)
(3.4)
Velocidade Média e Velocidade Instantânea: Se uma partı́cula sofre um deslocamento
∆~r em um intervalo de tempo ∆t, sua velocidade média ~vméd nesse intervalo de tempo é dada
por
~vméd =
∆~r
∆t
(3.5)
Quando ∆t na Eq.(3.5) tende a 0, ~vméd tende para um limite ~v que é chamado de velocidade
instantânea ou, simplesmente, velocidade:
~v =
d~r
.
dt
(3.6)
Em termos dos vetores unitários, a velocidade instantânea assume a forma
~v = vx ı̂ + vy ̂ + vz k̂
dx
dy
dz
=
ı̂ +
̂ + k̂
dt
dt
dt
(3.7)
(3.8)
A velocidade instantânea ~v de uma partı́cula é sempre tangente à trajetória da partı́cula na
posição da partı́cula.
22
23
Aceleração Média e Aceleração Instantânea: Se a velocidade de uma partı́cula varia
de ~v1 para ~v2 no intervalo de tempo ∆t, sua aceleração média durante o intervalo ∆t é
~améd =
∆~v
∆t
(3.9)
Quando ∆t na Eq.(3.9) tende a 0, ~améd tende para um limite ~a que é chamado de aceleração
instantânea ou, simplesmente, aceleração:
~a =
d~v
.
dt
(3.10)
Na notação de vetores unitários, a aceleração instantânea assume a forma
~a = ax ı̂ + ay ̂ + az k̂
dvy
dvz
dvx
ı̂ +
̂ +
k̂
=
dt
dt
dt
d2 y
d2 z
d2 x
= 2 ı̂ + 2 ̂ + 2 k̂
dt
dt
dt
(3.11)
(3.12)
(3.13)
Movimento de Projéteis: Movimento balı́stico é o movimento de uma partı́cula que é
lançada com uma velocidade inicial ~v0 . Durante o percurso a aceleração horizontal da partı́cula
é zero e a aceleração vertical é a aceleração de queda livre, −g. (A orientação para cima é
escolhida como sentido positivo.) Se ~v0 é expressa através de um módulo (a velocidade escalar
v0 ) e um ângulo θ0 (medido em relação à horizontal), as equações de movimento da partı́cula
ao longo do eixo horizontal x e do eixo vertical y são as mesmas vistas anteriormente para
movimentos sem aceleração (horizontal) e com aceleração constante (vertical), onde:
v0x = v0 cos θ0
v0y = v0 sin θ0
(3.14)
(3.15)
E podemos obter a equação da trajetória e do alcance horizontal.
Movimento Circular Uniforme: Se uma partı́cula descreve uma circunferência ou arco
de circunferência de raio r com velocidade constante v, dizemos que está em movimento circular
uniforme. Nesse caso, a partı́cula possui uma aceleração ~a cujo módulo é dado por
a=
v2
r
(3.16)
O vetor ~a aponta sempre para o centro da circunferência ou arco de circunferência, e é chamado de aceleração centrı́peta. O tempo que a partı́cula leva para descrever uma circunferência
completa é dado por
T =
2πr
v
O parâmetro T é chamado de perı́odo de revolução ou, simplesmente, perı́odo.
(3.17)
24
CAPÍTULO 3. MOVIMENTO BIDIMENSIONAL E TRIDIMENSIONAL
Exercı́cios Aplicados
1. Um projetista de páginas da Internet cria uma animação na qual um ponto da tela do
computador possui posição ~r = (4,0 + 2,5t2 )ı̂ + (5,0t)̂.
(a) Ache o módulo, a direção e o sentido da velocidade média do ponto para o intervalo
entre t1 = 0 e t2 = 2,0s.
(b) Ache o módulo, a direção e o sentido da velocidade instantânea para t1 = 0 e t2 = 2,0s.
(c) Faça um desenho da trajetória do ponto no intervalo entre t1 = 0 e t2 = 2,0s e mostre
as velocidades calculadas em (b).
2. Um avião a jato está voando a uma altura constante. No instante t1 = 0, os componentes
da velocidade são vx = 90m/s, vy = 110m/s. No instante t2 = 30,0s, os componentes são
vx = −170m/s, vy = 40m/s.
(a) Faça um esboço do vetor velocidade para t1 e para t2 . Qual a diferença entre esses
vetores?
Para esse intervalo de tempo, calcule:
(b) Os componentes da aceleração média.
(c) O módulo, a direção e o sentido da aceleração média.
3. Um lı́quido ﬂui horizontalmente de uma mangueira que está a 210mm acima da superfı́cie
da peça, atingindo a peça a uma distância horizontal de 297mm. A que velocidade o
lı́quido emerge da mangueira?
4. A ﬁgura mostra um navio pirata a uma certa distância de um forte que protege a entrada
de um porto. Um canhão de defesa, situado ao nı́vel do mar, dispara balas com uma
velocidade inicial v0 = 90m/s a um ângulo de 45◦ .
(a) Determine a velocidade vertical inicial v0y da bala.
(b) Calcule o tempo para a bala atingir a altura máxima.
(c) Como o tempo que o projétil leva para subir é o mesmo para descer, você já sabe
o tempo total da trajetória da bala, ou seja, o dobro do item anterior. Usando a
velocidade horizontal v0x , calcule o alcance do projétil.
25
5. Na praia do Forte, em Florianópolis, está localizada a Fortaleza de São José da Ponta
Grossa, que servia para a segurança da Ilha em tempos idos. Um dos canhões desse forte
dispara um projétil com uma inclinação de 45◦ em relação à horizontal.
Analise o movimento do referido projétil, livre de qualquer tipo de atrito, e assinale V
verdadeiro e F falso.
• (
) A aceleração do projétil muda de sentido durante o movimento.
• ( ) A intensidade do vetor velocidade permanece constante, porém sua direção é
variável.
• (
) O vetor velocidade permanece constante durante todo o movimento.
• (
) A componente horizontal do vetor velocidade permanece constante.
• ( ) A aceleração é nula no ponto mais alto da trajetória do projétil, assim como a
componente vertical do vetor velocidade.
• ( ) Quanto maior o ângulo de tiro, em relação à horizontal, maior a distância
percorrida na horizontal pelo projétil.
6. A ﬁgura abaixo mostra três trajetórias de uma bola de futebol chutada a partir do chão.
Ignorando os efeitos do ar, ordene em ordem crescente as trajetórias de acordo:
(a) Com o tempo de percurso.
(b) Com a componente vertical da velocidade inicial.
(c) Com a componente horizontal da velocidade inicial.
(d) Com a velocidade escalar inicial.
7. Um helicóptero militar em missão de treinamento voa horizontalmente com velocidade de
60 m/s e acidentalmente deixa cair uma bomba de uma altura de 300 m.
[Dado: g =9,8m/s2 ]
(a) Quanto tempo leva para a bomba atingir o solo?
(b) Qual a distância horizontal percorrida pela bomba durante a queda?
8. Durante uma corrida de trenós nas Olimpı́adas de Inverno, a equipe jamaicana fez uma
curva de 7,6 m de raio com uma velocidade de 96,6 km/h. Qual foi a sua aceleração?
26
CAPÍTULO 3. MOVIMENTO BIDIMENSIONAL E TRIDIMENSIONAL
9. Um trem francês de alta velocidade, conhecido como TGV (Train à Grande Vitesse), viaja
a uma velocidade média de 216 km/h.
(a) Se o trem faz uma curva a essa velocidade e o módulo da aceleração sentida pelos
passageiros pode ser no máximo 0,050g por causa do conforto, qual é o menor raio
de curvatura dos trilhos que pode ser tolerado?
[Dica: 0,050g = 0,05 × 9,8m/s2 = 0,49m/s2 ]
(b) Com que velocidade o trem deve fazer uma curva com 1,00 km de raio para que a
aceleração esteja no limite permitido?
10. Um satélite se move em uma órbita circular, 640km acima da superfı́cie da Terra, com um
perı́odo de 98,0min.
(a) Qual é sua velocidade?
(b) Qual é o módulo da aceleração centrı́peta do satélite?
11. (a) Qual é o módulo da aceleração centrı́peta de um objeto no equador da Terra devido
à rotação da Terra?
(b) Qual deveria ser o perı́odo de rotação da Terra para que um objeto no equador tivesse
uma aceleração centrı́peta com módulo de 9,8m/s2 ?
12. Um campo magnético pode forçar uma partı́cula a descrever uma trajetória circular. Suponha que um elétron que está descrevendo uma circunferência sofra uma aceleração radial
de módulo 3,0×104 m/s sob o efeito de um certo campo magnético.
(a) Qual é o módulo da velocidade do elétron se o raio da trajetória circular é de 15cm?
(b) Qual é o perı́odo do movimento?
13. Um ventilador realiza 1200 revoluções por minuto, ou seja, 1200RP M . Considere um
ponto situado na extremidade de uma das pás, que descreve uma circunferência com 15cm
de raio.
(a) Que distância este ponto percorre em uma revolução?
(b) Qual é a velocidade do ponto?
(c) Qual é o módulo da sua aceleração?
(d) Qual é o perı́odo do movimento?
14. Suponha que uma sonda espacial seja capaz de suportar uma aceleração de no máximo
20g.
(a) Qual é o menor raio de curvatura que a nave pode suportar quando está se movendo
a um décimo da velocidade da luz?
(b) Quanto tempo a sonda levaria para completar uma curva de 90◦ nessas condições?
Capı́tulo 4
Força e Movimento
Mecânica Newtoniana: A velocidade de um objeto pode variar (o objeto pode sofrer uma
aceleração) quando o objeto é submetido a uma ou mais forças (empurrões ou puxões) exercidas
por outros objetos. A mecânica newtoniana relaciona acelerações e forças.
Força: As forças são grandezas vetoriais. Seus módulos são deﬁnidos em termos da aceleração que imprimiriam a uma massa de um quilograma. Por deﬁnição, uma força que produz
uma aceleração de 1m/s2 em uma massa de 1kg tem um módulo de 1 newton (1N ). A orientação
de uma força é a orientação da aceleração produzida peça força. Duas ou mais forças podem ser
combinadas segundo as regras da álgebra vetorial. A força resultante é a soma de todas as
forças que agem sobre um corpo.
Primeira Lei de Newton: Todo corpo mantém o seu estado de repouso ou de movimento
uniforme segundo uma linha reta, se não for compelido a mudar o seu estado por forças nele
impressas.
Referenciais Inerciais: é um referencial para o qual se uma partı́cula não está sujeita a
forças, então está parada ou se movimentando em linha reta e com velocidade constante.
Massa: A massa inercial, associada à força e à aceleração, é a constante de proporcionalidade
destas grandezas. A massa gravitacional é deﬁnida em função da interação gravitacional entre
dois corpos.
Segunda Lei de Newton: A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direção de linha reta na qual aquela força é imprimida.
F~R = m~a
em unidades do SI: 1N = 1kg · m/s2 .
O diagrama de corpo livre é um diagrama simpliﬁcado no qual apenas um corpo é
considerado. Esse corpo é representado por um ponto ou por um sı́mbolo. As forças externas
que agem sobre o corpo são representadas por vetores e um sistema de coordenadas é sobreposto
ao desenho, orientado de modo a simpliﬁcar a solução.
Terceira Lei de Newton: A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade:
ou as ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas em sentidos
opostos.
F~AB = −F~BA
Atrito: é o componente horizontal da força de contato que atua sempre que dois corpos
entram em contato e há tendência ao movimento. É gerada pela aspericidade dos corpos. A
força de atrito é sempre paralela às superfı́cies em interação e contrária ao movimento relativo
entre eles.
O coeficiente de atrito, geralmente representado pela letra µ, é uma grandeza adimensional
(não apresenta unidade de medida) que relaciona a força de atrito e a força de compressão entre
dois corpos. Esse coeﬁciente depende dos materiais envolvidos.
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28
CAPÍTULO 4. FORÇA E MOVIMENTO
Pode ser diferenciado em coeﬁciente de atrito dinâmico ou de atrito estático de acordo com
a situação na qual se determina tais coeﬁcientes:
• Coeﬁciente de atrito dinâmico ou cinético: presente a partir do momento que as superfı́cies
em contato apresentam movimento relativo. Relaciona a força de atrito cinético presente
nos corpos que se encontram em movimento relativo com o módulo das forças normais que
neles atuam. Representado por µk .
• Coeﬁciente de atrito estático: determinado quando as superfı́cies em contato encontram-se
em iminência de movimento relativo, mas ainda não se moveram. Relaciona a máxima
força de atrito possı́vel (com as superfı́cies ainda estáticas uma em relação à outra) com
a(s) força(s) normal(is) a elas aplicadas. Para efeito de diferenciação, é representado por
µs .
Comparando-se os módulos dos dois coeﬁcientes, no contato entre superfı́cies sólidas o coeﬁciente de atrito cinético será sempre menor (mas não necessariamente muito menor) que o
coeﬁciente de atrito estático:
µk < µs
A força de atrito cinético pode ser calculada pela seguinte expressão:
Fk = µ k N
onde N é o módulo da força normal.
E a força de atrito estático máxima relaciona-se com a força normal da seguinte forma:
Fs(máx) = µs N
Movimento Circular Uniforme (MCU): consiste num tipo de movimento de trajetória
circular em que o módulo da velocidade é constante, variando apenas a direcção e o sentido do
vetor velocidade, uma vez que o somatório das forças no corpo é não nulo apenas na componente
normal. A força centrı́peta é dada por:
Fc = mac = m
v2
R
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Exercı́cios Aplicados
1. Uma motocicleta de 200kg de massa acelera de 0 a 100km/h em 8, 0s. Determine:
(a) A aceleração constante.
(b) A força resultante responsável pela aceleração.
2. Um carro popular tem uma massa de aproximadamente 1000kg e está em repouso sobre
a rampa de um rebocador num ângulo de 20, 0◦ com o solo. Somente um cabo ligando o
carro ao rebocador impede o carro de deslizar para baixo ao longo da rampa. (O carro não
está freado nem engrenado.) Ache a tensão no cabo e a força que a rampa exerce sobre os
pneus do carro.
3. Um elevador e sua carga possuem massa total igual a 800 kg. O elevador está inicialmente
descendo com velocidade igual a 10,0 m/s e a seguir ele atinge o repouso em uma distância
de 25,0 m. Ache a tensão T no cabo de suporte enquanto o elevador está diminuindo de
velocidade até atingir o repouso.
4. Na ﬁgura os blocos A e B pesam 50N e 30N , respectivamente. Os coeﬁcientes de atrito
entre A e a rampa são µs = 0, 40 e µk = 0, 25. Determine:
(a) A tração no cabo.
(b) A aceleração do conjunto.
(c) Qual teria que ser a massa do bloco B para que o conjunto ﬁcasse parado?
5. O coeﬁciente de atrito estático entre uma certa estrada e os pneus de um carro é de 0,80.
Que velocidade, em km/h, deixa o carro na iminência de derrapar quando ele faz uma
curva com 50,0m de raio?
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CAPÍTULO 4. FORÇA E MOVIMENTO
6. Se um carro com uma massa de 1200kg viaja a 120km/h em uma rodovia e trava as
rodas durante uma frenagem até parar deixando uma marca de pneus na pista de 90,0m.
Determine:
(a) A força média de atrito durante a frenagem.
(b) O coeﬁciente de atrito.
7. O coeﬁciente de atrito estático entre um revestimento cerâmico e as solas de sapato é de
0, 40. Qual é o maior ângulo com a horizontal com que pode ser construı́da uma rampa
que use tal revestimento cerâmico sem que as pessoas corram o risco de escorregar?
8. O coeﬁciente de atrito estático entre o piso do estrado de um caminhão e um caixote que
está sobre ele é 0,30. O caminhão está a 80km/h. Qual a distância mı́nima de frenagem
do caminhão sem que ocorra o deslizamento do caixote sobre o piso?
9. Um bloco está sobre um plano inclinado cuja inclinação pode ser alterada. O ângulo é
gradualmente aumentado a partir de 0◦ . Em 30◦ o bloco começa a escorregar plano abaixo.
No deslizamento percorre 3m em 2s. Calcule os coeﬁcientes de atrito estático e cinético
entre o bloco e o plano inclinado.
10. Um operário aplica uma força constante de módulo 85N a uma caixa de 40kg que está
inicialmente em repouso sobre o piso horizontal de um armazém. Após a caixa ter percorrido uma distância de 1,4m, sua velocidade é de 1,0m/s. Qual é o coeﬁciente de atrito
cinético entre a caixa e o piso?
11. Uma curva circular em uma rodovia é projetada com um raio de 100m para uma velocidade
máxima de 60km/h. Suponha que a curva seja plana. Qual deve ser o menor coeﬁciente
de atrito entre os pneus e o piso para que os carros não derrapem ao entrar na curva a
60km/h?
12. Qual é o menor raio de uma curva que permite que um ciclista a 30km/h faça a curva sem
derrapar se o coeﬁciente de atrito estático entre os pneus e a pista é de 0,32?
13. Uma caixa de massa m está sobre uma mesa horizontal. A caixa é puxada por uma força
F~ , no ângulo θ, conforme a ﬁgura abaixo. O coeﬁciente de atrito estático é 0,6. O valor
mı́nimo da força necessária para deslocar a caixa depende do ângulo θ.
(a) Determinar a força mı́nima F para os ângulos θ = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60◦ , e fazer o
gráﬁco de F × θ, com a caixa tendo o peso P = 400N .
F (N )
✻
0
10
20
30
40
50
✲ θ(◦ )
60
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(b) Pelo gráﬁco, em que ângulo a eficiência para deslocar a caixa é maior?
Capı́tulo 5
Trabalho, Energia Mecânica e
Conservação da Energia
Trabalho: (normalmente representado por W , do inglês work, ou pela letra grega τ ) é uma
medida da energia transferida pela aplicação de uma força ao longo de um deslocamento.
O trabalho de uma força F aplicada ao longo de um caminho C pode ser calculado de forma
geral através da seguinte integral de linha:
Z
Wc = F~ · d~r
c
onde: F é o vector força e r é o vetor deslocamento.
Como vocês provavelmente não estudaram integração em cálculo 1, podemos calcular o trabalho realizado por uma F constante, assim a integral resulta:
W = F~ · ~r
onde o sı́mbolo (·) deﬁne o produto escalar entre vetores.
O Produto Escalar: O produto escalar de dois vetores ~a e ~b é representado por ~a · ~b e é
igual à grandeza escalar dada por
~a · ~b = ab cos φ,
onde φ é o menor dos ângulos entre as direções de ~a e ~b. O produto escalar é o produto do
módulo de um dos vetores pela componente escalar do outro em relação ao primeiro. Em termos
dos vetores unitários, expandido de acordo com a lei distributiva:
~a · ~b = (ax ı̂ + ay ̂ + az k̂) · (bx ı̂ + by ̂ + bz k̂)
= a x bx + a y by + a z bz
Note que ~a · ~b = ~b · ~a.
A unidade SI de trabalho é o joule (J) ou Newton-metro (N · m), que se deﬁne como o
trabalho realizado por uma força de um newton (N ) atuando ao longo de um metro (m) na
direção do deslocamento.
Energia Cinética: é a energia que está relacionada com o estado de movimento de um
corpo. Este tipo de energia é uma grandeza escalar que depende da massa e do módulo da
velocidade do corpo em questão. Quanto maior o módulo da velocidade do corpo, maior é a
energia cinética. Quando o corpo está em repouso, ou seja, o módulo da velocidade é nulo, a
energia cinética é nula.
Um objeto de massa m que se move a uma velocidade de módulo v, possui uma energia
cinética K que é expressa na mecânica clássica como:
K=
mv 2
2
32
33
Teorema do trabalho-energia: é um teorema da mecânica clássica, segundo o qual, o
trabalho mecânico, W , realizado sobre um corpo de massa, m, por uma força é igual a variação
da energia cinética do corpo:
W = ∆K
onde, ∆K é a diferença entre a energia cinética ﬁnal, Kf , e a energia cinética inicial, Ki , do
corpo, ∆K = Kf − Ki .
Energia potencial: é o nome dado a forma de energia quando está “armazenada”, isto é,
que pode a qualquer momento manifestar-se , por exemplo, sob a forma de movimento.
A energia potencial gravitacional está associada ao estado de separação entre dois objetos
que se interagem por meio de um campo gravitacional, onde ocorre a atração mútua ocasionada
pela força gravitacional.
Ug = mgy
A energia potencial elástica é a energia mecânica relacionada à deformação de uma mola ou
de um elástico, e que posteriormente pode ser usada para gerar movimento de um corpo.
Ue =
kx2
2
Energia mecânica total de um sistema é a soma da energia cinética, relacionada ao movimento de um corpo, com a energia potencial, relacionada ao armazenamento podendo ser
gravitacional ou elástica.
EM = K + U
Se o sistema for conservativo, ou seja, apenas forças conservativas atuam nele, a energia
mecânica total conserva-se e é uma constante de movimento.
Quando a energia mecânica não é conservada, outras forças além da gravitacional e da
elástica realizam trabalho:
K1 + U1 + Woutra = K2 + U2
Quando trata-se da força de atrito temos:
Wf at = −F~atrito · ∆~r
Potência é a grandeza que determina a quantidade de energia concedida por uma fonte
a cada unidade de tempo. Em outros termos, potência é a rapidez com a qual uma certa
quantidade de energia é transformada ou é a rapidez com que o trabalho é realizado.
P =
dE
dt
ou
P =
dW
dt
Para uma força constante temos:
P =
dx
dW
=F
= Fv
dt
dt
34 CAPÍTULO 5. TRABALHO, ENERGIA MECÂNICA E CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
Exercı́cios Aplicados
1. A jovem da ﬁgura desloca sua mala de viagem aplicando, por meio do ﬁo, uma força
de intensidade T = 100N , formando um ângulo de 60◦ com a horizontal. Determine o
~ tal que d = |AB|
~ = 50m.
trabalho que T~ realiza no deslocamento AB
2. Constrói-se uma usina hidrelétrica aproveitando uma queda d’água de altura h = 10m e
de vazão Z = 100m3 /s. São dadas a densidade da água d = 1000kg/m3 e a aceleração da
gravidade g = 9,8m/s2 . Qual a potência dessa usina?
3. Um corpo de 10kg parte do repouso sob ação de uma força constante paralela à trajetória
e 5s depois atinge a velocidade de 15m/s. Determine o trabalho que atua no corpo de 0
à 5s.
4. No sistema elástico da ﬁgura, O representa a posição de equilı́brio (mola não-deformada).
Ao ser alongada, passando para a posição A, a mola armazena a energia potencial elástica
Ep = 2,0J. Determine:
(a) A constante elástica da mola.
(b) A energia potencial elástica que a mola armazena na posição B, ponto médio do
¯
segmento OA.
5. Um operário arrasta um corpo de 40kg de A até B, sobre uma superfı́cie horizontal exercendo sobre ele uma força F = 200N como mostra a ﬁgura.
(a) Determine o trabalho realizado pelo operário.
(b) Determine a potência desenvolvida pelo operário se o deslocamento foi realizado em
10s?
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6. Um veı́culo de 1200kg foi acelerado uniformemente a partir do repouso, numa pista plana,
durante 10s. Após este intervalo de tempo sua energia cinética vale 240 kJ. Qual foi a
força resultante sobre o veı́culo?
7. Um caminhão transporta 20 toneladas de milho numa estrada com uma velocidade de
90km/h. Se 300kW da potência do motor do caminhão está sendo usada para vencer a
força de resistência do ar, determine o módulo dessa força.
8. Um bloco de 5,0 kg se move com v0 = 6, 0m/s sobre uma superfı́cie horizontal com atrito
desprezı́vel, dirigindo-se contra uma mola cuja constante elástica é dada por k = 500N/m
e que possui uma de suas extremidades presa a uma parede.
(a) Calcule a distância máxima que a mola pode ser comprimida.
(b) Se a distância máxima que a mola pudesse ser comprimida fosse de 0,150 m, qual
seria o valor máximo de v0 ?
9. Em uma certa fábrica, caixotes de 300 kg são deixados cair verticalmente de uma máquina
de empacotamento em uma esteira transportadora que se move a 1,20 m/s. (Um motor
mantém a velocidade da esteira constante.) O coeﬁciente de atrito cinético entre a esteira
e cada caixote é 0,400. Após um pequeno intervalo de tempo deixa de haver deslizamento
entre a esteira e o caixote, e este passa a se mover junto com a esteira. Durante o intervalo
de tempo no qual o caixote está se movendo em relação à esteira, calcule:
(a) A energia cinética fornecida ao caixote.
(b) O módulo da força de atrito cinético que age sobre o caixote.
(c) A energia fornecida pelo motor.
(d) Explique por que as respostas dos itens (a) e (c) são diferentes.
10. A mola de uma espingarda de brinquedo tem uma constante elástica de 700N/m. Para
atirar uma bola de 60g a mola é comprimida, a bola é introduzida no cano da espingarda
e o gatilho libera a mola, que empurra a bola. Se num disparo para cima a bola atinge
6, 0m, determine:
(a) Com que velocidade a mola lança a bola?
(b) Quantos centı́metros a mola foi comprimida?
11. Um sistema mecânico de 50kg desliza a partir do repouso, 5m para baixo em um eixoguia, movendo-se com uma velocidade de 6.0m/s imediatamente antes de chegar a uma
plataforma. Qual é a força de atrito média fkméd que age sobre o sistema enquanto está
deslizando?
36 CAPÍTULO 5. TRABALHO, ENERGIA MECÂNICA E CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
12. Um bloco de massa 1,0kg colide com uma mola horizontal cuja constante elástica vale
20N/m comprimindo-a de 40cm. Supondo que o coeﬁciente de atrito cinético é 0,30 entre
a superfı́cie e o bloco. Qual era a velocidade do bloco no inı́cio da colisão?
13. Frederico (massa 70kg), um herói brasileiro, está de pé sobre o galho de uma árvore a 5m
acima do chão, como pode ser visto na ﬁgura abaixo. Segura um cipó que está preso em
um outro galho, que permite-lhe oscilar, passando rente ao solo sem tocá-lo. Frederico
observa um pequeno macaco no chão, que está preste a ser devorado por uma onça, o
maior felino da fauna brasileira. Determine a velocidade do nosso herói, quando chega no
chão, antes de pegar o macaco.
14. Na ﬁgura, o corpo C, de 0,4kg, é lançado do repouso pela mola M de constante elástica
12 × 103 N/m e descreve a trajetória sobre o trilho DEFG sendo que EFG é circular.
Determine a mı́nima compressão da mola para que o corpo não perca o contato com o
trilho.
15. Um dispositivo é usado para estudar lançamentos de projéteis de forma que, quando um
projétil é lançado horizontalmente atinge o solo conforme indica a ﬁgura. Se esse projétil
fosse lançado verticalmente, da mesma posição, que altura atingiria?
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16. Um disco de plástico de 72g é arremessado de um ponto 1.1m acima do solo com uma
velocidade escalar de 12m/s. Quando o disco atinge uma altura de 2.1m sua velocidade é
de 10.5m/s. Qual é a redução da Emec do sistema disco-Terra devido ao arrasto do ar?
17. Uma corda leve de comprimento total L1 + L2 está apoiada num pino liso como mostra a
ﬁgura. Uma partı́cula de massa m, presa à corda, é lançada em repouso do ponto A. A
mola, de constante elástica k, está comprimida de x.
(a) Determine a tensão do cabo quando a partı́cula estiver no ponto B.
(b) Determine a constante elástica para que, ao chegar ao ponto B, a tensão na corda
seja nula.
18. Um instrumento cortante controlado por um microprocessador possui diversas forças atuando sobre ele. Uma das forças é dada por F~ = −αxy 2 ̂ , uma força orientada no sentido
negativo do eixo Oy cujo módulo depende da posição do instrumento. O valor da constante
é dado por α = 2,50N/m3 . Considere o deslocamento do instrumento desde a origem até
o ponto x = 3,0m, y = 3,0m.
(a) Calcule o trabalho realizado pela força F~ sobre o instrumento para um deslocamento
ao longo da reta y = x que conecta esses dois pontos.
Resposta:
(b) Calcule o trabalho realizado pela força F~ sobre o instrumento quando ele é inicialmente deslocado ao longo do eixo Ox até o ponto x = 3,0m, y = 0 e a seguir deslocado
paralelamente ao eixo Oy até o ponto x = 3,0m, y = 3,0m.
Resposta:
(c) Compare os resultados dos trabalhos realizados por F~ nessas duas trajetórias. A
força F~ é conservativa ou não conservativa? Justiﬁque sua resposta.
Resposta:
Capı́tulo 6
Momento Linear, Impulso e
Colisões
Momento linear: (também chamado de quantidade de movimento) é uma das duas grandezas fı́sicas fundamentais necessárias à correta descrição do inter-relacionamento (sempre mútuo)
entre dois entes ou sistemas fı́sicos. A segunda grandeza é a energia. Os entes ou sistemas em
interação trocam energia e momento, mas o fazem de forma que ambas as grandezas sempre
obedeçam à respectiva lei de conservação.
Na fı́sica clássica, a quantidade de movimento linear (P~ ) é deﬁnida pelo produto da massa
(m) pela velocidade (~v ).
P~ = m.~v
O momento linear se conserva (seu valor é constante), sempre que considerarmos sistemas nos
quais não há forças externas atuando, ou que seu somatório seja um valor nulo. Sendo assim,
mesmo em uma colisão inelástica - onde a conservação da energia mecânica não é observada - a
conservação do momento linear permanece válida desde que o sistema seja isolado.
A unidade da quantidade de movimento linear no SI é o quilograma metro por segundo
kg · m/s, que pode ser representado também por newton segundo (N · s).
Impulso: é a grandeza fı́sica que mede a variação da quantidade de movimento de um
objeto. É causado pela ação de uma força F~ atuando durante um intervalo de tempo ∆t. Uma
pequena força aplicada durante muito tempo pode provocar a mesma variação de quantidade de
movimento que uma força grande aplicada durante pouco tempo. Ambas as forças provocaram
o mesmo impulso.
O impulso(I) é igual à variação da quantidade de movimento (∆P ) de um corpo.
I = ∆P
Em situações onde a força mostra-se constante ao longo do intervalo de atuação, o impulso pode
também ser calculado a partir do produto entre a força (F ) aplicada ao corpo e o intervalo de
tempo (∆t) durante o qual a força atua.
I = F · ∆t
Colisões: envolvem forças (ocorrem mudanças de velocidade). Colisões podem ser elásticas,
o que signiﬁca que há conservação de energia e momento, inelásticas, o que signiﬁca que há
conservação de momento mas não de energia, ou totalmente inelásticas (ou plásticas), quando
o momento é conservado mas os dois objetos ﬁcam juntos após a colisão.
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39
Exercı́cios Aplicados
1. Um homem de 80kg em repouso sobre uma superfı́cie de atrito desprezı́vel arremessa uma
pedra de 200 g com uma velocidade horizontal de 5,0 m/s. Qual é a velocidade do homem
após o arremesso?
2. Uma bala com 20g de massa se choca com um pêndulo balı́stico com 2,00kg de massa. O
centro de massa do pêndulo sobe uma distância vertical de 15cm. Supondo que a bala ﬁca
alojada no pêndulo, calcule a velocidade inicial da bala.
3. Mês passado, em uma rodovia estadual de Santa Catarina, houve um acidente envolvendo
um carro de passeio de 1600 kg, que trafegava a 72 km/h, que acabou colidindo com a
traseira de um caminhão de 12 ton que trafegava a 54 km/h, na mesma direção e sentido
do carro. Após a colisão o carro continuou preso ao caminhão pelo para-choque. Qual é a
velocidade do sistema (carro + caminhão) após a colisão?
4. Duas esferas de titânio se aproximam com a mesma velocidade escalar e sofrem uma colisão
elástica frontal. Após a colisão, uma das esferas, cuja massa é de 300 g, permanece em
repouso.
(a) Qual é a massa da outra esfera?
(b) Qual é a velocidade do centro de massa das duas esferas se a velocidade escalar inicial
de cada esfera é 2,00 m/s?
5. Um carrinho com 400g de massa, que se move em uma pista de atrito desprezı́vel com uma
velocidade inicial de 2.0m/s, sofre uma colisão eslástica com outro carrinho inicialmente
em repouso de massa desconhecida. Após a colisão o primeiro carrinho continua a se mover
na mesma direção e sentido com uma velocidade escalar de 0.70m/s.
(a) Qual é a massa do segundo carrinho?
(b) Qual é a velocidade do segundo carrinho após a colisão?
(c) Qual é a velocidade do centro de massa vCM do sistema dos dois carrinhos?
6. Uma bala de 4.00g à 1800km/h atinge um bloco de madeira de 1kg inicialmente em repouso
sobre uma superfı́cie com atrito desprezı́vel. A bala crava no bloco. Qual é a velocidade
ﬁnal do sistema bala-bloco?
7. Um atirador segura um riﬂe de massa mR = 3,0kg frouxadamente de modo que a arma
possa recuar levremente ao disparar. Ele atira uma bala de massa mB = 7,0g horizontalmente com velocidade relativa ao solo dada por vBx = 300m/s.
(a) Qual é a velocidade de recuo vRx do riﬂe?
(b) Quais são os valores da energia cinética ﬁnal e do momento linear total ﬁnal da bala?
(c) E do riﬂe?
8. Uma bala de 7,00 g a 700 m/s atinge um bloco de madeira de 800 g inicialmente em repouso
sobre uma superfı́cie com atrito desprezı́vel. A bala atravessa o bloco e emerge, viajando
no mesmo sentido, com sua velocidade reduzida para 400 m/s. Qual é a velocidade ﬁnal
do bloco?
40
CAPÍTULO 6. MOMENTO LINEAR, IMPULSO E COLISÕES
9. Na ﬁgura, o bloco A com uma massa de 1, 5kg, desliza em direção ao bloco B, com
uma massa de 2, 5kg, ao longo de uma superfı́cie de atrito desprezı́vel. Os sentidos de
três velocidades antes (i) e depois (f ) da colisão estão indicados; as velocidades escalares
correspondentes são vAi = 5, 5m/s, vBi = 2, 5m/s e vBf = 5, 0m/s.
Determine a velocidade ~vAf .
Capı́tulo 7
Rotações
Cinemática Rotacional:
Movimento Circular Uniforme (ω ≡ constante)
ω=
∆θ
∆t
Movimento Circular Uniformemente Variado (α ≡ constante)
∆ω
∆t
1
∆θ = ω0 t + αt2
2
2
2
ω = ω0 + 2α∆θ
α=
Relações entre cinemática linear e angular:
s = θR
v = ωR
at = αR
v2
ac =
= ω2 R
R
Momento de Inércia:
I=
Z
r2 dm =
Z
r2 ρdV
Alguns valores tabelados:
Disco ou cilindro em torno de seu eixo: I = 21 M R2
Esfera em torno de seu centro: I = 52 M R2
etc...
Teorema dos Eixos Paralelos:
I = ICM + M h2
Energia cinética de rotação:
K=
1 2
Iω
2
W = ∆K
Torque:
Trabalho realizado por um torque:
Momento de angular:
Torque e momento angular:
41
42
CAPÍTULO 7. ROTAÇÕES
Exercı́cios Aplicados
1. O volante de um motor está girando a 1000rpm. Quando o motor é desligado o volante
desacelera a uma taxa constante e para em 40,0s. Calcule:
(a) A aceleração angular do volante.
(b) O número de rotações realizadas pelo volante até parar.
2. Você foi solicitado para projetar a hélice de uma avião que deve girar a 2400 rpm. A
velocidade do avião deve ser de 75,0 m/s (270 km/h), e a velocidade da extremidade da
lâmina da hélice não pode superar 270 m/s (Isso é cerca de 0,80 vezes a velocidade do
som no ar. Se as extremidades das lâminas se deslocassem com a velocidade do som, elas
poderiam produzir uma enorme quantidade de ruido.)
(a) Qual é o raio máximo que a hélice pode ter?
(b) Com esse raio, qual é a aceleração da extremidade da hélice?
3. Um cabo leve, ﬂexı́vel e não deformável é enrolado diversas vezes em torno da periferia
de um tambor, um cilindro maciço com diâmetro de 0,120 m e massa igual a 50 kg, que
pode girar em torno de um eixo estacionário horizontal mantido por mancais de rolamento
com atrito desprezı́vel. A extremidade livre do cabo é puxada com uma força constante de
módulo igual a 9,0 N , deslocando-se por uma distância de 2,0 m. Ele se desenrola fazendo
o cilindro girar.
[Dado: Momento de inércia de uma roda= 12 mR2 ]
Se o cilindro inicialmente está em repouso, calcule:
(a) Sua velocidade angular ﬁnal.
(b) A velocidade escalar ﬁnal do cabo.
4. O rotor de um motor elétrico tem um momento de inércia Im =2,0×10−33 kg · m2 em
relação ao eixo central. O motor é usado para mudar a orientação da sonda espacial no
qual está montado. O eixo do motor coincide com o eixo central da sonda; a sonda possui
um momento de inércia Is =12,0kg · m2 em relação a esse eixo. Calcule o número de
revoluções do rotor necessárias para fazer a sonda girar 30◦ em torno do eixo central.
5. Um motor elétrico consome 9,0kJ de energia elétrica em 1,0min. Se um terço dessa energia
é consumida no aquecimento e em outras formas de energia interna do motor e o restante é
a produção do motor, qual é o torque desenvolvido por esse motor, se ele gira a 2500rpm?
43
6. Um volante de inércia ou volante, essencialmente uma roda pesada, é um elemento mecânico
que garante a um sistema uma inércia adicional de modo que permite armazenar energia
cinética. O volante mantém seu movimento por inércia, desta forma, o volante se opõe
às aceleracões bruscas em um movimento rotativo. Assim é muito usado para reduzir as
rápidas variações de velocidade angular.
O momento angular de um volante com um raio de 20,0cm e massa de 1,5kg diminui de
10,00 para 1,00kg · m2 /s em 1,00s.
[Dado: Momento de inércia de uma roda= 21 mR2 ]
(a) Qual é o módulo do torque médio em relação ao eixo central que age sobre o volante
durante esse perı́odo?
(b) Supondo uma aceleração angular constante, de que ângulo o volante gira?
(c) Qual é o trabalho realizado sobre o volante?
(d) Qual é a potência média do volante?
7. A velocidade angular do motor de um automóvel é aumentada a uma taxa constante de
1000rpm para 3000rpm em 10s.
(a) Qual é a aceleração angular?
(b) Quantas rotações o motor executa nesse intervalo de 10s?
8. Um disco de polimento, com raio de 20cm e massa 100g, está preso a uma furadeira elétrica
cujo motor produz um torque de módulo 16N · m em relação ao eixo central do disco. Com
o torque aplicado durante 33ms, qual é o módulo:
(a) Do momento angular.
(b) Da velocidade angular.
9. Dois discos estão montados em rolamentos de baixo atrito do mesmo eixo e podem ser
acoplados e girar como se fossem um só. O primeiro disco com momento de inércia de
3,30kg · m2 é posto para girar no sentido anti-horário a 450rpm. O segundo disco com um
momento de inércia de 6,60kg · m2 é posto para girar no sentido anti-horário a 900rpm.
Em seguida os discos são acoplados:
(a) Qual é a velocidade angular dos discos após o acoplamento?
(b) Se o segundo disco fosse posto a girar a 900rpm no sentido horário, qual seria a
velocidade angular e o sentido de rotação dos discos após o acoplamento?
10. A velocidade angular do motor de um automóvel é aumentada a uma taxa constante de
1000rpm para 3000rpm em 10s.
(a) Qual é a aceleração angular?
(b) Quantas rotações o motor executa nesse intervalo de 10s?
11. Você deve projetar uma plataforma giratória industrial com 60,0cm de diâmetro e energia
cinética de 0,250J quando gira a 45,0rpm (rev/min).
(a) Qual deve ser o momento de inércia da plataforma em relação ao eixo de rotação?
(b) Se a sua oﬁcina construir essa plataforma no formato de um disco maciço e uniforme,
qual deve ser a sua massa?