AULA 14 – CONES
CONE
Considere uma região plana limitada por uma curva suave
(sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.
Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de
todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em
um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer da
região.
1. Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos
os segmentos de reta.
2. Base de um cone é a região plana contida no interior da
curva, inclusive a própria curva.
3. Eixo do cone é quando a base do cone é uma região
que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa
pelo vértice P e pelo centro da base.
4. Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade
no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.
5. Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.
6. Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os
segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a
outra na curva que envolve a base.
7. Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com
a base do cone que é o círculo.
8. Seção meridiana de um cone é uma região triangular
obtida pela interseção do cone com um plano que contem o
eixo do mesmo.
Observações sobre um cone circular reto
Um cone circular reto é denominado cone de revolução por
Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo
os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. retângulo em torno de um de seus catetos.
Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano
da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado
apresentamos um cone oblíquo.
CLASSIFICAÇÃO
A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do
cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura
ao lado, a seção meridiana é a região triangular limitada
pelo triângulo isósceles VAB.
Em um cone circular reto, todas as geratrizes são
congruentes entre si.
Portanto, vale a relação:
g
Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são
os cones retos. Em função das bases, os cones recebem
nomes especiais.
Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo
e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.
2
2
2
=H +r
ELEMENTOS CONE
Em um cone, podem ser identificados vários elementos:
A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida
em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do
cone):
ÁREA LATERAL
A
-1-
L
= π .r .g
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Observação
AULA 14 – CONES
A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em b) volume do cone.
função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone): c) a área lateral do cone.
ÁREA TOTAL
A
T
4. Calcule o volume do sólido representado pela figura.
= π .r ( g + R )
4 cm
8 cm
VOLUME
V=
6 cm
π R .H
2
5. Calcule a área total de um cone reto de 4 cm de altura e
15π cm2 de área lateral.
3
6. A área total de um cone reto de 5 cm de raio da base é
de 100π cm2. Calcular a altura do cone.
CONE EQUILÁTERO
Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção
meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a 7. Calcule a área da base de um cone reto de 6 cm de
medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.
altura e 10 cm de geratriz.
8. Calcule o raio da base de um cone reto cuja geratriz
2
mede 13 cm e cuja área total é de 90π cm .
9. Determinar a medida da altura de um cone cuja geratriz
mede 10 cm sendo 12 cm o diâmetro de sua base.
CARACTERÍSITICA CONE EQUILÁTERO
10. Determinar a medida do diâmetro da base de um
cone de revolução cuja geratriz mede 65 cm, sendo 56
cm a altura do cone.
g = 2r
EXERCÍCIOS
ÁREA TOTAL CONE EQUILÁTERO
A T = 3π R
2
11. UFSCAR
GABARITO a) 500 ml b) 87,5%
Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve
dividir uma taça de milk shake com as dimensões
mostradas no desenho.
VOLUME CONE
3
EXERCÍCIOS
1. se o raio da base de um cone reto é 6 cm e a altura do
cone é 8 cm, qual é a medida de sua geratriz?
2. Se o raio da base de um cone é 5 cm e sua altura é 12
cm, calcule seu volume.
3. Um cone reto está inscrito num cubo cuja aresta mede 6 a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e que
eles beberam todo o milk shake, calcule qual foi o
cm.
volume, em mL, ingerido pelo casal. Adote π = 3.
b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do
copo, quanto do volume total, em porcentagem, terá
bebido?
Calcule:
a) a área da base do cone.
-2-
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V=
π r 2 .H
AULA 14 – CONES
12. ENEM
GABARITO B
Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de
ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a
luminária ilustrada na figura. Sabendo-se que a luminária
2
deverá iluminar uma área circular de 28,26m ,
considerando π = 3,14 , a altura H será igual a:
base é 8πcm, então o volume do cone, em centímetros
cúbicos, é:
a) 64π
b) 48π
c) 32π
d) 16π
e) 8π
GABARITO B
16. ACAFE
Um fazendeiro solicitou a um engenheiro o projeto de um
depósito para estocar a ração de seus animais. A figura
abaixo mostra o esboço do depósito criado pelo
engenheiro.
a) 3 m
b) 4 m
c) 5 m
d) 9 m
e) 16 m
GABARITO E
13. ENEM
a) 96π m3
A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito
b) 24π m3
usado em países orientais.
c) 64π m3
d) 48π m3
e) 72π m3
17. UEL
GABARITO E
Um cone circular reto tem altura de 8cm e raio da base
medindo 6cm. Qual é, em centímetros quadrados, sua
área lateral?
a) 20 π
b) 30π
Esta figura é uma representação de uma superfície de c) 40π
revolução chamada de
d) 50π
e) 60π
a) pirâmide.
b) semiesfera.
18. ACAFE
GABARITO C
c) cilindro.
Uma
tulipa
de
chopp
tem
a
forma
cônica,
como
mostra a
d) tronco de cone.
figura
abaixo.
Sabendo-se
que
sua
capacidade
é
de 100π
e) cone.
ml, a altura h é igual a:
10cm
GABARITO D
14. UFRGS
A superfície lateral de um cone de altura H, quando
planificada, gera um semicírculo de raio 10. O valor de H é: a) 20cm
b) 16cm
a) 3
c) 12cm
b) 3
h
d) 8cm
c) 5
e) 4cm
d) 5 3
e) 10
GABARITO A
15. FATEC
A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida
do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa
-3-
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Disponível em: http://mdmat.psico.ufrgs.br. Acesso em: 1 maio 2010.
AULA 14 – CONES
círculo para a base. A medida do ângulo central do setor
19. UFPA
GABARITO B
Num cone reto, a altura e 3m e o diâmetro da base mede circular é:
8m. Então, a área total, em metros quadrados, vale:
a) 144°
a) 52π
b) 192°
b) 36π
c) 240°
c) 20π
d) 288°
d) 16π
e) 336°
e) 12π
GABARITO B
23. UEMA
20.
GABARITO D O volume de um cone equilátero, que tem como área da
Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo base A = 12π m2 , é:
B
reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A
a)
72
π
m3
b
3
razão
entre as dimensões do paralelepípedo é
e o
b) 24π m3
a
2
volume do cone é π. Então, o comprimento g da geratriz do c) 36π m3
cone é
d) 28π m3
e) 40π m3
24. FEMPAR
GABARITO A
Se a base de um cone de revolução de raio igual a 2 cm
for equivalente a secção meridiana, a sua altura medirá,
em cm:
a)
5
b)
6
c)
7
a) 2π
b) 3π
c) 4π
d) 5π
e) 7π
25. CEFET
GABARITO D
A altura de um cone circular reto é igual ao diâmetro de
sua base. Se a geratriz mede 15 cm, o seu volume é, em
cm³, igual a :
d) 10
e) 11
e) 72 5 π
26. CESGRANRIO
GABARITO D
No desenho a seguir, dois reservatórios de altura H e raio
R, um cilíndrico e outro cônico, estão totalmente vazios e
cada um será alimentado por uma torneira, ambas de
mesma vazão. Se o reservatório cilíndrico leva 2 horas e
meia para ficar completamente cheio, o tempo necessário
para que isto ocorra com o reservatório cônico será de:
a) 243π.
b) 270π.
c) 250π.
d) 225π.
e) 280π.
22. FUVEST
GABARITO D
Deseja-se construir um cone circular reto com 4cm de raio
da base e 3cm de altura. Para isso, recorta-se, em
cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um
-4-
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21.
GABARITO A
Um abajur em formato de cone eqüilátero está sobre uma
escrivaninha, de modo que, quando aceso, projeta sobre a) 270 5 π
esta um círculo de luz (veja figura abaixo). Se a altura do b) 27 5 π
abajur, em relação à mesa, for H = 27 cm, a área do círculo
2
c) 540 5 π
iluminado, em cm , será igual a
d) 90 5 π
AULA 14 – CONES
a) 2 h
b) 1 h e 30 min
c) 1 h
d) 50 min
e) 30 min
GABARITO C
27. ITA
Sabendo-se que um cone circular reto tem 3 dm de raio e
2
3
15π dm de área lateral, o valor de seu volume em dm é:
a) 9π
b) 15π
c) 12π
d) 36π
e) 20π
GABARITO A
28. UFPA
Qual é o volume de um cone circular reto de diâmetro da
base a 6 cm e de geratriz 5 cm ?
a) 12π
b) 24π
c) 36π
d) 48π
e) 96π
GABARITO A
30. UFPR
A geratriz de um cone mede 13 cm e o diâmetro de sua
3
base 10 cm. O volume do cone em cm é:
a) 100π
b) 200π
c) 300π
325π
d)
3
20π
e)
3
GABARITO A
31. UESC-BA
Um cone circular reto possui raio da base e altura iguais a
3 cm e 4 cm, respectivamente. É correto afirmar que a área
2
lateral, em cm , de um cilindro circular reto de raio da base
igual à terça parte do raio da base do cone e que comporta
o mesmo volume do cone é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
24 π
14 π
12 π
24
12
-5-
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GABARITO D
29. UFOP-MG
Se o raio da base de um cone de revolução mede 3 cm e o
perímetro de sua secção meridiana mede 16 cm, então seu
3
volume, em cm , mede:
a) 15π
b) 10π
c) 9π
d) 12π
e) 14π