CONE
Cones
Definição e elementos
• Um plano 
• Um círculo C contido em 
• Um ponto V que não pertence a 
Elementos do cone
Base: é o círculo C, de centro O, situado no
plano 
Elementos do cone
Vértice: é o ponto V
Elementos do cone
Raio da base: é o raio r do círculo C
Elementos do cone
Altura: é a distância h do ponto V ao plano da
base
Elementos do cone
Eixo: é a reta que contém o vértice V e o centro
O do círculo da base
Elementos do cone
Geratriz: é qualquer segmento VP, sendo P um
ponto qualquer da circunferência da base
Cone reto
• Um cone se diz reto ou de
revolução, quando o eixo é
perpendicular ao plano da
base.
• Ele pode ser obtido pela
rotação completa de um
triângulo retângulo em torno
da reta suporte de um dos
catetos.
• Nesse caso a altura do cone
coincide com a medida do
segmento 𝑉𝑂.
Cone reto
Relação em VOP
•
•
•
•
•
No triângulo retângulo VOP: 𝑔2 = ℎ2 + 𝑟 2
Onde:
𝑔2 medida da geratriz
ℎ2 altura do cone
𝑟 2 medida do raio da base
Áreas de superfície de um cone
circular reto
Área da base (Sb)
A base é um círculo de raio r, portanto:
𝑺𝒃 = 𝝅𝒓𝟐
Áreas de superfície de um cone
circular reto
Área lateral (Sl)
A área da superfície lateral corresponde à área de
um setor circular de raio g.
𝑺𝒍 = 𝝅𝒓𝒈
Áreas de superfície de um cone
circular reto
Área total (St)
É a soma da área lateral com a área da base.
𝑺𝒕 = 𝝅𝒓 𝒈 + 𝒓
Exemplo 1
Um fabricante de balas resolveu fazer a
embalagem para um de seus produtos na forma
de um cone reto, com 6cm de diâmetro e 10cm
de altura. Qual será a quantidade mínima de
papel utilizada para cobrir toda a superfície
dessa embalagem?
Exemplo 1
Um fabricante de balas resolveu fazer a embalagem para um de
seus produtos na forma de um cone reto, com 6cm de diâmetro
e 10cm de altura. Qual será a quantidade mínima de papel
utilizada para cobrir toda a superfície dessa embalagem?
𝑔2 = ℎ2 + 𝑟 2
𝑆𝑏 = 𝜋𝑟𝑔
𝑆𝑡 = 𝑆𝑙 + 𝑆𝑏
𝑆𝑡 = 𝜋𝑟𝑔 + 𝜋𝑟 2 𝑜𝑢 𝜋𝑟 𝑔 + 𝑟
Exemplo 1
• 𝑔2 = ℎ2 + 𝑟 2
• 𝑔2 = 102 + 32 → 𝑔2 = 109 → 𝑔 = 109𝑐𝑚
• 𝑆𝑏 = 𝜋𝑟𝑔
• 𝑆𝑏 = 𝜋. 3. 109 = 3𝜋 109
• 𝑆𝑡 = 𝜋𝑟𝑔 + 𝜋𝑟 2 𝑜𝑢 𝜋𝑟 𝑔 + 𝑟
• 𝑆𝑡 = 𝑆𝑙 + 𝑆𝑏 → 3𝜋 109 + 9𝜋 = 3𝜋
109 + 3
Exemplo 1
• Fazendo 109 = 10,44 𝑒 𝜋 = 3,14 temos:
• 𝑆𝑡 = 3𝜋 109 + 3
• 𝑆𝑡 = 3.3,14 10,44 + 3 ≅ 126,60
• Foram utilizados aproximadamente 126,60cm2
de papel.
Exemplo 2
Planificando a superfície lateral de um cone
circular reto, obtemos um setor circular de raio
5cm e um ângulo central de 72°. Calcular a área
lateral (Sl) e a área total (St) do cone.
Exemplo 2
Planificando a superfície lateral de um cone circular reto,
obtemos um setor circular de raio 5cm e um ângulo central
de 72°. Calcular a área lateral (Sl) e a área total (St) do cone.
Exemplo 2
72
180
𝑥
𝜋𝑟𝑎𝑑
72𝜋 = 180𝑥
72𝜋
= 𝑥 ÷ 12
180
6𝜋
=𝑥 ÷3
15
2𝜋
5
Exemplo 2
2𝜋
𝑟𝑎𝑑,
5
Sabendo que 72° =
vem: 𝑙 = 𝛼. 𝑔
2𝜋
𝑙=
. 5 ∴ 𝑙 = 2𝜋𝑐𝑚
5
𝑙 = 2𝜋𝑟 → 2𝜋 = 2𝜋𝑟 ∴ 𝑟 = 1𝑐𝑚
Exemplo 2
𝑆𝑙 = 𝜋𝑟𝑔 → 𝑆𝑙 = 𝜋. 1.5 ∴ 𝑆𝑙 = 5𝜋𝑐𝑚2
𝑆𝑏 = 𝜋𝑟 2 → 𝑆𝑏 = 𝜋. 12 ∴ 𝑆𝑏 = 𝜋𝑐𝑚2
𝑆𝑡 = 𝑆𝑙 + 𝑆𝑏 → 𝑆𝑡 = 5𝜋 + 𝜋 ∴ 𝑆𝑡 = 6𝜋𝑐𝑚2
Ou
𝑆𝑡 = 𝜋𝑟 𝑔 + 𝑟 → 𝑆𝑡 = 𝜋. 1 5 + 1
∴ 𝑆𝑡 = 6𝜋𝑐𝑚2
A área lateral é 5𝜋𝑐𝑚2 e a área total é 6𝜋𝑐𝑚2
Volume do Cone
Considere um cone uma pirâmide com mesma
altura h e bases equivalentes contidas no plano
.
Volume do Cone
Nessas condições, esses dois sólidos tem o
mesmo volume, ou seja:
Volume do cone=volume da pirâmide
1
3
Volume da pirâmide→ (área da base).(altura)
Então, num cone circular reto de raio r e altura h,
temos:
1
𝟏 𝟐
𝑉 = 𝑆𝑏 . ℎ → 𝑽 = 𝝅𝒓 𝒉
3
𝟑
Exemplo 1
Um filtro cônico de papel tem 12cm de
profundidade e 8 cm de diâmetro. Determine
sua capacidade em mililitros.
Exemplo 1
Um filtro cônico de papel tem 12cm de
profundidade e 8 cm de diâmetro. Determine
sua capacidade em mililitros.
Exemplo 1
8
2
O raio do “círculo” é 𝑟 = = 4 ∴ 𝑟 = 4𝑐𝑚
1 2
1
𝑉 = 𝜋𝑟 ℎ → 𝑉 = . 𝜋. 42 . 12 ∴ 𝑉 = 64𝜋 𝑐𝑚3
3
3
Fazendo 𝜋 = 3,14: 𝑉 ≅ 200𝑐𝑚3 𝑜𝑢 𝑉 ≅ 200𝑚𝑙
Exemplo 2
A figura mostra o sólido obtido pela rotação
completa de um triângulo retângulo ABC em
torno da hipotenusa 𝐵𝐶.
Tal sólido é a reunião de dois cones retos de
mesma base.
Calcule o seu volume, sabendo que os catetos
AB e AC medem 9cm e 12cm respectivamente.
Exemplo 2
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo
ABC, vamos encontrar a medida de sua hipotenusa,
que corresponde à soma das alturas dos cones.
𝐵𝐶 2 = 92 + 122 → 𝐵𝐶 2 = 225 ∴ 𝐵𝐶 = 15𝑐𝑚
O raio da base comum aos cones é a medida da
altura AH do triângulo ABC.
Exemplo 2
AB.AC=BC.AH→9.12=15.AHAH=7,2cm
Portanto, r=7,2cm
O volume do sólido é a soma V1+V2, em que V1 e
V2 são, respectivamente, os volumes dos cones
de vértices B e C e raio r=AH.
Exemplo 2
1
𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 → 𝑉 = . 𝜋𝑟 2 𝐵𝐻 + 𝐶𝐻
3
1 2
1 2
𝑉 = 𝜋𝑟 𝐵𝐻 + 𝐶𝐻 → 𝑉 = 𝜋𝑟 . 𝐵𝐶
3
3
*(BH+CH)=BC
Substituindo numericamente: 𝑉 =
1
. 𝜋. 7,22 . 15 ∴ 𝑉 ≅ 814𝑐𝑚3
3
Tronco de cone
Quanto interceptamos um cone por um plano , que é paralelo à
base e não passa pelo vértice, determinamos dois sólidos: um
deles é outro cone de mesmo vértice e o segundo é denominado
tronco de cone de bases paralelas.
Tronco de cone
Quanto interceptamos um cone por um plano , que é paralelo à
base e não passa pelo vértice, determinamos dois sólidos: um
deles é outro cone de mesmo vértice e o segundo é denominado
tronco de cone de bases paralelas.
Áreas da superfície de um tronco de cone
Planificando a superfície do tronco de cone
circular reto indicado na figura, obtemos:
R: raio da base
r: raio da secção
G: geratriz do cone
g: geratriz do tronco
Áreas das bases
Base maior: 𝑺𝑩 = 𝝅𝑹𝟐
Base menor: 𝑺𝒃 = 𝝅𝒓𝟐
Área lateral
A área lateral do tronco de cone (Sl) é igual à
área lateral do cone primitivo menos a área
lateral do cone destacado (cone pequeno), isto
é:
𝑆𝑙 = 𝜋𝑅𝑔 − 𝜋𝑟 𝑔 − 𝐺
𝑺𝒍 = 𝝅𝑮 𝑹 + 𝒓
Área total
É a soma da área das bases com a área lateral.
𝑺𝒕 = 𝑺𝒍 + 𝑺𝑩 + 𝑺𝒃
Volume do tronco circular reto
Considere o tronco de cone representado pela
figura seguinte:
B: área da base maior (S1)
b: área da base menor (S2)
ht ou k: altura do tronco
Volume do tronco circular reto
Volume do tronco de cone:
𝑘
𝑉 = 𝐵 + 𝐵. 𝑏 + 𝑏
3
𝑆1 = 𝜋𝑅2 𝑒 𝑆2 = 𝜋𝑟 2 , portanto:
𝒌𝝅 𝟐
𝑽=
𝑹 + 𝑹𝒓 + 𝒓𝟐
𝟑
Propriedades do tronco de cone
1ª propriedade
2ª propriedade
3ª propriedade
𝒓 𝒅
=
𝑹 𝒉
𝑏 𝑑2
=
𝐵 ℎ2
𝑉´ 𝑑 3
=
𝑉 ℎ3
Exemplos
1. Um tronco de cone é obtido pela rotação do
trapézio da figura em torno o eixo 0𝑦. Calcule a
área lateral, a área total e o volume do tronco
assim gerado.
Exemplos
Desenhando o sólido e destacando o triângulo
retângulo ADE:
𝐺 2 = 𝐾 2 + 𝐸𝐷
2
→ 𝐺 2 = 32 + 12 ∴ 𝐺 = 10𝑐𝑚
Exemplos
Área lateral: R=2 e r=1
𝑆𝑙 = 𝜋𝐺 𝑅 + 𝑟 → 𝑆𝑙 = 𝜋 10 2 + 1
2
𝑆𝑙 = 3 10𝜋𝑐𝑚
Exemplos
Área total: 𝑺𝒕 = 𝑺𝒍 + 𝑺𝑩 + 𝑺𝒃
𝑆𝐵 = 𝜋𝑅2 → 𝜋22 ∴ 𝑆𝐵 = 4𝜋𝑐𝑚2
𝑆𝑏 = 𝜋𝑟 2 → 𝜋12 ∴ 𝑆𝑏 = 𝜋𝑐𝑚2
𝑆𝑡 = 3 10𝜋 + 4𝜋 + 𝜋 → 3 10 + 4 + 1 𝜋
Exemplos
Volume: R=2, r=1 e k=3
𝑘𝜋
V=
3
2
𝑅 + 𝑅𝑟 + 𝑟
2
=
3𝜋
3
2
2
2 + 2.1 + 1
= 𝜋 4 + 2 + 1 ∴ 𝑉 = 7𝜋𝑐𝑚
3
Exemplos
2. Um cone circular reto tem raio de 4m e altura 8m.
Qual a área da secção transversal feita por um plano
distante 2m do seu vértice?
Exemplos
2. Um cone circular reto tem 4m e altura 8m.
Qual a área da secção transversal feita por um
plano distante 2m do seu vértice?
𝑟
𝑅
𝑑
ℎ
Cálculo do raio da secção (r): =
𝑟 2
= → 4 = 1𝑚
4 8
Cálculo da área da secção (b): 𝑏 = 𝜋𝑟 2
𝑏 = 𝜋12 ∴ 𝑏 = 𝜋𝑚2
Exemplos
3. Um copo de chope, cujo
interior tem a forma
praticamente cônica, tem 15cm
de profundidade e capacidade
para 300ml. Suponha que um
chope seja “tirado” com 3cm de
“colarinho” (espuma). Qual o
volume de chope (líquido)
contido no copo?
Exemplos
d=15-3, assim, d=12cm
h=15cm
V=300ml
3
3
𝑉´ 𝑑
𝑉´
12
4
= 3→
=
=
𝑉 ℎ
300
15
5
𝑉´
= 0,512 → 300.0,512
300
V´=153,6ml
3