APOSTILA ELEABORADA PELO PROF. CARLINHOS - CONES
CONES
Consideremos um círculo de centro O e raio r, situado num plano, e um ponto V fora
dele. Chama-se cone circular, ou cone, a reunião dos segmentos com uma extremidade
em V e a outra em um ponto do círculo. Num cone destacamos os seguintes elementos:
CLASSIFICAÇÃO
Um cone pode ser classificado conforme a inclinação
da reta em relação ao plano da
base:
a) o cone circular é oblíquo quando a reta
é oblíqua à base.
b) o cone circular é reto quando a reta
é perpendicular à base.
O cone circular reto é também chamado “cone de revolução”. Ele é gerado pela rotação
de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
No cone de revolução, a reta
é o eixo, e vale a relação:
r2 + h2 = g2
Todas as geratrizes são congruentes entre si.
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ÁREAS E VOLUME
Área da base: Ab
A área da base de um cone é a área de um círculo de raio r.
Ab = r2
Área lateral: Al
A superfície lateral de um cone é a reunião das geratrizes. A área dessa superfície é
chamada área lateral e é indicada por Al.
A superfície lateral de um cone circular reto, de geratriz g e raio da base r, planificada, é
um setor circular cujo raio é g (geratriz do cone) e cujo comprimento do arco é 2r
(perímetro da base).
O raio do setor é g, e o comprimento do arco do setor é 2r.
Assim, podemos estabelecer a regra de três:
Comprimento do arco
área do setor
A área lateral de um cone também pode ser calculada em função do ângulo central ‘
que forma o setor circular correspondente a essa área, ou seja:
Al =
α.π . g2
360º
Área total: At
A superfície total de um cone é a reunião da superfície lateral com o círculo da base. A
área dessa superfície é chamada área total e é indicada por At.
At = Ab + Al
Substituindo-se Al = .r.g e Ab = .r2, vem:
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At = r.(r + g)
Volume: V
O volume de um cone é obtido da mesma forma que se obtém o volume da pirâmide:
Substituindo Ab por .r2, temos:
SEÇÃO MERIDIANA E CONE EQÜILÁTERO
Seção meridiana de um cone reto é a interseção dele com um plano que contém o eixo.
A seção meridiana de um cone reto é um triângulo isósceles.
Cone eqüilátero é um cone cuja seção meridiana é um triângulo eqüilátero.
Exemplos:
1) Calcule a área total e volume de um cone circular reto cujo o comprimento da
circunferência da sua base mede 8 π cm e sua geratriz 5cm.
Resolução:
2) O raio de um setor circular de 150º, em papel, mede 10cm; o setor vai ser utilizado na
confecção de um cone. Vamos determinar a área lateral, a área total e o volume desse
cone.
Resolução:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM
l) Um cone circular de 20m de altura tem raio de 4 m . Calcular a área da
secção transversal feita por um plano a 5m do vértice. resp:π m2
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2) A geratriz de um cone circular reto tem 15 dm e o raio mede 9 dm. Achar a área da
secção transversal feita a 3 dm do vértice e a área da secção da meridiana.
resp: Asecção da meridiana= l08 dm2
A secção transversal= 81π/16 dm2
3) Um cone circular reto tem 12 cm de raio e 16 cm de altura. Determinar a área lateral
e a área total desse cone. resp: Al=240π cm2 At= 384π cm2
4) Desenvolveu-se em um plano a superfície de um cone reto, obtendo-se um setor
circular de raio igual a 8 cm e ângulo central de 120º. Calcular a área lateral e a área da
base do cone. resp: Al=64π/3 cm2
Ab=64π/9 cm2
5) Um chapéu de palhaço tem a forma de cone e é feito de papelão. A circunferência da
base do chapéu mede 7l,592 cm. Determine quanto foi gasto de papelão, sabendo que a
altura do chapéu de 30 cm. (use π=3,14). resp: 1148,7cm2
6) Calcular o volume de um cone que tem l2 cm de altura, e o comprimento da
circunferência de sua base é 8π cm. resp:V= 64π cm3
7) Determine o volume de um cone cujo raio da base mede 6,4 cm e a altura l8,6 cm.
resp:V=253,952π cm3
8) Determine o raio da base de um cone de 3,6 dm de altura e volume 30π dm3.
resp: 5 dm
9) Calcular a altura de um cone de volume 887,364π cm3, sabendo que a circunferência
que contorna a sua base tem l8,84π cm comprimento. resp: 30 cm
10) Uma fábrica produz, por vez, l0000 peças de chumbo de forma cônica, tendo cada
uma l cm de raio e 3cm de altura. Determine quantos quilogramas de chumbo serão
utilizados, sabendo que a densidade do chumbo é ll,3 g/cm3 . resp: 354,82 kg
Referências Bibliográficas
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
APOSTILA ELABORADA PELO:
Prof. Luiz Carlos Souza Santos
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