ESTUDO DO CONE
1- Definição:
Denomina-se cone reto, ou de revolução,
o sólido obtido quando giramos, em torno
de uma reta, uma região triangular.
Vamos mostrar os elementos de um cone numa única figura:




Observa-se que num cone reto, pelo
teorema de Pitágoras, pode-se estabelecer
a seguinte relação:
O círculo C é a base do cone e seu
raio r é chamado raio do cone.
A distância entre o vértice V e o
plano α é a altura do cone, e sua
medida é expressa por h.
A reta que passa pelo vértice V e o
centro O da base chama-se eixo do
cone.
Se P é um ponto da circunferência
da base, então o segmento
é
chamado geratriz (g)
Observações:
Quando o eixo é oblíquo à base, o cone se
diz oblíquo (figura ao lado)
2- Áreas e volume do cone circular reto
Área da base
Como a base é um círculo, temos:
Área lateral
A figura nos mostra o desenvolvimento
num plano da superfície lateral de um
cone circular reto.
Observamos que o desenvolvimento
num plano da superfície lateral do cone
resultou num setor circular de raio g e
cujo arco tem um comprimento
.
Assim, temos:
Como no cone comprimento =
e raio = g, temos:
Área total
Volume
O volume de um cone circular reto é dado por:
Volume do cone = (área da base) . (medida da altura)
Então, num cone circular reto de raio r e de altura h (figura ao lado), temos:
→
Vamos resolver alguns problemas que tratam do cálculo de áreas e do volume de um cone
circular reto.
1° exemplo: Seja um cone circular reto de raio 8 cm e de altura 6 cm. Calcular a área lateral
e a área total
do cone.
Resolução: Dados:

Cálculo da geratriz

Cálculo da área lateral

Cálculo da área da base

Cálculo da área da total
A área lateral é 80
2 a área total é
.
2° exemplo: Calcular o volume de um cone circular reto de geratriz 10 cm, sabendo que sua
altura é igual ao triplo do raio da base.
Resolução: Dados:

Cálculo do raio da base

Cálculo do volume (V)
O volume do cone é
e da altura
.
Exercícios propostos:
1) A geratriz de um cone circular reto mede
cm. Se a altura do cone é 7 cm. Calcule
a medida do raio da base.
2) Um cone circular reto tem 1 m de raio e 3 m de altura. Calcule a área lateral e a área
total do cone. (Use
= 3,1).
3) Calcule a área lateral e a área total de um cone equilátero de raio 4 cm. (Um cone se
diz equilátero quando g= 2.r)
4) Qual é o volume de sorvete que cabe dentro de um copinho de forma cônica
(casquinha). Sabendo que o diâmetro do copinho é 6 cm e sua altura é 10 cm?
5) Qual é o volume de areia necessário para encher completamente um dos cones da
ampulheta cujas dimensões estão indicadas na figura?
3- Tronco de cone circular reto de bases paralelas
Consideremos um cone circular reto de vértice V e altura h, a uma distância d do vértice,
traçando um plano paralelo às bases, obtemos uma secção transversal do cone.
Consideremos, agora, o sólido constituído pela reunião dos seguintes conjuntos.
a) Base do cone;
b) Secção transversal;
c) Pontos do cone compreendidos
entre a base e a secção transversal.
Esse sólido é denominado tronco de cone de bases paralelas, em que destacamos:


As bases do tronco são a
base do cone e a secção;
A distância entre as bases
do cone chama-se altura
do tronco e sua medida é
expressa por k.
Considerando-se o tronco de cone da figura abaixo, demonstra-se que:

Área lateral

Volume (V)
Nas fórmulas:
= medida do raio da base
= medida do raio da secção
= medida da geratriz do tronco
= medida da altura do tronco
Convém observar, também, que a área total do tronco de cone é dada por:
Em que
Vamos resolver problemas que tratam do cálculo das arestas e do volume de um tronco
de cone.
1° exemplo: Um tronco de cone tem bases
de raios 1 cm e 4 cm. Sabendo que a
altura do tronco é 6 cm, calcular a área
lateral e a área total do tronco.
Resolução:

Cálculo da geratriz
Aplicando o teorema de Pitágoras:

Cálculo da área lateral

Cálculo da área da total
Resposta: A área lateral do tronco é de
e a área total é
2° exemplo: Os raios das bases de um tronco circular reto são 3 m e 2 m. Sabendo que a
altura do tronco é 6 m, calcular o volume do tronco.
Resolução: Dados:
Resposta: O volume do tronco é
Exercícios propostos
1- Determine a área lateral e a área total de um tronco de cone de raios 1 m e 5 m, e a
geratriz medindo 5 m.
.
2- As áreas das bases de um tronco de cone reto são 25π
e 9π
volume do tronco é de 49π
. Calcule a altura do tronco.
. Sabendo que o
3- Um copo tem a forma de um tronco de cone. Suas bases têm diâmetros de 8 cm e 6
cm, enquanto sua altura é de 10 cm. Qual é o volume máximo de água, em , que
esse copo pode conter? (Note que as medidas dadas são internas.)
4- O balde indicado na figura tem a forma de um tronco de cone com as seguintes
medidas internas: 20 cm e 30 cm de diâmetro nas bases e 35 cm de altura. Determine
o volume máximo de água que esse balde pode conter.
5- Uma vasilha tem a forma de um tronco de cone. Suas dimensões estão indicadas na
figura abaixo. Qual é o volume máximo de água que essa vasilha pode conter em
litros?
6- Um depósito de combustível tem a forma de um tronco de cone. Suas dimensões
estão indicadas na figura abaixo. Se apenas 50% do seu volume está ocupado por
combustível, qual é a quantidade, em litros, de combustível existente nesse depósito?
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