Emerson Marcos Furtado
Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado
em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino
Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde 1992. Professor do Curso Positivo de
Curitiba desde 1996. Professor da Universidade
Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos
destinados a concursos públicos nas áreas de matemática, matemática financeira, raciocínio lógico
e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a
2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Joinville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teorema – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde
2005. Autor de material didático para sistemas de
ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Professor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC)
desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocínio lógico, estatística, matemática e matemática
financeira. Consultor da Empresa Result – Consultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.
Consultor em Estatística Aplicada com projetos de
pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômica, qualidade, educacional, industrial e eleições
desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de
Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde
2008. Autor de questões para concursos públicos
no estado do Paraná desde 2003.
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Geometria espacial
Nesta aula vamos estudar um dos assuntos mais importantes da Matemática: a geometria espacial, mais especificamente, a geometria dos sólidos.
Um sólido geométrico é uma figura tridimensional, ou seja, uma figura
que no espaço pode ser observada em três dimensões. Para nos familiarizarmos com os sólidos geométricos, vamos iniciar nosso estudo com os
prismas.
Prismas
Mas, o que é um prisma?
Para que possamos compreender exatamente o que vem a ser um prisma,
vamos considerar dois planos paralelos distintos (α e β), e uma reta r que intersecta os planos e um polígono qualquer contido em um dos planos:
r
β
α
Denomina-se prisma o conjunto de todos os segmentos de reta paralelos
à reta r, com uma extremidade na região poligonal e a outra no outro plano
paralelo.
r
β
α
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355
Geometria espacial
Essa definição de prisma indica que os prismas estão presentes no nosso
cotidiano de forma intensa. As caixas nas quais são vendidos os calçados, por
exemplo, têm a forma prismática.
Os elementos mais importantes de um prisma podem ser observados na
ilustração:
Base
r
D’
β
Face lateral
Aresta lateral
h
D
Diagonal
α
Aresta da base
Bases: são as regiões D e D´, contidas nos planos α e β, respectivamente.
Elas são caracterizadas por polígonos congruentes.
Arestas das bases: são os lados das regiões D e D´.
Altura (h): é a distância entre os planos α e β.
Arestas laterais: são os segmentos paralelos à reta r que unem vértices
correspondentes das regiões D e D´.
Faces laterais: são paralelogramos determinados por dois vértices consecutivos da região D e os respectivos vértices correspondentes da região
D´.
Diagonais: é todo segmento de reta que une dois vértices não pertencentes a uma mesma face.
Os prismas podem ser classificados em retos ou oblíquos.
No prisma reto as arestas laterais são perpendiculares às bases. Consequentemente, as faces laterais são retangulares, observe:
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Geometria espacial
Prisma reto.
No prisma oblíquo as arestas laterais não são perpendiculares às bases.
Prisma oblíquo.
Neste capítulo estudaremos apenas os prismas retos, devido à sua extensa utilização nas mais diversas formas geométricas encontradas no dia
a dia.
De acordo com a quantidade de lados das bases, existem formas diferentes de se denominar um prisma. Por exemplo, se as bases de um prisma
são triângulos, ele é chamado de prisma triangular; se são quadriláteros, o
prisma é quadrangular, e assim sucessivamente.
Um prisma é chamado regular quando satisfizer duas condições: for
reto e apresentar bases formadas por polígonos regulares. Observe alguns
exemplos:
Prisma triangular
regular.
Prisma hexagonal
regular.
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357
Geometria espacial
Existem duas medidas principais que precisamos saber calcular quando
estamos observando um prisma: a medida de sua área e a medida de seu
volume.
Para entendermos como podemos obter a medida da área de um prisma,
considere como exemplo uma caixa de bombons na forma de um prisma
quadrangular, cujas dimensões são apresentadas na ilustração:
8cm
10cm
20cm
Se a base é um retângulo de dimensões 20cm e 10cm, e a altura mede
8cm, qual a quantidade de material utilizada para a construção dessa caixa?
Vamos desmontá-la e planificá-la para visualizar quais faces compõem o
prisma.
20cm
10cm
8cm
10cm
20cm
10cm
20cm
Para calcular a medida da superfície da caixa, basta adicionar as medidas
das áreas dos dois retângulos das bases com a área de um retângulo formado pela junção das faces laterais.
Assim, lembrando que a área de um retângulo é igual ao produto da
medida da base pela altura, e sendo St a medida da superfície total do prisma
reto que representa a caixa de bombons, temos:
St = (10 . 20) . 2 + (20 + 10 + 10 + 20) . 8
St = 400 + 480
St = 880cm2
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Geometria espacial
Portanto, são necessários 880cm2 de material para confeccionar essa
caixa.
Observe que a superfície lateral de um prisma reto é sempre um retângulo no qual uma das dimensões é a altura do prisma e a outra é a soma dos
comprimentos dos lados da base, ou seja, o perímetro dessa base.
Quanto ao volume, podemos dizer que volume de um corpo é o espaço
ocupado por ele. Da mesma maneira que para medir o comprimento da sua
sala podemos usar o metro como unidade de medida, o volume também
precisa de uma unidade de medida.
Vamos convencionar a unidade de medida de volume como sendo o
cubo de aresta unitária, ou seja, o cubo cuja medida da aresta seja igual a 1
unidade de comprimento.
1u
1u
1u
Portanto, se for conveniente utilizarmos o centímetro como unidade de
medida de comprimento, o volume será medido em cm3 (centímetros cúbicos), se for o metro a unidade de medida de comprimento, o volume será
medido em m3 (metros cúbicos), e assim sucessivamente.
Pode-se provar que o volume de um prisma qualquer, cuja altura mede h
e cuja superfície da base tem área SB , é dado por:
V = SB . h
Exemplo:
Um prisma reto tem por base um triângulo retângulo cujos catetos
medem 3cm e 4cm. Se a altura desse prisma tem a mesma medida da hipotenusa do triângulo da base, qual é a medida do seu volume em cm3?
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359
Geometria espacial
A medida da hipotenusa do triângulo retângulo pode ser encontrada por
meio do teorema de Pitágoras:
h2 = 32 + 42
h = 9 + 16
h2 = 25
h = 5cm
Assim, o volume do prisma V é dado por:
V = SB . h
æ3 . 4 ö
.5
V =ç
è 2 ÷
ø
V=6.5
V = 30cm3
Agora que já conhecemos mais os conceitos geométricos, podemos explorar outros sólidos geométricos que se destacam.
Cilindro
Você consegue imaginar algum sólido geométrico
de contato quase que diário possuindo a forma de um
cilindro?
A caneca de café que você vê, por exemplo, tem a
forma de um cilindro.
360
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Shutterstock.
Um sólido geométrico de grande importância é o cilindro.
Geometria espacial
Para fundamentar melhor o que vem a ser um cilindro, vamos considerar
dois planos α e β e uma reta que intersecta esses dois planos determinando
entre os planos um segmento AB , em que A é um ponto de α e B um de β.
B
β
A
O
α
Dado um círculo C contido em α, definimos como cilindro circular o conjunto de todos os segmentos de reta paralelos e congruentes ao segmento
AB com origem no círculo C e extremidade no plano β.
Eixo
B
β
h
Geratriz
A
α
O
Os principais elementos do cilindro são:
Bases: são os círculos contidos nos planos α e β.
Altura (h): é a distância entre os planos α e β.
Geratrizes (g): são os segmentos paralelos ao segmento AB que têm extremidades nos pontos das circunferências que limitam as bases.
Eixo (e): é a reta determinada pelos centros das bases.
Se o eixo for perpendicular aos planos das bases, o cilindro é dito reto.
Caso o eixo não seja perpendicular ao plano das bases, o cilindro é oblíquo.
Devido à sua importância, estudaremos apenas os cilindros retos.
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361
Geometria espacial
Área superficial de um cilindro reto
Para entendermos como se pode obter a medida da área de um cilindro
reto, considere um cilindro reto e “oco”, feito com cartolina, cuja altura mede
10cm e cujo raio da base mede 5cm:
h = 10cm
R = 5cm
Se você recortasse as bases e “desenrolasse” a superfície lateral, iria obter
três figuras planas:
5cm
10cm
(2π 5)cm
5cm
As bases são circulares. Logo, a área de cada uma das bases pode ser
obtida por meio de:
SB = πR2
SB = π . 52
SB = 25πcm2
362
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Geometria espacial
A área lateral é um retângulo cuja altura é a do cilindro e cuja base é o
perímetro da base do cilindro. Assim, o retângulo que constitui a área lateral
tem área igual a:
SL = 2πR . h
SL = 2π . 5 . 10
SL = 100πcm2
Assim, a medida da superfície total de um cilindro reto é igual à soma das
medidas das áreas de dois círculos com a medida da área de um retângulo,
cujas dimensões são a altura do cilindro e o comprimento da circunferência
que limita a base, ou seja:
ST = 2 . πR2 + 2πR . h
ST = 2 . SB + SL
ST = 150πcm2
Em termos de volume, o cilindro pode ser interpretado como um prisma
de base circular. Assim, o volume de um prisma é igual ao produto das medidas da área da base pela altura:
V = πR2 . h
Pirâmides
A palavra pirâmide normalmente nos evoca o formato das famosas construções egípcias, monumentos fantásticos que documentam historicamente
a extraordinária capacidade arquitetônica daquela civilização e que vêm encantando a humanidade há milhares de anos.
No entanto, nosso estudo parte de um conceito mais amplo para
pirâmide.
Seja D uma superfície poligonal contida em um plano α e V um ponto
não pertencente a esse plano.
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363
Geometria espacial
v
D
α
O conjunto de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e
a outra em D é denominado pirâmide.
v
D
α
Os principais elementos da pirâmide são:
v
Vértice
Aresta lateral
h
Face lateral
α
Aresta da base
D
Base
Vértice: é o ponto V não pertencente ao plano α.
Base: é a região D contida no plano α.
Arestas da base: são os lados da região D.
Arestas laterais: são os segmentos que unem os vértices da região D e
o ponto V.
364
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Geometria espacial
Faces laterais: são triângulos determinados pelo ponto V e dois vértices
consecutivos da região D.
Altura(h): é a distância entre o ponto V e o plano α.
De acordo com o número de lados da base de uma pirâmide, esta recebe
um nome especial. Se a base for um triângulo, chama-se pirâmide triangular,
se for um quadrilátero, a pirâmide é quadrangular, e assim sucessivamente.
Para que uma pirâmide seja denominada regular, é necessário que satisfaça duas condições: a base seja um polígono regular e a projeção ortogonal
do ponto V seja um ponto V´ tal que V´ esteja no centro da base.
v
Apótema da pirâmide
v'
Em uma pirâmide regular, as arestas laterais são congruentes e, em consequência disso, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. Nesse
caso, costuma-se chamar apótema da pirâmide a altura de cada face lateral.
Para aprendermos como podemos obter a medida da área de uma pirâmide, considere, como exemplo, uma pirâmide quadrangular regular, cuja
altura e apótema medem 8cm e 10cm, respectivamente.
Qual é a medida da área total dessa pirâmide?
Observe que é possível visualizar um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o apótema da pirâmide, um dos catetos é a altura e o outro cateto é a
metade da aresta da base:
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365
Geometria espacial
v
8cm
8cm
10cm
10cm
l
2
l
2
Utilizando o Teorema de Pitágoras, temos:
2
æl ö
102 = 82 + ç ÷
è2 ø
Resolvendo, obtemos:
l =12cm
A base é um quadrado de lado medindo 12cm. Logo, a medida da área
da base é igual a:
SB = 122 = 144cm2
Observe que a superfície lateral da pirâmide é formada por quatro triângulos isósceles e congruentes. Assim, a medida da superfície lateral da pirâmide é igual a:
æ12 ´10 ö
4 ´ç
= 240cm2
è 2 ÷
ø
Assim, a medida da superfície total da pirâmide é igual à soma das medidas da área da base com a área lateral:
144 + 240 = 384cm2
Para calcular a expressão do volume de uma pirâmide, vamos inicialmente decompor um prisma triangular reto em três pirâmides, observe:
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Geometria espacial
A
I
B
II
B
III
C
D
C
E
D
F
B
F
D
F
As pirâmides I e II têm bases congruentes (ABC e DEF) e alturas congruentes ( AD e BE ). Logo, seus volumes são iguais.
Por outro lado, as pirâmides I e III têm bases congruentes (ACD e FDC) e
alturas congruentes (distância entre o vértice B e o plano que contém a face
ACDF). Portanto, seus volumes também são iguais.
Assim, sendo V1, V2 e V3 os volumes das pirâmides I, II e III, temos:
V1 = V2 = V3
Mas, se o volume do prisma é igual ao produto das medidas da área da
base pela altura e as três pirâmides possuem o mesmo volume, então, necessariamente, o volume de cada pirâmide é igual a um terço do volume do
prisma que possui a mesma base e a mesma altura:
1
V = .SB .h
3
Cones
Outro sólido geométrico de destaque é o cone. Um cone pode ser interpretado como sendo uma pirâmide de base circular. Evidentemente, algumas adaptações nos formulários serão importantes.
Observe a ilustração na qual podemos identificar os principais elementos
formadores de um cone:
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367
Geometria espacial
v
g
h
α
e
Vértice: é o ponto V.
Base: é a região circular contida no plano α.
Altura (h): é a distância entre o ponto V e o plano α.
Geratrizes (g): são os segmentos com extremidades no ponto V e em um
ponto da circunferência que limita a base.
Eixo (e): é a reta determinada pelo ponto V e pelo centro da base.
Se o eixo for perpendicular ao plano da base, o cone é dito reto. Caso o
eixo não seja perpendicular ao plano da base, o cilindro é oblíquo. Estudaremos aqui apenas os cones retos.
Para calcular a medida da superfície total de um cone reto, podemos realizar um procedimento análogo àquele realizado para um cilindro reto.
Considere um cone reto e “oco”, cuja altura mede 8cm e cujo raio da base
mede 6cm:
8cm
6cm
Utilizando o Teorema de Pitágoras, podemos obter a medida da geratriz
do cone:
368
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Geometria espacial
g2 = 82 + 62
g2 = 64 + 36
g2 = 100
g = 10cm
Se planificássemos esse sólido, separando a base da área lateral e “abrindo” essa área lateral, teríamos as seguintes figuras planas:
10cm
6cm
10cm
(2π. 6)cm
Se a base é um círculo de 6cm de raio, a medida da área da base é dada
por:
SB = πR2
SB = π . 62
SB = 36πcm2
A planificação da área lateral determina um setor circular cujo arco tem
comprimento igual ao perímetro da base do cone. Assim, a área lateral de
um cone é dada por:
Al = p ×r ×g
Resolvendo, obtemos:
Al = p ×6 ×10
Al = 60 pcm2
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369
Geometria espacial
A conclusão é a de que a medida da superfície total de um cone é igual à
soma da medida da área de um setor circular, cujo raio é igual à geratriz do
cone e cujo comprimento do arco é igual ao perímetro da base do cone, com
a medida da área do círculo da base.
Da mesma forma que relacionamos prismas e cilindros, podemos relacionar pirâmides com cones. O volume de um cone pode ser obtido considerando-o como sendo uma pirâmide regular em que a base é um círculo e o
apótema da pirâmide é a geratriz do cone.
O volume de um cone qualquer, cuja altura mede h e cujo raio da base
mede R, é dado por:
1
V = p.R 2 .h
3
Esferas
O formato esférico está presente nas bolas da maioria dos esportes, em
algumas frutas e em diversas situações. Até mesmo nosso planeta é aproximadamente esférico.
Para compreendermos o conceito de esfera, vamos considerar um ponto
P do espaço e um segmento de medida R.
Chama-se esfera com centro no ponto P e raio de medida R o conjunto dos
pontos do espaço cuja distância ao ponto P é menor do que ou igual a R.
R
370
O
Esfera de centro O e raio R
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Geometria espacial
Pode-se provar que a medida da área de uma esfera de raio R e a medida
do volume de uma esfera são dadas, respectivamente, por:
S = 4pR 2
V=
4
. pR 3
3
Inscrição e circunscrição de sólidos geométricos
O objetivo desse conteúdo é desenvolver as relações espaciais entre dois
sólidos geométricos em que um deles está inscrito em outro.
Esfera e cubo
Considere uma esfera cujo raio mede R inscrita em um cubo cujas arestas
têm medida a.
a
R
Existe uma relação entre as medidas das arestas do cubo e do raio da
esfera. Como a superfície esférica intersecta o cubo em seis pontos, localizados nos centros das faces, temos três pares de pontos diametralmente
opostos. Assim, a medida de cada aresta do cubo é igual ao dobro da medida
do raio da esfera.
a = 2R
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371
Geometria espacial
Em uma outra situação, considere um cubo cujas arestas medem A, inscrito em uma esfera cujo raio tem medida R
R
A
Observe que os vértices do cubo pertencem à superfície esférica. Assim, a
medida da diagonal do cubo é igual ao dobro da medida do raio da esfera.
Dcubo = 2R ou a 3 = 2R
Esfera e cilindro
Considere uma esfera, cujo raio mede R, inscrita em um cilindro circular
reto.
R
Como a superfície esférica intersecta as bases do cilindro nos seus centros
e o círculo máximo da esfera é congruente às bases do cilindro, então as medidas do raio e da altura do cilindro são iguais, respectivamente, a R e 2R, ou
seja, o cilindro é equilátero.
372
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Geometria espacial
Vamos analisar agora outra situação. Observe a figura a seguir:
R
h
R
r
Nesse caso, como podemos estabelecer uma relação entre as medidas do
raio da esfera, do raio do cilindro e da altura do cilindro?
A partir do triângulo retângulo, de catetos medindo h e 2r, onde h e r
são as medidas da altura e do raio do cilindro, e de hipotenusa medindo 2R,
podemos escrever:
(2R )2 = (2r )2 + h2
4R2 = 4r 2 + h2
Esfera e cone reto
Da mesma forma como o cubo e o cilindro, em um cone também é possível inscrever ou circunscrever uma esfera. Vamos, inicialmente, considerar
uma esfera de raio r inscrita em um cone de raio R e altura h.
h-r
g
r
r
R
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373
Geometria espacial
Sendo g a medida da geratriz do cone, podemos, por meio de uma semelhança de triângulos, estabelecer a seguinte proporção:
r h -r
=
R
g
Se o cone for equilátero, não há necessidade de utilizar a proporção anterior. Basta lembrar que a medida do raio da esfera é igual a 1 da medida da
3
altura do cone, ou seja, h = 3r. A figura a seguir ilustra essa situação:
2r
2R
r
R
Assim, por meio do teorema de Pitágoras, temos:
(2R )2 = R2 + (3r )2
®
3R2 = 9r 2
®
4R 2 = R2 + 9r 2
®
R =r 3
Em uma nova situação, considere agora uma esfera de raio R, circunscrevendo um cone de raio r e altura h.
R
R
h-R
r
374
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Geometria espacial
No triângulo retângulo em destaque, podemos escrever:
R2 = r2 + (h – R)2
Existem outras relações entre as medidas do raio da esfera, do raio da
base do cone, da altura e da geratriz do cone. Porém, não existe necessidade
de conhecê-las, pois, por meio da relação anterior, podemos obter quaisquer
outras medidas.
2
Se o cone é equilátero, a medida do raio da esfera é igual a da medida
3
3R
da altura do cone, ou seja, h = .
2
3R
2
2r
r
Logo, por meio do teorema de Pitágoras, temos:
2
3R ö
÷
2ø
®
®
r2 =
(2r )2 = r 2 + æçè
3r 2 =
9R 2
4
4r 2 = r 2 +
3R 2
4
®
9R 2
4
r=
®
R 3
2
Cilindro e cone retos
Considere um cilindro de altura h e raio da base R. Inscrevendo-se nele
um cone reto, temos a seguinte figura:
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375
Geometria espacial
h
R
Note que o vértice do cone coincide com o centro de uma das bases do
cilindro e a base do cone coincide com a outra base do cilindro. Sendo assim,
os raios das bases do cone e do cilindro são, evidentemente, congruentes, da
mesma forma que as medidas das alturas.
Observe um cilindro reto, com raio da base r e altura h, inscrito em um
cone reto de raio da base R e altura H:
g
H-h
r
H
h
G
G-g
h
R-r
r
R
Pela semelhança existente entre três triângulos da figura, podemos escrever as seguintes proporções:
r H -h g
=
=
R
H
G
r
H -h
g
=
=
R -r
h
G -g
R -r h G - g
= =
R
H
G
376
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Geometria espacial
Resolução de questões
1. (Esaf ) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5cm de raio está
encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5cm e
5cm de altura. De quantos centímetros é a distância entre o centro da
base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície?
a) 5.
b) 7,5.
c)
5+5 2
.
2
d) 5 2 .
e) 10.
2. (UFU) Sabendo-se que a intersecção entre um plano α e uma esfera S de
raio 10cm é uma circunferência de raio 6cm, então, a distância do centro
da esfera S até o plano α é igual a:
a) 4cm.
b) 5cm.
c) 7cm.
d) 8cm.
3. (UFC) Um vaso em forma de cilindro circular reto tem medida de raio da
base 5cm, altura 20cm e contém água até a altura de 19cm (despreze a
espessura das paredes do vaso). Assinale a alternativa na qual consta o
maior número de esferas de aço, de 1cm de raio cada, que podemos colocar no vaso a fim de que a água não transborde.
a) 14.
b) 15.
c) 16.
d) 17.
e) 18.
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377
Geometria espacial
4. (UFSM) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone circular reto são iguais. Se o raio da base do cone mede 4cm e o volume do
cone é 16πcm3, o raio da esfera é dado por:
a)
3 cm.
b) 2cm.
c) 3cm.
d) 4cm.
e) 4 +
2 cm.
5. (UFPE) Derretendo uma peça maciça de ouro de forma esférica, quantas
peças da mesma forma se pode confeccionar com esse ouro, se o raio das
novas peças é um terço do raio da anterior? Admita que não houve perda
de ouro durante o derretimento.
a) 3.
b) 9.
c) 18.
d) 21.
e) 27.
6. (UECE) Um cone circular reto, cuja medida da altura é h, é seccionado, por
um plano paralelo à base, em duas partes: um cone cuja medida da altura
h
é e um tronco de cone, conforme a figura.
5
378
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Geometria espacial
A razão entre as medidas dos volumes do cone maior e do cone menor é:
a) 15.
b) 45.
c) 90.
d) 125.
7. (UECE) Como mostra a figura, o cilindro reto está inscrito na esfera de raio
4cm.
4cm
Sabe-se que o diâmetro da base e a altura do cilindro possuem a mesma
medida. O volume do cilindro é:
a) 18p 2cm3.
b) 24p 2 cm3.
c) 32p 2cm3.
d) 36p 2cm3.
8. (Fatec) A intersecção de um plano α com uma esfera de raio R é a base
comum de dois cones circulares retos, como mostra a região sombreada
da figura a seguir.
G
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379
Geometria espacial
Se o volume de um dos cones é o dobro do volume do outro, a distância
do plano α ao centro O é igual a:
a) R .
5
R
b) .
4
c) R .
3
d) 2R .
5
e) 2R .
3
9. (MACK) A área da superfície lateral de um cone equilátero inscrito numa
esfera de raio R é:
2
a) pR 3 .
2
2
pR 3
.
b)
3
2
c) 3pR .
4
2
d) 3pR .
2
e) 3pR 2 .
10.(PUC-Campinas) Considerando-se a Terra como uma esfera cujo diâmetro
equatorial é 12 800km, e a Lua também uma esfera cujo diâmetro equatorial é 27% do da Terra, a razão entre as superfícies terrestre e lunar, nessa
ordem, é um número:
a) maior que 13,9.
b) compreendido entre 13,8 e 14,1.
c) compreendido entre 13,5 e 13,6.
d) compreendido entre 13,6 e 13,8.
e) inferior a 13,5.
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Geometria espacial
Dica de estudo
A maioria dos problemas relacionados com a Geometria, quer seja no
plano, quer seja no espaço, requer sempre do estudante a resolução de
uma boa dose de exercícios para que a “visão espacial” e a habilidade em
“observar” as relações geométricas sejam desenvolvidas. Para iniciar, procure
dominar a geometria plana, sobretudo as figuras geométricas elementares
(triângulo retângulo, triângulo equilátero, quadrado, hexágono regular e círculo). Procure entender a origem das fórmulas e pratique resolvendo muitos
exercícios. Em seguida, estude a geometria espacial, principalmente as figuras desta aula. Não é raro ocorrer de a solução de uma questão de geometria
espacial estar baseada na geometria plana.
Referências
BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda.,
1996.
GAERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blumenau: FURB. (Coleção Aritthmos 2.)
LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.)
LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. v. 1.
LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.
TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.
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Geometria espacial
Gabarito
1. Observe a ilustração:
D
C
T
A
B
O triângulo CDT é retângulo, pois a tangente à circunferência forma
ângulo reto com o raio ( CT ) no ponto de tangência T. O triângulo CDT
˘ e TDC
˘ têm a mesma medida. Como
é isósceles, pois os ângulos TCD
CT = 5, então DT = 5. Logo, CD pode ser obtido por meio do teorema de
Pitágoras no triângulo CTD:
(CD)2 = (CT)2 + (DT)2 ®
(CD)2 = 25 + 25 ®
CD = 50 ®
(CD)2 = 52 + 52 ®
(CD)2 = 50 ®
CD = 52 . 2 ®
CD = 5 2
Como BD = AC, necessariamente, AB = CD. Assim, a distância entre o centro da base do cone e o ponto em que a esfera toca a superfície plana é
igual a 5 2 cm.
Resposta: D
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Geometria espacial
2.
A
C
r=6
B
r = 10
Sendo d a distância do centro da esfera ao plano α, temos:
102 = 62 + h2
d2 = 64
h = 8cm
Resposta: D
3. O volume não ocupado pela água no interior do cilindro é igual a
p . 52 . 1 = 25pcm3
O volume de cada esfera é igual a 4 . p . 13 = 4 p cm3
3
3
Assim, a maior quantidade de esferas que podem ser colocadas no vaso
25p
3 75
sem que a água transborde é igual a
= 25p .
= = 18 , 75
4p
4p 4
3
Resposta: E
4. Sendo h a medida da altura do cone, temos que:
16 p =
1
. p . 4 2 . h ® h = 3cm
3
Sendo g a medida da geratriz do cone, temos que g2 = 32 + 42 →
g = 5cm
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Geometria espacial
Sendo R a medida do raio da esfera, temos que:
4 . p . R2 = p . 4 2 + p . 4 . 5
R2 = 4 + 5 ® R = 3cm
Resposta: C
5. O volume de uma esfera cujo raio mede R é igual a
O volume de uma esfera cujo raio mede
4
. p . R3
3
R
é igual a
3
3
R3
4
æR ö 4
.p.ç ÷ = .p.
è3 ø 3
3
27
Assim, podem ser feitas 27 peças com o ouro derretido.
Resposta: E
6. Toda secção em um cone reto, efetuada por meio de um plano paralelo à
base, determina um cone reto menor, semelhante ao primeiro. Utilizando
o conceito de semelhança entre figuras geométricas, observadas no cone
maior e no menor, é possível provar que a razão entre os volumes dos
cones maior e menor é igual ao cubo da razão entre as medidas correspondentes das alturas dos cones. Dessa forma, sendo V e v os volumes
dos cones maior e menor, respectivamente, temos:
3
æ ö
V çh ÷
V
=ç ÷ ®
= 125
h
v
v
ç
è5 ÷
ø
Resposta: D
384
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Geometria espacial
7. Observe a figura a seguir:
8cm
2R
2R
Por meio do teorema de Pitágoras, temos:
82 = (2R)2 + (2R)2
64 = 8R2
R2 = 8
R=2 2
Assim, o volume do cilindro é igual a p . (2 2 )2 . 4 2 = 32p 2cm3.
Resposta: C
8. O volume do cone maior é igual ao dobro do volume do cone menor.
Sendo d a distância do plano ao centro da esfera e r a medida do raio da
base comum dos dois cones, temos:
1
1
. p . r 2 . (R + d) = 2 . . p . r 2 . (R - d)
3
3
R
R + d = 2R - 2d ® 3d = R ® d =
3
Resposta: C
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385
Geometria espacial
9. Sendo h a medida da altura do cone equilátero, g a medida da geratriz do
cone e r a medida do raio da sua base, temos:
2
9R 2
3R 2
R 3
æ3R ö
(2r)2 = r 2 + ç ÷ ® 3r 2
® r2 =
® r=
è2 ø
4
4
2
Assim, a área lateral do cone é igual a
p . r . g = p . r . 2r = p .
R 3 2R 3 3pR2
.
=
2
2
2
Resposta: D
10.A medida do raio da Terra é aproximadamente igual a 6 400km e a medida do raio da lua é aproximadamente igual a 0,27 . 6 400 = 1 728 km.
Assim, a razão entre as áreas das superfícies terrestre e lunar é igual a
4 . p . (6 400 )
2
4 . p . (1 728 )
2
@ (3, 7) = 13, 69
2
Resposta: D
386
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