Poliedros
158. (UECE – 2006). Se f é o número de faces, v o número de vértices e a o número
de arestas de um paralelepípedo retângulo, então a soma f + v + a é igual a:
a) 20
b) 22
c) 24
d) 26
159. (UNESP 2010) Considere um cubo de aresta a. Seja B um poliedro de oito faces
triangulares, cujos vértices são os centros das faces do cubo. Determine a razão entre
os volumes desse cubo e do poliedro B.
160. (UNESP 2010) Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor
pretende construir uma cisterna fechada, que acumule toda a água proveniente da
chuva que cai sobre o telhado de sua casa, ao longo de um período de um ano.
As figuras e o gráfico representam as dimensões do telhado da casa, a forma da
cisterna a ser construída e a quantidade média mensal de chuva na região onde o
agricultor possui sua casa.
Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água
em uma superfície plana horizontal de 1 metro quadrado, determine a profundidade (h)
da cisterna para que ela comporte todo o volume de água da chuva armazenada
durante um ano, acrescido de 10% desse volume.
Prismas
161. (UFMA – 2005) Conta uma lenda que a cidade de DELOS, na Grécia Antiga,
estava sendo assolada por uma peste que ameaçava matar toda a população. Para
erradicar a doença, os sacerdotes consultaram o Oráculo e este ordenou que o altar
do Deus Apolo tivesse seu volume duplicado. Sabendo-se que o altar tinha forma
cúbica com aresta medindo 1m, então o valor em que a mesma deveria ser
aumentada era:
a) 3 2
b) 1
c) 3 2 - 1
2 -1
e) 1 - 3 2
d)
162. (UECE – 2007) Um cubo é seccionado por um plano que passa pelos pontos M e
N, pontos médios de duas arestas paralelas de uma das faces do cubo, e por um dos
vértices da face oposta à face que contém o segmento MN. O cubo é, então, dividido
em duas partes (sólidas), cuja razão entre o volume da menor destas partes e o
volume da maior é:
1
2
1
b)
3
3
c)
4
2
d)
3
a)
163. (UECE – 2008) A área da superfície total de um prisma reto com 10 m de altura,
cujas bases paralelas são triângulos eqüiláteros, cada um deles com 30 m de
perímetro, é:


b) 300  10 3  m².
c) 300  25 3  m².
d) 300  50 3  m².
a) 300  3 m².
164 – (UNESP 2005) Considere um prisma hexagonal regular, sendo a altura igual a 5
cm e a área lateral igual a 60 cm².
a) Encontre o comprimento de cada um de seus lados.
b) Calcule o volume do prisma.
Pirâmide
165. (UECE – 2005) Um triângulo eqüilátero, cuja medida do lado é 6m, é a base de
uma pirâmide regular cuja medida de uma aresta lateral é 15 m. O volume desta
pirâmide, em m3, é:
a) 9
b) 10
9
3
2
9
d)
5
2
c)
166. (UECE – 2006) Um pedaço de cartolina na forma de um quadrado ABCD é
dobrado ao longo da diagonal AC de modo que os lados AB e AD formem um ângulo
de 60º. A seguir, ele é colocado sobre uma mesa, apoiado sobre estes lados.
Nestas condições, o cosseno do ângulo (agudo)  que o segmento AC forma com o
plano horizontal é igual a:
6
4
2
b)
4
3
c)
4
d) 3
a)
167. (UNESP 2008) Na periferia de uma determinada cidade brasileira, há uma
montanha de lixo urbano acumulado, que tem a forma aproximada de uma pirâmide
regular de 12 m de altura, cuja base é um quadrado de lado 100 m. Considere os
dados, apresentados em porcentagem na tabela, sobre a composição dos resíduos
sólidos urbanos no Brasil e no México.
Supondo que o lixo na pirâmide esteja compactado, determine o volume aproximado
de plásticos e vidros existentes na pirâmide de lixo brasileiros e quantos metros
cúbicos a mais desses dois materiais juntos existiriam nessa mesma pirâmide, caso
ela estivesse em território mexicano.
168. (UNESP 2006) Cada aresta de um tetraedro regular de vértices A, B, C e D mede
1 dm. M é um ponto da aresta AB, e N é um ponto da aresta CD.
a) Calcule a área total da superfície do tetraedro.
b) Sabe-se que o menor valor possível para a distância de M a N ocorre quando eles
são pontos médios das arestas. Obtenha o valor dessa distância mínima.
Cilindro
169. (UFMA – 2007) O fornecimento de água de uma cidade era feito a partir de uma
caixa d’água, na forma de um cilindro circular reto com volume V    r1 ²  h1 , que
abastecia a cidade satisfatoriamente. Dez anos depois, com o crescimento da
população, fez-se necessário construir uma nova caixa d’água, também na forma de
um cilindro circular reto, para funcionar simultaneamente com a primeira, com altura h2
e raio r2 igual à metade de r1. Sabendo-se que o crescimento da população nesse
período foi de 10% e o consumo de água por pessoa continuou o mesmo, então a
altura h2 deveria ser, no mínimo:
a) 60% maior que h1
b) 60% menor que h1
c) 40% maior que h1
d) 40% menor que h1
e) 50% menor que h1
170. (UECE – 2007) Como mostra a figura, o cilindro reto está inscrito na esfera de
raio 4cm.
Sabe-se que o diâmetro da base e a altura do cilindro possuem a mesma medida. O
volume do cilindro é:
a) 18 2 cm³
b) 24 2 cm³
c) 32 2 cm³
d) 36 2 cm³
171. (UNESP – 2002) Um tanque subterrâneo, que tem a forma de um cilindro circular
reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m3 de água e 42 m3 de
petróleo.
Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em metros, da camada de petróleo é
a) 2 .
b) 7.
c)
7
.
3
d) 8.
e)
8
.
3
172. (UNESP 2003) Se quadruplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo a
sua altura, o volume do cilindro fica multiplicado por
a) 16.
b) 12.
c) 8.
d) 4.
e) 4  .
173. (UNESP 2008) Por ter uma face aluminizada, a embalagem de leite “longa vida”
mostrou-se conveniente para ser utilizada como manta para subcoberturas de
telhados, com a vantagem de ser uma solução ecológica que pode contribuir para que
esse material não seja jogado no lixo. Com a manta, que funciona como isolante
térmico, refletindo o calor do sol para cima, a casa fica mais confortável. Determine
quantas caixinhas precisamos para fazer uma manta (sem sobreposição) para uma
casa que tem um telhado retangular com 6,9 m de comprimento e 4,5 m de largura,
sabendo-se que a caixinha, ao ser desmontado (e ter o fundo e o topo abertos), toma
a forma aproximada de um cilindro oco de 0,23 m de altura e 0,05 m de raio, de modo
que, ao ser cortado acompanhando sua altura, obtemos um retângulo. Nos cálculos,
use o valor aproximado π = 3.
Cone
174. (UECE – 2004) De uma chapa circular de raio 10cm e de centro em O foi retirado
o setor circular MOP de 108o, disto resultando a chapa vista na figura.
M
O
P
O volume do cone obtido da junção de OM com OP , em cm3, é:
a) 49
51
3
b) 48
51
3
c) 47
51
3
d) 46
51
3
175. (UECE – 2007) Um sólido S é tal que sua base é a região plana limitada por uma
circunferência com raio que mede 3 m. Existe um diâmetro D, da base do sólido, tal
que a interseção de S com qualquer plano perpendicular a D é um triângulo eqüilátero.
Dentre estes triângulos, chamemos de T o de maior área. A medida da área de T é:
3 3
2
3 3
b)
4
c) 3
a)
d) 3 3
176. (UNESP 2005) Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa
constante de 1,5 ml/min. O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica
e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se
iniciou a medicação.
Após 4h de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 1 cm³ = 1
ml, e usando a aproximação 
frasco após a interrupção da medicação é, aproximadamente,
a)l20.
b)150.
c) 160.
d) 240.
e) 360.
177. (UNESP 2008) Seja C um cone circular reto de altura H e raio R. Qual a altura h,
a medir a partir da base, tal que a razão entre os volumes do cone e do tronco de
altura h do cone seja 2?
a)
1  2  H
2
b) 2 2 H
3
2
c)
H
2

1 
H
2

2 2
e)
H
2
d) 1 
3


178. (UNESP 2003) Um recipiente tampado, na forma de um cone circular reto de
altura 18 cm e raio 6 cm, contém um líquido até a altura de 15 cm (figura 1). A seguir,
a posição do recipiente é invertida (figura 2).
Sendo R e r os raios mostrados nas figuras,
a) determine R e o volume do líquido no cone em cm³ (figura 1), como múltiplo de π.
3
b) dado que r  91 , determine a altura H da parte sem líquido do cone na figura 2.
3
(Use a aproximação
91 
9
2 ).
Esfera
179. (UECE – 2006) Na figura, vista em corte, a esfera de raio r está colocada no
interior do cilindro circular reto de altura h e cujo raio da base é também igual a r.
O volume interior ao cilindro e exterior à esfera é igual ao volume da esfera quando:
a) h = 2r
b) h =
7
r
3
c) h = 3r
d) h =
8
r
3
180. (UECE – 2006) Uma esfera, com raio medindo 5 cm, está circunscrita a um
cilindro circular reto cuja altura mede 8 cm. Chamou-se de X a razão entre o volume
da esfera e o volume do cilindro. Dentre as opções abaixo, assinale a que apresenta o
valor mais próximo de X.
a) 1,71
b) 1,91
c) 2,31
d) 3,14
181. (UNESP 2004) O trato respiratório de uma pessoa é composto de várias partes,
dentre elas os alvéolos pulmonares, pequeninos sacos de ar onde ocorre a troca de
oxigênio por gás carbônico.
Vamos supor que cada alvéolo tem forma esférica e que, num adulto, o diâmetro
médio de um alvéolo seja, aproximadamente, 0,02 cm. Se o volume total dos alvéolos
de um adulto é igual a 1 618 cm³, o número aproximado de alvéolos dessa pessoa,
considerando 
a) 1 618 ×103.
4
b) 1 618 ×
.
c) 5 393 ×
d) 4 045 ×104.
5
e) 4 045 ×
.
182. (UNESP 2006) Um troféu para um campeonato de futebol tem a forma de uma
esfera de raio R = 10 cm cortada por um plano situado a uma distância de 5 3 cm do
centro da esfera, determinando uma circunferência de raio r cm, e sobreposta a um
cilindro circular reto de 20 cm de altura e raio r cm, como na figura (não em escala).
O volume do cilindro, em cm³, é
a)
b)
c)
d)
100 .
200 .
250 .
500 .
e) 750 .
183. (UNESP 2007) Um cubo inscrito em uma esfera de raio R tem o seu lado dado
por L 
2R
. Considere R = 2 cm e calcule o volume da região interior à esfera e que é
3
exterior ao cubo.
184. (UNESP 2007) O raio da base de um cone é igual ao raio de uma esfera de 256π
cm² de área. A geratriz do cone é 5/4 do raio. A razão entre o volume do cone e o
volume da esfera é
2
32
3
b)
32
6
c)
32
12
d)
32
18
e)
32
a)
185. (UNESP 2002) Uma quitanda vende fatias de melancia embaladas em plástico
transparente. Uma melancia com forma esférica de raio de medida R cm foi cortada
em 12 fatias iguais, onde cada fatia tem a forma de uma cunha esférica, como
representado na figura.
Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio R cm é 4R² cm²,
determine, em função de 
a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico);
b) quantos cm² de plástico foram necessários para embalar cada fatia (sem nenhuma
perda e sem sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a área da superfície total
de cada fatia.
186. (UNESP 2005) Com um recipiente de vidro fino transparente na forma de um
paralelepípedo reto-retângulo, que tem como base um quadrado cujo lado mede
15 cm e a aresta da face lateral mede 40 cm, Márcia montou um enfeite de natal. Para
tanto, colocou no interior desse recipiente 90 bolas coloridas maciças de 4 cm de
diâmetro cada e completou todos os espaços vazios com um líquido colorido
transparente. Desprezando-se a espessura do vidro e usando (para facilitar os
cálculos) a aproximação
= 3,
a) dê, em cm², a área lateral do recipiente e a área da superfície de cada bola.
b) dê, em cm³, o volume do recipiente, o volume de cada esfera e o volume do líquido
dentro do recipiente.
Troncos
187. (UNESP 2006) Para calcularmos o volume aproximado de um iceberg, podemos
compará-lo com sólidos geométricos conhecidos. O sólido da figura, formado por um
tronco de pirâmide regular de base quadrada e um paralelepípedo reto-retângulo,
justapostos pela base, representa aproximadamente um iceberg no momento em que
se desprendeu da calota polar da Terra. As arestas das bases maior e menor do
tronco de pirâmide medem, respectivamente, 40 dam e 30 dam, e a altura mede 12
dam.
Passado algum tempo do desprendimento do iceberg, o seu volume era de 23 100
dam3, o que correspondia a 3/4 do volume inicial. Determine a altura H, em dam, do
sólido que representa o iceberg no momento em que se desprendeu.
188. (UNESP 2007) Numa região muito pobre e com escassez de água, uma família
usa para tomar banho um chuveiro manual, cujo reservatório de água tem o formato
de um cilindro circular reto de 30 cm de altura e base com 12 cm de raio, seguido de
um tronco de cone reto cujas bases são círculos paralelos, de raios medindo 12 cm e
6 cm, respectivamente, e altura 10 cm, como mostrado na figura.
Por outro lado, numa praça de certa cidade há uma torneira com um gotejamento que
provoca um desperdício de 46,44 litros de água por dia. Considerando a aproximação
π = 3, determine quantos dias de gotejamento são necessários para que a quantidade
de água desperdiçada seja igual à usada para 6 banhos, ou seja, encher
completamente 6 vezes aquele chuveiro manual. Dado: 1 000 cm³ = 1 litro.