capa_curva.pdf
1
12/01/20
15:28
C
M
Y
CM
MY
CY
CMY
K
ISBN 978-85-7817-254-1
9 788578 172541
Universidade do Sul de Santa Catarina
Geometria II
Disciplina na modalidade a distância
Palhoça
UnisulVirtual
2011
Book 1.indb 1
11/07/15 17:36
Créditos
Universidade do Sul de Santa Catarina – Campus UnisulVirtual – Educação Superior a Distância
Avenida dos Lagos, 41 – Cidade Universitária Pedra Branca | Palhoça – SC | 88137-900 | Fone/fax: (48) 3279-1242 e 3279-1271 | E-mail: [email protected] | Site: www.unisul.br/unisulvirtual
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Secretaria Executiva e Cerimonial
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Tenille Catarina
Assessoria de Assuntos
Internacionais
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Público e Forças Armadas
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Distância
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Assessoria de Inovação e
Qualidade de EAD
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Assessoria de Tecnologia
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Coordenação Cursos
Coordenadores de UNA
Diva Marília Flemming
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Roberto Iunskovski
Book 1.indb 2
Assistente e Auxiliar de
Coordenação
Maria de Fátima Martins (Assistente)
Fabiana Lange Patricio
Tânia Regina Goularte Waltemann
Ana Denise Goularte de Souza
Coordenadores Graduação
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Aloísio José Rodrigues
Ana Luísa Mülbert
Ana Paula R. Pacheco
Arthur Beck Neto
Bernardino José da Silva
Catia Melissa S. Rodrigues
Charles Cesconetto
Diva Marília Flemming
Fabiano Ceretta
José Carlos da Silva Junior
Horácio Dutra Mello
Itamar Pedro Bevilaqua
Jairo Afonso Henkes
Janaína Baeta Neves
Jardel Mendes Vieira
Joel Irineu Lohn
Jorge Alexandre N. Cardoso
José Carlos N. Oliveira
José Gabriel da Silva
José Humberto D. Toledo
Joseane Borges de Miranda
Luciana Manfroi
Luiz G. Buchmann Figueiredo
Marciel Evangelista Catâneo
Maria Cristina S. Veit
Maria da Graça Poyer
Mauro Faccioni Filho
Moacir Fogaça
Nélio Herzmann
Onei Tadeu Dutra
Patrícia Fontanella
Rogério Santos da Costa
Rosa Beatriz M. Pinheiro
Tatiana Lee Marques
Valnei Carlos Denardin
Roberto Iunskovski
Rose Clér Beche
Rodrigo Nunes Lunardelli
Sergio Sell
Coordenadores Pós-Graduação
Aloisio Rodrigues
Bernardino José da Silva
Carmen Maria Cipriani Pandini
Daniela Ernani Monteiro Will
Giovani de Paula
Karla Leonora Nunes
Leticia Cristina Barbosa
Luiz Otávio Botelho Lento
Rogério Santos da Costa
Roberto Iunskovski
Thiago Coelho Soares
Vera Regina N. Schuhmacher
Gerência Administração
Acadêmica
Angelita Marçal Flores (Gerente)
Fernanda Farias
Secretaria de Ensino a Distância
Samara Josten Flores (Secretária de Ensino)
Giane dos Passos (Secretária Acadêmica)
Adenir Soares Júnior
Alessandro Alves da Silva
Andréa Luci Mandira
Cristina Mara Schauffert
Djeime Sammer Bortolotti
Douglas Silveira
Evilym Melo Livramento
Fabiano Silva Michels
Fabricio Botelho Espíndola
Felipe Wronski Henrique
Gisele Terezinha Cardoso Ferreira
Indyanara Ramos
Janaina Conceição
Jorge Luiz Vilhar Malaquias
Juliana Broering Martins
Luana Borges da Silva
Luana Tarsila Hellmann
Luíza Koing Zumblick
Maria José Rossetti
Marilene de Fátima Capeleto
Patricia A. Pereira de Carvalho
Paulo Lisboa Cordeiro
Paulo Mauricio Silveira Bubalo
Rosângela Mara Siegel
Simone Torres de Oliveira
Vanessa Pereira Santos Metzker
Vanilda Liordina Heerdt
Gestão Documental
Lamuniê Souza (Coord.)
Clair Maria Cardoso
Daniel Lucas de Medeiros
Eduardo Rodrigues
Guilherme Henrique Koerich
Josiane Leal
Marília Locks Fernandes
Gerência Administrativa e
Financeira
Renato André Luz (Gerente)
Ana Luise Wehrle
Anderson Zandré Prudêncio
Daniel Contessa Lisboa
Naiara Jeremias da Rocha
Rafael Bourdot Back
Thais Helena Bonetti
Valmir Venício Inácio
Gerência de Ensino, Pesquisa
e Extensão
Moacir Heerdt (Gerente)
Aracelli Araldi
Elaboração de Projeto e
Reconhecimento de Curso
Diane Dal Mago
Vanderlei Brasil
Francielle Arruda Rampelotte
Extensão
Maria Cristina Veit (Coord.)
Pesquisa
Daniela E. M. Will (Coord. PUIP, PUIC, PIBIC)
Mauro Faccioni Filho(Coord. Nuvem)
Pós-Graduação
Anelise Leal Vieira Cubas (Coord.)
Biblioteca
Salete Cecília e Souza (Coord.)
Paula Sanhudo da Silva
Renan Felipe Cascaes
Gestão Docente e Discente
Enzo de Oliveira Moreira (Coord.)
Capacitação e Assessoria ao
Docente
Simone Zigunovas (Capacitação)
Alessandra de Oliveira (Assessoria)
Adriana Silveira
Alexandre Wagner da Rocha
Elaine Cristiane Surian
Juliana Cardoso Esmeraldino
Maria Lina Moratelli Prado
Fabiana Pereira
Tutoria e Suporte
Claudia Noemi Nascimento (Líder)
Anderson da Silveira (Líder)
Ednéia Araujo Alberto (Líder)
Maria Eugênia F. Celeghin (Líder)
Andreza Talles Cascais
Daniela Cassol Peres
Débora Cristina Silveira
Francine Cardoso da Silva
Joice de Castro Peres
Karla F. Wisniewski Desengrini
Maria Aparecida Teixeira
Mayara de Oliveira Bastos
Patrícia de Souza Amorim
Schenon Souza Preto
Gerência de Desenho
e Desenvolvimento de
Materiais Didáticos
Márcia Loch (Gerente)
Desenho Educacional
Cristina Klipp de Oliveira (Coord. Grad./DAD)
Silvana Souza da Cruz (Coord. Pós/Ext.)
Aline Cassol Daga
Ana Cláudia Taú
Carmelita Schulze
Carolina Hoeller da Silva Boeing
Eloísa Machado Seemann
Flavia Lumi Matuzawa
Gislaine Martins
Isabel Zoldan da Veiga Rambo
Jaqueline de Souza Tartari
João Marcos de Souza Alves
Leandro Romanó Bamberg
Letícia Laurindo de Bonfim
Lygia Pereira
Lis Airê Fogolari
Luiz Henrique Milani Queriquelli
Marina Melhado Gomes da Silva
Marina Cabeda Egger Moellwald
Melina de La Barrera Ayres
Michele Antunes Corrêa
Nágila Hinckel
Pâmella Rocha Flores da Silva
Rafael Araújo Saldanha
Roberta de Fátima Martins
Roseli Aparecida Rocha Moterle
Sabrina Bleicher
Sabrina Paula Soares Scaranto
Viviane Bastos
Acessibilidade
Vanessa de Andrade Manoel (Coord.)
Letícia Regiane Da Silva Tobal
Mariella Gloria Rodrigues
Avaliação da aprendizagem
Geovania Japiassu Martins (Coord.)
Gabriella Araújo Souza Esteves
Jaqueline Cardozo Polla
Thayanny Aparecida B.da Conceição
Jeferson Pandolfo
Karine Augusta Zanoni
Marcia Luz de Oliveira
Assuntos Jurídicos
Bruno Lucion Roso
Marketing Estratégico
Rafael Bavaresco Bongiolo
Portal e Comunicação
Catia Melissa Silveira Rodrigues
Andreia Drewes
Luiz Felipe Buchmann Figueiredo
Marcelo Barcelos
Rafael Pessi
Gerência de Produção
Arthur Emmanuel F. Silveira (Gerente)
Francini Ferreira Dias
Design Visual
Pedro Paulo Alves Teixeira (Coord.)
Adriana Ferreira dos Santos
Alex Sandro Xavier
Alice Demaria Silva
Anne Cristyne Pereira
Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro
Daiana Ferreira Cassanego
Diogo Rafael da Silva
Edison Rodrigo Valim
Frederico Trilha
Higor Ghisi Luciano
Jordana Paula Schulka
Marcelo Neri da Silva
Nelson Rosa
Oberdan Porto Leal Piantino
Patrícia Fragnani de Morais
Multimídia
Sérgio Giron (Coord.)
Dandara Lemos Reynaldo
Cleber Magri
Fernando Gustav Soares Lima
Conferência (e-OLA)
Carla Fabiana Feltrin Raimundo (Coord.)
Bruno Augusto Zunino
Gerência de Logística
Produção Industrial
Marcelo Bittencourt (Coord.)
Logísitca de Materiais
Carlos Eduardo D. da Silva (Coord.)
Abraao do Nascimento Germano
Bruna Maciel
Fernando Sardão da Silva
Fylippy Margino dos Santos
Guilherme Lentz
Marlon Eliseu Pereira
Pablo Varela da Silveira
Rubens Amorim
Yslann David Melo Cordeiro
Gerência Serviço de Atenção
Integral ao Acadêmico
Jeferson Cassiano A. da Costa (Gerente)
Avaliações Presenciais
Graciele M. Lindenmayr (Coord.)
Ana Paula de Andrade
Angelica Cristina Gollo
Cristilaine Medeiros
Daiana Cristina Bortolotti
Delano Pinheiro Gomes
Edson Martins Rosa Junior
Fernando Steimbach
Fernando Oliveira Santos
Lisdeise Nunes Felipe
Marcelo Ramos
Marcio Ventura
Osni Jose Seidler Junior
Thais Bortolotti
Maria Isabel Aragon (Gerente)
André Luiz Portes
Carolina Dias Damasceno
Cleide Inácio Goulart Seeman
Francielle Fernandes
Holdrin Milet Brandão
Jenniffer Camargo
Juliana Cardoso da Silva
Jonatas Collaço de Souza
Juliana Elen Tizian
Kamilla Rosa
Maurício dos Santos Augusto
Maycon de Sousa Candido
Monique Napoli Ribeiro
Nidia de Jesus Moraes
Orivaldo Carli da Silva Junior
Priscilla Geovana Pagani
Sabrina Mari Kawano Gonçalves
Scheila Cristina Martins
Taize Muller
Tatiane Crestani Trentin
Vanessa Trindade
Gerência de Marketing
Fabiano Ceretta (Gerente)
Relacionamento com o Mercado
Eliza Bianchini Dallanhol Locks
Relacionamento com Polos
Presenciais
Alex Fabiano Wehrle (Coord.)
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Kelen Regina Salles Silva
Christian Wagner
)
Geometria II
Livro didático
Revisão e atualização de conteúdo
Mário Selhorst
Design Instrucional
Karla Leonora Dahse Nunes
Roseli Rocha Moterle
5ª edição
Palhoça
UnisulVirtual
2011
Book 1.indb 3
11/07/15 17:36
Copyright © UnisulVirtual 2011
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição.
Edição – Livro Didático
Professor Conteudista
Kelen Regina Salles Silva
Christian Wagner
Revisão e atualização de conteúdo
Mário Selhorst
Designer Instrucional
Karla Leonora Dahse Nunes
Roseli Rocha Moterle (5ª edição)
ISBN
978-85-7817-254-1
Projeto Gráfico e Capa
Equipe UnisulVirtual
Diagramação
Vilson Martins Filho
Edison Valim (5ª edição)
Ilustrações
Edison Valim
Revisão
Diane Dal Mago
Foco
516
S58
Silva, Kelen Regina Salles
Geometria I : livro didático / Kelen Regina Salles Silva, Christian Wagner;
revisão e atualização de conteúdo Mário Selhorst ; design instrucional
Karla Leonora Dahse Nunes, Roseli Rocha Moterle. – 5. ed. – Palhoça :
UnisulVirtual, 2011.
258 p. : il. ; 28 cm.
Inclui bibliografia.
ISBN 978-85-7817-254-1
1. Cálculo. 2. Geometria. I. Wagner, Christian. II. Selhorst, Mário. III.
Nunes, Karla Leonora Dahse. IV. Moterle, Roseli Rocha. V. Título.
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
2011_pag_iniciais.indd 4
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Sumário
Apresentação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
UNIDADE 1 - Retas e planos no espaço. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
UNIDADE 2 - Poliedros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
UNIDADE 3 - Sólidos que não rolam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
UNIDADE 4 - Sólidos que rolam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Para concluir o estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Referências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Sobre os professores conteudistas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Respostas e comentários das atividades de autoavaliação. . . . . . . . . . . . . . 239
Biblioteca Virtual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
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Book 1.indb 6
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Apresentação
Este livro didático corresponde à disciplina Geometria II.
O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma
e aborda conteúdos especialmente selecionados e relacionados
à sua área de formação. Ao adotar uma linguagem didática
e dialógica, objetivamos facilitar seu estudo a distância,
proporcionando condições favoráveis às múltiplas interações e a
um aprendizado contextualizado e eficaz.
Lembre que sua caminhada, nesta disciplina, será acompanhada
e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial da
UnisulVirtual. Neste sentido, a “distância” fica caracterizada
somente como a modalidade de ensino por que você optou para
sua formação. É que, na relação de aprendizagem, professores e
instituição estarão sempre conectados com você.
Então, sempre que sentir necessidade, entre em contato. Você
tem à disposição diversas ferramentas e canais de acesso,
tais como: telefone, e-mail e o Espaço UnisulVirtual de
Aprendizagem, que é o canal mais recomendado, pois tudo o que
for enviado e recebido fica registrado, para seu maior controle
e comodidade. Nossa equipe técnica e pedagógica terá o maior
prazer em lhe atender, pois sua aprendizagem é o nosso principal
objetivo.
Bom estudo e sucesso!
Equipe UnisulVirtual
7
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Book 1.indb 8
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Palavras dos professores
Neste livro apresentamos os conteúdos da disciplina
Geometria II, que estão de acordo com a ementa do projeto
pedagógico do seu curso.
Inserimos diálogos entre o personagem George e algumas
personalidades da Matemática que foram importantes para o
estudo da Geometria, tais como, Euclides, Platão e Cavalieri.
Nesses diálogos, você terá contato com aspectos históricos da
geometria, bem como a inserção de conceitos que requerem
um pouco mais de explicações. Com isso, pretendemos que
o texto não seja cansativo, intercalando, sempre que possível,
teoria, com diálogos e exemplos, fazendo, assim, um livro
acessível, tanto para aqueles alunos que já tiveram contato com
a geometria espacial, quanto para aqueles que não estudaram
isso no ensino fundamental e médio, o que é mais provável,
visto que um grande número de alunos que entram na
universidade jamais tiveram contato com a geometria de três
dimensões ou, se tiveram, foi algo bem superficial.
Pretendemos então preencher esta lacuna com o conteúdo
trabalhado neste livro e deixar o aluno de matemática apto a
seguir em frente no curso, bem como deixá-lo preparado para
o ensino da geometria espacial. Informamos que as tabelas
e ilustrações sem indicação de fonte foram elaboradas pelos
autores.
Não deixe de fazer os exercícios propostos no livro e só passe
para a unidade seguinte quando você estiver seguro dos
conceitos e resolvido uma boa parte dos exercícios.
Nós, autores e professores, estamos à disposição para atendêlo da melhor maneira possível, por isso, não deixe de interagir
por meio das ferramentas disponíveis no Espaço UnisulVirtual
Book 1.indb 9
11/07/15 17:36
Universidade do Sul de Santa Catarina
de Aprendizagem (EVA). Socialize seu conhecimento com seu
professor e seus colegas. Assim, faremos uma grande rede de
aprendizagem e troca de informações.
Vamos aos estudos. Sucesso!
Professores:
Christian Wagner e Kelen R.S. Silva.
10
Book 1.indb 10
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Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientá-lo no desenvolvimento da
disciplina. Ele possui elementos que o ajudarão a conhecer o
contexto da disciplina e a organizar o seu tempo de estudos.
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva
em conta instrumentos que se articulam e se complementam,
portanto, a construção de competências se dá sobre a
articulação de metodologias e por meio das diversas formas de
ação/mediação.
São elementos desse processo:
„„
o livro didático;
„„
o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA);
„„
„„
as atividades de avaliação (a distância, presenciais e de
autoavaliação);
o Sistema Tutorial.
Ementa
Ponto, reta e plano no espaço tridimensional. Interseção de
retas e planos. Paralelismo e perpendicularismo entre retas
e planos. Diedros. Triedros. Poliedros. Prisma. Pirâmide.
Cilindro. Cone. Esfera. Superfícies e sólidos de revolução.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Objetivos
Geral
Propiciar ao futuro educador condições para que trabalhe na sala
de aula o ensino de geometria dentro de uma abordagem atual.
Específicos
„„
„„
„„
Proporcionar ao aluno uma visão dos conteúdos da
geometria espacial, previstos nas Diretrizes Curriculares
do Ensino Fundamental e Médio.
Aprofundar conceitos da geometria espacial, estudados
no ensino fundamental e médio.
Adaptar estratégias e material didático para o ensino
fundamental e médio.
„„
Explorar as relações entre a geometria e a álgebra.
„„
Criar hábitos de dedução matemática.
„„
„„
„„
Desenvolver conceitos de geometria espacial dentro de
algum programa computacional.
Analisar conteúdos de geometria em livros-textos do
ensino fundamental e médio.
Mostrar, por meio de materiais didáticos, a aplicação da
geometria no dia a dia.
Carga horária
A carga horária total da disciplina é 60 horas-aula.
12
Book 1.indb 12
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Geometria II
Conteúdo programático/objetivos
Veja, a seguir, as unidades que compõem o livro didático desta
disciplina e os seus respectivos objetivos. Estes se referem aos
resultados que você deverá alcançar ao final de uma etapa de
estudo. Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de
conhecimentos que você deverá possuir para o desenvolvimento
de habilidades e competências necessárias à sua formação.
Unidades de estudo: 4
Unidade 1 – Retas e planos no espaço
A unidade apresenta um apanhado de propriedades e definições
que dão a base para construir a Geometria Espacial; você
também estudará as posições relativas existentes entre pontos,
retas e planos no espaço.
Unidade 2 – Poliedros
Nesta unidade, faremos a construção passo a passo de um diedro
e, em seguida, apresentamos a noção de triedro para, então,
estarmos aptos a estudar poliedros. No decorrer dos estudos,
vamos identificar poliedros, poliedros convexos e polígonos
regulares, bem como analisar as propriedades e características dos
poliedros regulares e dos poliedros de Platão.
Unidade 3 – Sólidos que não rolam
A unidade apresenta os sólidos que não rolam: prismas,
paralelepípedos, cubos e pirâmides. Para todos os sólidos vamos
identificar seus elementos, calcular a área de superfície e volume.
No estudo de prismas e pirâmides, vamos utilizar o princípio de
Cavalieri para determinar o volume desses sólidos.
13
Book 1.indb 13
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Unidade 4 – Sólidos que rolam
A unidade apresenta os sólidos que rolam: cilindros, cones e
esferas. Vamos identificar os elementos desses sólidos e veremos
como calcular a área de superfície. Para calcular o volume de
sólidos que rolam também vamos aplicar o princípio de Cavalieri.
14
Book 1.indb 14
11/07/15 17:36
Geometria II
Agenda de atividades/Cronograma
„„
„„
„„
Verifique com atenção o EVA, organize-se para acessar
periodicamente a sala da disciplina. O sucesso nos seus
estudos depende da priorização do tempo para a leitura,
da realização de análises e sínteses do conteúdo e da
interação com os seus colegas e professor.
Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço
a seguir as datas com base no cronograma da disciplina
disponibilizado no EVA.
Use o quadro para agendar e programar as atividades
relativas ao desenvolvimento da disciplina.
Atividades obrigatórias
Demais atividades (registro pessoal)
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UNIDADE 1
Retas e planos no espaço
Objetivos de aprendizagem
„„
Conhecer conceitos primitivos no espaço.
„„
Compreender condições de paralelismo entre retas e
planos e o Teorema de Tales no espaço.
„„
Sintetizar o conceito de perpendicularismo entre retas
e planos no espaço e distâncias entre entes no espaço.
„„
Compreender os conceitos de ângulos entre retas e
planos e ângulos entre planos.
1
Seções de estudo
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Seção 1
Aspectos históricos e noção intuitiva
Seção 2
Axiomas de incidência e ordem no espaço
Seção 3
Paralelismo e perpendicularismo
Seção 4
Distâncias e ângulos
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo
Nesta unidade, você terá contato com o começo da geometria
espacial, no contexto histórico e intuitivo. No estudo da
geometria, há uma série de axiomas que dão base para construir
toda a geometria plana. Na geometria espacial não é diferente,
existe uma série de axiomas que a sustenta. Ao final da unidade,
dê uma olhada a sua volta e veja o quanto da geometria espacial
está presente no seu dia a dia.
Analise e discuta as atividades propostas no livro, para que você
possa esclarecer todas as suas dúvidas. Comunique-se sempre
com seu professor para esclarecer os problemas que possam
aparecer no decorrer deste interessante campo da Matemática, a
geometria.
No estudo da geometria espacial axiomática, você terá
companhia do George e de um antigo matemático, precursor das
ideias axiomáticas: Euclides.
Acompanhe a seguir o primeiro diálogo entre George e Euclides.
18
Book 1.indb 18
11/07/15 17:36
Geometria II
George: Nossa, nem acredito que venci a Geometria I, achei que era um
bicho de sete cabeças, mas sei que consegui entendê-la.
Euclides: Mas isto é apenas o início meu rapaz.
George: Euclides??? É você mesmo novamente? Puxa, não pensei em
encontrar você por aqui não.
Euclides: Com certeza, vou estar presente neste estudo também, afinal,
a geometria espacial também é axiomática, e fui responsável pela
organização desses axiomas.
George: Então me diga, Euclides, de que se trata a geometria espacial?
Euclides: A geometria espacial trata do estudo de objetos no espaço.
Analisa os métodos que garantem a existência desses elementos e suas
relações.
George: Mas quando a geometria espacial começou a ser estudada?
Euclides: Você não vai acreditar, mas existem papiros datados
aproximadamente de 2.000 anos antes de Cristo, falando sobre cálculo de
volume e das dimensões de pirâmides. Supõe-se que esses papiros foram
escritos pelos povos da Mesopotâmia, uma região do Oriente Médio.
George: Realmente é inacreditável. Mas esses povos estudavam os objetos
no espaço?
Euclides: Da maneira deles sim. Eles aplicavam esses estudos no seu dia a
dia, conforme suas necessidades.
George: Já estou curioso. Você pode falar mais sobre a geometria espacial?
Euclides: Claro. Vou fazer um breve resumo. Estudos mostram que, na
antiguidade, os egípcios faziam cálculos e medidas de dimensionamento
da terra e já tentavam encontrar demonstrações dedutivas para as leis
relacionadas ao espaço, utilizadas por eles. Claro que Pitágoras e Platão
também estudaram a geometria espacial, e você verá que até tentaram
associar as formas geométricas abstratas ao estudo da metafísica e da
religião. Ainda na Antiguidade, Arquimedes e eu nos dedicamos a essa
ciência.
George: Você escreveu sobre a geometria espacial?
Euclides: Sim, nos livros ‘Elementos’ eu procuro organizar os estudos
realizados até então. O interessante é que, após isso, o estudo da
geometria espacial ficou um tempo estagnado, só voltando à tona
com Leonardo Fibonacci, que, por volta de 1220, escreveu uma coleção
sobre trigonometria e geometria. Fibonacci abordou até um análogo
tridimensional do teorema de Pitágoras.
Bem, continuando, o cálculo de volume de sólidos foi um dos objetos de
estudo do físico Johannes Kepler, por volta de 1615. Por falar em físico,
foi Newton que, em 1669, desenvolveu o cálculo diferencial e integral,
Unidade 1
Book 1.indb 19
19
11/07/15 17:36
Universidade do Sul de Santa Catarina
que facilita o cálculo de área e o volume de qualquer figura geométrica,
independentemente de sua forma.
George: Olha, Euclides, você é o máximo mesmo, viu? Você já me deixou
muito empolgado para começar o estudo.
Euclides: É mesmo? Nem parece o mesmo George preocupado do início
da geometria plana.
George: Pois é, Euclides, percebi que com esforço e dedicação podemos
vencer muitos desafios, e é isso que vou fazer com a geometria espacial
também. Não há o que temer.
Euclides: Bem, George, vou deixá-lo descansar para começar o estudo
com a cabeça bem tranquila. Qualquer coisa é só chamar. Abraços!
George: Tchau, Euclides, e obrigado por estar comigo aqui de novo.
Figura 1.1 – Veja como é interessante brincar com o espaço
Fonte: Escher (1953 apud BURATTO, 2006).
20
Book 1.indb 20
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Geometria II
Seção 1 – Aspectos históricos e noção intuitiva
Como disse Euclides, a geometria espacial já era estudada
pelos povos da Mesopotâmia há 2000 anos antes de Cristo. Os
gregos e egípcios sabiam utilizá-la muito bem. Basta ver as belas
construções gregas da antiguidade e as excepcionais pirâmides
do Egito. Hoje, apesar de estar presente no nosso dia-a-dia, na
maioria das vezes vem sendo trabalhada de forma mecânica.
A geometria espacial desempenha importante papel na vida do
estudante e do cidadão na sociedade. Os objetos, equipamentos
e construtos humanos são elaborados e fabricados utilizando,
essencialmente, formas espaciais euclidianas.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (2002)
recomendam o estudo da geometria nos seguintes termos:
[...] as habilidades de visualização, desenho, argumentação
lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas
podem ser desenvolvidas com um trabalho adequado
de Geometria, para que o aluno possa usar as formas e
propriedades geométricas na representação e visualização
de partes do mundo que o cerca.
Essas competências são importantes na compreensão
e ampliação da percepção de espaço e construção de
modelos para interpretar questões da Matemática e de
outras áreas do conhecimento.
De fato, perceber as relações entre as representações
planas nos desenhos, mapas e na tela do computador
com os objetos que lhes deram origem, conceber novas
formas planas ou espaciais e suas propriedades a partir
dessas representações são essenciais para a leitura do
mundo através dos olhos das outras ciências. (BRASIL,
2000, p. 44).
Esses argumentos destacam a preocupação do MEC com o
ensino da geometria nas escolas do Ensino Médio do país. Uma
rápida olhada no PCNs do Ensino Fundamental é suficiente
para perceber a extensa abordagem realizada para o componente
curricular Geometria, denominado espaço e formas.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
A passagem da geometria plana para a espacial é um tanto
delicada, temos muitas limitações. Trabalhar com geometria
plana, para nós, seres tridimensionais, é fácil, mas a geometria
espacial requer um pouco mais de trabalho, pois a tecnologia que
dispomos hoje para representar objetos tridimensionais é uma
tecnologia bidimensional, ou seja, não conseguimos representar
com perfeição os objetos tridimensionais, o que faz com que haja
distorção em comprimentos, ângulos etc.
Necessitamos de ferramentas mínimas que possam nos auxiliar
na construção da geometria espacial. As mais primitivas são:
ponto, reta e plano e, agora, o espaço, que você relembrará na
próxima seção.
Pode parecer estranho que a geometria como um todo se
baseie em noções nas quais não são apresentadas definições, ou
propriedades que não são demonstradas. Mas é importante ficar
claro que isso é algo comum em qualquer parte da matemática.
É possível começar este estudo com algumas noções intuitivas,
ou seja, estabelecendo uma quantidade mínima de propriedades
(postulados e axiomas) e, então, a partir deles demonstrar outros
resultados.
Pode-se, ainda, começar o estudo da geometria espacial
admitindo-se todos os resultados de geometria plana e que
são válidos para qualquer plano no espaço para, em seguida,
estabelecer relações entre ponto, reta e plano no espaço.
A próxima seção será o pontapé inicial para este estudo.
Acompanhe!
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Geometria II
Seção 2 – Axiomas de incidência e ordem no espaço
Para começar a estudar a geometria espacial, é preciso relembrar
as noções de ponto, reta e plano, porém, com uma visão espacial.
As noções (conceitos, termos, entes) geométricas são estabelecidas
por meio de definições. Em particular, as primeiras noções, os
conceitos primitivos da Geometria, são adotadas sem definição.
(DOLCE; POMPEO, 1994).
Você lembra?
Ponto: Não tem dimensão, não possui comprimento,
largura ou espessura. É geralmente representado por
letras maiúsculas: Ponto A, Ponto B, Ponto P etc.
Reta: A reta tem somente uma dimensão, isto é,
comprimento infinito. Não possui largura e espessura.
É geralmente representada por letras minúsculas: Reta
a, Reta b, Reta r etc.
Plano: O plano tem duas dimensões: comprimento
e largura. Não possui espessura. É geralmente
representado por letras gregas minúsculas: Plano α,
Plano β etc.
Dessa forma, admitem-se as seguintes noções gráficas para
Ponto, Reta e Plano:
Lembre-se de que a reta e
o plano são infinitos e os
esboços da figura 1.2 são
limitados para podermos
observá-las.
Figura 1.2 – Ponto, reta e plano
Vamos introduzir uma nova ideia em função das noções
apresentadas anteriormente – a noção de espaço.
Unidade 1
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Ao conjunto de todos os pontos damos o nome de
Espaço.
Sobre essa nova noção está construída a geometria espacial.
Observe que essa ideia nos leva ao universo tridimensional, o
universo no qual vivemos.
Com isso, fica um pouco mais difícil a observação das
figuras geométricas, pois, para desenhá-las temos que utilizar
perspectiva.
Axiomas de incidência
Para melhor entendimento, vamos apresentar os axiomas
de incidência em três tipos, os relacionados à existência, os
relacionados à determinação e um relacionado à inclusão.
Axiomas de existência
a) Existe ponto;
b)Existe reta, qualquer que seja a reta, existem pontos que
pertencem a ela e pontos que não pertencem;
c) Existe plano, qualquer que seja o plano, existem pontos
que pertencem a ele e pontos que não pertencem.
Figura 1.3 – Plano α, Reta r, Pontos A, B e C
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Geometria II
Na Figura 1.3, C pertence à reta r e ao plano α, B pertence ao
plano α, mas não pertence à reta r, e A não pertence ao plano α e
não pertence à reta r.
Axiomas da determinação
Os axiomas que determinam reta e plano a partir de pontos.
Dois pontos distintos no espaço determinam uma única reta que
os contém, e três pontos não colineares no espaço determinam
um único plano que os contém.
Figura 1.4 – Plano α, Reta r, Pontos P, Q, A, B e C
Na Figura 1.4, P e Q determinam a reta r e A, B e C
determinam o plano α.
Axioma de inclusão
Se uma reta tem dois de seus pontos em um plano, então, ela está
contida inteiramente neste plano.
Figura 1.5 – Pontos A, B e reta r contido no plano α
Observe que neste axioma dizemos que os pontos A e
B pertencem ao plano e a reta r está contida no plano.
Podemos representar essa afirmação como:
(A ≠ B,r = AB, A ∈ α, B ∈ α)
Unidade 1
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r⊂α
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Relação entre reta e plano
É possível analisar a relação entre uma reta e um plano por meio
da posição entre elas. Existem três possibilidades:
1) A reta está contida no plano.
Escrevemos r ⊂ α
Figura 1.6 – Reta r contida no plano α
2) A reta tem exatamente um ponto em comum com o plano.
Escrevemos: r ∩ α = P.
Figura 1.7 – Ponto P pertence à reta r e ao plano α
A parte da reta r pontilhada indica que ela está atravessando
o plano α no ponto P. (Diz-se que a reta r e o plano α são
concorrentes.)
3) A reta não tem ponto em comum com o plano.
Neste caso, a reta r é paralela ao plano α.
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Geometria II
Escrevemos: r ∩ α = ∅ ou r // α
Figura 1.8 – Plano α, Reta r
Você viu que numa reta existem infinitos pontos. Será
que num plano existem infinitas retas? No espaço
existem infinitos planos? Realize a atividade de
autoavaliação nº 1.
Determinação de planos
Antes de conhecer as maneiras para a determinação de um plano,
vamos relembrar duas definições da geometria plana e apresentar
uma nova definição.
Retas concorrentes: duas retas são concorrentes se, e somente se,
elas têm um único ponto em comum.
r∩s = P
Figura 1.9 – Retas r e s concorrentes, r ∩ s = {P}
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Retas paralelas: duas retas são paralelas se, e somente se, são
coincidentes (iguais) ou são coplanares (estão no mesmo plano) e
não têm nenhum ponto comum.
Figura 1.10 – Retas r e s paralelas, r ∩ s = ∅
Retas reversas: duas retas são reversas se, e somente se, não
existe plano que as contenha.
Figura 1.11 – Retas r e s reversas
Os teoremas serão demonstrados
utilizando uma linguagem que
facilite o seu entendimento. Apesar
de não serem demonstrações
formais, eles estão corretamente
baseados na teoria necessária.
Na Figura 1.11, dizemos que “não existe plano que contém r e s,
e r ∩ s = ∅ ”, então, r e s são reversas.
Existem quatro maneiras de determinar planos a partir de
retas e pontos. Vamos analisar cada uma delas. A primeira está
relacionada ao axioma 2.1.2 b, as demais serão apresentadas
como teoremas.
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Geometria II
I. Três pontos não colineares no espaço determinam um único
plano que passa por eles.
Figura 1.12 – Pontos A, B e C e plano α
Nesse caso, dizemos que A, B e C determinam o plano α, e
representamos essa construção por α = (A, B, C).
II. Teorema 1.1: dados uma reta r e um ponto P tal que P ∉ r,
então a reta r e o ponto P determinam um único plano α.
Figura 1.13 – Plano α, reta r e pontos A, B e P
Demonstração:
A Hipótese desse teorema é: existe um ponto P e uma reta r, tal
que P não pertence à r, ou seja, P ∉ r.
A Tese é: r e P determinam um único plano α.
Observe que esse teorema apresenta a existência do plano α e a
sua unicidade. Por isso, a sua demonstração será apresentada em
duas partes. Acompanhe pela Figura 1.13.
1. Existência do Plano α:
Seja uma reta r, tomemos dois pontos A e B, distintos,
pertencentes a reta r e um ponto P que não pertence a r (por
hipótese), assim, os pontos A, B e P não são colineares, e pelo
axioma 2.1.2 b existe um plano definido por r e P.
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2. Unicidade do Plano α:
Suponha que existe um outro plano β que contém r e P, como A
e B pertencem a r, temos que β contém os pontos A, B e P, assim,
pelo axioma 2.1.2 b, β é definido por r e P, mas essa é a definição
de α, portanto β = α.
Nesse caso, dizemos que r e P determinam o plano α, e
representamos essa construção por α = (r, P).
III. Teorema 1.2: dadas duas retas r e s, se r e s são concorrentes,
então, elas determinam um único plano α.
Figura 1.14 – Retas r e s concorrentes no ponto P
Demonstração:
A Hipótese desse teorema é: as retas r e s se interceptam num
ponto P.
A Tese: r e s determinam um único Plano α
Este teorema também apresenta a existência do plano α e a sua
unicidade. Por isso, a sua demonstração será apresentada em duas
partes. Observe a Figura 1.14.
1. Existência do Plano α:
Tomemos dois pontos A є r e B є s distintos do ponto de
intersecção P. Pelo axioma 2.1.2 b, existe um único plano α
contendo A, B e P. Como P e A são pontos de r, e P e B são
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pontos de s, pelo teorema 1.1, r e s pertencem a α. Portanto,
existe pelo menos um plano construído, passando por r e s.
2. Unicidade do Plano α:
Suponha que existe um outro plano β que contém r e s, então, β
contém P, A e B, mas pelo axioma 2.1.2 b, o plano que contém
esses pontos é único, logo β = α.
Nesse caso, dizemos que r e s determinam o plano α e
representamos essa construção por α = (r, s).
IV. Teorema 1.3: dadas duas retas distintas r e s, se r e s são
paralelas, então elas determinam um único plano α, que as
contém.
r
s
Figura 1.15 – Retas r e s paralelas
Demonstração:
A Hipótese desse teorema é: As retas r e s são paralelas.
A Tese: r e s determinam um único plano α.
Este teorema também apresenta a existência do plano α e a sua
unicidade. Veja a Figura 1.15.
1. Existência do Plano α:
Pela definição, se r e s são paralelas, então, elas são coplanares.
Logo, existe um plano α que as contém.
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2. Unicidade do Plano α:
Suponha que existe um outro plano β que contém r e s. Tomemos
os pontos A e B distintos, pertencentes a r, e P pertencente a s.
Neste caso, α contém r e s, mas como A e B є α então, α contém
A, B e P. Analogamente, se β contém r e s, e se A, B є r e P є s,
então, β também contém A, B e P. Mas, pelo axioma 2.1.2 b, o
plano que contém os três pontos é único, então α = β.
Tente responder: quantos planos passam por uma
reta? E por dois pontos distintos? Quantos planos
passam por quatro pontos distintos dois a dois?
Realize a atividades de autoavaliação nº 2 e nº 3.
Relação entre ponto e plano
O axioma de ordem tem a função de localizar os pontos no
espaço em relação a um plano dado.
Axioma de ordem no espaço: um plano α determina exatamente
dois semiespaços distintos, cuja intersecção é o próprio plano α.
Você deve estar se perguntando, o que são semiespaços ?
Semiespaço é o conjunto de todos os pontos que
estão do mesmo lado em relação a um plano dado.
Seja α um plano no espaço, e dois pontos A e B, fora desse
plano. Se a reta que passa por A e B não intercepta o plano α,
então dizemos que A e B estão do mesmo lado ou no mesmo
semiespaço em relação ao plano α. Por outro lado, se a reta que
passa por A e B interceptar o plano α em um ponto C entre A
e B, dizemos que A e B estão em lados opostos ou ainda em
semiespaços opostos em relação ao plano α. Veja a Figura 1.16.
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Geometria II
A e B estão no mesmo lado
em relação ao plano α
A e B estão em lados opostos
em relação ao plano α
Figura 1.16 – Visualização de semiespaço
Intersecção entre planos
Assim como estudamos a intersecção entre retas, podemos
expandir esse raciocínio para planos. Observe que a intersecção
entre dois planos é uma reta que pertence aos dois planos. Essa
reta é chamada de reta intersecção desses planos.
Dados dois planos distintos α e β, dizemos que são
secantes ou concorrentes se α e β se interceptam (ou se
cortam).
Figura 1.17 – Planos α e β, secantes ou concorrentes
Unidade 1
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Em sua opinião, dois planos concorrentes podem se
interceptar em um único ponto? Como? O axioma de
intersecção poderá lhe dar essa resposta.
Axioma de intersecção: se dois planos distintos têm um ponto
comum, então, eles têm, pelo menos, um outro ponto comum.
Lembre-se de que planos são infinitos. Por isso,
quando pensamos na intersecção entre dois deles é
impossível essa intersecção ser apenas um ponto. O
teorema 1.4 garante essa conclusão.
Teorema 1.4: se dois planos distintos têm um ponto comum,
então a intersecção desses planos é uma única reta que passa por
aquele ponto.
Demonstração:
A Hipótese desse teorema é: sejam α e β planos distintos, P є α e
P є β.
A Tese: existe uma reta r tal que α ∩ β = r e P є r.
Este teorema também apresenta a existência da reta r e a sua
unicidade.
1. Existência da reta r:
Como os planos α e β são distintos, se P є α e P є β pelo axioma
da intersecção existe um outro ponto A ≠ P, tal que A є α e A є β ,
logo, existe uma reta r que passa por P e A e assim, r ⊂ α e
r ⊂ β.
2. Unicidade da reta r:
Suponha que existe um ponto B є α e B є β, mas B ∉ r. Então,
existe um outro plano π = ( r, B) ( que passa por r e B). Logo, se
r ⊂ α , B є α e B є π, então, α = π, por outro lado, se r ⊂ β, B є β e
B є π, então, π = β, portanto, α = β. Nesse caso, os três planos α, β
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Geometria II
e π são coincidentes, mas isso é um absurdo, pois, por hipótese, α
e β são distintos. Assim, os únicos pontos da intersecção de α e β
são os pontos de r.
Exemplos:
1) Dados três planos α, β e π distintos, e dois a dois secantes,
segundo três retas r, s e t. Se α ∩ β = r, π ∩ β = s e α ∩ π = t,
como estão relacionadas as retas?
Solução: para este problema existe mais de uma possibilidade, veja a
seguir:
Primeira: se r = s = t, neste caso, os planos se interceptam na reta. Ou
seja, as retas são coincidentes. Veja a Figura 1.18.
Figura 1.18 – Planos α, β e π e retas r = s = t
Segunda: supondo que as retas duas a duas distintas (r≠ s, s≠ t e r≠ t) e
concorrentes:
Então, as três retas incidem num mesmo ponto. Veja Figura 1.19.
Figura 1.19 – Planos α, β e π e retas r ≠ s ≠ t
Unidade 1
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Terceira: supondo as retas duas a duas distintas e paralelas.
Logo, todas as três são paralelas, duas a duas.
r
t
s
α
π
β
Figura 1.20 – Planos α, β e π e retas r // s // t
Conclusão: se três planos distintos são dois a dois secantes, segundo três
retas, ou as retas passam por um mesmo ponto ou são paralelas duas a
duas ou são coincidentes.
(Esse é o enunciado de um teorema chamado teorema dos três planos
secantes.)
2) Dado um plano α, e duas retas r e s contidas em α e
concorrentes num ponto P. Suponha um ponto Q fora de α .
Determine a intersecção entre β= (Q,r) e π = (Q,s).
Solução: podemos resolver esse exemplo geometrica ou algebricamente.
Observe que:
r ∩ s = {P} e
P є s então P є π
P є r então P є β logo β ∩ π = PQ
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Geometria II
Figura 1.21 – Planos α, β e π retas r , s e t PQ
Tente resolver: sejam dois pontos A e B de um plano
α, se A e B pertencem a uma reta r e dois pontos C e D
pertencentes a outra reta s, sendo r e s concorrentes.
Considere um ponto P fora de α. Determine a
intersecção entre os planos β = (A , B, P) e π = (C, D, P).
Desafio
Quantos triângulos equiláteros temos na figura a seguir?
Figura 1.22 – Triângulos equiláteros
Consulte a resposta do desafio no final do livro didático.
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Seção 3 - Paralelismo e perpendicularismo
George: Euclides? Cadê você? Preciso de sua ajuda.
Euclides: Olá, George, que agonia é essa, meu rapaz?
George: Estou preocupado com essa seção, ela me parece muito teórica.
Na verdade, estou um pouco inseguro com essa ideia de ter de estudar
assuntos que não consigo ver, parece que tudo fica meio no ar.
Euclides: Calma, George, pense que essa história de estar no ar pode ser
interessante, apesar de você não poder “ver” algumas situações, você pode
“estar” numa situação.
George: Como? Agora pirei. Estar na situação, me explique melhor.
Euclides: Vamos pensar nessa sala que você está agora. Ela tem paredes,
teto e chão, não?
George: Claro, mas por quê?
Euclides: Porque podemos imaginar que essas paredes, o teto e o chão
são planos, e que o encontro entre as paredes e o teto são retas, assim
como o encontro entre as paredes e o chão. Dessa forma, você está entre
planos e retas, na verdade, você está no espaço, e pode estudá-lo.
George: É isso aí, cara, que sacada boa, ainda bem que tenho você ao meu
lado. Valeu!
Euclides: Então, como vocês costumam dizer, fui.
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Geometria II
Paralelismo no espaço
Neste item vamos estudar os casos de paralelismo no espaço,
analisar a existência de reta paralela a um plano, reta paralela a
reta no espaço e plano paralelo a plano. Todo esse estudo será
feito por meio de definições e teoremas.
Dada uma reta r e um ponto P, fora dessa reta, existe uma única
reta s paralela a r que passa por P.
Figura 1.23 – Reta s paralela a reta r, passando pelo ponto P
Viu também que duas retas coplanares são paralelas se são
coincidentes ou não se interceptam. Mas como será que se
comportam retas paralelas que não estão no mesmo plano?
Quando uma reta é paralela a um plano?
Como Euclides sugeriu ao George, vamos utilizar como exemplo
uma sala. Veja a Figura 1.24. Para dar a ideia de planos, vamos
tomar as paredes 2, 3, 4 e 5, o teto 6 e o chão 1; para a ideia
de retas, vamos tomar as intersecções entre esses entes que nos
deram a noção de plano.
Figura 1.24 – Esboço de uma sala
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Vamos chamar de reta r o encontro entre a parede 2 e o teto.
Agora, pense na relação entre essa reta e o chão. Elas se
encontram?
Figura 1.25 – O piso como plano e uma reta paralela a esse plano
Uma reta r e um plano α são paralelos se, e somente
se, eles não possuem pontos em comum.
Figura 1.26 – Plano α paralelo a reta r
Na Figura 1.26, r // α
α ∩ r = Ø, e se lê “a reta r é paralela ao
plano α se, e somente se, a intersecção entre r e α é vazia”.
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Geometria II
O símbolo
lê-se “se, e somente se”. E significa
que existem duas conclusões na sentença, ou seja,
conclusões nos dois sentidos.
Neste caso:
1) Se r e α são paralelos, então, α ∩ r = Ø;
2) Se α ∩ r = Ø então r e α são paralelos.
Observe que a hipótese da primeira conclusão vira a
tese da segunda e vice-versa.
Além de estudarmos a definição de uma reta paralela a um plano
e observarmos essa ideia numa sala, na geometria é importante
analisar a condição necessária para a existência de uma reta
paralela a um plano. Veja como os teoremas a seguir englobam
essa ideia e utilizam, nas demonstrações, a definição de retas
paralelas, reta contida em um plano e reta e plano paralelos.
Conceitos que serão utilizados em sua demonstração.
Teorema 1.5: dado um plano α e uma reta r, não contida em α.
A reta r e plano α são paralelos se, e somente se, existe uma reta s
paralela a r e contida em α.
Demonstração: Sejam α um plano e r uma reta fora de α.
(Essa demonstração se divide em duas partes, por causa do, se e
somente se:)
1)Hipótese: α e r são paralelos.
Tese: existe uma reta s contida em α tal que r // s.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Figura 1.27 – Retas r // s
Seja β um plano concorrente a α que contém r e intercepta α.
Pelo teorema 1.4, os planos α e β distintos e concorrentes se
interceptam em uma reta, nesse caso s.
Como r ∩ α = Ø e s ⊂ α e r e s são coplanares, então, r ∩ s = Ø,
ou seja, r e s são paralelas. O que você acha?
2) Hipótese: existe uma reta s contida em α tal que r // s
Tese: α e r são paralelos.
Se s e r são paralelas, então, s ∩ r = Ø , ou seja, não possuem
ponto em comum, então, existe um plano β distinto de α , que
contém s e r , logo, s está contida em α e em β, portanto, s é a
intersecção de α e β. Como r // s e, {s} = α ∩ β tem-se que
r ∩ α = Ø, logo r // α.
Acompanhe agora como analisar a existência de retas paralelas
no espaço. Veja a Figura 1.28. Suponha a intersecção entre a
parede 3 e o teto e, entre a parede 3 e o chão, duas retas.
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Geometria II
Figura 1.28 – Retas a partir de intersecção entre teto e parede, chão e parede
Teorema 1.6: sejam dois planos α e β, que se interceptam em
uma reta r. Se s é uma reta de β e é paralela ao plano α, então, s é
paralela à r.
Demonstração:
Hipótese: α e β são dois planos e s uma reta de β, paralela a α.
Tese: s é paralela à reta r (intersecção entre α e β).
Acompanhe pela Figura 1.29.
Figura 1.29 – Retas s // r
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Como s é paralela a α, então, s não intercepta α . Logo, r e s
não se interceptam, pois, por hipótese, r é a reta formada pela
intersecção dos planos α e β, então, pertence a α. Ainda, por
hipótese, s pertence a β. Logo, temos duas retas em β que não se
interceptam. Portanto, essas retas são paralelas.
A ideia de paralelismo entre planos é a mesma de paralelismo
entre retas, e entre reta e plano. Veja a seguir.
Planos paralelos
Assim como conceituamos retas paralelas, podemos conceituar
planos paralelos. Você compreenderá no decorrer deste livro a
importância desse conceito para a geometria espacial.
Dados dois planos α e β, dizemos que são coincidentes
(ou iguais) se todos os pontos de α são também
pontos de β.
Figura 1.30 – Planos α e β, coincidentes
Dados dois planos α e β, dizemos que são distintos e
paralelos se não possuem pontos em comum, ou seja,
α ∩ β = Ø.
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Figura 1.31 – Planos α e β, paralelos
Podemos utilizar a ideia da sala para observar planos paralelos.
Na Figura 1.32, o chão e o teto são paralelos, assim como as
paredes 2 e 4, e 3 e 5.
Figura 1.32 – Noção de planos paralelos numa sala
Assim como estudamos a existência de uma reta paralela a um
plano, vamos estudar a existência de planos paralelos entre si,
usando uma sequência de teoremas.
Teorema 1.7: dadas duas retas r e s, concorrentes em um
ponto P fora de um plano α. Sejam r’ e s’ retas paralelas a r e s,
respectivamente, contidas no plano α e concorrentes no ponto O.
Então, r e s determinam um plano β paralelo ao plano α.
Demonstração:
Hipótese: sejam r e r’, e s e s’ pares de retas paralelas, r’ e s’
concorrentes em O e contidas em α.
Tese: r e s determinam um plano β paralelo ao plano α.
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Figura 1.33 – Planos α // β
Como s // s’ e r // r’ (por hipótese), pelo teorema 1.5 r e s são
paralelas a α. Suponha por absurdo que α e β não são paralelos,
nesse caso, eles se interceptariam em uma reta t, mas, pelo
teorema 1.6, r seria paralela a t e s seria paralela a t. Logo, por
P teríamos duas retas paralelas a uma reta, o que é absurdo, pois
por um ponto fora de uma reta existe apenas uma paralela àquela
reta. Portanto, os planos α e β são paralelos. Veja Figura 1.33.
Teorema 1.8: por um ponto P exterior a um plano α dado, existe
um único plano β paralelo a α.
Demonstração:
Hipótese: sejam α um plano e P ∉ α.
Tese: existe um único plano β passando por P, tal que β // α.
1. Existência do plano β:
Tome duas retas r e u concorrentes em P, e pelo teorema 1.7
garantimos a existência do plano β, que contém essas retas e é
paralelo ao plano α.
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Geometria II
2. Unicidade do plano β:
Suponha que existem dois planos β e β’ distintos, passando por P
e paralelos à α. Como β e β’ são distintos e passam por P, então, β
∩ β’ = r (pelo teorema 1.4). Tome uma reta s ⊂ α , tal que r não
seja paralela a s, a partir da construção de um plano π = (r,Q), em
que Q é um ponto qualquer de α, e pelo teorema 1.4, temos α ∩
π = t. Tome s concorrente a t em Q, como t // r, pois r//α, temos
que, s e r são reversas. Veja a Figura 1.34.
Figura 1.34 – Plano β // α
Consideremos o plano π’ = ( s , P), como π’ passa por P que está
em β ∩ β’ = r, pelo teorema 1.4 π’ ∩ β = u e π’ ∩ β’ = v, mas como
β e β’são paralelos a α, u e v são paralelos a s, passando por P, o
que é um absurdo, pelo axioma das paralelas e, assim, β e β’são
necessariamente coincidentes.
Exemplos:
1) Construa, com argumentos geométricos, uma reta paralela a
um plano dado.
Solução: seja α o plano dado. Tome neste plano uma reta r. Fora desse
plano, tome um ponto P. Por P, podemos traçar uma reta s, paralela à
reta r e, portanto, pelo teorema 1.5, a reta s é paralela a α.
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2) Justifique a validade das afirmações a seguir:
(a) Uma reta e um plano paralelos não têm pontos em
comum.
Solução: verdadeiro, pela própria definição.
(b) Se uma reta está contida no plano, então, eles têm um
ponto em comum.
Solução: verdadeiro, pois uma reta que está contida em um
plano tem infinitos pontos em comum, em particular, um
ponto em comum.
(c) Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então,
elas são paralelas entre si.
Solução: falso, elas podem ser paralelas a um plano e ser
reversas entre si.
(d) Se dois planos são paralelos a uma reta, então, são
paralelos entre si.
Solução: falso, eles podem ser concorrentes.
Perpendicularismo no espaço
Para introduzir a noção de perpendicularismo entre retas e
planos, precisamos esclarecer o conceito de retas perpendiculares.
1) Duas retas concorrentes coplanares, que formam
entre si um ângulo de 90º, são ditas perpendiculares
(Figura 1.35).
2) Duas retas reversas, que formam entre si um ângulo
de 90º, são ditas ortogonais (Figura 1.36).
Figura 1.35 – Retas r e s perpendiculares
Figura 1.36 – Retas r e t ortogonais
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Geometria II
Em outras palavras, retas que formam entre si um ângulo reto, se
estão no mesmo plano, são chamadas perpendiculares e, se não
estão no mesmo plano, são chamadas ortogonais.
Lembre-se da definição de ângulo entre duas retas.
1) Uma reta r e um plano α são perpendiculares quando
a reta e o plano têm um ponto P em comum, e a reta r
é perpendicular a todas as retas contidas no plano que
passam por P.
2) Ao ponto P damos o nome de traço da
perpendicular ao plano α.
Figura 1.37 – Reta r perpendicular ao plano α no ponto P
Denotamos o perpendicularismo entre r e α por:
r ⊥ α ou α ⊥ r, e lê-se “r é perpendicular a α ou α é perpendicular a r”.
Analisando a sala, seguindo o pensamento de Euclides, temos que
o encontro das paredes 2 e 3 dão a ideia de uma reta. Podemos
dizer que essa reta é perpendicular ao chão. Veja a Figura 1.38.
Figura 1.38 – Encontro de paredes perpendicular ao chão
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Consequências
Tente responder: dado um plano qualquer, sempre
existe pelo menos uma reta perpendicular a ele? Essa
reta é única? E se tomarmos um outro plano paralelo
ao plano dado, qual a relação entre esse novo plano e
as retas?
As proposições a seguir respondem essas questões. Vamos
demonstrar apenas a proposição 1.1, as demais deixamos a cargo
do leitor, mas iremos visualizar cada afirmação por meio da ideia
da sala.
Proposição 1.1: uma reta é perpendicular a um plano se, e
somente se, ela for perpendicular às retas desse plano, que passam
pelo seu traço.
Demonstração:
1) Hipótese: dada uma reta r perpendicular a um plano α, em um
traço P.
Tese: então, r é perpendicular a todas as retas desse plano que
passam por P.
Como r é perpendicular a α, então, r é ortogonal a toda reta
contida em α, logo, ela é perpendicular às retas de α, que passam
pelo seu traço.
2) Hipótese: dada uma reta r perpendicular a todas as retas que
passam pelo seu traço P.
Tese: r é perpendicular ao plano α, que contém P.
Sejam s ⊂ α e s’ // s que passa por P. Por hipótese, r ⊥ s’, logo,
s é ortogonal a r. Como s é uma reta qualquer de α, temos por
definição que r é perpendicular a α.
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Proposição 1.2: se uma reta r e um plano α são perpendiculares
entre si, então:
1) Toda reta s paralela a r é perpendicular a α;
2) Todo plano β paralelo a α é perpendicular a r.
Na Fgura 1.39, vamos nomear como a o encontro entre as parede
2 e 5, como b o encontro entre as paredes 2 e 3 e c o encontro
entre as paredes 3 e 4, com o objetivo de darmos a noção de retas.
Pensando assim, observamos que a, b e c são paralelas, pois não
irão se interceptar.
Na Figura 1.38, vimos que b é perpendicular ao chão, e observe
que a e b também são perpendiculares ao chão. Seguindo esse
raciocínio, observe que o teto é paralelo ao chão e, ambos, são
perpendiculares a a, b e c, figura 1.40.
Figura 1.39 – Encontro de paredes paralelos,
perpendiculares ao chão
Figura 1.40 – Encontro de paredes paralelos,
perpendiculares ao chão e ao teto
Proposição 1.3: duas retas r e s distintas perpendiculares a um
mesmo plano são paralelas;
Podemos utilizar a Figura 1.39 para visualizar a ideia da
proposição 1.2. Veja que tomamos a e b perpendiculares ao chão
e, nesse caso, a e b não se encontram, são paralelas.
Proposição 1.4: dois planos distintos e perpendiculares a uma
mesma reta são paralelos.
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Ainda na figura 1.40, observamos que o teto e o chão formam
com a um ângulo de 90º , ou seja, são perpendiculares a a. Mas
sabemos que o teto e o chão são paralelos.
O próximo teorema é considerado fundamental para garantir a
existência de uma reta perpendicular a retas paralelas de um plano.
Teorema 1.9: se uma reta r é ortogonal a um par de retas
concorrentes de um plano α, então, r é perpendicular a α.
Demonstração:
Hipótese: s e t são duas retas concorrentes em P, contidas em α e
perpendiculares a r.
Tese: r ⊥ α.
Seja m uma reta qualquer de α que passa por P.
Tomemos em r dois pontos A e A’, em semiespaços distintos,
simétricos em relação ao traço P, ou seja,
.
Figura 1.41 – Reta r perpendicular ao plano α
Sejam dois pontos B e C, respectivamente pertencentes às
retas t e s, tais que BC intercepta a reta m num ponto M. Note
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Geometria II
que, nesse caso, t é mediatriz de AA' assim como s também é
mediatriz de AA' e, por isso:
e
.
Observe ainda que, para chegarmos à tese do teorema,
precisamos mostrar que m é mediatriz de AA' . Veja a Figura
1.41.
Tomemos os triângulos ABC e A´BC, como
,
, e BC é comum aos dois, então, concluímos que
, assim,
então,
(pois,
, logo
. Portanto, m mediatriz
de AA' , como por hipótese r é perpendicular a s e a t e por
construção m está contida em α, P pertence a m, concluímos que
r é perpendicular ao plano α.
Exemplo:
Justifique as afirmações abaixo:
(a) Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares, é
necessário que sejam concorrentes.
Solução: verdadeiro, pela própria definição de concorrentes.
(b) Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a
todas as retas do plano.
Solução: falso. É perpendicular a todas as retas que passam pelo
traço P, e ortogonal a todas as retas que não passam por P.
(c) Uma reta perpendicular a um plano forma ângulo reto
com todas as retas contidas no plano.
Solução: verdadeiro. Essas retas ou passam pelo ponto de
intersecção ou não passam, portanto, a reta é perpendicular ou
ortogonal, ou seja, forma ângulo reto.
Já vimos a existência de reta paralela a plano. Agora vamos
verificar se esse plano é único e ter a noção de como construí-lo.
Observe que, para isso, utilizamos um ponto fora da reta dada.
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Teorema 1.10: dado um ponto P qualquer, pode-se traçar um
único plano α perpendicular a uma reta r dada que passa por P.
Demonstração:
Hipótese: dada uma reta r e um ponto P є r.
Tese: existe um único plano α perpendicular a r passando por P.
Figura 1.42 – Reta r perpendicular ao plano α
1) Existência: sejam dois planos distintos π e π’, passando
por r. Seja Q um ponto qualquer de r e considere duas
retas s e t perpendiculares a r, passando por Q nos planos
π e π’, respectivamente. Pelo teorema1.9, existe um plano β
perpendicular a r, que contém as duas retas s e t concorrentes
em Q, perpendiculares a r. Utilizamos o teorema 1.7 para traçar
um plano α paralelo a β, passando por P e perpendicular a r
(proposição 1.2).
2) Unicidade: suponha outro plano α’ perpendicular a r, passando
por P. Pela proposição 1.4, α e α’ são paralelos, o que é absurdo,
pois existe um ponto P, pertencente a ambos, logo, α é único.
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Geometria II
Teorema 1.11: dado um ponto P qualquer, pode-se traçar uma
única reta r perpendicular a um plano α, tal que r contém P.
Demonstração:
Hipótese: dado um plano α e um ponto P fora do plano.
Tese: existe uma única reta r perpendicular a α que contém P.
P
r’
r
t
Q
s
Figura 1.43 – Reta r que contém P, perpendicular ao plano α
1) Existência: considere um plano α, duas retas distintas t e s
concorrentes em Q. Pelo teorema 1.10, podemos traçar dois planos
distintos π e π’ perpendiculares a r e a s, passando por Q. Seja r’ a
reta de intersecção dos planos π e π’. Por definição, temos que r´ é
perpendicular a s e a t. Logo, pelo teorema 1.9, r’ é perpendicular
a α. Consideremos agora uma reta r paralela à r’, passando por P.
Pela proposição 3.3, temos que r é perpendicular a α.
2) Unicidade: suponha outra reta perpendicular a α passando por
P, essa reta seria paralela a r’. Pelo teorema 1.8, r é a única reta
paralela a r’ passando por P.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Perpendicularismo entre planos
Além de estudarmos as características de planos perpendiculares,
nosso objetivo agora é também garantir a existência de dois
planos perpendiculares, e quais as condições necessárias para essa
existência.
Dados dois planos secantes α e β , e duas retas r e s
concorrentes contidas em α e β respectivamente, se o
ângulo entre r e s é igual a 90º, dizemos que α e β são
perpendiculares.
Teorema 1.12: dois planos α e β são perpendiculares se, e somente
se, um deles contém uma reta perpendicular ao outro.
Demonstração: dados dois planos α e β.
1) Hipótese: α é perpendicular a β.
Tese: existe uma reta s ⊂ β, tal que s é perpendicular a α.
Sejam dois planos α e β perpendiculares entre si, então, existe
uma reta s ⊂ β que é perpendicular às retas r ⊂ α e t ⊂ є α . Nesse
caso, s é uma reta de β, perpendicular à α, pelo teorema 1.9.
2) Hipótese: existe s ⊂ β, tal que s é perpendicular a α.
Tese: α é perpendicular a β.
Acompanhe pela Figura 1.44, ainda supondo que s ⊂ β e s ⊥
α, que tomamos a reta r como intersecção dos planos α e β .
Pela definição de reta perpendicular a um plano, temos que r é
perpendicular a s.
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Geometria II
Figura 1.44 – Planos α ⊥ β
Como r está em α e β , s e r são perpendiculares entre si. Pelo
ponto de intersecção de s e r, traçamos uma reta t contida em α
e perpendicular a r. Seja π um plano formado por s e t, sendo
que ≠ é perpendicular a r, pelo teorema 1.9, pois contém duas
retas concorrentes perpendiculares a r. Assim, π ∩ α = t e π ∩ β =
s, mas s e t são perpendiculares entre si. Logo, pela definição de
planos perpendiculares, segue que α é perpendicular a β.
Podemos analisar esse resultado observando as paredes de uma
sala. Veja que a parede 3 é perpendicular ao chão, b (encontro
entre as paredes 2 e 3) e c (encontro entre as paredes 3 e 4) estão
na parede 3 e formam, com o chão, 90º.
Figura 1.45 – Paredes perpendiculares
Unidade 1
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Teorema 1.13: se um plano α é perpendicular a um plano β e
uma reta r ⊂ α perpendicular a uma reta s ⊂ α ∩ β, então, r é
perpendicular a β.
Demonstração:
Hipótese: α e β são dois planos tais que β ⊥ α, com r ⊂ α e s ⊂ β
perpendiculares.
Tese: r ⊥ β.
Suponha, como na Figura 1.43, que a intersecção entre os
planos α e β seja a reta s. Se r é uma reta que pertencente a α
perpendicular a s. Tracemos pelo ponto de intersecção entre r e s
uma reta t perpendicular à s e contida no plano β.
Por hipótese α ⊥ β, e por definição r ⊥ t . Logo, r é
perpendicular a um par de retas concorrentes s e t do plano β.
Portanto, pelo teorema 1.9, r é perpendicular ao plano β.
Figura 1.46 – Reta α perpendicular ao plano β
Você sabe como chamamos dois planos secantes
que não são perpendiculares? Chamamos de planos
oblíquos.
Exemplos:
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Geometria II
1) Prove que, se um plano α contém um reta r, perpendicular a
um plano β, então, β contém uma reta perpendicular a α.
Solução: Como
e r é perpendicular a β, então, α e β são
perpendiculares pelo teorema 1.12. Chame de t a reta intersecção de α e
β. Seja s uma reta contida em β e perpendicular à t, como
, segue
que s é perpendicular a α.
Curiosidades
Os axiomas da geometria espacial estabelecem as condições para
determinação de planos:
1-três pontos distintos não colineares;
2-uma reta e um ponto não pertencente à reta;
3-duas retas paralelas;
4-duas retas concorrentes.
Assim, uma reta isoladamente não determina qualquer plano. Por
uma reta “passam” infinitos planos, mas nenhum deles tem sua
posição determinada, fixada por algum outro elemento ou objeto.
Figura 1.47 – Representação de planos
Na Figura 1.47 representamos diversos planos que contêm uma
mesma reta, mas nenhum deles tem sua posição definida. Para tal,
é sempre necessário termos mais uma reta, concorrente ou paralela
àquela dada ou a um ponto fora dela.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seção 4 - Distâncias e ângulos
Esta seção apresenta algumas consequências do estudo realizado
até o momento. A noção de projeção é nova, mas distâncias e
ângulos já foram estudados na geometria plana. Agora serão
expandidas para o espaço.
Projeções
Chama-se projeção ortogonal de um ponto P sobre
um plano α o traço O da perpendicular ao plano por P.
Figura 1.48 – Projeção do ponto P sobre o plano α
Chama-se projeção ortogonal de uma figura F sobre
um plano α o conjunto F’ das projeções ortogonais dos
pontos dessa figura sobre o plano.
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Figura 1.49 – Projeção da figura F sobre o plano α
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Geometria II
Chama-se projeção de uma reta r sobre um plano α
o conjunto das projeções ortogonais dos pontos dessa
reta sobre o plano.
Figura 1.50 – Projeções de retas sobre um plano α
Distâncias
Na geometria plana calculamos a distância entre dois pontos
de uma reta. Será que é possível calcular a distância entre dois
pontos no espaço?
Chama-se distância entre dois pontos P e Q, a medida
do segmento de reta PQ . Notação dP,Q.
Figura 1.51 – Distância entre pontos P e Q
Na figura 1.47, dP,Q.= PQ (medida do segmento PQ).
Observe que se P = Q, a distância entre P e Q é nula.
Unidade 1
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Chama-se distância entre um ponto P e uma reta r a
distância entre esse ponto e o “pé da perpendicular” à
reta conduzida pelo ponto Q. dP,Q.= PQ.
Observe que se dP,Q.= 0, então P є r.
Chama-se distância entre duas retas r e s paralelas a
distância entre um ponto P qualquer de uma delas
e
o ponto de intersecção da reta perpendicular PQ a
essa reta, passando por esse ponto Q. Notação dr,s.
Figura 1.52 – Distância entre retas r e s
Observe que, se dr,s.= 0, as retas r e s são coincidentes.
Chama-se distância entre um ponto P e um plano α a
medida do segmento de reta PQ , sendo Q a projeção
ortogonal de P sobre α. Notação dP,α.
Figura 1.53 – Distância entre ponto e plano
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Geometria II
Observe que, se dP,α.= 0, então, o ponto P pertence ao plano α .
Chama-se distância entre uma reta r e um plano α
paralelo a r, a distância entre um ponto P qualquer da
reta e o plano α. Notação dr,α
Figura 1.54 – Distância entre reta e plano
Observe que, se dr,α. = 0, então, a reta r está contida no plano α.
Chama-se distância entre planos α e β paralelos, a
distância entre um ponto P qualquer de um deles e o
outro plano. Notação dβ,α.
Figura 1.55 – Distância entre retas reversas
Observe que, se dβ,α.= 0 , então, os planos α e β são coincidentes.
Unidade 1
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Chama-se distância entre duas retas reversas, a
distância entre um ponto qualquer de uma delas e
o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira.
Notação dr,s.
Figura 1.56 – Distância entre retas reversas
Proposição 1.5: se duas retas r e s são reversas, então, existe uma
única perpendicular comum a essas retas.
Como utilizamos uma sala para observar algumas consequências
da geometria espacial, vamos pensar no telhado da sala para
analisar a proposição 1.5.
Figura 1.57 – Esboço de uma sala e seu telhado
Observando a Figura 1.57, podemos entender que, para calcular a
distância entre dois pontos determinados no telhado, precisamos
saber a posição desses pontos. Analogamente, se estivermos
interessados em calcular a altura de algum ponto em relação ao
chão, temos que saber a localização do ponto.
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Geometria II
Exemplo:
Dados dois pontos distintos A e B e uma reta r, construa um
plano equidistante de A e B e que seja paralelo a r.
Solução: Tome o ponto médio, denotado por M, do segmento AB .
Agora passe por M, uma reta s, paralela a r. Como r e s são paralelas e
distintas, elas determinam um plano α que, consequentemente, passa
por M. Logo, o plano α divide o segmento AB em dois segmentos
iguais.
Ângulos
Na geometria plana, você estudou ângulo entre retas. Com essa
nova noção de espaço, surge a necessidade de definir ângulo entre
reta e plano e ângulo entre planos.
Dados dois planos α e β secantes, chama-se ângulo
entre α e β o ângulo θ formado pelas retas r e s
contidas nos planos α e β, respectivamente. As retas
r e s devem ser perpendiculares à reta comum aos
planos α e β (a reta que é a intersecção desses planos).
Figura 1.58 – Ângulo θ entre os planos α e β
A ideia de ângulo entre dois planos também pode ser vista no
esboço do telhado de uma casa ou sala.
Unidade 1
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Se θ é o ângulo entre dois planos, então, admite-se que 0 ≤ θ ≤ 90º.
Ou seja, quando calculamos um ângulo, seja entre planos ou entre
reta e plano, esse ângulo é o menor entre eles.
Se os dois planos α e β são coincidentes ou paralelos,
qual o ângulo entre eles? Veja a atividade de
autoavaliação 19.
Chama-se ângulo entre uma reta r e um plano α o
menor ângulo formado por r e uma reta qualquer do
plano α.
Na Figura 1.59, o ângulo entre as retas r e s é o ângulo θ. Sendo
P o ponto de intersecção entre as retas dadas.
Figura 1.55: Ângulo θ entre o plano α e a reta r
Qual o ângulo formado entre um plano α e uma reta r
contida em α? Realize a atividade de autoavaliação 20.
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Geometria II
Em sala de aula
Uma alternativa didática interessante para trabalhar conceitos
geométricos se dá por meio da visualização e manipulação de
representações dos objetos matemáticos com os quais lidamos. Na
identificação das relações de paralelismo e perpendicularismo de
retas e planos, sugerimos a construção da maquete, essencialmente
contendo paredes paralelas e perpendiculares, paredes não
paralelas e telhado inclinado.
Atividade: Construção de uma maquete
Objetivo: Visualizar e manipular representações de planos e retas.
Material: Recortes de madeira MDF ou aglomerado de madeira e
cola
Procedimentos:
Utilizando um recorte como base, desenhar sobre ela a planta baixa,
obedecendo à proporcionalidade e a escalas pré-definidas.
Colocar e colar os recortes que representam as paredes e cobertura.
A cobertura deve ser preferencialmente removível, permitindo
visualização interna.
Figura 1.60 – Construção de uma maquete
Unidade 1
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Síntese
Você estudou nesta unidade um apanhado de propriedades e
definições que dão a base para construir a geometria espacial.
Estudou também as posições relativas existentes entre pontos,
retas e planos no espaço, e percebeu que as noções espaciais não
são tão simples como as noções da geometria plana.
Um desenho sempre auxilia nossa visualização. Tente, sempre
que possível, quando se deparar com uma propriedade da
geometria espacial, fazer um pequeno esboço do que está sendo
exposto. Você verá que, com uma visualização, as coisas ficam
mais fáceis. Até o momento, você deu uma pequena caminhada,
árdua, mas importante. Os sólidos, que são objetos de estudo da
geometria espacial, precisam das ideias vistas nesta unidade para
serem construídos.
A partir de agora, você já está apto para iniciar o estudo de
alguns sólidos e verá o estudo dos poliedros com um novo
personagem: Platão.
Antes de continuar, tire todas as suas dúvidas com o seu
professor, assim, garantirá um bom trabalho!
Atividades de autoavaliação
1) Usando os axiomas estudados, mostre que em um plano existem
infinitas retas.
2) Quantos planos determinamos por quatro pontos distintos, dois a dois?
3) Sejam 4 pontos dois a dois distintos. Quantas retas podemos
determinar por pares de pontos se esses pontos não são coplanares?
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Geometria II
4) Responda usando verdadeiro (V) ou falso (F). Lembre uma afirmação é
verdadeira se ela sempre se verifica.
a) (
) Duas retas distintas determinam infinitos planos.
b) (
) Três pontos distintos determinam um único plano.
c) ( ) Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um
único plano.
d) (
) Por duas retas concorrentes, passam infinitos planos.
e) ( ) Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam três
planos distintos.
f) ( ) Por uma reta e um ponto determinamos um único plano.
g) (
) Por dois pontos passam infinitos planos.
h) (
) Os vértices de um triângulo determinam um único plano.
5) Discuta a afirmação: “Se toda mesa tivesse apenas três pernas, ela não
balançaria”. Use os axiomas para firmar suas ideias.
6) Responda as seguintes perguntas:
a) O que nos dá a ideia de espaço?
b) No espaço existem quantas retas?
c) Quantas retas estão contidas em um plano?
d) Quando três pontos distintos determinam um único plano?
7) Dê uma justificativa para as seguintes afirmações.
a) Por três pontos de uma circunferência determinamos um plano.
b) Num triângulo ABC, o lado BC e o ponto B, determinam infinitos
planos.
c) Dois diâmetros de uma circunferência definem um plano.
Unidade 1
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Universidade do Sul de Santa Catarina
8) Sejam as afirmações abaixo:
I – Dois planos que só contêm uma reta em comum são coincidentes;
II – Se duas retas são paralelas a um plano, então essas retas são paralelas
entre si;
III – Duas retas concorrentes são coplanares;
IV – A condição
reversas.
é necessária para que duas retas sejam
Assinale a alternativa correta:
(
) I e III são verdadeiras;
(
) As afirmações II e III são falsas;
(
) As afirmações III e IV são verdadeiras;
(
) Todas as afirmações são falsas.
9) Com relação a retas, classifique as afirmações abaixo como verdadeiras
(V) ou falsas (F):
a) (
) Duas retas sempre são reversas;
b) (
) Duas retas distintas determinam um plano;
c) ( ) A condição
reversas;
é necessária para que duas retas sejam
d) (
) Se r é paralela a s, então
e) (
) Duas retas concorrentes têm um único ponto em comum;
f) ( ) A condição
paralelas;
;
é suficiente para que duas retas sejam
g) (
) Duas retas coplanares são paralelas;
h) (
) Duas retas que não são coplanares são reversas;
i) (
) Duas retas coplanares ou são paralelas ou são distintas;
j) (
) Se
, então r e s são paralelas.
70
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Geometria II
10) Sejam dois pontos A e B de um plano α, se A e B pertencem a uma
reta r e dois pontos C e D pertencentes a outra reta s, em que r e s são
concorrentes. Considere um ponto P fora de α. Determine a intersecção
entre os planos β = ( A , B, P) e π = ( C, D, P).
11) Complete usando verdadeiro (V) ou falso (F):
a) (
) Dois planos secantes têm sempre um ponto em comum;
b) (
) Se dois planos têm intersecção vazia, então, eles são paralelos;
c) ( ) A intersecção entre dois planos é uma reta que pertence aos dois
planos;
d) ( ) Semiespaço é o conjunto de todos os pontos que estão de um
mesmo lado de um segmento de reta.
12) Com argumentos geométricos, construa um plano paralelo a uma reta
dada.
13) Sejam α e β dois planos secantes e seja P um ponto não pertencente
aos planos. Construa por P uma reta paralela aos dois planos secantes.
Use argumentos geométricos.
14) Classifique usando verdadeiro(V) ou falso (F):
a) ( ) Por um ponto fora de um plano, existe uma única reta paralela a
este plano;
b) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então, ela é paralela a
infinitas retas do plano;
c) ( ) Se dois planos distintos são paralelos, então uma reta de um
plano e uma reta de outro plano podem ser concorrentes;
d) ( ) Se um plano contém duas retas paralelas a um outro plano ,
então, esses planos são paralelos;
e) ( ) Por um ponto fora de uma reta passa um único plano paralelo à
reta;
f) ( ) Se uma reta e um plano são concorrentes, então, eles têm um
único ponto em comum;
Unidade 1
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Universidade do Sul de Santa Catarina
g) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a
qualquer reta do plano;
h) ( ) Se dois planos são paralelos, então, toda reta que tem um ponto
em comum com um deles tem um ponto em comum com o outro;
i) (
) Dois planos distintos paralelos não têm ponto em comum;
j) ( ) Se dois planos distintos são paralelos, então, toda reta de um
deles é paralela a qualquer reta do outro.
15) Mostre com argumentos geométricos que se dois planos distintos são
paralelos, então, qualquer reta de um deles é paralela ao outro plano.
16) Considere dois planos paralelos α e β, e uma reta r. Mostre que se r for
paralela a um deles, ou é paralela ao outro ou está contida no outro.
17) Complete usando verdadeiro (V) ou falso (F):
a) ( ) Uma reta e um plano concorrentes são, necessariamente,
perpendiculares;
b) ( ) Se uma reta é paralela a dois planos perpendiculares, então, a
reta é perpendicular aos planos;
c) (
) Dois planos perpendiculares são secantes;
d) ( ) Se dois planos são perpendiculares a um terceiro plano, então,
esses planos são perpendiculares;
e) ( ) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano,
então, essa reta é perpendicular ao plano;
f) ( ) Se um reta forma ângulo reto com duas retas do plano, distintas e
que têm um ponto em comum, então, ela é perpendicular ao plano;
g) ( ) Uma reta e um plano, perpendiculares a outra reta em pontos
distintos, são paralelos;
i) ( ) Dados uma reta e um plano paralelos. Se um plano é paralelo ao
plano dado, então, a reta é paralela a este plano, ou está contido nele;
72
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Geometria II
j) ( ) Dados uma reta e um plano paralelos. Se um plano é
perpendicular ao plano dado, então, ele é perpendicular à reta;
k) ( ) Dois planos perpendiculares a um terceiro, então, eles podem
ser paralelos entre si;
18) Se os dois planos α e β são coincidentes ou paralelos, qual o ângulo
entre eles?
19) Qual o ângulo formado entre um plano α e uma reta r contida em α ?
20) Responda utilizando verdadeiro (V) ou falso (F):
a) (
) A projeção ortogonal de uma reta num plano é um reta;
b) ( ) A distância entre duas retas reversas é perpendicular comum a
essas retas;
c) ( ) A distância entre dois planos só é definida se esses planos são
paralelos;
d) ( ) A projeção ortogonal de um segmento oblíquo sobre um plano,
tem o mesmo tamanho do segmento;
(e) ( ) A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um
ponto qualquer de plano um ao outro plano.
Unidade 1
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73
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Se você gostou do estudo axiomático da geometria espacial,
indicamos um livro interessante, especialmente desenvolvido para
professores que irão trabalhar esta disciplina no ensino médio:
LIMA, E. L; CARVALHO, P. C. P; WAGNER, E;
MORGADO, A.C. A matemática do ensino médio. Rio de
Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1998. 2. V.
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Book 1.indb 74
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UNIDADE 2
Poliedros
Objetivos de aprendizagem
„„
Conhecer diedros e triedros.
„„
Identificar poliedros, poliedros convexos e poliedros
regulares.
„„
Analisar as propriedades e características dos poliedros
regulares e dos poliedros de Platão.
2
Seções de estudo
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Seção 1
Diedros
Seção 2
Triedros
Seção 3
Poliedros
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo
Euclides: Olá, George, como vai?
George: Oi Euclides, tudo em ordem e super curioso para este capítulo.
Até que enfim conhecerei e estudarei os poliedros.
Euclides: Que bom que você está empolgado! Realmente o estudo dos
poliedros é fascinante. E como você deve saber, são figuras geométricas
que fazem parte da vida do homem desde sua existência.
George: Como assim?
Euclides: Se você parar para pensar, o homem vem utilizando a geometria
no seu dia a dia para resolver problemas e facilitar sua vida. Entre tantas
descobertas, pense na construção da roda, nas cabanas dos índios e, mais
adiante, nas pirâmides;
George: É mesmo, você tem razão. Mas, diga-me, Euclides, quem vai me
acompanhar nesta unidade? Sei que você sempre tem uma boa surpresa.
Euclides: Garoto esperto! Você conhecerá Platão, um filósofo grego que
viveu por volta de 400 a.C. Foi um grande estudioso da matemática.
Fundou em 387 a.C. uma escola de filosofia chamada Academia, a qual
76
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Geometria II
tinha como principal propósito recuperar e desenvolver ideias de seu
mestre Sócrates.
George: Ele conheceu Sócrates?
Euclides: Não, apenas conheceu como foi seu seguidor e discípulo.
Inclusive, entre suas obras mais importantes está “Apologia a Sócrates”, na
qual valoriza os pensamentos do seu mestre. Platão tinha um pensamento
avançado para sua época. Ele acreditava que as pessoas aprendiam
resolvendo problemas impostos pela vida. Além de acreditar que a
educação da mulher deveria ser a mesma aplicada aos homens. Grande
avanço para sua época, não?
George: É, realmente. E na geometria, qual a sua contribuição?
Euclides: Na geometria estudou os poliedros e desenvolveu a ideia de que
o mundo está relacionado a essas figuras espaciais.
George: Como?
Euclides: Passou a explicar a existência do mundo por meio de cinco
sólidos perfeitos, da seguinte forma: Platão associa a terra à imagem de
um cubo, por ser o elemento de maior mobilidade, o único com faces
quadradas capaz de garantir estabilidade. Ao fogo, ele atribuiu o tetraedro,
que é o poliedro mais “pontudo”, com arestas mais cortantes, com menor
número de faces e de maior mobilidade. A água, ao icosaedro, o ar ao
octaedro, por serem de mobilidade crescente e intermediária entre a terra
e o fogo. E o Universo ficou associado ao Dodecaedro, o qual, segundo ele,
seria a “alma” do mundo.
George: Que viagem! Mas como você sabe tudo isso?
Euclides: Está publicado na minha obra “Elementos”. Ah, para saber mais,
você terá que estudar bastante. Vá em frente!
George: Já tinha esquecido de que, na melhor parte, você cai fora para eu
estudar. Beleza.
 
Figura 2.1 – Poliedros Regulares e Associações de Platão
Antes de estudarmos os poliedros, precisamos de algumas
ferramentas necessárias, que são os diedros e triedros.
Unidade 2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seção 1 – Diedros
Os diedros vêm sendo estudados e aplicados em diversas
áreas. Existe um sistema de projeção de figuras no espaço,
desenvolvido por Gaspard Monge, chamado de sistema de
Projeções Mongeanas ou Sistema Mongeano de Projeção, o qual
estuda as projeções de um determinado sólido, e diedros, para
assim determinar a forma e a posição do objeto no espaço. Veja
uma ideia na Figura 2.2:
Figura 2.2 – Observação de um objeto no espaço por meio de projeções em diedros. Sistema
Mongeano
Mas, afinal, o que é um diedro?
Pense num plano α e numa reta r contida em α. Como a reta e
o plano são infinitos, essa reta divide o plano α em duas partes.
Dizemos que r faz uma partição do plano, dividindo-o em dois
semiplanos.
78
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Geometria II
Figura 2.3 – Semiplanos de α definidos por r
Na Figura 2.3, se tomarmos os pontos A, B e C distintos entre si,
que não pertencem a r, podemos dizer que A e C estão no mesmo
semiplano e B está num semiplano distinto daquele que contém
A e C. Nesse caso, chamamos o semiplano que contém A e C de
αr,A ou αr,C e o semiplano que contém B de αr,B.
Na geometria plana, você estudou a definição do conceito de
ângulo entre duas retas como a região compreendida entre duas
semirretas de mesma origem. Agora, suponha que em vez de
retas, tenhamos dois semiplanos com a mesma reta origem, como
podemos definir ângulo entre esses semiplanos ?
Chama-se diedro ou ângulo diedral a figura formada
por dois semiplanos distintos de origem comum. A
essa origem dá-se o nome de aresta do diedro, e aos
semiplanos faces do diedro.
Notação di (face, aresta, face) ou di (aresta).
Figura 2.4 – Diedro di( α, r, β )ou di ( r )
Na Figura 2.4, os semiplanos α e β são as faces do diedro, a reta r é
a aresta do diedro. Assim, chamamos o diedro de di (α, r, β) ou di(r).
Unidade 2
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79
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Como se comportam os diedros cujas faces são
coincidentes? E quando pertencem ao mesmo plano e
têm apenas a aresta comum aos dois? Veja a Figura 2.5.
Figura 2.5 – Diedro nulo ( I ) e Diedro raso ( II )
Existem outras notações para diedro. Você pode encontrar em
alguns livros o di (α, r, β) como também
ou
.
Conceitos
Um diedro divide o espaço em dois semiespaços
abertos, que chamaremos aqui de interior do diedro
e exterior do diedro.
Figura 2.6 – Interior e exterior do diedro
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Geometria II
Observe que, dadas duas retas contidas nos respectivos
semiplanos, se o ângulo entre essas retas é agudo, então, os
pontos interiores a esse ângulo estão no interior do diedro; se o
ângulo for obtuso, os pontos dessa região estão no exterior do
diedro. Na Figura 2.6, o ponto A está no interior do diedro e o
ponto B está no exterior.
Chama-se seção de um diedro a intersecção do
diedro com um plano secante à aresta.
ˆ .
Notação: CAB
Figura 2.7 – Seção do Diedro
Na Figura 2.7, o plano secante α intercepta a aresta r no ponto
ˆ no
A, neste caso, a seção do diedro di ( β, r, π ) é o ângulo CAB
plano secante α.
Chamamos de seção normal ou reta a seção cujo
plano secante é perpendicular à aresta.
Unidade 2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Figura 2.8 – Seção normal
Na Figura 2.8, r ⊥ α, então, a seção é dita normal ou reta.
Os diedros satisfazem algumas propriedades que auxiliam no
entendimento de diedros congruentes. Observe que elas mostram
duas condições de seções congruentes.
Dolce e Pompeo (1994) também chamam o diedro de ângulo
diedro ou ângulo diêdrico e destacam que “[...] um diedro é
agudo, se e somente se, sua seção normal é um ângulo agudo;
[que] um diedro é obtuso, se e somente se, sua seção normal é
um ângulo agudo; [e ainda que] dois diedros são adjacentes, se e
somente se, as seções normais são ângulos adjacentes.”
ˆ e C ' A ˆ' D ' paralelas, de um
Propriedade 1: duas seções CAD
ˆ // C ' A ˆ' D '
diedro di (α, r, β ), são congruentes. Ou seja, se CAD
ˆ
ˆ
então, CAD ≡ C ' A ' D ' . Veja a Figura 2.9.
Figura 2.9 – Seções paralelas
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Geometria II
ˆ e C ' A ˆ' D ' normais, de um
Propriedade 2: duas seções CAD
ˆ e C ' A ˆ' D '
diedro di (α, r, β ), são congruentes. Ou seja, se CAD
ˆ ≡ C ' A ˆ' D ' .
são normais, então, CAD
Figura 2.10 – Seções normais congruentes
Dois diedros di (α, r, β ) e di (α, s, β ) são congruentes
quando uma seção normal de um é congruente a uma
seção normal do outro. Notação di (α, r, β ) ≡ di (α, s, β ).
Figura 2.11 – Diedros di (α, r, β) e di (α´, r’, β´) congruentes
Observe na Figura 2.11 que as seções π e π’ são seções normais
aos diedros di(α, r, β) e di (α’, r’, β’), respectivamente. E que os
ˆ e C ' Aˆ ' B ' são congruentes.
ângulos CAB
Unidade 2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Conclusões
Podemos chegar a algumas conclusões partindo do fato de que
suas seções normais são ângulos.
„„
„„
„„
„„
„„
„„
„„
Um diedro é reto se sua secção normal é um ângulo reto.
Um diedro é agudo, se e somente se, sua secção normal é
um ângulo agudo.
Um diedro é obtuso, se e somente se, sua secção normal
é um ângulo obtuso.
Dois diedros são adjacentes, se e somente se, as secções
normais são ângulos adjacentes.
Dois diedros são opostos pelos vértices, se e somente se,
suas secções normais são ângulos opostos pelos vértices.
Dois diedros são congruentes, se e somente se, se suas
secções normais são congruentes.
Um semiplano bissetor de um diedro é um semiplano
que possui origem na aresta do diedro e o divide em dois
diedros adjacentes e congruentes. Em outras palavras, o
semiplano bissetor divide o diedro exatamente no meio.
Desafio 1
As projeções ortogonais de figuras geométricas planas podem
apresentar diferentes características, dependendo das posições em
que essas figuras se encontram em relação ao plano de projeção.
Como podem ser as projeções ortogonais de um triângulo
sobre um plano?
Pense a respeito e analise a projeção ortogonal de um triângulo
sobre um plano nas seguintes situações:
a) quando está situado num plano paralelo ao plano de projeção;
b) quando está situado num plano oblíquo ao plano de projeção;
c) quando está situado num plano perpendicular ao plano de
projeção.
Consulte resposta do desafio no final do livro didático.
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Geometria II
Seção 2 – Triedros
Como estudamos a intersecção entre dois planos, podemos estudar
a interseção entre três planos. Nesse caso, temos os triedos.
Antes disso, pense como três planos podem estar relacionados
entre si.
Paralelos
Figura 2.12 – Planos α, β e π paralelos
Dois paralelos e o terceiro secante a eles
Figura 2.13 – Planos α e β paralelos e π secante a eles
Unidade 2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Planos se interceptando dois a dois
Figura 2.14 – Planos α, β e π com interceptação dois a dois
Observe na Figura
2.14 que a intersecção entre os planos α e β é

asemirreta VB , a intersecção entre os planos α e π é a semirreta

VA , e a intersecção entre os planos π e β é a semirreta VC , todas
com origem no ponto V.
 

Dadas três semirretas não coplanares VA , VB e VC , de
mesma origem V, passando pelos pontos A, B e C,
respectivamente. Considere três semiespaços: E1, E2 e
E3, obtidos a partir da intersecção entre dois a dois os
planos que passam pelas semirretas. Chama-se triedro
ou ângulo triedral, a intersecção desses semiespaços.
Dessa forma, a intersecção dos três planos mostrados
na Figura 2.14 é um triedro.
Notação: V( A, B, C).
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Geometria II
Elementos de um Triedro
Alguns elementos do triedro recebem nome especial. Acompanhe
pela Figura 2.15.
Vértice (V): é o ponto de intersecção das semirretas;
 

Arestas: são as semirretas VA , VB e VC ;
ˆ , chamadas,
ˆ ; BVC
ˆ e CVA
Faces do triedro: são as regiões AVB
respectivamente, de F(AB), F(BC) e F(AC).
Figura 2.15 – Triedro V(A,B,C)
Conclusões
1. Um triedro determina três diedros, cada um deles
determinados por duas faces do triedro. Veja a Figura 2.16.
Figura 2.16 – Diedros di (A), di (B) e di (C)
Unidade 2
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87
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2. Cada uma das faces de um triedro determina um ângulo. Um
triedro cujas faces são ângulos retos e cujos diedros são diedros
retos é chamado de triedro trirretângulo ou trirretangular, veja
Figura 2.17.
Figura 2.17 – Triedro trirretangular
Teorema 2.1: em todo triedro, o ângulo de qualquer face possui
medida menor que a soma das medidas dos ângulos das outras
faces.
Demonstração:
Dado o triedro V(A,B,C), faces são F(AB), F(AC) e F(BC), de
ˆ ) >, m( BVC
ˆ ) e m( AVC
ˆ ),>respectivamente,
ˆ )
medidas m( AVC
existem
m( AVB
algumas possibilidades:
ˆ ) = m( AVC
ˆ ) = m( BVC
ˆ ).
1)Hipótese: m( AVB
ˆ ) < m( AVC
ˆ ) + m( BVC
ˆ ).
Tese: m( AVB
Óbvio, seja
, então
.
Logo,
, portanto,
ˆ ) < m( AVB
ˆ ) + m( BVC
ˆ ) .
m( AVC
(1)
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Geometria II
Figura 2.18 – Triedro
ˆ ) = m( AVB
ˆ ) > m( AVC
ˆ ).
2) Hipótese: m( BVC
ˆ ) < m( AVB
ˆ ) + m( BVC
ˆ ).
Tese: m( AVC
, então α > β.
Óbvio, sejam
e
Logo
, como α > β , então, 2α > β.
ˆ ) < m( AVB
ˆ ) + m( BVC
ˆ ).
Portanto, m( AVC
3) Hipótese: F(AC) é a maior face do triedro, ou seja,
ˆ ) > m( BVC
ˆ ) e m( AVC
ˆ ) > m( AVB
ˆ )
m( AVC
ˆ ) < m( AVB
ˆ ) + m( BVB
ˆ ).
Tese: m( AVC
ˆ ≡ F(BC):
Considere em F(AC) um ângulo AVC


tomando B’ em VB e D’ em VD , tais que
.
Considerando uma seção A ' Bˆ ' C ' contendo o ponto D’,
temos:
a)
, pois os triângulos A’VC’ e B’VC’
são congruentes (LAL);
Unidade 2
Book 1.indb 89
89
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Universidade do Sul de Santa Catarina
b) O triângulo A’B’C’, com:
,
logo, considerando os triângulos D’VA’ e B’VA’, temos:
ˆ ') < m( A 'VB
ˆ ') ou ainda, m( DVA
ˆ ) < m( AVB
ˆ )
m( D 'VA
(2)
Utilizando (1) e (2), obtemos:
ˆ ) > m( BVC
ˆ ) e m( AVC
ˆ ) > m( AVB
ˆ ).
Como, m( AVC
ˆ ) < m( AVB
ˆ ) + m( BVB
ˆ ).
Portanto, m( AVC
Teorema 2.2: a soma das medidas, em graus, dos ângulos das
faces de um triedro qualquer é menor que 360o.
Demonstração:
Dado o triedro V(A,B,C) cujas faces são F(AB), F(AC) e F(BC).
Figura 2.19 – Faces do triedro
ˆ ), m( AVC
ˆ ) e m( BVC
ˆ ).
Hipótese: as medidas das faces são m( AVB
ˆ ) + m( AVC
ˆ ) + m( BVC
ˆ ) < 360° .
Tese: m( AVB
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Geometria II

Considere a semirreta VA ' oposta à semirreta, assim,
temos um novo triedro V(A’,B,C). Pelo teorema 2.1,
ˆ ) < m( BVA
ˆ ') + m(CVA
ˆ ') .
m( BVC
Como os pares de ângulos
ˆ e BVA
ˆ ';
AVB
ˆ e CVA
ˆ ';
AVC
são adjacentes e suplementares, temos que:
ˆ ) + m(CVA
ˆ ') = 180° .
ˆ ) + m( BVA
ˆ ') = 180° e m( AVC
m( AVB
Portanto,
ˆ ) + m( BVA
ˆ ') + m( AVC
ˆ ) + m(CVA
ˆ ') = 360°
m( AVB
ˆ ) < m( BVA
ˆ ') + m(CVA
ˆ ') , então,
Mas como m( BVC
ˆ ) + m( AVC
ˆ ) + m( BVC
ˆ ) < m( AVB
ˆ ) + m( AVC
ˆ ) + m( BVA
ˆ ) + m(CVA
ˆ ) = 360°
m( AVB
Temos, então, duas condições importantes para as
medidas das faces de um triedro:
1) A medida de cada face é menor que a soma das
medidas das outras duas;
2) A soma das medidas (em graus) das faces de um
triedro é menor que 360o.
Exemplo:
Verifique se existem triedros cujas faces medem:
a) 70o , 100o e 90o
Solução:
1) 70o < 100o + 90o= 190o ; 100o < 70o + 90o = 160o ;
90o < 70o + 100o = 170o ;
2) 70o + 100o +90o = 260o < 360o. Logo, temos um triedro
com essas medidas.
Unidade 2
Book 1.indb 91
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Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 150o , 140o e 130o
Solução:
1) 150o < 140o + 130o= 270o ; 140o < 150o + 130o = 280o;
130o < 150o + 140o = 290o ;
2) 150o + 140o +130o = 420o > 360o. Logo, não temos um
triedro com essas medidas.
Congruência de triedros
Dois triedros V(A,B,C) e W(D,E, F) são congruentes,
se existir uma correspondência biunívoca entre suas
arestas, tal que:
a) Os respectivos diedros são congruentes;
b) As respectivas faces têm ângulos congruentes.
Figura 2.20 – Triedros congruentes
Observe na Figura 2.20 que
,
,
,
e
concluímos que:
,
, então,
.
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Geometria II
Desafio 2
Nas representações ortogonais de objetos utilizamos como
referência um triedro reto, e quando suficiente são utilizadas as
projeções denominadas vista frontal, vista lateral esquerda e vista
superior.
Figura 2.21 – Projeção ortográfica de modelos com elementos paralelos
O desafio que lhe fazemos prevê realizar a leitura em ordem inversa.
Dadas as projeções nas três vistas sugeridas, construa o sólido que
lhe deu origem:
Figura 2.22 – Projeção ortográfica
Consulte resposta do desafio no final do livro didático.
Unidade 2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seção 3 – Poliedros
Platão: Como vai, caro rapaz?
George: Olá! Vou bem, você... deve ser o Platão, certo?
Platão: Sim, claro. E vim acompanhá-lo nessa nova descoberta: os
Poliedros.
George: Então me responda, o que é um poliedro?
Platão: Bem, um poliedro é um conjunto de figuras planas que cercam
uma parte do espaço tridimensional. Entendeu?
George: Mais ou menos.
Platão: Vou tentar ser mais claro, é um objeto com muitas faces. E então?
George: Agora sim. Mas por que estudar os poliedros?
Platão: Como nosso amigo Euclides já falou, o homem desde sempre
vem utilizando figuras geométricas para resolver seus problemas.
Principalmente relacionadas a áreas e volumes e até as artes. Os
poliedros foram muitos estudados no Renascimento para a realização
de perspectiva. Você pode vê-los nas obras de Paolo Uccello, Piero Della
Francesca, Albrecht Durer, Leonardo da Vinci, Luca Pacioli e Leonardo
Pisano (o Fibonacci). O grande físico Johannes Keppler utilizou os sólidos
platônicos para descrever as distâncias entre as órbitas elípticas dos seis
planetas conhecidos naquela época, e elaborar um modelo do sistema
planetário.
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Geometria II
George: Realmente, muitas variações do mesmo tema. O homem vem
mesmo se valendo da geometria ao longo dos anos.
Platão: Mas, George, se você parar para pensar um pouquinho mais, verá
que, na própria natureza, a geometria aparece e é otimizada. Figuras
geométricas aparecem no favo de mel, em alguns cristais, nos vírus, que
têm muitas vezes forma icosaédrica, ou simples organismos vivos como os
radiolários.
George: É, agora vou passar a pensar nisso.
Platão: Então, preste atenção nos nomes e nas características de cada
poliedro apresentado nessa seção.
George: Falou.
Na geometria plana, você viu as figuras planas mais importantes,
entre elas os polígonos (triângulo, quadrado, retângulo, losango,
paralelogramo, pentágono, hexágono etc.).
No espaço, existem figuras geométricas correspondentes aos
polígonos, que são os poliedros.
Chama-se figura Poliédrica a reunião de um número
finito de polígonos planos de tal forma que:
a) A intersecção de dois polígonos ou é um vértice, ou
é um dos lados do polígono ou é vazia;
b) Dois polígonos, cuja intersecção é um vértice, não
são coplanares;
c) Os lados de cada polígono não pertencem a mais
do que dois polígonos.
Unidade 2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Figura 2.23 – Figuras no espaço
Exemplo:
Na Figura 2.23, as figuras (III), (IV), (V), (VI), (VII), (VIII)
e (IX) representam figuras poliédricas, mas (I) e (II) não
representam figuras poliédricas, pois (I) não é uma reunião finita
de polígonos e o (II) não satisfaz a condição c).
Chama-se superfície poliédrica a figura poliédrica
reunida com as regiões poligonais determinadas pelos
polígonos. Se existir alguma aresta que pertence a
uma só face, ela deve formar uma poligonal fechada,
cujo nome é contorno.
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Geometria II
Formar uma poligonal fechada significa que, se começarmos a
caminhar ao longo dessa aresta, chegamos ao ponto inicial.
Exemplo:
Na Figura 2.23, as figuras III, IV, V, VI, VII, VIII, IX são
poliédricas.
Observe que um poliedro pode ser constituído por polígonos
diferentes, ou seja, pode misturar faces triangulares e
quadrangulares.
Chama-se poliedro convexo o sólido geométrico
quando:
a) Duas a duas das suas faces não são coplanares;
b) Cada lado da face poligonal é comum a duas e
somente duas faces poligonais;
c) O plano que contém cada face poligonal divide
o espaço de tal forma que todas as outras faces
poligonais ficam num mesmo semiespaço.
Exemplo:
Na Figura 2.23, as figuras (I), (II), (III), (VI), (VII) e (VIII) não
são poliedros convexos. Já os poliedros (IV) e (V) são os únicos
que satisfazem as condições de poliedros convexos.
Elementos de um poliedro:
Faces: são os polígonos que formam o poliedro;
Arestas: são os lados de cada polígono;
Vértices: são os vértices dos polígonos;
Ângulos: são os ângulos dos polígonos.
Unidade 2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Congruência
Dois poliedros são ditos congruentes se for possível estabelecer
uma correspondência entre seus elementos, de modo que as
faces e os ângulos poliédricos de um sejam ordenadamente
congruentes às faces e ângulos poliédricos do outro.
A seguinte conclusão é uma das mais importantes sobre poliedros
convexos.
Platão e George se encontram para uma discussão:
Plantão: E, então, meu jovem, como anda o estudo?
George: Está tudo tranquilo. Tive que me dedicar um pouco mais à
geometria espacial, mas estou conseguindo me virar. E agora, o que vem?
Platão: Vem um teorema muito importante com um tipo de demonstração
que você ainda não conhece: demonstração por indução.
George: Realmente, nunca ouvi falar.
Platão: Bom, desde o início da sua jornada pela geometria, você se
deparou com muitas demonstrações, certo?
George: Com certeza. Já demonstrei partindo da hipótese e chegando
à tese. Também já demonstrei alguns teoremas por absurdo, ou seja,
negando a tese, chegando deste modo a uma contradição, mas por
indução, ainda não vi nada.
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Geometria II
Platão: Pois é. É apenas mais uma forma de demonstração.
George: Isso, percebi que é, mas fiquei preocupado. Será que poderia me
dar uma breve explicação?
Platão: Certamente, meu jovem.
George: Que bom, estou pronto.
Platão: Bom. A indução foi enunciada pela primeira vez em 1575, por
Francesco Maurolycus, e é usada quando os teoremas envolvem números
inteiros.
George: História da matemática sempre me fascina.
Platão: Faço parte dela, inclusive.
George: Você falou em números inteiros. Bom, realmente o próximo
teorema se encaixa nessa ideia, pois relaciona vértices, arestas e faces, que
são números inteiros e positivos. Bom, estou curioso. O que mais?
Platão: Imagine que você quer provar que uma propriedade é válida a
partir de um número inteiro n . Então, primeiramente, você verifica que
ela é válida para este número inteiro n . Em seguida, suponha que a
propriedade é válida para um n qualquer e prove que é válida para n + 1.
Portanto, ela será válida para todo número n, a partir do n inicial.
George: Que interessante! Não parece ser tão difícil. Basta praticar.
Platão: Isto mesmo, você terá oportunidade de praticar em outras
disciplinas da matemática.
George: Agora que já tenho a ideia inicial, acredito que não vai ser difícil
de entender a demonstração do próximo teorema.
Teorema 2.2: (Fórmula de Euler): para todo poliedro convexo,
ou para a sua superfície, vale a seguinte relação:
V-A+F=2
Sendo:
V é o número de vértices do poliedro;
A é o número de arestas do poliedro;
F é o número de faces do poliedro.
Unidade 2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Demonstração:
Vamos utilizar o princípio da indução para provar essa
propriedade.
Hipótese: dado um poliedro convexo com V vértices, A arestas, e
F faces.
Tese: V- A + F = 2
1) Vamos provar inicialmente que se a superfície é poliédrica
convexa aberta, então, vale a relação
V-A+F=1
Por indução, essa propriedade é válida para uma superfície de
uma face, ou seja, F = 1. Neste caso, a superfície se reduz a
um polígono de n lados, portanto, possui n arestas (A= n ) e n
vértices (V = n). Logo,
V - A + F = n - n + 1 = 0 + 1 =1
Portanto, a propriedade é válida para F = 1.
2) Agora, admitimos que a relação vale para uma superfície de
F faces (que possui V vértices e A arestas) e vamos provar que
também vale para uma superfície de F + 1 faces (que possui F + 1
faces, V vértices e A arestas).
Por hipótese, para a superfície de F faces, A arestas e V vértices
vale:
V–A+F=1
Acrescentando a essa superfície (que é aberta) uma face de
p arestas (lados) e considerando que q dessas arestas (lados)
coincidem com arestas já existentes, obtemos uma nova superfície
com Fn faces, An arestas e Vn vértices tais que:
Fn = F + 1
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Geometria II
An = A + p – q ( q arestas coincidiram)
Vn = V + p – (q + 1) ( q arestas coincidindo, q + 1 vértices
coincidem).
Formando a expressão Vn – An + Fn e substituindo os valores
acima, vem:
Vn – An + Fn =
V + p –( q + 1) – (A + p – q) + (F + 1) =
V+p–q–1–A–p+q+F+1=
V – A + F.
Portanto, Vn – An + Fn = V – A +F, ou seja, provamos que essa
expressão não se altera se acrescentamos (ou retiramos) uma face
da superfície.
Como, por hipótese, V – A + F = 1, vem que Vn – An + Fn = 1.
O que prova a relação preliminar.
Tomemos a superfície de qualquer poliedro convexo ou qualquer
superfície poliédrica limitada convexa fechada (com V vértices, A
arestas e F faces), e dela retiremos uma face. Ficamos, então, com
uma superfície aberta (com Vn vértices, An arestas e Fn faces) para
a qual vale a relação:
Vn – An + Fn = 1
Como Vn = V, An = A e Fn = F – 1, vem V - A + (F – 1) = 1, ou seja:
V-A+F=2
Unidade 2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Os poliedros que satisfazem a fórmula de Euler são
chamados de poliedros eulerianos. Mas atenção, todo
poliedro convexo satisfaz a fórmula de Euler, mas
nem todo poliedro que satisfaz a fórmula de Euler é
convexo.
Exemplos:
1) Veja a Figura 2.25 que tem 14 vértices, 21 arestas e 9 faces.
Observe que a figura não é convexa, mas a relação de Euler é
válida.
Figura 2.25 – Poliedro não convexo euleuriano
V = 14, A = 21 e F = 9
Pela fórmula de Euler:
V-A+F=2
14 – 21 + 9 = 2
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Geometria II
2) Na Figura 2.26 o poliedro tem 16 vértices, 32 arestas e 16
faces. Veja que a relação de Euler não é válida.
Figura 2.26 – Poliedro não convexo
V = 16, A = 32 e F = 16
Pela fórmula de Euler:
V-A + F = 2
16 – 32 + 16 = 0 ≠ 2
Propriedade: a soma dos ângulos de todas as faces de um
poliedro convexo é igual a:
S = (V – 2). 4r
Sendo:
S é a soma dos ângulos das faces;
V é o número de vértices;
r é um ângulo de 90o.
Unidade 2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Demonstração:
Hipótese: dado um poliedro convexo com V vértices, A arestas e F
faces.
Tese: (V - 2). 4r
Suponha que cada face 1,2, ..., F do poliedro tenha n1, n2, n3,...
nF, lados, respectivamente.
Se a soma das medidas dos ângulos de cada face é (n - 2) 2r.
Logo, cada uma das F faces tem a soma dos ângulos:
S = (n1 – 2) 2r + (n2 - 2) 2r + (n3 – 2) 2r + ... + (nF – 2) 2r
S = (n1 + n2 + n3 + ...+ nF) 2r + ( - 4r – 4r -... – 4r )
S = (n1 + n2 + n3 + ...+ nF) 2r - ( 4r+ 4r +... + 4r )
Como:
2A= n1 + n2 + n3 + ...+ nF (já que cada aresta foi contada duas
vezes).
4r + 4r + ...+ 4r = F. 4r (já que 4r aparece F vezes na soma).
Temos:
S = 2A2r – F 4r = 4 Ar - 4 F r, portanto, S = (A – F) 4r, da relação
de Euler V - 2 = A- F
Assim, S = (V – 2) 4 r.
Exemplos:
1) Um poliedro convexo tem 6 faces e 9 vértices. Calcule o
número de arestas.
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Geometria II
Solução:
Pela relação de Euler, temos:
V-A+F=2
9-A+6=2
A = 13
O poliedro tem 13 arestas.
2) Um poliedro tem 4 faces triangulares e 3 faces hexagonais.
Calcule o número de arestas e vértices do poliedro.
Solução:
Número de faces:
„„
4 faces triangulares e 3 faces hexagonais, temos um total
de 7 (F = 7).
Número de arestas:
„„
„„
4 faces triangulares, tem-se 4 x 3 arestas, ou seja, 12
arestas;
3 faces hexagonais, tem-se 3 x 6 arestas, ou seja, 18
arestas.
Mas, lembre-se, cada aresta é contada duas vezes, logo, o total de
arestas é dada por:
A=
12 + 18 30
=
= 15
2
2
Número de vértices:
Usando a relação de Euler:
V-A+F=2
V - 15 + 7 = 2
V = 10
Unidade 2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
3) Um tetraedro regular tem 4 faces triangulares. Calcule a soma
das medidas dos ângulos das faces.
Solução: Temos F = 4 . O número de arestas é 4 x 3, ou seja, 12
arestas. Como as arestas são contadas duas vezes, temos um total
de 6 arestas, isto é, A = 6 . Usando a relação de Euler, vem:
V-A+F=2
V-6+4=2
V=4
Agora como:
S = (V - 2). 4r
S = (4 - 2). 4 . 90
S = 720
Assim, a soma das medidas dos ângulos das faces é 720°.
4) A soma das medidas dos ângulos das faces de um poliedro é
1440°. Sabendo que esse poliedro tem 12 arestas, determine o
número de faces.
Solução: Temos que S = (V - 2). 4r , portanto,
1440 = (V - 2). 360
V-2=4
V=6
Usando a relação de Euler: V - A + F = 2, temos:
6 - 12 + F = 2
F=8
Assim, o poliedro tem 8 faces.
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Geometria II
Poliedros de Platão
Chama-se poliedro de Platão o poliedro que satisfaz
as três seguintes condições:
a) Todas as faces têm o mesmo número (n) de arestas;
b) Todos os vértices do poliedro têm o mesmo número
(m) de arestas;
c) Satisfaz a relação de Euler (V –A + F = 2).
São poliedros de Platão:
Figura 2.27 – Poliedros de Platão
Observe que os Poliedros a seguir não são de Platão.
Figura 2.28 – Poliedros que não são de Platão
Unidade 2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Teorema 2.3: existem cinco, e somente cinco, tipos de poliedros
de Platão.
Demonstração:
Sabemos que:
1) Um poliedro de Platão deve satisfazer a seguinte condição:
V - A + F = 2.
2) Se F é uma face do poliedro, então, F tem n arestas, mas cada
aresta está em duas faces, então:
.
3) V é um vértice, V tem m arestas, e como cada aresta contém
dois vértices,
então:
.
Agrupando as conclusões obtidas em 1), 2) e 3):
(1)
Pelas definições de poliedro e polígono, respectivamente, m ≥ 3 e
n ≥ 3. Nesse caso, podem ocorrer algumas situações:
a) Se m > 3 e n > 3 simultaneamente, temos:
Mas, por (1)
, pois A > 0 (o número de arestas não
pode ser negativo).
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Geometria II
Portanto, um poliedro de Platão deve ter um dos números m ou n
igual a 3.
Isso é se n = 3, teremos faces com triângulos.
Se m = 3, teremos triedros.
Vamos supor alguns casos:
(I) Para m = 3 ⇒
, então 3 ≤ n < 6
Veja tabela:
Tabela 2.1 – Faces do poliedro
m
n
Faces
3
3
Triangulares
3
4
Quadrangulares
3
5
Pentagonais
(II) Para n = 3⇒
Veja tabela:
Tabela 2.2 – Medidas dos poliedros segundo os ângulos
m
n
Ângulos
3
3
Triédricos
4
3
Tetraédricos
5
3
Pentaédricos
Unidade 2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Comparando as duas tabelas, chegamos a seguinte conclusão:
Tabela 2.3 – Medidas dos poliedros
m
n
3
3
3
4
3
5
4
3
5
3
Existem apenas cinco tipos de poliedros de Platão, que serão
determinados pelo número n de arestas de cada face e pelo
número m de arestas de cada ângulo poliédrico.
Você pode estar se perguntando, como encontrar
os poliedros de Platão utilizando o resultado do
teorema 2.3?
Utilizando as conclusões:
2A = nF , 2A = mV e
.
Veja, se n = 3 e m = 3, temos:
.
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Geometria II
Portanto, temos um poliedro com 4 vértices, 4 faces e 6 arestas,
ou seja, um tetraedro.
Da mesma forma, podemos analisar os demais casos obtendo,
assim, a seguinte tabela:
Tabela 2.4 – Outros poliedros
M
n
A
F
V
NOME
3
3
6
4
4
Tetraedro
3
4
12
6
8
Hexaedro
3
5
30
12
20
Dodecaedro
4
3
12
8
6
Octaedro
5
3
30
20
12
Icosaedro
Poliedro regular
Chama-se poliedro regular o poliedro convexo que
satisfaz:
a) Suas faces são polígonos regulares e congruentes
entre si;
b) Todos os ângulos poliédricos são congruentes.
Exemplo:
Na Figura 2.29, os poliedros (a), (d), (e), (f), e (h) são de Platão,
os demais não.
Pois:
„„
„„
nem todos os vértices de (b) possuem o mesmo número
de arestas;
existem faces de (c) não congruentes as demais;
Unidade 2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
„„
em (g) nem todos os vértices possuem o mesmo número
de arestas e têm faces não congruentes a todas as demais.
Figura 2.29 – Poliedros
Teorema 2.4: poliedros regulares são cinco, e somente cinco.
Demonstração:
Para que um poliedro seja regular:
1) suas faces devem ser poligonais regulares e congruentes entre
si, portanto, devem ter o mesmo número de arestas (n);
2) seus ângulos poliédricos são congruentes, isto é, todos têm o
mesmo número de arestas (m).
Para atender a essas condições, um poliedro regular tem de ser
um poliedro de Platão e, como mostramos no teorema 2.3, só
existem cinco poliedros de Platão, portanto, só existem cinco
poliedros regulares.
Figura 2.30 – Poliedros regulares
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Geometria II
Todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas nem
todo poliedro de Platão é poliedro regular.
Exemplo:
Pense numa caixa em que as arestas da base não têm a mesma
medida. Esta caixa é um poliedro de Platão pois, todas as faces
têm o mesmo número de arestas e todos os ângulos têm o mesmo
número de arestas, ou seja, três. Mas a base desta caixa é um
retângulo e, portanto, não é um poliedro regular. Assim, existem
poliedros de Platão que não são regulares.
Em sala de aula
Atividade: Construção de modelos espaciais
Objetivo: Visualizar, manipular e representar por meio de modelos
os poliedros.
Material: Modelos de poliedros em papel cartão.
Procedimentos:
1 – Recortar os modelos de poliedros planificados, deixando as abas
necessárias para colagens.
2 – Montar os modelos geométricos analisando o número de faces,
vértices e arestas.
Alguns modelos:
Figura 2.30 – Tetraedro regular
Figura 2.32 – Hexaedro regular
continua
Unidade 2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
continuação
Figura 2.33 – Octaedro regular
Figura 2.33 – Icosaedro regular
Figura 2.33 – Dodecaedro regular
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Geometria II
Síntese
Nesta unidade, você teve contato com um assunto bem
interessante e elegante: os poliedros.
Fizemos a construção passo a passo de um diedro que tem a
mesma noção de ângulo estudado na geometria plana, mas para
planos, em seguida, apresentamos a noção de triedro para, então,
estarmos aptos a estudar poliedros.
Percebemos que os poliedros convexos são sólidos bem especiais,
que devem satisfazer certas condições, e chegamos ao estudo de
poliedros bem particulares, que são os de Platão, um tipo especial
de poliedros convexos.
Finalmente, chegamos ao mais especial dos poliedros - os
poliedros regulares, que são cinco e, apenas cinco: tetraedro,
hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Nos poliedros foram estudadas também duas propriedades
importantes: uma é a relação de Euler, que nos dá uma maneira
de relacionar os vértices, as arestas e as faces de um poliedro
convexo e a outra é a relação que nos dá a soma dos ângulos das
faces de um poliedro. Vamos estudar outros tipos especiais de
poliedros, que são os prismas, as pirâmides e um estudo especial
para o hexaedro, ou cubo, como é comumente chamado.
Unidade 2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de autoavaliação
1) Classifique a sentença como verdadeira (V) ou falsa (F):
(a) (
) Dois planos perpendiculares determinam 2 diedros retos;
(b) ( ) Se um plano for perpendicular a uma das faces de um diedro,
então ele pode ser perpendicular a outra face;
(c) (
) Duas seções congruentes de um mesmo diedro são paralelos;
(d) (
) Toda seção de um diedro reto é um ângulo reto;
(e) ( ) Se um plano é perpendicular à aresta de um diedro, então, ele,
necessariamente, é perpendicular às faces do diedro.
2) Um diedro mede 60º. Um ponto A do plano bissetor dista 5 cm da
aresta do diedro. Calcule a distância de A às faces do diedro.
3) Verifique se existem triedros cujas faces medem:
(a) 1°, 2° e 3°
(b) 45°, 55° e 90°
4) Num poliedro convexo, o número de arestas é 15 e o número de faces é
10. Determine o número de vértices.
5) Um poliedro convexo possui 6 faces triangulares e duas hexagonais.
Calcule o número de vértices deste poliedro.
6) Um poliedro convexo tem 8 faces e 12 vértices. Calcule o número de
arestas.
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Geometria II
7) Curiosidade: Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, dos quais
retiram-se 12 pirâmides congruentes. O que resta é um tipo de poliedro
usado na fabricação de bolas. Veja a figura:
Vamos à pergunta: A bola possui 32 gomos, sendo 12 gomos
pentagonais e 20 hexagonais. Um costureiro gasta 7cm de linha para
unir duas faces. Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo,
um comprimento de linha de quantos centímetros?
8) Dado o poliedro regular da figura abaixo, some as respostas certas.
01- É um tetraedro regular.
02- É um octaedro regular.
04- Todas as arestas são iguais.
08- Obedece à relação de Euler.
16- Suas faces são triângulos equiláteros.
32- Tem 12 arestas.
Total de pontos:
9) Os cristais de rochas geralmente obedecem a relação de Euler. Sabendo
que em uma expedição geológica uma equipe encontrou um cristal
com 30 faces pentagonais, calcule o número de vértices deste cristal.
10) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3
faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais.
11) Um poliedro regular tem 20 vértices e em cada um concorrem 3
arestas. Determine que poliedro é esse.
Unidade 2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
12) Calcule o número de faces triangulares e o número de faces
quadrangulares de um poliedro com 20 arestas e 10 vértices.
13) Calcule a soma dos ângulos das faces dos seguintes poliedros
regulares:
(a) Hexaedro
(b) Icosaedro
14) Classifique as seguintes afirmações com verdadeiro (V) ou falso (F):
(a) (
) Todo poliedro de Platão é regular;
(b) (
) Todo poliedro regular é de Platão;
(c) (
) Existem apenas 5 poliedros de Platão;
(d) (
) Temos mais poliedros regulares do que de Platão;
(e) (
) Um hexaedro tem 6 faces hexagonais.
15) Qual é a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo que tem
10 faces e 15 arestas.
16) Um prisma é um poliedro com duas faces paralelas e congruentes,
chamadas de bases, e as demais faces têm a forma de paralelogramos
e são chamadas de faces laterais. Com base nisto, calcule a soma dos
ângulos das faces de um prisma cuja base é um pentágono.
17) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 1440°. Calcule
o número de faces, sabendo que é 1 do número de arestas.
2
18) Num poliedro convexo o número de arestas excede o número de
vértices em 4 unidades. Calcule o número de faces deste poliedro.
19) Dê argumentos para mostrar que não existe um poliedro convexo
com número par de faces, tendo cada uma das faces um número par de
lados e com número ímpar de vértices.
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Geometria II
20) Um poliedro convexo tem faces triangulares e faces quadrangulares.
Se ele tem 25 arestas e a soma das medidas dos ângulos de todas as
faces é 3600°, quantas são as faces de cada tipo?
Saiba mais
Existem muitos artigos que falam sobre poliedros, uma das
revistas que trata desse assunto e mostra sua relação com o dia
a dia é a revista do professor de matemática. Se você achou
interessante trabalhar com poliedros regulares e com os de
Platão, vai adorar o seguinte artigo:
IMENES, L. M. P. Poliedros, abelhas, arquitetura e ... futebol.
Revista do professor de matemática, 3, 2º. semestre de 1983, p.
5-11. São Paulo: RPM, 1983.
Unidade 2
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UNIDADE 3
Sólidos que não rolam
Objetivos de aprendizagem
„„
Identificar os elementos de um prisma e classificar os
tipos de prismas.
„„
Discutir a construção de um prisma. Calcular a área da
superfície de um prisma e volume do prisma.
„„
Usar o princípio de Cavalieri para demonstrar volumes
de prismas e pirâmides.
„„
Identificar os elementos de um paralelepípedo e de um
cubo.
„„
Calcular área da superfície de um paralelepípedo
retângulo e de um cubo, e volume de um
paralelepípedo retângulo e de um cubo.
„„
Identificar os elementos de uma pirâmide e classificálas quanto ao seu tipo.
„„
Calcular área da superfície de uma pirâmide e o seu
volume.
3
Seções de estudo
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Seção 1
Prismas, paralelepípedos e cubos
Seção 2
Pirâmides
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo
Euclides: George, meu rapaz. E, então, superou as dificuldades?
George: Com certeza. Foi bastante trabalhoso, mas entendi bem a parte
de poliedros. Muito interessante mesmo. Já estou pronto para uma nova
empreitada. O que vem a ser?
Platão: Posso responder essa?
Euclides: Claro, colega.
George: Nossa! Meus dois mestres juntos? Que grande surpresa. E então?
Euclides: Vou deixar vocês conversarem. Qualquer dúvida é só chamar.
George: Abraços, Euclides.
Platão: Pelo visto, você achou interessante o estudo de poliedros.
George: E como! Muito legal o estudo dos poliedros regulares, e o mais
surpreendente é saber que existem apenas cinco deles.
Platão: Na época descobri isto e fiquei maravilhado também.
George: Bom, voltando a minha pergunta inicial: O que faremos a seguir?
Platão: Você percebeu que existem muitos poliedros, o que vamos fazer
agora é estudar alguns tipos especiais.
George: E que tipos são esses?
Platão: O primeiro deles são os prismas, os quais são um tipo de poliedro
que obedece a certas propriedades. Depois, você terá contato com o
paralelepípedo e o cubo. Lembra dele?
122
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Geometria II
George: Claro, é um dos poliedros regulares.
Platão: Isso mesmo. E, por fim, você verá a beleza de uma pirâmide.
George: Hummm... e me diga uma coisa, é você que me acompanhará
neste estudo? Eu sinceramente acredito que não, pois vocês sempre me
apresentam personagens novos.
Platão: E não vai ser diferente agora. Você conhecerá um outro estudioso
da matemática: Cavalieri.
George: Cavalieri? Poderia me falar um pouco dele?
Platão: Com certeza. Bonaventura Cavalieri nasceu em 1598, na Itália.
Começou seus estudos de matemática justamente na geometria, por volta
de 1616 e foi um dos discípulos de Galileu. Num monastério em Parma,
começou a estudar e a escrever sobre os indivisíveis. Ele descobriu que se
duas figuras planas podem ser comprimidas entre linhas retas paralelas de
tal forma que tenham seções verticais idênticas em cada segmento, então,
as figuras têm a mesma área. Esse, na verdade, é o princípio de Cavalieri.
Por causa desse trabalho, ele conseguiu uma cadeira como professor na
Universidade de Bologna, onde ficou até sua morte.
George: Ainda bem que tem gente que nem ele ou mesmo você, não é,
Platão? Pessoas que, na minha opinião, estavam muito à frente do seu
tempo.
Platão: Obrigado, amigo. Realmente pesquisávamos bastante.
George: E é por causa de vocês que a matemática tornou-se essa
ferramenta agradável. Basta nos dedicarmos para entendê-la.
Platão: E Cavalieri nos ajudou muito mais. Em um de seus trabalhos,
divulgou tabelas de senos, tangentes, secantes, cossenos e logaritmos.
Esse trabalho foi um dos que viabilizou a introdução dos logaritmos como
uma ferramenta computacional na Itália. Em 1635, publicou sua obra mais
conhecida, “Geometria indivisibilibus continuorum nova” (Nova Geometria
dos Indivisíveis Contínuos), em que desenvolveu a ideia de Kepler sobre
quantidades infinitamente pequenas - uma região, por exemplo, pode ser
pensada como sendo formada por segmentos ou “indivisíveis” e que um
sólido pode ser considerado como composto de regiões que têm volumes
indivisíveis.
George: Já estou pegando o fio da meada. Provavelmente usaremos essas
ideias para calcularmos volume de alguns sólidos.
Platão: Exatamente. Você usará este princípio para, por exemplo,
determinar o volume de um prisma ou de uma pirâmide. Mas isso eu vou
deixar para o próprio Cavalieri te explicar, ok?
George: Beleza. Vou correndo estudar para encontrá-lo o mais rápido
possível. Abraços e obrigado por tudo.
Platão: Um abraço e até breve.
Unidade 3
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123
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Figura 3.1 – Pirâmides: objeto de estudo desta unidade
Seção 1 - Prismas, paralelepípedos e cubos
O primeiro poliedro a ser estudado é o prisma. Vamos ver que
ele faz parte de um grupo de poliedros que chamamos aqui de
‘poliedros que não rolam’. Esse nome parte da ideia de rolar
mesmo. Isso quer dizer que se colocarmos os poliedros desse
grupo numa rampa eles escorregam, mas não rolam.
Prisma
Será que você já teve contato com algum poliedro
com a forma de um prisma?
Pode ser que você não tenha se detido a esse fato, mas as caixas
de leite e suco, pacotes de bolacha e até mesmo alguns tipos de
caixas de presente têm formato de prisma.
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Geometria II
Construção
Vamos, inicialmente, ver como construímos um prisma com o
enfoque geométrico.
Considere na Figura 3.2:
„„
Dois planos paralelos α e β;
„„
Um polígono P contido em α;
„„
Uma reta r que intercepta α e β, mas não intercepta P.
Figura 3.2 – Construção do prisma
A figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos
de reta paralelos a r, com uma extremidade num ponto do
polígono P e a outra no plano β, denomina-se prisma.
Figura 3.3 – Prisma
Unidade 3
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125
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Elementos
Chamamos de elementos de um prisma o conjunto de arestas,
faces e vértices relacionados a esse prisma.
Observe na Figura 3.4 os principais elementos de um prisma:
„„
duas bases paralelas congruentes;
„„
faces laterais (paralelogramos);
„„
arestas laterais;
„„
arestas da base;
„„
vértices.
Figura 3.4 – Elementos de um prisma
Podemos redefinir prisma em relação aos seus elementos:
Prismas são poliedros que têm duas faces paralelas
e congruentes, chamadas bases, e as demais faces
têm a forma de paralelogramos e são chamadas faces
laterais.
126
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Geometria II
Existe uma relação entre o número de lados do polígono da base
e os demais elementos do prisma. Se a base é um polígono de n
lados, então, o prisma terá:
„„
número de faces laterais = n;
„„
número de arestas laterais = n;
„„
número de arestas das bases = 2n;
„„
número total de aresta = 3n;
„„
número de vértices = 2n.
Relacionando com dietros e triedros:
„„
número de diedros = 3n;
„„
número de triedros = 2n.
Exemplo:
O prisma da Figura 3.4 tem base hexagonal, ou seja n = 6. Nesse
caso:
„„
o número de faces laterais é 6;
„„
o número de arestas laterais é 6;
„„
o número de arestas das bases é 12;
„„
o número total de arestas é 18;
„„
o número de vértices é 12;
„„
o número de diedros é 18;
„„
o número de triedros é 12.
Até agora as figuras mostraram somente prisma
com base hexagonal, mas a base pode ser qualquer
polígono. Veja na sequência.
Unidade 3
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Classificação
1. Em relação à inclinação das arestas laterais:
„„
„„
Prisma reto é aquele cujas arestas laterais são
perpendiculares aos planos das bases;
Prisma oblíquo é aquele cujas laterais são oblíquas aos
planos das bases.
Figura 3.5 – Prisma reto e prisma oblíquo
2. Em relação ao polígono da base: um prisma é dito regular
quando é reto e tem como bases polígonos regulares (polígonos
que têm todos os lados congruentes e os ângulos internos
também congruentes). Veja a Figura 3.6. Nesse, o nome do
prisma está relacionado ao polígono da base (natureza do prisma).
Figura 3.6 – Prismas regulares
Mas atenção: o nome de um prisma oblíquo também
está relacionado ao polígono da base. Veja a Figura 3.7.
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Geometria II
Figura 3.7 – Prismas oblíquos
Exemplos:
1) Dado o prisma da Figura 3.8 abaixo, responda o que se pede:
Figura 3.8 – Prisma triangular
a) Nomeie as figuras da base do prisma;
b) As arestas laterais são paralelas entre si?
c) As arestas paralelas são perpendiculares às bases?
Solução: a) Bases: ABC e DEF;
b) Sim, por construção;
c) Sim, o prisma é reto.
Unidade 3
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2) Se um prisma tem n faces laterais, então, qual é a soma dos
ângulos de todas as suas faces?
Solução:
Como um prisma é um poliedro, então, vale a fórmula da soma
dos ângulos das faces:
S = (V – 2) . 4r
Como o número de vértices é V = 2n , temos:
S = (2n – 2) . 4r
S = (2n – 1) . 4r
S = (n – 1) . 8r
Sendo r um ângulo reto.
3) Seja um prisma pentagonal. Qual a soma dos ângulos de todas
as suas faces?
Solução:
Como o prisma é de natureza pentagonal, temos que ele possui 5
faces laterais, portanto:
S = (n – 1) . 8r
S = (5 – 1) . 8 . 90
S = 2880º
4) Qual a natureza de um prisma que possui (a) 7 faces (b) 15
arestas?
Solução:
(a) Como duas faces são as faces da base, sobram então 5 faces
laterais, o que nos indica que temos então um prisma pentagonal.
130
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Geometria II
(b) Como temos n arestas laterais e 2n arestas da base, então, 3n
é o total de arestas que, no nosso caso, é 15, logo,
,
o que nos dá um prisma de natureza pentagonal.
5) Ache a natureza de um prisma sabendo que a soma dos
ângulos das faces é 56 retos.
Solução:
S = (n – 1) . 8r
Como S = 56r , temos:
56r = (n – 1) . 8r
(n – 1) =
56r
8r
(n – 1) = 7
n=8
n=8
Portanto, temos um prisma octagonal.
Superfícies
Em Matemática, definimos superfície como um ente
geométrico de duas dimensões, ou seja, uma região
que pode ser colocada sobre um plano (planificada) e,
consequentemente, possui uma área possível de ser
calculada.
Podemos dizer que a superfície total de um prisma é formada
pela reunião das regiões planas que formam o prisma. É como se
“estendêssemos” o poliedro num só plano. Utilizamos a ideia de
fazer um “molde” para recortar e, então, montarmos o poliedro.
Nesse caso, cada face fica ligada a, pelo menos, uma outra face
por uma aresta. Veja a planificação de um prisma pentagonal na
Figura 3.9.
Unidade 3
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131
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Figura 3.9 – Prisma pentagonal e sua planificação
Assim, definimos:
Superfície lateral: é formada pela reunião das faces laterais
Fn, do prisma cuja base tem n lados. A área dessa superfície é
chamada de área lateral e denotada por Al .
Figura 3.10 – Superfície lateral do prisma pentagonal
Superfície total: é formada pela reunião da superfície lateral
com as bases. A área dessa superfície é chamada de área total e
denotada por At .
Figura 3.11 – Superfície total do prisma pentagonal
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Geometria II
Volume
Uma pausa para um descanso do nosso amigo George. E
Cavalieri aparece para uma conversa.
Cavalieri: George, tudo bem com você?
George: Tudo bem, na verdade tudo ótimo, adorei estudar prismas, as
ideias são bem simples. Bom, mas tenho uma pergunta. Você é o Cavalieri?
Cavalieri: Isto mesmo meu jovem. E estou aqui para ajudá-lo em alguns
itens relativos a prismas.
George: Mas não acabou ainda?
Cavalieri: Ainda não. Você até agora estudou os conceitos, ou seja, já sabe
o que é um prisma de fato. Mas podemos, com prismas, calcular a área de
suas superfícies e também o volume dele.
George: Tinha me esquecido deste fato. Então, vamos lá, como é que faço?
Cavalieri: Muita calma nessa hora. Para chegarmos a um método de
calcular volume de prisma, precisamos conhecer um pouco sobre
paralelepípedos e um princípio que descobri há muito tempo.
George: O princípio de Cavalieri?
Cavalieri: Exato, mas tudo na sua vez. Não vamos com muita sede ao pote,
para não haver atropelos.
George: Você tem razão, a cada novo conceito, devo entendê-lo bem para,
em seguida, passar a outro.
Cavalieri: Então, mãos à obra. Os paralelepípedos e cubos te esperam.
George: Tchau e até a próxima!
Unidade 3
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Paralelepípedo e cubo
Você já deve ter ouvido falar em prismas em muitos aspectos.
Quando estudamos física no ensino médio, ouvimos que os
físicos usam prismas para decompor a luz, nesse caso, um prisma
triangular. Veja a Figura 3.12. Um parafuso tem geralmente
uma cabeça sextavada que na verdade, é um prisma hexagonal.
Um caixa de sapato, a CPU do seu computador, também são
exemplos de prismas, nesse caso quadrangulares, que recebem o
nome especial de paralelepípedos.
Figura 3.12 – Prisma triangular, uma caixa e um parafuso sextavado
Paralelepípedo é um prisma cujas bases são
paralelogramos. Um prisma reto de bases retangulares
é dito paralelepípedo reto retangular ou ortoedro.
Cubo é um paralelepípedo reto retangular cujas faces
são quadradas.
Figura 3.13 – Paralelepípedo retângulo e cubo
Neste primeiro momento, vamos mostrar como calcular a
diagonal e a área de um paralelepípedo retângulo.
134
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Geometria II
Cálculo da diagonal de um paralelepípedo retângulo
Seja um paralelepípedo retangular de dimensões a, b e c.
Chamemos sua diagonal de d e db a diagonal da base, conforme
a Figura 3.14 abaixo:
Figura 3.14 – Diagonal de d e db
Necessitamos calcular a diagonal d, para isso, destacamos o
triângulo retângulo ADC.
Figura 3.15 – Triângulo ADC
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
d 2 = a 2 + db2
(1)
Destacando do paralelepípedo retângulo da Figura 3.14 o
triângulo ABC, podemos calcular o valor da diagonal da base db .
Figura 3.16 – Triângulo ABC
Unidade 3
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135
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Novamente, pelo teorema de Pitágoras temos:
db2 = b 2 + c 2
(2)
Substituindo a equação (2) na equação (1), obtemos:
d 2 = a 2 + b2 + c2
Ou seja,
d = a 2 + b2 + c2
Cálculo da diagonal de um cubo
No cubo temos o caso particular onde todas as arestas são iguais
a a. Portanto:
d = a 2 + a 2 + a 2 = 3a 2 = a 3
d =a 3
Figura 3.17 – Cubo e sua diagonal
Área total de um paralelepípedo retângulo
Pela Figura 3.14, temos que o paralelepípedo é formado por:
„„
dois retângulos com dimensões a e b, cada um com área
;
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Geometria II
„„
„„
dois retângulos com dimensões a e c, cada um com área
;
dois retângulos com dimensões b e c, cada um com área
.
Então, sua área total é dada por:
At = 2 A1 + 2 A2 + 2 A3 , ou seja,
At = 2ab + 2ac + 2bc , ou ainda,
At = 2(ab + ac + bc)
Área total de um cubo
Um cubo tem todas arestas iguais, ou seja, a = b = c , logo sua
área total é dada por:
. Logo:
At = 6a 2
Exemplos:
1) Calcule a medida da diagonal e da área de um cubo de aresta
3 cm.
Solução:
A diagonal é dada por a 3 , logo, sua diagonal mede:
d = 3 3 cm.
Já a área é dada por:
2
cm .
2) Um cubo transparente tem no seu interior evidenciado a sua
diagonal. Qual o comprimento da diagonal sabendo que sua área
2
total é dada por 42 cm ?
Unidade 3
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Solução:
Primeiramente necessitamos calcular sua aresta:
A = 6a 2
42 = 6a 2
a2 = 7
a= 7
Assim, sua diagonal mede d = a 3 = 7 3 = 21 cm.
3) Calcule a área de um cubo, sabendo que a diagonal do cubo
excede a diagonal da face em 1 cm.
Solução:
Chamamos de d c a diagonal do cubo e de d f a diagonal da face,
temos, pela hipótese do problema, que
, mas d c = a 3 .
Como d f é a diagonal da face, podemos calculá-la usando o
teorema de Pitágoras, já que ela é a hipotenusa de um triângulo
retângulo, cujos catetos medem a. Logo:
d 2f = a 2 + a 2 = 2a 2
df = a 2 .
Então:
.
Racionalizando, temos:
.
138
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11/07/15 17:37
Geometria II
Assim, a área total do cubo é:
cm.
4) Uma caixa de sapato de dimensões 25, 17 e 10 cm precisa ser
2
revestida com um papel que custa R$ 0,01 o cm . Quanto se
gastará para revestir toda a caixa?
Solução:
A caixa de sapato é um paralelepípedo, portanto, sua área é dada
por:
At = 2(ab + ac + bc)
At = 1690 cm
2
O custo para se cobrir a caixa é de:
C = 16,9
Gasta-se R$ 16,90 para cobrir esta caixa.
5) Em quanto diminui a aresta de um cubo quando a diagonal
diminui 3 cm?
Solução:
A diagonal de um cubo de aresta a é dado por d = a 3 , se
diminuirmos 3 cm de sua diagonal, temos:
Unidade 3
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139
11/07/15 17:37
Universidade do Sul de Santa Catarina
Onde b é a aresta do novo cubo, portanto:
, ou seja,
.
Assim, a diagonal diminui em 1cm.
Área lateral e área total de um prisma
No início desta unidade, você estudou a definição de superfície
lateral e total e o significado de suas áreas, está lembrado?
Assim, a área lateral Al de um prisma é a soma das áreas das
faces laterais, já a área total de um prisma é a soma das áreas
das faces laterais com as áreas das bases, que denotamos por Ab ,
portanto, temos que a área total At é dada por:
At = Al + 2 Ab
Observações:
„„
„„
as definições de área lateral e área total se estendem aos
prismas não regulares;
se o prisma for regular e o polígono da base possui n
lados, então, a área lateral é calculada multiplicando por
n a área de uma face lateral.
E como fazemos para calcular o volume de um
paralelepípedo? E o que é volume?
140
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Geometria II
George encontra seu novo amigo Cavalieri, mais uma vez.
George: Cavalieri, preciso de sua ajuda.
Cavalieri: Calma, meu rapaz, já estou aqui, que aflição é essa?
George: Já leu a pergunta aí acima?
Cavalieri: Sim, e qual o problema?
George: Bom, apareceu uma palavra que eu estou cansado de ouvir:
Volume. Usamos isso muito no nosso dia a dia. Volume de uma garrafa de
água, de leite de refrigerante entre outros. Mas parece que falta algo para
mim, o sentido real de volume. Por exemplo, ao falar que a capacidade de
3
um determinado recipiente é de 20 m , o que realmente é este número?
Cavalieri: Agora entendo sua aflição. Lembra quando você estudou área e
viu que calcular a área de uma figura plana era saber quantos quadrados
de lado 1 cabem dentro desta figura?
George: Claro que me lembro. Euclides me falou sobre isso. Muito simples
a ideia.
Cavalieri: Então, com volume ocorre a mesma coisa. Se você quer calcular
o volume de algum sólido, de maneira informal, basta saber quantos
cubos de lado 1 cabem dentro deste sólido.
George: Hummmmm... Interessante! Então, se eu tiver, por exemplo, uma
caixa com dimensões 2, 3 e 4 cm, fica evidente que cabem dentro desta
caixa
cubos de lado 1, ou seja, 24 cubos.
Cavalieri: Então, o que você pode concluir?
3
George: Que o volume desta caixa é de 24cm .
Cavalieri: Exatamente, usamos o termo cúbico, pois preenchemos o sólido
com cubos.
Unidade 3
Book 1.indb 141
141
11/07/15 17:37
Universidade do Sul de Santa Catarina
George: Pois é, achei muito fácil, mas isso é interessante, para essas figuras
como o paralelepípedo e o cubo. E se tivermos um cilindro que não tem os
lados planos? E uma pirâmide e muitos outros?
Cavalieri: Para alguns sólidos específicos, temos fórmulas que nos ajudam,
e algumas delas, para serem provadas, utilizam o princípio que leva o meu
nome.
George: Grande Cavalieri! Que bom que você teve a ideia! Pena que eu
não sei ainda do que se trata!
Cavalieri: Tudo tem seu tempo. Primeiro, aprenda como calcular o volume
de um paralelepípedo.
George: Ah, mas isso eu já entendi, basta multiplicar as dimensões das
arestas.
Cavalieri: Isso mesmo, mas lembre-se, fizemos isso de uma maneira
informal! Precisamos de uma demonstração matemática.
George: Não podemos fazer disso um axioma ? Facilita mais as coisas.
Cavalieri: Meu caro George, a matemática é tão elegante quando usamos
rigor para mostrar os fatos.
George: Verdade, vou já ver como fazer isto. Obrigado mais uma vez.
Cavalieri: Bons estudos.
Ficou claro no diálogo entre nossos amigos que temos, então,
apenas uma ideia intuitiva de volume. Não podemos considerar
isso uma definição matemática de volume, mesmo porque, na
prática, não conseguimos usar essa ideia. Por exemplo, como
fazemos para calcular o volume do sol? Ou o volume de um grão
de areia?
A partir de agora, vamos mostrar métodos práticos de calcular
o volume de alguns sólidos conhecidos. Nesta unidade, veremos
o paralelepípedo, o cubo, o prisma e a pirâmide. Para chegar ao
cálculo do volume de um paralelepípedo, vamos usar a ideia de
razão.
142
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11/07/15 17:37
Geometria II
Razão entre paralelepípedos retângulos
O cubo de lado 1, chamado de cubo unitário, tem
volume de uma unidade cúbica.
O que faremos agora é usar a ideia intuitiva descrita no
diálogo entre George e Cavalieri para calcular o volume de um
paralelepípedo.
Considere dois paralelepípedos, P1 de dimensões a, b e h1 , e
P2 de dimensões a, b e h2 , em que h1 e h2 são as alturas dos
paralelepípedos. Suponha que fatiamos os paralelepípedos em
outros paralelepípedos que chamamos de P, de mesma base a, b e
de altura h, como mostra a Figura 3.18, a seguir:
Figura 3.18 – Paralelepípedos
Se o paralelepípedo P1 é dividido em p paralelepípedos de
base ab e altura h, e o paralelepípedo P2 é dividido em q
paralelepípedos de base ab e altura h, temos:
e
e
e, portanto,
e, portanto,
h1 p
= . Assim:
h2 q
P1 p
= .
P2 q
Logo, de ambas as equações, concluímos que
Unidade 3
Book 1.indb 143
P1 h1
= .
P2 h2
143
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Então, a razão entre dois paralelepípedos retângulos de bases
congruentes é igual à razão entre as suas alturas. Com base nisso,
podemos mostrar agora que o volume de um paralelepípedo de
dimensões a, b e c é dado pelo produto dessas dimensões.
Volume de um paralelepípedo retângulo
Seja U o cubo unitário, ou seja, o cubo que, por definição, tem
volume de uma unidade cúbica, e seja P o paralelepípedo de
dimensões a, b e c, a ideia é saber quantas vezes U cabe em P, ou
seja, vamos calcular a razão P .
U
Consideremos outros dois paralelepípedos, Q de base a b e de
altura 1, e R de base a, 1 e altura 1. De acordo com a propriedade
das razões entre dois paralelepípedos de bases congruentes,
temos:
P c
=
Q 1
Q b
=
R 1
R a
=
U 1
Multiplicando essas razões, temos que:
, ou seja,
.
Como intuitivamente o volume de P é dado por P , temos que:
U
Então, chegamos à conclusão de que o volume de um
paralelepípedo retângulo é o produto das medidas de suas
dimensões.
Como a e b são as bases do retângulo que forma a base do
paralelepípedo, e
é a área desse retângulo, então, podemos
reescrever a fórmula do volume como:
V = Ab .h
144
Book 1.indb 144
11/07/15 17:37
Geometria II
Sendo Ab a área da base.
Assim, podemos dizer que o volume de um paralelepípedo é
igual ao produto da área da base pela medida da altura.
No caso de um cubo, temos que todas as arestas são iguais. Então,
se o cubo tem aresta a, temos que o seu volume é dado por:
, ou seja,
V = a3
Exemplos:
1) Um paralelepípedo tem dimensões x, 2x e x + 1 . Qual a
expressão algébrica que indica seu volume?
Solução:
V = 2 x 2 ( x + 1)
V = 2 x3 + 2 x 2
2) Um aquário em forma de um cubo tem lado medindo 1m.
Quantos litros de água cabem neste aquário? (1 litro é igual a
3
1000 cm ).
Solução:
3
Vamos calcular o volume em cm . Como 1 metro é igual a 100
cm, temos:
V = 1000000 cm
Unidade 3
Book 1.indb 145
3
145
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Dividindo este valor por 1000, temos:
1000000
= 1000 , portanto,
1000
o aquário comporta 1000 litros de água.
2
3) Calcule o volume de um cubo de área total 96cm .
Solução:
Temos que a área total é dada por At = 6a 2 , então, 96 = 6a 2 , ou
seja, a 2 = 16 , o que nos dá a = 4 , que é a medida de sua aresta.
Então, o seu volume é dado por:
3
V = a 3 = 43 = 64 cm .
4) Uma chapa retangular de dimensões 30 cm e 60 cm tem seus
cantos recortados por quadrados de lados 5 cm, de modo que,
dobrando esses cantos, obtemos uma caixa aberta. Qual o volume
desta caixa?
Solução:
Como cortamos os cantos com quadrados de 5 cm, temos que
a altura desta caixa, quando construída, é de 5 cm. A chapa
retangular perdeu 5 cm em cada canto, o que faz com que cada
lado desta chapa perca um total de 10 cm em cada uma de suas
dimensões. Assim, ficamos com uma caixa de dimensões 20, 50 e
5. Logo, o seu volume é dado por:
3
cm .
5) Uma caixa de água tem dimensões 80, 120 e 60 cm. A caixa
está enchendo a uma razão constante de 10 litros por minuto.
Em quanto tempo a caixa estará cheia? 3
Solução:
O volume desta caixa é dado por:
146
Book 1.indb 146
cm3.
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Geometria II
3
Como cada litro tem 1000 cm , então, essa caixa tem:
576000
= 576 l.
1000
O tempo gasto para encher essa caixa é:
min.
E, para um prisma em geral, como faremos para
calcular seu volume?
Quem nos dará essa resposta é um resultado conhecido como
princípio de Cavalieri.
George: Cavalieri, preciso falar com você.
Cavalieri: Pois não, meu caro, algum problema?
George: Bom, parece que finalmente cheguei ao resultado que leva o seu
nome.
Cavalieri: Que bom, você verá que com base neste princípio podemos
calcular o volume de alguns sólidos especiais.
George: Que interessante! Pois, se tivermos um prisma em geral, por
exemplo, com uma base hexagonal, aquela ideia dos cubos unitários não
será nada prática aqui.
Unidade 3
Book 1.indb 147
147
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Cavalieri: Exatamente. A ideia do princípio é muito simples.
George: Você pode me contar ou vou precisar ir atrás?
Cavalieri: Estou aqui para ajudar e mostrar a beleza da geometria. O
princípio fala que, se tivermos dois sólidos, e se seccionarmos esses sólidos
por planos paralelos, a base deles e a área resultante da intersecção com o
sólido e esse plano forem iguais, então, seus volumes são iguais.
George: Só isso? Maravilhoso. Muito interessante mesmo. Mas acho que
precisaria ver uma figura para ver como isso funciona.
Cavalieri: Então, que tal você ir à luta e continuar lendo mais um pouco?
George: Com certeza. Um abraço e parabéns pela excelente ideia que
você teve.
Cavalieri: Obrigado e até a próxima.
Boaventura Cavalieri (1598 – 1647) é considerado por Boyer
(1996) como um dos matemáticos que atuaram na fase de
transição da matemática da Renascença para a matemática do
Mundo Moderno. Entre diversos escritos e assuntos abordados,
fazendo alusão a sua Teoria do Indivisíveis, destacamos a
ideia relacionada ao volume de sólidos: “[...] volume pode ser
considerado como composto de áreas que são volumes indivisíveis
ou quase-atômicos.” (BOYER, 1996, p.226).
Princípio de Cavalieri
Dado dois sólidos A e B de mesma altura h, se qualquer plano
paralelo à base secciona A e B, segundo figuras planas com áreas
iguais, ou seja, AA = AB , então, volume do sólido A é igual ao
volume do sólido B, isto é, VA = VB .
Figura 3.19 – O princípio de Cavalieri
148
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Geometria II
Volume de um prisma
Considere um prisma e um paralelepípedo retângulo de mesma
altura h e área da base Ab iguais, contidas num plano α.
Figura 3.20 – Prisma e paralelepípedo de bases iguais
As secções transversais determinadas no prisma e no
paralelepípedo pelo plano β paralelo a α tem áreas iguais e,
portanto, pelo princípio de Cavalieri, o volume do prisma é igual
ao volume do paralelepípedo. Como o volume do paralelepípedo
é igual ao produto da área da base pela medida da altura, segue
que o volume VP do prisma é dado por:
Exemplos:
1) Calcule o volume de um prisma triangular regular, no qual a
aresta da base mede 4 cm e a altura do prisma mede 10 3 cm.
Solução:
Como o prisma é regular, então, sua base é um triângulo
equilátero, portanto, a área da base é a área de um triângulo
equilátero, assim:
Ab = AT =
l2 3 .
4
Unidade 3
Book 1.indb 149
149
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Onde l é o lado do triângulo, que aqui mede 4 cm, logo:
Ab =
42 3
2
= 4 3 cm .
4
Então, o volume do prisma é:
3
cm .
2) Um aquário tem a forma de um prisma hexagonal reto. Se a
face apresenta 50 cm de lado e 60 cm de altura, qual o volume
de água em litros necessário para enchê-lo totalmente até
transbordar?
Solução:
Como a base é um prisma hexagonal e esse é formado por seis
triângulos equiláteros, então:
cm
3
Ou ainda:
V = 0,3897114 m
3
Como queremos em litros:
1000    
x
1 m3
   0, 3897114 m3
1. x = 1000 . 0, 3897114 ⇒
389,7114 
150
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Geometria II
3) Determine a medida da aresta da base e um prisma triangular
3
regular, sendo seu volume 8 m e sua altura 0,8 m.
Solução:
A base é um triângulo equilátero, assim, o volume é dado por:
V = Ab . h =
l2 3
.h.
4
O problema pede para calcularmos l, que é a medida da aresta da
base.
l=
40 3
10 3
=2
=2
3
3
l=2
4
300
3
4
300
300
=2
3
3
3 24
3
=
2700 m .
3 3
4) Um prisma tem por base um triângulo equilátero, cujo lado
mede a e a altura desse prisma é igual ao dobro da altura do
triângulo da base. Determine o seu volume.
Solução:
A altura de um triângulo equilátero é dada por hT =
então, como o lado mede a, temos hT =
Unidade 3
Book 1.indb 151
a 3
.
2
l 3
,
2
151
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Mas a altura do prisma é o dobro da altura do triângulo, então,
h = 2hT , ou seja, h = 2
a 3
= a 3 . Assim, o volume do prisma é:
2
V=
3 3
a
4
5) Um prisma oblíquo de base retangular tem arestas da base
medindo 5 cm e 6 cm. A outra aresta que mede 10 cm forma um
ângulo de 60º com a base. Calcule o volume desse prisma.
Solução:
A área da base mede
2
cm .
Para calcular a altura, usamos trigonometria,
cm.
Logo,
3
cm .
152
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11/07/15 17:37
Geometria II
George, como todo bom mortal, descansa depois de um exaustivo dia de
trabalho.
Cavalieri: George?
George: Cavalieri, você tão cedo?
Cavalieri: Quero parabenizá-lo pelo excelente trabalho realizado até
agora.
George: Obrigado, mas acho que há muitas coisas ainda, não?
Cavalieri: Sim, há! Em seguida, você terá contato com outro sólido bem
conhecido, a pirâmide.
George: Sempre tive fascínio pelas pirâmides do Egito. Será interessante
estudar as propriedades desse sólido. Você vai estar comigo nesta jornada
de novo?
Cavalieri: Claro! Adivinha o que você vai precisar para calcular o volume
da pirâmide.
George: O princípio de Cavalieri de novo, certo?
Cavalieri: Certíssimo. Então, bom descanso e bons estudos.
George: Obrigado!
Unidade 3
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Desafio
Determinar o número de faces, vértices e arestas de um poliedro que
está relacionado à relação de Euler para poliedros. Mas, você conseguiria
determinar o número de arestas num poliedro planificado?
Vai aí o desafio: Quantas arestas têm os poliedros apresentados nas
planificações das figuras a seguir.
Figura 3.21 - Poliedro planificado
Consulte resposta do desafio no final do livro didático.
Seção 2 - Pirâmides
Seguindo a mesma ideia de construção de um prisma, será
apresentada a construção de uma pirâmide, sob o ponto de vista
geométrico.
Considere, seguindo a Figura 3.22, os seguintes elementos:
Figura 3.22 – Construção de uma pirâmide
154
Book 1.indb 154
11/07/15 17:37
Geometria II
„„
um plano α.
„„
um polígono P contido em α.
„„
um ponto V que não pertence a α.
A figura geométrica formada pela reunião de todos
os segmentos de reta que tem uma extremidade
no ponto V e a outra num ponto do polígono P
denomina-se pirâmide.
Figura 3.23 – Pirâmide
Elementos
Os elementos de uma pirâmide podem ser observados na Figura
3.23.
„„
Base, também chamada de face.
„„
Faces laterais que são triângulos.
„„
Arestas (laterais e da base).
„„
Vértice ( V ).
„„
Altura, que é distância entre o ponto V e o plano da
base.
Unidade 3
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155
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Figura 3.24 – Elementos da pirâmide
Definimos pirâmide em relação aos seus elementos com:
Pirâmides são poliedros que têm uma face num
plano, chamada base, e um ponto não pertencente
ao plano da base, todos interligados por segmentos,
formando faces laterais com a forma de regiões
triangulares.
Existe uma relação entre o número de lados do polígono da base
e os demais elementos da pirâmide. Se a base é um polígono de n
lados, então, a pirâmide terá:
„„
número de faces laterais = n;
„„
número de faces mais a base = n + 1;
„„
número de arestas laterais = n;
„„
número de arestas das bases = n;
„„
número total de aresta = 2n.;
„„
número de vértices = n+1.
156
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11/07/15 17:37
Geometria II
Exemplo:
A pirâmide da Figura 3.24 tem base hexagonal, ou seja, n = 6.
Nesse caso:
„„
o número de faces laterais é 6;
„„
o número de arestas laterais é 6;
„„
o número de arestas das bases é 6;
„„
o número total de arestas é 12;
„„
o número de vértices é 7.
É válida a relação de Euler para uma pirâmide?
Sim, é verdadeira, veja:
, ou seja,
Superfície lateral: é a reunião das faces laterais (Fn ) da pirâmide,
cuja base tem n lados. A área dessa superfície é chamada de área
lateral e denotada por Al .
Figura 3.25 – Superfície lateral de uma pirâmide com base hexagonal
Unidade 3
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157
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Superfície total: é a reunião da superfície lateral com a superfície
da base da pirâmide. A área dessa superfície é chamada de área
total e denotada por At .
Figura 3.26 – Superfície total de uma pirâmide com base hexagonal
Classificação
As pirâmides são classificadas de acordo com:
1) A inclinação das arestas laterais
„„
„„
Pirâmide reta é aquela cuja projeção ortogonal do vértice
sobre o plano da base é o ponto de intersecção entre
todas as diagonais do polígono (chamado de centro da
base).
Pirâmide oblíqua é aquela cuja projeção ortogonal do
vértice sobre o plano é fora do centro da base.
Figura 3.27 – Pirâmide reta e pirâmide oblíqua
158
Book 1.indb 158
11/07/15 17:37
Geometria II
2) A natureza
A natureza de uma pirâmide está relacionada ao número de lados
do polígono da base. Neste caso, uma pirâmide será triangular,
quadrangular, pentagonal e assim sucessivamente, conforme a base
for um triângulo, quadrilátero, pentágono e assim por diante.
Figura 3.28 – Pirâmides
Uma pirâmide é dita regular quando sua base é uma
região poligonal limitada por um polígono regular.
Um tipo particular é o tetraedro regular, no qual
qualquer uma das faces pode ser considerada base.
Veja a primeira pirâmide da Figura 3.28.
Exemplos:
1) Encontre a natureza de uma pirâmide, sabendo que a soma dos
ângulos das faces é de 1800º.
Solução:
Sabemos que:
Unidade 3
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159
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Assim, temos 7 – 1 = 6 vértices na base, ou seja, o polígono da
base tem 6 arestas. Então, a pirâmide é de natureza hexagonal.
2) As pirâmides do Egito têm 4 faces laterais e, portanto, são
pirâmides de natureza quadrangular.
3) Qual a natureza de uma pirâmide que possui 8 faces?
Solução:
Como uma face é a base, então, sobram-nos 7 faces laterais,
portanto, a base é um polígono de 7 lados. Assim, a pirâmide é
heptagonal.
Apótema
Uma pirâmide regular tem um outro elemento, o apótema:
Apótema da pirâmide: é a altura de uma face lateral. Essa altura
é relativa ao lado da base.
Figura 3.29 – Apótema da pirâmide hexagonal regular
160
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Geometria II
Apótema da base: como a base da pirâmide é regular e, portanto,
formada por triângulos isósceles, o apótema da base é altura
relativa a esses triângulos, calculada na base da pirâmide.
Figura 3.30 – Apótema da base da pirâmide hexagonal regular
Em uma pirâmide regular existem relações importantes entre
a aresta da base ( ab ), a aresta lateral ( al ), o raio da base (r), o
apótema da pirâmide (g), o apótema da base (m) e a altura da
pirâmide (h).
g 2 = h2 + m2
Unidade 3
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Universidade do Sul de Santa Catarina
al2 = h 2 + r 2
Área
Agora que já conhecemos os principais elementos de uma
pirâmide, estamos aptos a falar de área lateral e total da superfície
de uma pirâmide e de volume dela.
Área lateral da superfície de uma pirâmide
A área lateral Al da superfície de uma pirâmide é a soma das áreas
das faces laterais. Como as faces laterais são triângulos, então, a
área lateral Al é igual à soma das áreas dos triângulos das faces
laterais.
Área total da superfície de uma pirâmide
A área total At da superfície de uma pirâmide é a soma das áreas
das faces laterais Al com a área da base Ab , assim:
At = Al + Ab
Exemplos:
1) Dada uma pirâmide regular hexagonal de aresta da base 2 3
cm e altura 6 cm, vamos calcular a área da superfície total.
„„
Cálculo de Ab (área da base): a base é um hexágono
regular, então:
162
Book 1.indb 162
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Geometria II
2
= 6 . (2 3 ) 3 = 6 . 4 . 3 . 3 = 18 . 3
4
4
31,18 cm2
Cálculo de m (apótema da base): neste caso como, a base é um
hexágono regular e esse é formado por 6 triângulos equiláteros,
então, o apótema da base é a altura de um triângulo equilátero,
ou seja,
= 2 3 . 3 = 3 cm.
2
Cálculo de a (apótema da pirâmide):
g 2 = h 2 + m 2 = 62 + 32 = 36 + 9 = 45 ⇒
g =
45
6,71 cm.
Cálculo de A  (área da superfície lateral): Como a base é um
hexágono, temos 6 faces triangulares. Então:
A  = 6 . ab g =
2
=3.2 3 .
45
69,71 cm2
Cálculo de At (área da superfície total):
At = A  + Ab
100,89 cm2
2) Seja um cubo de aresta 2 cm. Tomando como base uma das
faces do cubo e como vértice o ponto V, que é o centro da face
paralela à base, obtém-se uma pirâmide de base quadrada. Qual é
a área total da superfície desta pirâmide?
Unidade 3
Book 1.indb 163
163
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Solução:
Como a base da pirâmide é uma face do cubo, então, a área da
base é a área do quadrado de lado 2 cm, assim:
2
Ab = ab2 = l 2 = 22 = 4 cm .
O apótema da base é a metade do lado do quadrado e, portanto,
m = 1 cm.
A altura da pirâmide é exatamente o valor da aresta do cubo,
então h = 2 .
Então, para calcular o apótema da pirâmide, temos:
.
Como a base é um quadrado, temos 4 triângulos com faces
laterais, logo:
.
Então, a área total é:
2
At = Al + Ab = 4 5 + 4 = 4( 5 + 1) cm .
Um tetraedro também é uma pirâmide?
Leia o diálogo a seguir e veja se você chegará às mesmas
conclusões de nosso amigo George.
164
Book 1.indb 164
11/07/15 17:37
Geometria II
George encontra-se novamente com Cavalieri.
George: Olá, de novo, Cavalieri.
Cavalieri: Como vai, meu amigo, tudo bem nos seus estudos?
George: Tudo certo! Na verdade, quero apenas tirar uma dúvida.
Cavalieri: Pois não, o que te preocupa?
George: Estudei agora que uma pirâmide é sempre formada por faces
laterais triangulares, pela própria natureza de sua construção. Aí estava eu
pensando que um tetraedro, que foi objeto de estudo na unidade anterior,
também pode ser considerado uma pirâmide?
Cavalieri: Gostaria de ouvir sua opinião. A que conclusão você chegou?
George: Eu acho que o tetraedro é uma pirâmide sim e bem especial, a
única em que todas as faces são iguais, tanto as laterais como a base. Na
verdade, o tetraedro é uma pirâmide triangular.
Cavalieri: Perfeito, meu amigo. Vejo que você já está avançando aos
poucos, com precisão e lógica nas suas falas. Parabéns!
George: Obrigado. Percebi também que como todas as faces do tetraedro
são triângulos, qualquer uma de suas faces pode ser considerada como
base da pirâmide. Muito legal isso!
Figura 3.31 – Pirâmide triangular (tetraedro)
Unidade 3
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165
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Cavalieri: Acho que eu nem precisava estar aqui, fui apenas um
espectador de suas palavras. Só para completar: se todas as quatro faces
do tetraedro forem triângulos equiláteros, então, temos um tetraedro
regular.
George: Assim fico encabulado, ainda mais recebendo elogios de um
mestre. Mas cheguei aqui por ajuda sua e de muitos outros. Vou indo
nessa, que tem mais pirâmides pela frente. Vou estudar o volume de uma
pirâmide.
Cavalieri: Opa! Você vai precisar do princípio de Cavalieri de novo.
George: Ótimo, vamos lá.
Volume
Proposição 1: numa pirâmide triangular (tetraedro) temos:
(a) as arestas laterais e a altura ficam divididas numa mesma
razão, por um plano paralelo à base.
(b) a seção paralela à base e a base são triângulos semelhantes.
(c) a razão entre as áreas da seção paralela à base e a base são
iguais ao quadrado da razão do item (a).
Demonstração:
(a) Considere a Figura 3.32 que é um tetraedro seccionado
paralelamente a sua base.
Figura 3.32 – Secção Paralela de um Tetraedro
166
Book 1.indb 166
11/07/15 17:37
Geometria II
Os triângulos
e
são semelhantes, pois seus
ângulos são congruentes, logo:
VA1 VH1 h1 .
=
=
VA VH
h
Assim, h1 é a razão de semelhança entre as arestas laterais e a
altura. h
(b) Os triângulos
e
são semelhantes, pois os seus
ângulos são congruentes porque estão em planos paralelos e seus
lados são, respectivamente, paralelos.
(c) Note que os triângulos
e
também são
semelhantes, pois seus ângulos são congruentes, então, seus lados
obedecem a uma razão de proporção:
A1 B1 VA1 h1
=
= .
AB VA h
Como os triângulos da base são semelhantes, temos:
A1C1 B1C1 A1 B1 h1
=
=
= .
AC
BC
AB
h
Considere B1 D1 e BD as alturas da secção e da base, então:
A1 B1 B1 D1 h1
=
= .
AB
BD
h
Finalmente, temos:
.
Proposição 2: duas pirâmides triangulares (tetraedros) de bases
de áreas iguais e alturas congruentes têm volumes iguais.
Demonstração:
Suponha duas pirâmides triangulares (tetraedros) P1 e P2 de
bases B1 e B2 , com áreas iguais e alturas congruentes h. Suponha
Unidade 3
Book 1.indb 167
167
11/07/15 17:37
Universidade do Sul de Santa Catarina
também que essas bases estão num mesmo plano α. Agora,
seccione essas pirâmides por um plano β, paralelo a α, distando
h’ dos vértices e determinando em P1 e P2 secções de áreas e
.
Pela proposição anterior, temos:
Como B1 = B2 , segue que
e
.
.
Portanto, pelo princípio de Cavalieri, segue que as pirâmides
triangulares P1 e P2 têm o mesmo volume.
Proposição 3: o volume de uma pirâmide triangular é igual a um
terço do produto da área da base pela medida da altura.
Demonstração:
Seja o prisma triangular reto, como o da figura a seguir:
Figura 3.33 – Prisma triangular
Faz-se o seguinte:
„„
„„
Decompõe-se o prisma triangular em três pirâmides
triangulares (tetraedros) e chama-se essas pirâmides de
P1 , P2 e P3 .
A decomposição desse prisma é feita segundo os planos
( D, B, C ) e ( D, E , C ) , conforme figura a seguir:
168
Book 1.indb 168
11/07/15 17:37
Geometria II
Figura 3.34 – Cortes dos planos ( D, B, C ) e ( D, E , C )
Figura 3.35 – Três pirâmides P1, P2 e P3
„„
„„
„„
„„
„„
„„
Pela Figura 3.35, note que as pirâmides P1 e P2 têm
bases iguais, pois a base de P1 e a base de P2 são os
triângulos
e
, respectivamente, que são dois
triângulos congruentes, pois são as bases do prisma.
Note também que as alturas das pirâmides P1 e P2 são
iguais, que é a própria altura do prisma.
Então, temos que VP = VP , pela proposição 2.
1
2
Agora, novamente pela Figura 3.35, P2 e P3 também
têm bases iguais, pois a base de P2 e a base de P3 são
congruentes, porque são formadas pelos triângulos
e
, respectivamente, e estes triângulos são a
metade do retângulo BCFE .
As alturas das pirâmides P2 e P3 , também são iguais,
pois é a distância do ponto D ao retângulo BCFE .
Logo, VP = VP pela proposição 2.
2
3
Unidade 3
Book 1.indb 169
169
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Universidade do Sul de Santa Catarina
„„
„„
Assim, concluímos que VP = VP = VP . Chame de V o
volume dessas pirâmides.
1
2
3
Portanto, o volume do prisma triangular é a soma do
volume das três pirâmides, ou seja,
V prisma = VP1 + VP2 + VP3
V prisma = V + V + V = 3V
1
V = V prisma
3
O volume da pirâmide triangular é um terço do volume de um
prisma. Como o volume de um prisma é o produto da área da
base pela altura, então:
Proposição 4: o volume de uma pirâmide qualquer é um terço do
produto da área da base pela medida da altura.
Demonstração:
Seja Ab a área da base e h a medida da altura de uma pirâmide P
qualquer. Suponha que a base dessa pirâmide é um polígono de
n lados, então, o mesmo pode ser dividido em (n – 2) triângulos.
Dessa forma, a pirâmide P pode ser decomposta em (n – 2)
pirâmides triangulares, P1 , P2 , ..., Pn–2 com bases de áreas
Ab , Ab , ...,
. Assim, o volume da pirâmide P, segundo a
proposição 3, é dado por:
1
2
170
Book 1.indb 170
11/07/15 17:37
Geometria II
Exemplos:
1) Qual o volume de uma pirâmide regular hexagonal de altura h
e aresta da base r?
Solução: como a base é um hexágono regular, então a área da base
dessa pirâmide é dada pela área do hexágono regular:
.
Dessa forma, o volume da pirâmide regular hexagonal é dado
por:
.
2) A aresta da base de uma pirâmide quadrada mede 6 cm e a
altura 10 cm. Calcular o volume.
2
Solução: = Ab = l = 6 . 6 = 36 cm2
36 . 10
= 120 cm3
3
3) Calcule o volume de uma pirâmide de 12 cm de altura, sendo
a base um losango cujas diagonais medem 6 cm e 10 cm.
Solução: a base é um losango que tem área dada por:
2
cm .
3
Logo, o volume da pirâmide é:
cm .
Unidade 3
Book 1.indb 171
171
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Curiosidades
Nos cálculos relacionados com volumes de sólidos geométricos,
temos que relacionar, com frequência, as medidas de volume com
as de capacidade. Veja o exemplo:
se tivermos um cilindro reto contendo 0,9 litros de uma solução
homogênea aquosa, que pesa 1,3 kg, qual é a densidade desta
solução em g/cm3?
Para resolver este problema, temos que transformar as unidades de
medida adequadamente. Temos medidas em kg e litro e devemos
converter em g e cm3, respectivamente. Observe:
1) As unidades de massa têm o grama como unidade padrão. Assim,
temos:
1 quilograma (kg) = 1000 gramas (g), então:
1,3 quilogramas (kg) = 1300 gramas (g).
2) O volume tem como unidade padrão o m3.
Cada unidade de volume é 1000 vezes maior ou menor que a
unidade seguinte, por exemplo, 1 m3 = 1000 dm3 e 1 dm3= 1000
cm3.
As unidades de capacidade têm como unidade padrão o litro
(l); cada unidade de capacidade é 10 vezes maior ou menor que
a seguinte, assim, um litro corresponde a 10 dl (decilitro) e 1 dl
corresponde a 10 cl (centilitro) e 1 cl corresponde a 10 ml (mililitro),
por exemplo.
As conversões mais usadas são:
1m3 = 1000 litro (l) e 1 litro (l) = 1000 cm3
Logo, temos a relação: 1 dl = 1 dm3 e 1 ml = 1 cm3
Com essas comparações, temos que: 0,9 litro (l) = 900 cm3
Assim, a densidade da solução aquosa é:
d=
1300g
= 1,44g /cm 3
900cm 3
€
172
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Geometria II
Tronco de pirâmide
Chama-se tronco de pirâmide de bases paralelas o
sólido obtido da pirâmide que teve seccionada sua
parte superior.
Figura 3.36 – Pirâmide seccionada
Figura 3.37 – Tronco de uma pirâmide
O volume do tronco é determinado de forma análoga à
determinação do volume do tronco da pirâmide:
Vtronco de pirâmide =
Unidade 3
Book 1.indb 173
173
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Onde:
htp = altura do tronco de pirâmide;
AB = área da base maior;
Ab = área da base menor.
Exemplo:
Calcular o volume de um tronco de pirâmide reta, cujas bases
são quadrados de lados 10 cm e 4 cm, sabendo que tem 6 cm de
altura.
Solução:
AB = 10 . 10 = 100 cm 2
Ab = 4 . 4 = 16 cm2
V =
6
. 100 +
3
(
(
100 . 16 + 16
= 312 cm3.
174
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Geometria II
EM SALA DE AULA
Atividade: Análise da composição e cálculo da área de um prisma.
Objetivo: Decompor e calcular a área de um prisma de base
quadrangular.
Material: Quadro, caneta e modelo de prisma em papel cartão.
Procedimentos:
1- De posse do modelo de prisma, medir a aresta da base e altura.
2- Decompor o prisma, anotando as medidas em cada uma de suas
partes.
3- Calcular as áreas de cada uma das partes e somar.
4- Identificar a expressão que determina a área total do prisma.
Por exemplo, se o prisma reto for de base quadrada e a medida da
aresta da base é 4 e a altura é 10, teremos a figura planificada a seguir.
Figura 3.38 – Prisma planificado
Ficam nítidas as duas bases e as quatro faces do prisma.
Ab = 2 . (4 . 4) = 32 unidades de área.
Al = 4 . (4 . 10) = 160 unidades de área.
Área total: At = 192 unidades de área.
Unidade 3
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175
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Síntese
Nesta unidade, você teve contato com os sólidos que não rolam:
prismas, paralelepípedos, cubos e pirâmides. Percebeu-se que
todo o estudo, até chegarmos às pirâmides, foi uma construção
lenta e metódica, para que nada ficasse sem uma explicação
plausível.
Começamos com o estudo de áreas laterais e totais dos prismas,
paralelepípedos e cubos, o que não deu muito trabalho, pois eram
conceitos já estudados na geometria plana. Quando necessitamos
do cálculo de volumes, o estudo ficou mais metódico e
precisamos de algumas demonstrações, entre elas a razão entre
paralelepípedos retângulos que nos levou em seguida ao cálculo
do volume de um paralelepípedo e, consequentemente, de um
cubo.
Em seguida, tivemos contato com um resultado que estava ligado
com o nosso personagem desta unidade, o chamado princípio
de Cavalieri. Com ele, foi possível encontrarmos uma fórmula
para o volume de um prisma. Finalmente, quando estudamos
pirâmides, o mesmo princípio se fez necessário para chegarmos
ao volume. Foi uma construção demorada, mas muito elegante.
Dos sólidos que não rolam para os sólidos que rolam, e como
rolam, destacaremos: o cone, o cilindro e a esfera.
176
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Geometria II
Atividades de autoavaliação
1) A base de um prisma reto com 6 cm de altura é um triângulo retângulo
de catetos de 3 cm e 4 cm. Determine:
(a) a área da base;
b) a área da superfície lateral;
c) a área da superfície total;
d) o volume do prisma.
2) Uma pirâmide triangular regular tem a aresta da base igual à altura.
Calcule a área da superfície total do sólido, sabendo que a área lateral
mede 12 cm2 .
3) Um prisma hexagonal regular tem área da superfície da base igual a
24 3 cm2. Calcule seu volume, sabendo que a altura é igual ao
apótema da base.
4) Calcule, em litros, o volume de uma caixa-d’água em forma de prisma
reto, de aresta lateral de 6 m, sabendo que a base é um losango cujas
medidas das diagonais são 7 m e 10 m.
5) Uma piscina retangular de 10 m x 15 m, de fundo horizontal, está com
água até 1,5 m de altura. Um produto químico deve ser adicionado à
água à razão de um pacote para cada 4500 l. Qual o número de pacotes
necessários para essa piscina?
6) A área total da superfície de um cubo é 150 m2. Calcule a medida de sua
aresta.
7) Qual a natureza de uma pirâmide que possui a) 6 faces e b) 11 faces?
Unidade 3
Book 1.indb 177
177
11/07/15 17:37
Universidade do Sul de Santa Catarina
8) Calcule a área da superfície total, a altura e o volume de uma pirâmide
regular de base quadrada, cuja aresta da base mede 6 cm e cuja aresta
lateral mede 34 m.
9) Uma pirâmide regular quadrangular tem apótema igual a 9 cm. Sendo o
lado da base de 4 cm, calcule:
a) a área da base;
b) a área de cada face lateral;
c) a altura da pirâmide;
d) a área da superfície lateral da pirâmide;
e) o volume da pirâmide.
10) Calcule a área da superfície total de uma pirâmide quadrangular
regular de 8 cm de altura, cuja base está inscrita numa circunferência de
6 2 cm de raio.
11) Uma pirâmide regular hexagonal tem a apótema da base igual a 6 cm.
Sabendo que o apótema da pirâmide vale 10 cm, calcule o seu volume.
178
Book 1.indb 178
11/07/15 17:37
Geometria II
Saiba mais
A Revista do Professor de Matemática é muito interessante e traz
diversos problemas e curiosidades relacionados à Geometria. É
uma excelente leitura para professores e futuros professores de
Matemática.
Destaca-se para esta unidade o artigo:
VANDERLINDE, M. J. Material concreto relacionando
volumes de prisma e pirâmide. Revista do professor de
matemática, 13, 2º. semestre de 1988, p. 55-56. São Paulo:
RPM, 1988.
Unidade 3
Book 1.indb 179
179
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11/07/15 17:37
UNIDADE 4
Sólidos que rolam
Objetivos de aprendizagem
„„
Identificar os elementos de um cilindro. Classificar
cilindros quanto ao seu tipo. Calcular área da superfície
de um cilindro e o volume do cilindro.
„„
Identificar os elementos de um cone. Classificar cones
quanto ao seu tipo. Calcular área da superfície de um
cone e volume do cone.
„„
Discutir a diferença entre superfície esférica e esfera.
Calcular área de superfície esférica e volume da esfera.
4
Seções de estudo
Book 1.indb 181
Seção 1
Cilindros
Seção 2
Cones
Seção 3
Esferas
Seção 4
Problemas quentes
11/07/15 17:37
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa
Além dos objetos geométricos estudados até aqui, existem outros
que não são considerados poliedros, mas fazem parte do estudo
da Geometria por estarem presentes na vida humana e serem de
interesse de estudo da humanidade. Neste trabalho, esses objetos
serão chamados de “sólidos que rolam”. Eles têm como principal
característica o fato de utilizarem círculos e circunferências em
sua construção.
Figura 4.1 – Sistema solar: esferas
Nesta unidade, estudaremos os sólidos cilindro, cone e esfera
considerados sólidos que rolam.
182
Book 1.indb 182
11/07/15 17:37
Geometria II
Euclides: Olá, George, como vai?
George: Euclides, você aqui?
Euclides: Sim, meu rapaz, eu o acompanharei nessa última unidade.
George: Que bom! Mas o que veremos?
Euclides: Vamos falar de um tipo de sólidos que envolvem figuras circulares.
Você, com certeza, tem contato com essas figuras no seu dia a dia.
George: É mesmo?
Euclides: Claro! Preste atenção à sua volta e entenderá o que estou
falando.
George: Os estudos vão ajudar, não?
Euclides: Já te falei que você anda bem espertinho?
George: Tá legal, nem precisa começar, vamos à luta!
Euclides: Até mais.
Unidade 4
Book 1.indb 183
183
11/07/15 17:37
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seção 1 – Cilindros
A figura geométrica chamada de cilindro está presente no nosso
cotidiano. É só você olhar para os lados que verá, por exemplo:
um canudo utilizado para tomar um suco, uma lata de legumes
ou doce em conserva, os tubos de encanamento e fiação de sua
casa.
Vamos iniciar o estudo do cilindro observando como ele é gerado
e conhecendo seus elementos.
Construção
Considere na Figura 4.2:
„„
Dois planos paralelos α e β.
„„
Um círculo C contido em α.
„„
Uma reta r que intercepta α e β, mas não intercepta C.
Figura 4.2 – Construção do cilindro
Os pontos de intersecção das retas paralelas a r, passando por C,
formam um círculo C’ contido no plano β.
184
Book 1.indb 184
11/07/15 17:37
Geometria II
O cilindro é a reunião de todos os segmentos
paralelos a r com uma extremidade no círculo C e outra
extremidade no círculo determinado C’.
Figura 4.3 – Cilindro
Superfície cilíndrica
Chama-se superfície cilíndrica a reunião de todas as
retas paralelas a uma reta r e que interceptam uma curva.
Veja na Figura 4.4 a ideia de uma superfície cilíndrica.
Figura 4.4 – Superfície cilíndrica
Unidade 4
Book 1.indb 185
185
11/07/15 17:37
Universidade do Sul de Santa Catarina
Elementos
São elementos de um cilindro:
„„
„„
bases: círculos congruentes situados nos planos paralelos;
geratrizes: segmentos de retas com extremidades nos
pontos das bases;
„„
eixo: segmento de reta que passa pelos centros das bases;
„„
altura (h): distância entre os planos que contêm as bases;
„„
raio (r): raio das bases.
Figura 4.5 – Elementos do cilindro
Existem cilindros cujas bases não são círculos. Por
exemplo, os cilindros elípticos, cujas bases são elipses.
Nesse livro, porém, iremos trabalhar apenas com
cilindros cujas bases são círculos. Veja no EVA mais
informações sobre cilindros elípticos.
186
Book 1.indb 186
11/07/15 17:37
Geometria II
Classificação
Os cilindros são classificados segundo:
1) A inclinação das geratrizes:
„„
„„
Cilindro circular reto é aquele cujas geratrizes são
perpendiculares aos planos que contêm as bases;
Cilindro oblíquo é aquele cujas geratrizes são oblíquas
aos planos que contêm as bases.
Figura 4.6 – Cilindro circular reto e cilindro oblíquo
Para continuar o nosso raciocínio, vamos definir uma outra ideia
de superfície.
Superfície de revolução
Dadas uma curva C e uma reta r. Chama-se superfície
de revolução a superfície gerada pela rotação (ou
revolução) dessa curva em torno da reta (eixo).
Unidade 4
Book 1.indb 187
187
11/07/15 17:37
Universidade do Sul de Santa Catarina
Figura 4.7 – Superfície de revolução
Observe que, se girarmos a curva C em torno da reta r,
cada ponto de C descreve um círculo contido em um plano
perpendicular ao eixo r e de centro nesse eixo. Assim, podemos
definir a superfície como a reunião desses círculos.
Com isso, dizemos que um cilindro circular reto é um Cilindro
de Revolução, já que ele pode ser considerado um sólido obtido
pela rotação de um retângulo em torno de um eixo.
Dessa forma, o cilindro apresenta o mesmo diâmetro ao longo de
todo seu comprimento e sua superfície é a reunião de círculos de
mesmo raio.
Figura 4.8 –Cilindro de revolução ou circular reto
188
Book 1.indb 188
11/07/15 17:37
Geometria II
Suas dimensões
Chama-se cilindro equilátero aquele cuja seção
meridiana (intersecção do cilindro com um plano que
contém a reta OO’ ) é um quadrado de lados 2r.
Figura 4.9 – Cilindro equilátero
Superfícies
Também podemos analisar as superfícies planificando um
cilindro. Para isso, imaginamo-nos recortando o cilindro em
torno das bases, sem desprender o corpo dos círculos, e cortando
em uma geratriz na superfície lateral.
Figura 4.10 – Planificação do cilindro
Unidade 4
Book 1.indb 189
189
11/07/15 17:37
Universidade do Sul de Santa Catarina
Superfície lateral: é a reunião das geratrizes;
Figura 4.11 – Superfície lateral do cilindro
Superfície total: é a soma da superfície lateral com os círculos
das bases.
Figura 4.12 – Superfície total
Área
Para calcularmos área da superfície total do cilindro, vamos
aplicar um novo conceito, expresso pelo cálculo de “área em
corpos redondos”. Para aplicarmos esse conceito, precisamos de
algumas relações métricas no círculo e na circunferência.
190
Book 1.indb 190
11/07/15 17:37
Geometria II
Lembre-se de que, dada uma circunferência de raio r:
„„
o comprimento da circunferência C é dado por C = 2 π r;
„„
a área da circunferência ACircunferência = π r2.
Área superfície lateral do cilindro (ASLC )
Observe que a superfície lateral do cilindro é um retângulo cuja
altura é igual à altura do cilindro e o comprimento é igual ao
comprimento do círculo, como na Figura 4.13:
Figura 4.13 – Área da superfície lateral do cilindro
Nesse caso, a área da superfície lateral é dada por:
ASLC = 2 π r h
Área da superfície total de um cilindro (ASTC )
A área total do cilindro é a soma da área lateral com as áreas das
bases. Assim:
ASTC = 2 π r . h + 2 π r2 = 2 π r (h + r)
ASTC = 2 π r (h + r)
Unidade 4
Book 1.indb 191
191
11/07/15 17:37
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplos:
1) Dado um cilindro reto, cuja área da superfície lateral é igual
a 30 π cm2 e cuja altura é igual a 5 cm, determine a área da
superfície total.
Solução:
ASlC = 2π r h = 30 π , mas h = 5
2π r 5 = 30 π ⇒ π r = 3π ⇒ r = 3π / π ⇒ r = 3 cm
Então: ASTC = ASlC + 2 π r2 = 30 π + 2 π (3 )2 ⇒
ASTC = 30 π + 18 π = 48 π cm2
2) Calcular a área da superfície total e o diâmetro de um cilindro
reto de 10 cm de altura, sendo que a área da superfície lateral é
igual à soma das áreas das bases.
Solução:
ASLC = AB
⇒
2 π r . h = 2 π r2
⇒
r = h
r = 10 cm
ASTC = 2 π r (h + r) = 2 π 10 (10 + 10) = 400 π cm 2 .
Assim, o diâmetro é de 20 cm e a área total de, aproximadamente,
400π cm2.
Volume de um cilindro (VCilindro)
Teorema 4.1: o volume de um cilindro é o produto da área da
base pela medida da altura. Assim:
VCilindro = π r2 h.
192
Book 1.indb 192
11/07/15 17:37
Geometria II
Demonstração:
Vamos mostrar essa conclusão utilizando o princípio de Cavalieri
e o volume do prisma.
Dados um cilindro de altura h e área da base BC , e um prisma
também de altura h e base BP, tal que as bases sejam equivalentes
(áreas iguais). Considerando que os dois sólidos têm as bases
num plano α, conforme a Figura 4.14. Se um plano β paralelo
a α secciona o cilindro e o prisma a uma mesma altura, ele gera
secções congruentes às respectivas bases.
Figura 4.14 – Prisma e cilindro
Portanto, pelo princípio de Cavalieri, o cilindro e o prisma têm o
mesmo volume, ou seja:
V Cilindro = V Prisma.
Mas vimos que o volume do prisma é dado pelo produto da área
da base, denotada por AB , pela altura, assim:
VCilindro = AB h
VCilindro = π r2 h
Exemplos:
1) Dado um cilindro equilátero de raio 15 cm, calcule a área da
superfície lateral, a área da superfície total e o volume:
Unidade 4
Book 1.indb 193
193
11/07/15 17:37
Universidade do Sul de Santa Catarina
Solução:
Se o cilindro é equilátero, a altura é igual ao diâmetro da base,
então:
h = 2r
a) A área da superfície lateral:
ASLC = 2π r h= 2π r 2r = 4π r2 = 4π 152= 900 π cm2
b) A área da superfície total:
ASTC = ASLC + 2 π r2 =4π r2 + 2 π r2 = 6 π r2 = 6 π 152 =1350 π cm2
c) O volume do cilindro:
� r 2h = π
2� r 3 = 2π 153 = 6750 π cm3
V Cilindro = π
� r 2 2 r = 2π
2) Suponha que desejamos confeccionar uma lata cilíndrica
especial para acondicionar dois litros de azeite de oliva, em
comemoração aos 100 anos da marca. Por uma questão de
aproveitamento da chapa a ser cortada na fabricação, a altura
da lata foi limitada em 30 cm. Assim sendo, qual deverá ser o
diâmetro da lata?
Solução:
1000     1 m3 = 1.000.000 cm3
2   x
x = 2000 cm3 .
V = π r2 h ⇒ r =
=
≅ 4,6 cm
Ou seja, a lata deveria apresentar diâmetro aproximado de 9,2 cm.
194
Book 1.indb 194
11/07/15 17:37
Geometria II
3) Determine o volume de um cilindro circular reto gerado pela
rotação de um retângulo de altura 6 cm e largura 3 cm.
Solução:
VC = π r2 h = π 32 6= 54 π cm3
4) Determine o volume de um cilindro circular reto gerado pela
rotação de um retângulo de altura 3 cm e largura 6 cm.
Solução:
VC = π r2 h = π 62 3= 108 π cm3
Unidade 4
Book 1.indb 195
195
11/07/15 17:37
Universidade do Sul de Santa Catarina
Curiosidades
Exemplificação do princípio de Cavalieri
Se construirmos um cilindro e um prisma, ambos com a mesma altura
e área da base, podemos constatar que a medida da área em qualquer
secção horizontal é também equivalente e, portanto, os volumes dos
dois sólidos também são equivalentes.
Figura 4.15 – Representação de volume de cilindro e prisma
Na representação, as secções horizontais têm a mesma área no prisma
e no cilindro, logo, os volumes são iguais.
Seção 2 – Cones
Você também tem contato com cones no seu dia-a-dia. Pense
numa casquinha de sorvete, ou num chapéu de bruxa, todos
trazem a ideia de um cone.
Vamos começar a falar de cones também a partir da ideia de sua
geração.
196
Book 1.indb 196
11/07/15 17:37
Geometria II
Construção
Considere na Figura 4.16:
„„
Um plano α;
„„
Um círculo C contido em α;
„„
Um ponto V fora do plano α.
Figura 4.16 – Construção do cone
Cone é o conjunto de todos os segmentos de
extremidades em V e dos pontos pertencentes ao
círculo C.
Figura 4.17 – Cone
Unidade 4
Book 1.indb 197
197
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Superfície cônica
Chama-se superfície cônica a figura geométrica
espacial formada pelo conjunto de todos os segmentos
com uma das extremidades no círculo C e outra no
ponto V, junto ao círculo C.
Elementos
São elementos de um cone:
„„
„„
„„
„„
„„
base: círculo de centro O e raio r;
vértice: um ponto que não pertence ao círculo, nem está
contido no mesmo plano que contém o círculo;
geratrizes (g): segmentos de retas com uma extremidade
no ponto V e outra nos pontos da circunferência da base;
raio (r): raio da base;
altura (h): distância entre o plano que contém a base e o
vértice.
Figura 4.18 – Elementos do Cone
198
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11/07/15 17:37
Geometria II
Classificação

1) Em relação à inclinação que a reta VO faz com o plano da
base, temos que:
„„
„„

o cone circular reto é aquele cuja reta VO é
perpendicular ao plano que contém a base;

o cone circular oblíquo é aquele cuja reta VO é oblíqua
ao plano que contém a base.
Figura 4.19 – Cone circular reto e oblíquo
Também podemos chamar um cone circular reto de Cone de
Revolução, já que esse é gerado pela rotação de um triângulo
retângulo em torno de um eixo que contém um de seus catetos.
Figura 4.20– Cone de revolução
Unidade 4
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2) Em relação às suas dimensões
Chama-se cone equilátero aquele cuja seção
meridiana (intersecção
do cone com um plano que

contém a reta VO ) é um triângulo equilátero.
Figura 4.21 – Cone equilátero
Superfícies
O cone planificado ajuda na análise das superfícies. Para isso,
seguimos a mesma ideia que usamos na planificação do cilindro:
imaginamo-nos recortando o cone em torno das bases, sem
desprender o corpo do círculo e cortamos em uma geratriz na
superfície lateral.
Figura 4.22 – Planificação do cone
200
Book 1.indb 200
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Geometria II
Superfície lateral: é a reunião das geratrizes. Veja a Figura 4.23.
Essa superfície coincide com o setor circular de um círculo de
raio g;
Figura 4.23 – Superfície lateral do cone
Superfície total: é a reunião da superfície da base com a
superfície lateral, como na Figura 4.24.
Figura 4.24 – Superfície total do cone
Área
Por ser um corpo que rola, para calcular a área do cone também
vamos utilizar relações métricas no círculo e da superfície da
circunferência. Além daquelas mostradas durante o cálculo da
área da superfície do cilindro, vamos relembrar a área de um
setor circular.
Unidade 4
Book 1.indb 201
201
11/07/15 17:37
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seja um círculo de centro em O e raio r. Um setor circular é uma
região limitada por dois raios e um arco do círculo. Veja a Figura
4.25.
Figura 4.25 – Setor circular
Para determinar a área do setor circular em função do raio e do
comprimento do arco de circunferência, admitimos:
„„
„„
r como o raio;
l como o comprimento do arco, do setor circular, em
radianos.
Utilizando a regra de três:
O comprimento da circunferência está para a área da
circunferência assim como o comprimento do setor (l) está para a
área do setor circular;
2 π r    π r2
  A
setor
ou
Asetor =
.r
2
Concluímos que a área do setor circular está relacionada ao
comprimento desse setor e ao raio da circunferência. Mas note,
202
Book 1.indb 202
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Geometria II
na Figura 4.26, que o setor circular determinado pelo arco
de comprimento l, num círculo de raio, r é equivalente a um
triângulo isósceles de base l e de altura r.
Figura 4.26 – Área do setor circular
E, portanto:
ASetor = (comprimento do arco)(raio)
2
Área da superfície lateral do cone (ASLCone)
Como na superfície lateral do cone, o raio mede g (comprimento
da geratriz) e o comprimento do arco mede 2πr, deduzimos que a
área lateral do cone é dada por:
ASLCone =
⇒ ASLCone = π r g
Área da superfície total do cone ( ASTCone)
A área total é a soma da área lateral com a área da base. Assim,
ASTCone = ASLCone + AB
ASTCone = π r g + π r2
ASTCone = π r (g + r)
Unidade 4
Book 1.indb 203
203
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Observação: note que em um cone circular reto vale a relação
g 2 = h2 + r 2 .
Volume do cone (VCone)
Vamos aplicar o princípio de Cavalieri para mostrar como
determinar o volume de um cone.
Teorema 4.2: o volume de um cone de altura h e raio da base r, é
dado por:
Demonstração:
Sejam um tetraedro de altura h e área da base BT e um cone
também de altura h e área de base BC , com as bases equivalentes,
se os dois sólidos têm as bases num mesmo plano α e os vértices
estão num mesmo semiespaço determinado por α, então,
qualquer plano β paralelo a α, como na Figura 4.26, secciona o
tetraedro e o cone, gerando áreas BT ’ e BC ’ a uma distância h’ dos
vértices, tal que:
e
Logo:
B 'T B 'C
⇒
=
BT
BC
B 'C = B 'T .
Figura 4.27 – Tetraedro e cone
204
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Geometria II
Portanto, pelo princípio de Cavalieri, o volume do cone e o
volume do tetraedro são iguais, ou seja:
V Cone = V Tetraedro
E como o volume do tetraedro é dado por:
1
VTetraedro = B.h
3
Temos que:
1
VCone = B.h
3
Exemplo:
Dado um cone circular reto de altura 12 cm e raio da base igual a
4 cm, calcule a área lateral, a área total e o volume do cone.
Solução: precisamos, primeiramente, calcular a geratriz desse
cone. Temos que:
g 2 = h2 + r 2
g 2 = 144 + 16 = 160
.
Logo, a área lateral é dada por:
cm2. Já a área total deste
cone é:
ASTCone = π r (g + r)
ASTCone
cm2
ASTCone
Unidade 4
Book 1.indb 205
205
11/07/15 17:37
Universidade do Sul de Santa Catarina
Finalmente, o volume deste cone é dado por:
3
cm .
Tronco de cone reto
Dado um cone circular reto, cuja base C está contida em um plano
α, traçamos um plano β paralelo ao plano α, interceptando o
cone em um ponto distinto do vértice V. Essa intersecção é uma
circunferência C’ e, assim, o cone original fica dividido em duas
partes, um cone cujo vértice é V e a base é C’, e outra parte chamada
tronco do cone, com duas bases C e C’, como na Figura 4.28.
Figura 4.28 – Construção do tronco do cone
Área da superfície lateral e volume de um tronco de cone reto
„„
Para obter o volume do tronco de um cone aplicamos
novamente o princípio de Cavalieri, comparando o tronco
do cone ao de uma pirâmide. Ou seja, o princípio de
Cavalieri garante que o volume de um tronco de cone
é igual ao volume de um tronco de pirâmide de mesma
altura. Temos, então:
htp
V TroncoCone = V TroncoPirâmide = 3 .
(A
B
+
(
A B . A b + Ab =
206
Book 1.indb 206
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Geometria II
htc
. π R2 +
3
(
(
π R 2 . π r 2 +π r 2 .
Ou:
V TroncoCone =
. (R 2 + R . r + r2)
A área da superfície lateral do tronco de um cone é dada por:
ALateralTroncoCone= π (R + r) . g
A superfície lateral de um tronco de cone reto de raios R e r e
geratriz g é equivalente a um trapézio de bases 2 π R e 2 π r e
altura g.
A área total é a soma da área lateral com a área da base. Assim,
A Tronco do Cone = A  + Ab
A Tronco do Cone = π (R + r) g + π R 2 + π r2
A Tronco do Cone = π[R (g + R) + r (g + r)]
Unidade 4
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207
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplos:
1) Um copo tem a forma de um tronco de cone, com o diâmetro
da boca igual a 6 cm, o diâmetro do fundo igual a 5 cm e altura
de 10 cm (todas as medidas são internas). Qual o volume máximo
de água que o copo pode conter sem derramar?
Vcopo =
. (32 + 3 . 2,5 + 2,52) ≅ 238,24 cm 3.
Ou, aproximadamente, 0,238  .
2) Uma base de troféu é um tronco de cone (raio menor de 4 cm,
raio maior de 5 cm e altura de 7 cm) e precisa ser pintada: laterais
e parte superior. Se for cobrado R$ 50,00/m2, quanto custará a
pintura?
Apintada = Al + Ab = π (R + r) g + π r2
Como não temos g, devemos calculá-lo:
g2 = h2 + (R − r)2
g=
=
50 ≅ 7,07 cm
Apintada = π (5 + 4) 50 + π 42 ≅ 250,2 cm2
208
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Geometria II
A área a ser pintada equivale a, aproximadamente, 0,025 m2.
Assim, o valor da pintura será:
Custo Pintura = 0,025 × 50,00 = R$ 1,25.
Curiosidades
É possível analisar a variação do volume de um cone de altura fixa em
função do raio. Se usarmos um software de representação e cálculo de
volume, mantendo a altura fixa, podemos analisar o comportamento
da variação do volume quando aumentamos a medida do raio da
base. Observe a figura a seguir.
Figura 4.29 – Variação de volume de um cone
Vejamos os dados calculados na tabela.
Tabela 4.1 – Relação raio e volume para cones
Raio
0,1406
0,4705
1,1607
2,0052
3,0283
4,1731
Volume
0,1299
1,4559
8,859
26,44
60,3056
114,5168
continua...
Unidade 4
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Universidade do Sul de Santa Catarina
continuação
Usando uma planilha de cálculos com os valores da tabela, podemos
aproximar uma curva quadrática.
Figura 4.30 – Gráfico da função
Na equação obtida, percebemos a preponderância do coeficiente de
x2 em relação aos demais, insignificantes, resultado das aproximações
realizadas na tabela, a rigor, iguais a zero.
Pode-se estimar que y = 6,5758 x2, portanto, comportamento
quadrático.
Mesmo valor poderia ser conferido na expressão do volume do cone:
1
V = πR 2 h = 6,573R 2
3
€
210
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Geometria II
Seção 3 - Esfera
Como outros sólidos geométricos, a esfera pode ser vista em diversas
situações da nossa vida. Nem precisamos procurar muito para
encontrar exemplos de esferas, desde o globo terrestre, bolas de
futebol, basquete e tênis, até pérolas encontradas no fundo do mar.
Figura 4.31 – Exemplos de esferas
Construção
Considere, como na Figura 4.32:
„„
um ponto O;
„„
um segmento de medida r;
Figura 4.32 – Construção da esfera
Ao conjunto de pontos do espaço cuja distância de O é
menor ou igual a r, chamamos de esfera.
Unidade 4
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Figura 4.33 – Esfera
Elementos
São elementos de uma esfera:
„„
Centro: o ponto O ;
„„
Raio: o segmento não nulo R cuja extremidade é O;
„„
„„
„„
„„
„„
„„
„„
Pontos interiores: são pontos do espaço cuja distância do
centro é menor que R;
Cordas: são segmentos com extremidades nos pontos que
distam R do centro;
Diâmetro: é uma corda que passa pelo centro O;
Secção: é qualquer intersecção de um plano que possua
ponto interior com a esfera;
Eixo: é qualquer reta que contém o centro O;
Polos: são os pontos de intersecção do eixo com os
pontos que distam R do centro O;
Equador: é a secção (circunferência) perpendicular ao
eixo, pelo centro da esfera;
„„
Paralelo: é uma seção perpendicular ao eixo;
„„
Meridiano: é uma seção cujo plano passa pelo eixo;
212
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Geometria II
„„
Distância polar: é a distância de um ponto qualquer de
um paralelo ao polo.
Figura 4.34 – Elementos da esfera
Superfície esférica
Existe uma diferença entre superfície esférica e esfera:
Chama-se superfície esférica de centro O e raio R o
conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias do
centro O são iguais ao raio R.
Chama-se esfera de centro O e raio R o conjunto dos
pontos do espaço cujas distâncias ao centro O são
menores ou iguais ao raio R.
Observe que existe uma diferença entre superfície esférica e
esfera. Podemos considerar informalmente que a esfera é um
sólido “maciço”, já a superfície esférica é o conjunto de pontos que
formam a “casca” da esfera.
Tanto a superfície esférica como a esfera podem ser geradas, e
podemos chamá-las de superfície de revolução e sólido de revolução,
respectivamente.
Unidade 4
Book 1.indb 213
213
11/07/15 17:37
Universidade do Sul de Santa Catarina
„„
A superfície esférica de centro O e raio R é uma
superfície gerada pela rotação de uma semicircunferência
de raio R em torno do diâmetro.
Figura 4.35 – Geração de uma superfície esférica
„„
Esfera de centro O e raio R é o sólido gerado pela
rotação de um semicírculo de raio R em torno de seu
diâmetro.
Figura 4.36 – Geração de uma esfera
Lembre-se de que círculo e circunferência são
diferentes.
214
Book 1.indb 214
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Geometria II
Posições relativas entre plano e esfera
Dados uma esfera e um plano, vamos analisar as posições desse
plano em relação à esfera.
Caso 1: Plano e esfera são disjuntos
O plano e a esfera não possuem pontos em comum.
Figura 4.37 – Plano e esfera disjuntos
Caso 2: Plano e esfera são tangentes
Plano e esfera têm um único ponto P em comum.
Figura 4.38 – Plano e esfera tangentes
Unidade 4
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215
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Caso 3: Plano e esfera são secantes
Plano e esfera têm mais de um ponto em comum.
Figura 4.39 – Plano e Esfera Secantes
Área e volume
George: Euclides, socorro.
Euclides: O que foi, rapaz? Você parece apreensivo.
George: Estou um pouco assustado com esse novo assunto, parece-me
que calcular área e volume de esferas não é muito fácil.
Euclides: Calma, George... você sabia que foi Arquimedes que deduziu
como determinar a área da superfície esférica e o volume da esfera?
216
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Geometria II
George: Arquimedes? Como ele fez isso?
Euclides: Sim, vou te contar. Para determinar o cálculo do volume da
esfera, Arquimedes utilizou o princípio da Exaustão desenvolvido pelo
matemático grego Eudoxo. Ou seja, Arquimedes tomou duas vasilhas,
uma cônica e outra esférica com o raio da semiesfera igual ao raio da base
do cone e altura do cone igual ao raio da semiesfera. Começou, então, a
despejar água em uma das vasilhas e transferir para a outra. Percebeu que,
despejando duas vezes o conteúdo da vasilha cônica no interior da vasilha
semiesférica, essa ficava cheia, ou seja, a capacidade da semiesfera era o
dobro da capacidade do cone. Chegou à seguinte conclusão: “O volume
da esfera é igual a quatro vezes o volume do cone, sendo o raio da esfera
igual à altura e ao raio da base do cone”.
George: Nossa, Euclides! Deve ter dado um trabalhão.
Euclides: É, mas essa foi a única forma que ele encontrou para obter esse
resultado.
George: Beleza, posso usá-lo?
Euclides: Pode, sim. Mas não se esqueça de que na matemática devemos
ter as conclusões provadas com embasamento teórico. Na sequência você
verá que essas conclusões foram também provadas utilizando o princípio
de Cavalieri. E preste atenção: primeiro demonstra-se o volume da esfera
para utilizar essa conclusão no cálculo da área da superfície esférica.
George: Ah, é? Então elas já têm uma base teórica e, portanto, posso
utilizá-las?
Euclides: Isso mesmo. Siga em frente.
Para determinarmos a área da superfície de uma esfera,
precisamos do cálculo do volume da esfera.
Teorema 4.3: o volume da esfera de raio R é dado por
Vesfera = 4 π R 3
3
Demonstração:
Considere um cilindro equilátero de raio R, com base num plano
α, e uma superfície esférica também de raio R tangente a α,
como na Figura 4.40.
Unidade 4
Book 1.indb 217
217
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Figura 4.40 – Esfera e cilindro
Consideremos dois cones com mesmo vértice C, no interior do
cilindro. Um plano β que corta os sólidos nos fornece como
seções com a esfera e com o cilindro um círculo e uma coroa
circular, respectivamente. Suponha que o raio do círculo seja
s, para determinarmos o raio da circunferência interna da coroa
circular, tomemos o triângulo ABC, conforme a Figura 4.40.
Observe que esse triângulo é um triângulo retângulo isósceles,
ou seja,
, assim AB = d. Dessa forma, a circunferência
interna da coroa circular tem raio d, como mostra a Figura 4.41.
Figura 4.41 – Círculo e Coroa Circular
Já da esfera temos um triângulo retângulo com catetos s e d e
hipotenusa R, como mostra a Figura 4.40. Logo, garantimos que:
.
R 2 = s 2 + d 2 , ou ainda,
Portanto, as áreas do círculo e da coroa são:
Acirculo= π s2 = π ( R 2- d 2)
Acoroa circular = π R 2- π d 2 = π ( R 2- d 2).
218
Book 1.indb 218
11/07/15 17:37
Geometria II
E como as seções possuem áreas iguais, pelo princípio de
Cavalieri, o volume da esfera é igual ao volume do cilindro
menos o volume dos cones.
VEsfera = VCilindro - VCone1 - VCone2
.
V Esfera =
Teorema 4.34: a da área superfície esférica (casca) de raio R é:
Aesfera = 4 π R 2
Demonstração:
Vamos supor aqui que a superfície esférica tenha uma espessura,
a qual chamaremos de “casca esférica”. Para isso, tomemos duas
esferas concêntricas de raios R + ε e R, assim, a casca esférica
teria espessura ε, consequentemente, um volume dado por:
VCasca Esférica= V Esfera de Raio R + ε - V Esfera de Raio R
VCasca Esférica=
VCasca Esférica=
.
Fazendo ε diminuindo até 0 (zero), o que chamamos de “casca
esférica” se transformou na superfície da esfera, a qual possui
uma área que pode ser determinada por:
ASuperfície Esférica=
Unidade 4
Book 1.indb 219
219
11/07/15 17:37
Universidade do Sul de Santa Catarina
Existem outras demonstrações para esse teorema. Que
tal procurar?
Exemplos:
Se a área de um círculo máximo de uma esfera é igual a 100 π
cm2, calcule a área da superfície esférica e o volume da esfera.
Solução:
Um círculo máximo de uma esfera contém o centro da esfera,
então:
A Círculo = π r2 = 100 π
r2 = 100
r = 10 cm
A Superfície esférica = 4 π r2
ASuperfície esférica = 400 π cm 2
V Esfera =
V Esfera =
V Esfera =
.
220
Book 1.indb 220
11/07/15 17:37
Geometria II
Curiosidades
A relação entre cubo e esfera pode ser analisada e descrita quando a esfera
está inscrita ou circunscrita ao cubo. Veja as situações a seguir.
1) Se a esfera está circunscrita ao cubo, vai tocar todos os vértices desse,
assim, a diagonal do cubo é igual ao diâmetro da esfera.
Figura 4.42 – Esfera circunscrita ao cubo
2) Se a diagonal do cubo é dada por D = a 3 e o diâmetro da esfera é 2R,
podemos escrever que
€
O volume do cubo é dado por:
O volume da esfera é:
A relação entre o volume do cubo e da esfera é:
continua...
Unidade 4
Book 1.indb 221
221
11/07/15 17:38
Universidade do Sul de Santa Catarina
continuação
3) Se a esfera está inscrita no cubo, vai tocar todas as faces do cubo, assim, o
lado do quadrado equivale ao diâmetro da esfera.
Figura 4.43 – Esfera inscrita ao cubo
Assim, a aresta
O volume do cubo é:
O volume da esfera é:
A relação entre o volume do cubo e da esfera é:
222
Book 1.indb 222
11/07/15 17:38
Geometria II
Seção 4 – Problemas quentes
Nesta seção, vamos aplicar alguns conceitos apresentados no
livro. Observe que podemos utilizar esses conceitos em várias
situações. Antes de olhar a resolução, tente resolver cada
exercício, de acordo com o que foi apresentado. Boa Sorte!
1) Calcule o volume de um cubo circunscrito numa superfície
esférica de raio R.
Solução:
Como o cubo está circunscrito no cubo de raio R, segue que
o lado do cubo é igual ao diâmetro da superfície esférica. Seja
l a medida do lado do cubo e d = 2 R o diâmetro da superfície
esférica, então:
Vcubo = l 3 = d 3 = (2 R)3
Vcubo = 8 R 3
2) Uma esfera está inscrita num cilindro equilátero de raio R.
Qual é a razão entre o volume V1 da esfera e o volume V2 do
cubo?
Solução:
Como a esfera está inscrita no cilindro, segue que a altura do
cilindro é igual ao diâmetro da esfera. Assim, h = 2 R , logo:
Então:
.
Ou seja, a razão entre o volume da esfera e o volume do cilindro
é 2.
3
Unidade 4
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223
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Universidade do Sul de Santa Catarina
3) Um caminhão basculante tem carroceria com dimensões
3,40m de comprimento, 2,50m de largura e 0,80m de altura.
Calcule quantas viagens deverá fazer para transportar 136 m3 de
areia.
Solução:
O basculante do caminhão é um paralelepípedo, cujo volume é
dado por:
V = 6,80 m
3
3
Para transportar 136 m , ele deverá dar um número de viagens
igual a
136
= 20 .
6,8
4) Uma piscina para criança em forma de um paralelepípedo tem
por base um retângulo de lados 2 m e 1,80 m. Um objeto, ao ser
imerso completamente nessa piscina, faz o nível da água subir
0,095 m. Qual o volume desse objeto?
Solução:
O volume do objeto é igual ao volume de água deslocado, que
corresponde à elevação de 0,095 m no nível da água, então, temos:
3
m .
5) De uma civilização antiga, foi descoberta uma pequena
pirâmide cuja face lateral é formada por quatro triângulos
equiláteros, com aresta igual a 6 m. As inscrições encontradas
relatam a existência de um baú de ouro maciço em forma de cubo
1
dentro da pirâmide, cuja aresta é da altura da pirâmide. Qual
3
o volume do cubo?
224
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Geometria II
Solução:
Vamos, primeiramente, calcular o apótema da pirâmide e
como, os triângulos são equiláteros, o apótema da pirâmide é
exatamente a altura do triângulo. Para encontrar o apótema da
pirâmide, usamos o teorema de Pitágoras:
m.
62 = g 2 + 32
Para encontrar a altura da pirâmide, usamos a relação:
g 2 = h 2 + m 2 , onde m é o apótema da base da pirâmide e vale 3 m.
Então:
m.
(3 3) 2 = h 2 + 32
Agora a aresta l do cubo é 1 da altura da pirâmide, então:
1
1
l = h = 3 2 = 2 m.
3
3
3
3
Portanto, o volume do cubo é: V = l 3 = ( 2)3 = 2 2 = 2,82 m .
6) Um copo em forma de um cilindro tem 16 cm de altura e 4 cm
de diâmetro. O copo é preenchido com 18 bolinhas de gude de
raio 1 cm. Obviamente, entre as bolinhas sobra um espaço, que
é preenchido com um líquido. Qual o volume de líquido entre as
bolinhas?
Solução:
Temos que o volume do copo é dado por:
3
cm . Já as bolinhas são esferas,
3
portanto,
cm .
Como temos 18 bolinhas, temos que o volume total de bolinhas é
3
cm .
Unidade 4
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225
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Universidade do Sul de Santa Catarina
O volume de líquido dentro do copo é dado por:
3
cm .
7) Um joalheiro fundiu uma esfera de ouro de raio 6mm para
transformá-la num bastão cilíndrico reto, cujo raio da base era
igual ao da esfera. Calcule o comprimento do bastão.
Solução:
O comprimento do bastão é a altura do cilindro. Como a esfera
de ouro se transformou num bastão, segue que o volume não se
alterou, logo:
Vesfera = Vcilindro
mm.
8) São dados um cone equilátero e um cilindro reto de revolução.
Esses sólidos têm a mesma altura e o mesmo volume. A área
lateral da superfície do cilindro é igual à área total da superfície
do cone. Exprima o volume do cone em função do seu raio r.
Solução:
Seja h1 a altura do cone e h2 a altura do cilindro. Temos que
h1 = h2 = h . Mas como o cilindro é reto, então, h = 2 R . Também
temos que Vcone = Vcilindro . Considere R o raio do cilindro e r o raio
do cone.
A área lateral da superfície do cilindro é dada por
A área total da superfície do cone é dada por
Mas, como o cone é equilátero, temos que, g = 2r , então:
.
.
226
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Geometria II
, agora:
Al = AT
Assim,
.
Unidade 4
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227
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Euclides: E aí, meu rapaz, o que você achou da geometria espacial?
George: Fascinante. Aliás, toda a geometria é fascinante. Lembro-me de
um de nossos diálogos iniciais em que você falava sobre a construção da
geometria, que era como a construção de um prédio, os alicerces sólidos e
a obra completa. Agora entendo bem o que você queria dizer. E entendo
também o motivo pelo qual vocês, matemáticos, ficaram tão fascinados
com o estudo da geometria desde o começo.
Euclides: É, George, às vezes a vida nos coloca desafios dos quais, na hora,
não temos a noção da importância, mas, se observamos bem, todos nos
levam ao crescimento, principalmente quando conseguimos passar por
eles e aproveitar o aprendizado.
George: É, Euclides, confesso que em determinados momentos achei que
eu não fosse conseguir. E hoje sei de coisas de cuja existência não fazia
ideia.
Euclides: George, vou te dizer uma coisa, você está adquirindo o bem
maior que um homem pode adquirir: “o conhecimento”. Se ele for bem
absorvido, pode ter certeza, você nunca o perderá.
George: É verdade. Sempre filosofando, não é Euclides?
Euclides: Faz parte da vida, meu caro. Boa sorte, e não esqueça: “você
pode tudo que quiser”, basta arregaçar as mangas e ir à luta.
George: Já estou acreditando nisso.
Euclides: Foi muito bom trabalhar com você, continue assim.
George: Obrigado!
Euclides: Fui.
228
Book 1.indb 228
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Geometria II
Em sala de aula
Problema envolvendo densidade de líquidos
Atividade: Cálculo de densidade.
Objetivo: Interpretar e calcular densidade de líquidos.
Material: Quadro e caneta.
Procedimentos: Resolução de problemas propostos.
Situação Problema:
Temos uma lata com a forma de cilindro reto, com altura interna de 30
cm e raio da base interno de 10 cm, contendo um líquido com densidade
conhecida de 0,85 g/cm3.
Qual é a massa deste líquido?
Este tipo de problema envolvendo densidade permite estabelecer relações
entre duas variáveis intimamente relacionadas, massa e volume.
Neste caso, a relação é indireta, temos que determinar a massa.
O volume do cilindro é:
cm3
Assim, se
Logo,
g
ou
kg
Síntese
Você estudou nesta unidade os sólidos que rolam. Pôde observar
que esses sólidos foram chamados dessa forma por conter
circunferências e círculos. Precisou, por isso, relembrar alguns
conceitos da geometria sobre área de círculo. Observou que o
princípio de Cavalieri é aplicado também para calcular o volume
de sólidos que rolam, e com isso viu a importância e utilidade
desse princípio.
Observe como utilizar cada um dos conceitos apresentados nesta
unidade, e não esqueça de entrar em contato com o seu professor
caso apareça alguma dúvida.
Unidade 4
Book 1.indb 229
229
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de autoavaliação
1) Um cilindro de 10 cm de altura tem área da base igual a 16 π cm2.
Determine a sua área lateral.
2) Dado um cilindro circular reto de 20 cm de altura cuja área da superfície
lateral é igual à área da base. Calcule a área lateral:
3) Suponha um cilindro reto de 2 cm de raio e 12 cm de altura colocado
no interior de uma caixa, na forma de um paralelepípedo reto de base
quadrada, com 4 cm de lado e altura igual à do cilindro. Calcule o
volume entre o cilindro e a caixa.
4) Calcule a razão entre as áreas da superfície lateral e da superfície total
de um cilindro equilátero.
5) Determinar a razão entre o volume de um cilindro reto e um prisma
triangular regular, sabendo que a área da superfície lateral do cilindro é
igual à área lateral do prisma, e o raio do cilindro o dobro da aresta da
base do prisma.
6) A área da superfície total de um cone reto de 5 cm de raio da base é de
100π cm2. Calcule a altura do cone.
7) Um sólido é formado por um cilindro de 8 cm de altura e 6 cm de
diâmetro, sobreposto por um cone de 4 cm de altura e mesmo
diâmetro. Calcule seu volume.
8) Calcule a área da superfície total e o volume de um cone circular reto de
12 cm de altura e 15 cm de geratriz.
9) Um depósito de combustível tem a forma de um tronco de cone
de altura 20 m e diâmetros de 20 e 15 m. Determine a capacidade
volumétrica do tanque.
10) Determine o volume de uma esfera cuja superfície tem área de 2916π
cm2.
11) Em um cilindro equilátero de 36 π cm2 de superfície lateral foi inscrita
uma esfera. Calcule o volume da esfera.
12) Calcule o volume de uma esfera cuja superfície tem uma área de 144π
cm2.
13) Duas esferas de chumbo, uma de 3 cm e outra de 6 cm de raio,
fundem-se e formam outra esfera. Calcule o raio dessa nova esfera.
230
Book 1.indb 230
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Geometria II
Saiba mais
Se você gostou de trabalhar com sólidos no espaço e busca mais
informações ou relações que envolvem estes sólidos, pesquise em
livros como:
CARVALHO, P. C. P. Introdução à geometria espacial. 4.ed.
Rio de Janeiro: SBM, 2002.
IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicações. 2.ed.
atual. São Paulo, 2004.
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática:
Ensino Médio. 3. ed. São Paulo: Saraiva, 2003.
Unidade 4
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Para concluir o estudo
Enfim, depois de muita dedicação e trabalho,
você concluiu o estudo desta fascinante disciplina.
Gostaríamos que a palavra “concluir” não significasse
para você o fim do contato com a geometria. Você
estudou a base para poder, sozinho, traçar outros
caminhos dentro da própria geometria. Ela é imensa
e temos certeza de que você encontrará muito mais
riquezas neste campo. Para isso, vá atrás, pesquise,
leia, seja aluno-pesquisador. A internet, as revistas
especializadas em geometria e educação trazem muitas
coisas que, infelizmente, não nos foi possível colocar num
único livro. Este foi apenas o ‘pontapé inicial’.
O momento é de refletir e pensar no quanto você evoluiu
desde que começou o curso e a disciplina Geometria.
Temos certeza de que o crescimento foi enorme. Neste
longo caminho que percorremos juntos, muitas ideias
de demonstrações que utilizamos, como a demonstração
por indução, por absurdo, entre outras, foram apenas o
começo. Elas se estenderão para muitas outras disciplinas
que virão no decorrer do curso.
Continue seus estudos com garra e dedicação.
Abraços dos autores:
Kelen e Christian.
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Book 1.indb 234
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Referências
BOYER, Caul B. História da Matemática. São Paulo: Edgard
Blucher, 1996.
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de
Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares
nacionais (ensino médio): ciências da natureza, matemática e
suas tecnologias. Brasília, DF: MEC/SEF, 2000.
BURATTO, Sérgio Enio. Escadas 2. 2006. Disponível em: <http://
buratto.org/otica/Escada02.html> . Acesso em: 19 maio 2011. il.
CARVALHO, P. C. P. Introdução à geometria espacial. 4 ed. Rio
de Janeiro: SBM, 2002.
DOLCE, O; POMPEO, J. N. Fundamentos da Matemática
Elementar, 10: Geometria espacial. 7. ed. São Paulo: Atual, 1994.
IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicações. 2.ed. atual.
São Paulo, 2004.
IMENES, L. M.P. Geometria. 16. ed. São Paulo: Atual, 2004.
IMENES, L.M.P. Poliedros, abelhas, arquitetura e ... futebol.
Revista do professor de matemática, 3, 2o. semestre de 1983,
p. 5-11. São Paulo: RPM, 1983.
LIMA, E.L; CARVALHO, P.C.P; WAGNER,E; MORGADO, A.C. A
matemática do ensino médio. Volume 2. Rio de Janeiro:
Sociedade Brasileira de Matemática, 1998.
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática: Ensino
Médio. 3. ed. São Paulo: Saraiva, 2003.
VANDERLINDE, M.J. Material concreto relacionando volumes de
prisma e pirâmide. Revista do professor de matemática, 13, 2o.
semestre de 1988, p. 55-56. São Paulo: RPM, 1988.
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Sobre os professores conteudistas
Christian Wagner é Bacharel em Matemática e
Computação Científica pela Universidade Federal
de Santa Catarina (UFSC, 1998). Mestre em FísicaMatemática pela Universidade Federal de Santa
Catarina (UFSC, 2001), professor substituto na
Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC, de
2001 a 2003), professor horista na Universidade do Sul
de Santa Catarina (UNISUL, a partir de 2001). Teve
participações no VII e VIII seminários de iniciação
científica, realizados na Universidade Federal de
Santa Catarina, na área de equações diferenciais, com
apresentação e publicação em anais. É coautor do livro
Geometria e Tópicos Especiais de Matemática, ambos
utilizados pela UNISUL no curso de Especialização
em Educação Matemática. Coautor dos livros de
Matemática Básica, Matemática Elementar, Álgebra
Linear, Cálculo I e Cálculo II, todos utilizados em
disciplinas a distância na Unisul. Leciona no curso de
pós-graduação em Educação Matemática na UNISUL.
Também atua no Núcleo de Estudos em Educação
Matemática (NEEM), especificamente nas atividades
de ensino e extensão voltadas para as dificuldades de
aprendizagem da matemática.
Kelen Regina Salles Silva é Graduada em Licenciatura
em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá
(UEM, 1986). Mestre em Engenharia de Produção,
na área de Pesquisa Operacional, pela Universidade
Federal de Santa Catarina (UFSC, 1994). Professora
na Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL,
desde 2004), ministrando disciplinas para os cursos de
Matemática e Engenharias. Ainda, como professora,
trabalhou na Universidade Estadual de Maringá
(UEM, de 1988 a 1990 e de 1993 a 1995); na Fundação
Universidade Federal de Rio Grande (FURG, 1992 e
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11/07/15 17:38
Universidade do Sul de Santa Catarina
1993); e na Universidade do Vale do Itajaí (UNIVALI, de 1998
a 2005). Também atua no Núcleo de Estudos em Educação
Matemática (NEEM), em atividades de ensino e extensão
voltadas às dificuldades de aprendizagem da matemática,
bem como em atividades da UnisulVirtual, como professora
conteudista e tutora.
Mario Selhorst é Licenciado em Matemática pela Universidade
do Sul de Santa Catarina (UNISUL - 1997). Especialista em
Matemática Superior pela Fundação Educacional Severino
Sombra (FUSVE - 1998). Mestre em Engenharia de Produção
pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC - 2001).
Professor da Rede Estadual de Ensino de Santa Catarina desde
1983. Professor da UNISUL desde 1988, atuando em cursos de
Graduação e Especialização presencial e a distância. Exerceu o
cargo de Secretário Municipal de Educação do Município de São
Martinho – SC, no período de 1997 a 2007. É coautor do livro
de Geometria Analítica da UnisulVirtual.
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Respostas e comentários das
atividades de autoavaliação
Unidade 1
1) Seja α um plano dado, pelo axioma da incidência existem
pontos A e B distintos que pertencem a α. Pelo axioma da
determinação, por esses pontos passa uma única reta r. Essa
reta pertence a α, pelo axioma da inclusão. Agora, considere
em α e fora da reta r um ponto C. Os pontos A e C determinam
uma reta s, que está em α pelo axioma da inclusão. Os pontos
B e C também determinam uma reta t que está contida em α.
Continuando esse processo, podemos construir tantas retas
quanto queiramos, ou seja, infinitas retas.
2)
„„
Se os 4 pontos forem colineares, determinam uma reta e
por ela passam infinitos planos, portanto não determinam
nenhum plano.
„„
Se os 4 pontos forem coplanares e não colineares,
determinam um único plano ou 4 planos coincidentes se
tomados os pontos 3 a 3.
„„
Se os pontos não forem coplanares, não determinam
nenhum plano (determinado pelos quatro pontos).
„„
Se os quatro pontos não forem colineares e não forem
coplanares, tomados 3 a 3 determinam 4 planos distintos.
3) Sejam A, B, C e D os pontos dados. Temos então 6 retas, são
    

elas: AB , AC , AD , BC , BD , e CD .
4)
(a) Falso, determinam um único plano ou nenhum plano se
forem reversas.
(b) Falso, pois estes pontos podem ser colineares.
(c) Falso, podem determinar três planos.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
(d) Falso, passa um único plano.
(e) Falso, se as três retas não forem coplanares, teremos três planos
distintos; se as três retas, duas a duas paralelas forem coplanares
determinariam um único plano ou três planos coincidentes.
(f) Falso, pois o ponto pode pertencer à reta e, então, teríamos infinitos
planos.
(g) Verdadeiro.
(h) Verdadeiro.
5) Resposta pessoal do aluno.
6)
(a) É o conjunto de todos os pontos.
(b) Infinitas, já que temos infinitos pontos e por estes, dois a dois,
determinamos retas.
(c) Infinita. Veja resolução do exercício 1.
(d) Quando não forem colineares.
7)
(a) Como os três pontos não são colineares, podemos, assim,
determinar um plano.
(b) Pelo segmento BC passam infinitos planos, como o ponto B
pertence ao segmento BC , segue que por eles passam infinitos
planos.
(c) Estes diâmetros são duas retas concorrentes que se interceptam no
centro, e por duas retas concorrentes passa um plano.
8) O correto é a alternativa que diz que III e IV são afirmações verdadeiras.
9)
(a) Falsa, podem ser concorrentes ou paralelas.
(b) Falsa, pois elas podem ser reversas.
(c) Verdadeira.
240
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Geometria II
(d) Verdadeira.
(e) Verdadeira.
(f) Falsa, pois elas podem ser reversas.
(g) Falsa, pois podem ser concorrentes.
(h) Verdadeira.
(i) Falsa, pois podem ser concorrentes.
(j) Falsa, pois podem ser reversas.
10) Seja O o ponto de intersecção entre as retas r e s. O ponto O pertence
aos planos β e π, já que ambos contêm as retas r e s. Como o ponto P
também
pertence β e π, segue que a intersecção destes planos é a reta

.
OP
11)
(a) Verdadeiro.
(b) Verdadeiro.
(c) Verdadeiro.
(d) Falso. Semiespaço é o conjunto de todos os pontos que estão de
um mesmo lado de um plano dado.
12) Seja r a reta dada e P um ponto não pertencente à reta r. Por este
ponto, traçamos uma reta s paralela a r. Por s, passamos um plano, que
não intercepta r. Logo, temos infinitas soluções.
13) Seja t a reta intersecção dos planos α e β. Por P traçamos uma reta r
paralela a t e, portanto,
, mas como t pertence a α e β, segue
que
e
, ou seja, r é paralela a α e β.
14)
(a) Falsa, existem infinitas retas.
(b) Verdadeira.
(c) Falsa, pois se são paralelos, não têm pontos em comum.
(d) Falsa, eles podem ser secantes.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
(e) Falsa, existem infinitos planos.
(f) Verdadeira.
(g) Falsa, ela é paralela a uma determinada reta do plano e a todas as
suas paralelas.
(h) Falsa, pois esta reta pode estar contida em um dos planos.
(i) Verdadeira.
(j) Falsa. Cada reta de um plano é paralela a uma determinada reta do
outro plano e todas as suas paralelas contidas naquele plano.
15) Sejam α e β, planos paralelos, isto é, α ∩ β = . Seja a reta r uma reta
qualquer pertencente a α. Então, r ∩ β = , logo, r é paralela a β. Como
a reta r é arbitrária, conclui-se que qualquer reta do plano α é paralela
ao plano β.
16) Considere dois planos paralelos α e β e uma reta r. Mostre que se r for
paralela a um deles, ou é paralela ao outro, ou está contida no outro.
Suponha r paralela a β, mas β é paralelo a α, então, segue que r é
paralelo a α, ou está contida em α, pelo exercício anterior.
17)
(a) Falsa.
(b) Falsa, ela pode ser paralela aos planos.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa, eles podem ser paralelos.
(e) Falsa, essa reta pode estar contida no plano.
(f) Verdadeira.
(g) Verdadeira.
(i) Verdadeiro.
(j) Falsa, pode ser paralelo.
(k) Verdadeira.
18) O ângulo entre eles é zero.
242
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Geometria II
19) O ângulo entre eles é zero.
20)
(a) Falsa, pois essa reta pode ser perpendicular ao plano.
(b) Falsa. É a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano
que passa pela outra e é paralelo à primeira.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa. Tem tamanho menor.
(e ) Verdadeira.
Unidade 2
1)
(a) Falsa, determinam 4 diedros retos.
(b) Verdadeira, “pode ser”, quando o diedro for reto.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa, somente se a seção for normal.
(e) Verdadeira, já que as faces do diedro são paralelas à aresta.
2)Se o ponto A está no plano bissetor do diedro de 60º, ele pertence a
uma reta que forma 30º com as faces do diedro, assim, a distância de A
a essas faces é o comprimento de um segmento de reta perpendicular
às faces, formando um triângulo retângulo conforme a figura abaixo,
aplicando relação métrica no triângulo retângulo:
3)
(a) Não, pois | 3º - 2º | = 1º = 1º.
(b) Sim, pois | 45° - 55° | < 90° < 45º + 55º, | 90° - 55° | < 45° < 90º + 55º
e | 45° - 90° | < 55° < 45º + 90º.
243
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Universidade do Sul de Santa Catarina
4)
A = 15, F = 10 então, V = A – F + 2 = 15 – 10 + 2 = 7 vértices.
5)
6 faces triangulares são 6 x 3 = 18 arestas,
2 faces hexagonais são 2 x 6 = 12 arestas, então, como cada aresta é
comum a duas faces, as arestas foram contadas duas vezes, assim:
2 A = 30
A = 15 e F = 8
Assim, V = A – F + 2 = 15 – 8 + 2 = 9 vértices.
6)
F = 8, V = 12 então, A = V + F – 2 = 12 + 8 – 2 = 18 arestas.
7) 630 cm.
8) 02 + 04 + 08 + 16 + 32 = 62.
9) F = 30, 2A = 30 x 5 = 150 ⇒ A = 75 ⇒ V = 47.
10) F = 3 + 1 + 1 + 2 = 7 e 2A = (3 x 3 ) + ( 1 x 4) + ( 1 x 5 ) + ( 2 x 6 ) = 30 ⇒
A = 15
Assim, V = 10.
11) Dodecaedro.
12) F (triangulares) = 8, F (quadrangulares) = 4.
13)
a) S = (V – 2) 4r = (8 – 2) x 4 x 90º = 2160º.
b) S = (12 – 2) x 4 x 90º = 3600º.
244
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Geometria II
14)
(a) Falsa.
(b) Verdadeira.
(c) Falsa, existem apenas 5 classes de poliedros de Platão.
(d) Falsa.
(e) Falsa.
15)
F = 10, A = 15, então V = 2 – F + A = 2 – 10 + 15 = 7, assim,
S = (V – 2) 4 r = ( 7 – 2 ) x 4 x 90º = 1800º.
16) F = 7, A = 15, V = 10, S = ( 10 -2 ) x 4 x 90º = 2880º.
17)
S = (V – 2) x 4 x 90º = 1440º ⇒ V – 2 = 1440/ 360 = 4 ⇒ V = 6
A = 2F ⇒ V = A – F + 2 ⇒ 6 = 2F – F + 2 ⇒ F = 4 ⇒ A = 8.
18) A – V = 4 como F = A – V + 2 ⇒ F = 4 + 2 = 6.
19) Observe que, se um poliedro convexo tem um número par de faces,
tendo cada uma um número par de lados, podemos dizer que, F =
2n e A = 2m, onde n e m são números que representam a metade do
número de faces e arestas, respectivamente.
Na relação de Euler: V – A + F = 2, então, V – 2m + 2n = 2, logo V = 2 (m
– n + 1).
Isto é, o número de vértices é sempre par.
20)
A = 25, S = (V – 2) 360º = 3600º ⇒ V – 2 = 10 ⇒ V = 12.
Como V = A – F + 2, temos que 12 = 25 – F + 2 e F = 15.
Chamando as faces triangulares de T e as quadrangulares de Q,
podemos escrever:
T + Q = 15 ou Q = 15 – T
245
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Considerando o número de arestas:
(3T + 4Q)/2 = 25, ou seja, 3T + 4Q = 50
Substituindo, temos:
3T + 4(15 – T) = 50
3T + 60 – 4T = 50
–T = –10
T = 10
Calculando Q:
Q = 15 – T
Q = 15 – 10
Q=5
R: Temos 5 faces quadrangulares e 10 faces triangulares
Unidade 3
1)
(a) Como o triângulo é retângulo, os catetos são a altura e a base do
triângulo. Logo:
cm
2
(b) A área lateral é formada por 3 retângulos, todos com altura de
6 cm. Mas cada um tem uma base diferente dada pelos lados do
triângulo. Necessitamos calcular o terceiro lado do triângulo, usando
o teorema de Pitágoras.
cm
2
cm .
Logo, a área lateral é dada por:
2
cm .
(c)
(d)
3
cm .
2) Temos que os triângulos são equiláteros de aresta a. Temos que a = h .
A área lateral é dada por Al = 3 AT , em que AT é a área do triângulo
246
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Geometria II
equilátero, que é dada por AT =
2
3 2
a , então,
4
.
Mas a área lateral mede 12 cm . Assim,
12 =
3 3 2
a
4
a = 3, 03 cm
Como a pirâmide é triangular e regular, note que a base é igual às
faces, logo:
2
cm .
3) Temos que hp = ab . Como a base é um hexágono regular, o prisma é
formado por 6 triângulos equiláteros e, portanto,
Ab = 6 AT = 6
então:
3 2 3 3 2
l =
l . Mas a área da base mede 24 3 cm2,
4
2
3 3 2
l = 24 3
2
cm.
O apótema da base é a própria altura do triangulo, então,
cm.
Assim, o volume do prisma é dado por:
3
4) A área do losango é dada por
cm .
2
m .
247
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11/07/15 17:38
Universidade do Sul de Santa Catarina
3
m .
O volume da caixa d´água é dada por
3
3
Mas, 1000 litros é igual 1 m , logo, 210 m é igual 210.000 litros.
3
m = 225.000 l.
5) O volume da piscina é de
Agora o número de pacotes necessários é
225.000
= 50 .
4500
2
6) A área total de um cubo de aresta a é At = 6a . Como At = 150 , temos:
2
150 = 6a
m.
7)
a) Uma pirâmide de 6 faces é constituída de 5 faces laterais e uma base,
o número de faces laterais indica o número de lados da base que,
neste caso, será um pentágono. Logo, a natureza desta pirâmide é
pentagonal.
b) De maneira análoga, temos 10 faces laterais, o que indica que a base
é um polígono de 10 lados. Portanto, a natureza dessa pirâmide é
decagonal.
8) Como a aresta da base (a) mede 6 cm, segue que o apótema da base
(m), que é um quadrado, mede 3 cm. A aresta lateral l mede 34 cm e,
portanto, podemos calcular o apótema da pirâmide usando a relação:
, então:
2
( 34(
6
= g2 +
2
2
((
cm.
A altura da pirâmide pode ser calculada usando a relação g 2 = h 2 + m 2 ,
portanto:
2
2
2
5 = h +3
cm.
248
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Geometria II
A área total da superfície da pirâmide de base quadrada é At = Ab + Al ,
sendo a área lateral quatro vezes a área do triângulo, cuja base mede 6 cm
e altura 5 cm, assim,
2
cm .
3
cm .
O volume da pirâmide é
9)
2
a) A base é um quadrado, portanto,
cm .
b) Cada face lateral é um triângulo que tem base 4 cm e altura igual a 9
cm (apótema da pirâmide), logo, 2
cm .
c) A altura da pirâmide pode ser calculada usando a relação
g 2 = h 2 + m 2, onde m = 2 cm. Portanto,
92 = h 2 + 22
cm.
d) A área lateral é dada por Al = 4 ×Af , então,
2
cm .
e) O volume é dado por
3
cm .
10) Como a base é um quadrado e está inscrito numa circunferência
de raio 6 2 , segue que o diâmetro da circunferência é a diagonal
do quadrado e mede 12 2 . Assim, usando o Teorema de Pitágoras,
podemos encontrar o lado do quadrado da base igual a 12.
A área da base é dada por Ab = 12 . 12 = 144 cm2.
249
Book 1.indb 249
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para calcular a área de cada face, vamos encontrar o apótema da face:
g 2 = h 2 + m2
g2 = 82 + 62
g = 10 cm
Dessa forma, a área de cada face triangular é dada por:
Assim, a área total é dada por:
Atotal = 4Aface + Abase = 4 . 60 + 144 = 240 + 144 = 384 cm2.
11) Primeiramente, calculamos a altura através da relação g 2 = h 2 + m 2 ,
ou seja,
102 = h 2 + 62
h2 = 64
h = 8 cm
A área da base é a área de um hexágono regular que é formado
por 6 triângulos equiláteros. A altura de cada um destes triângulos
é o apótema da base, neste caso, 6 cm. Para calcular a área desses
triângulos, necessitamos da aresta da base (l), que pode ser calculada
pela equação h = l 3 , então:
t
2
l = 4 3 cm.
E a área de um hexágono regular é dada por:
2
AH = 72 3 cm .
Portanto, o volume da pirâmide é dado por:
250
Book 1.indb 250
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Geometria II
3
V = 192 3 cm .
Unidade 4
1) Temos que h = 10 cm, se a área da base é 16 π cm2, temos:
AB = π r2 = 16 π ⇒ r2 =
⇒ r2 = 16 ⇒ r = 4
Assim, AL = 2 π r h = 2 .π 4. 10 = 80 π cm2 .
2)AL = AB ⇒ 2 π r h = π r2, como h = 20 cm
2 π r h = π r2 ⇒ 2 π r 20 = π r2 ⇒ 40 = r
Assim, AL = 2 π 40. 20 = 1600 π cm2 .
3)Do cilindro: h = 12 cm, r = 2 cm, do paralelepípedo: l = 4 cm.
Como a base do paralelepípedo é quadrada: VP = l.2 h = 16. 12 = 192 cm3
VC = π r2 h = π . 22 . 12 = 48 π cm3
O volume entre os dois é dado por:
V = VP – VC = 192 – 48 π ≅ 41,2032 cm3
4)Num cilindro equilátero r = h/2, ou h = 2r
AL = 2 π r h = 2.π r. (2r) = 4 π r 2 e AB = π r2
Logo, AT = 2π r2 + 4 π r2 = 6 π r2
Razão =
.
5) Seja a a aresta da base, como o prisma é triangular regular, sua base é
um triângulo equilátero de lado a. Assim, chamando a altura do cilindro
de hC, e a altura do prisma de hP, temos:
A SuperfícieLateralCilindro = A LateralPrisma ⇒ 2 π r hC = 3 a hP
251
Book 1.indb 251
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Como o raio do cilindro é o dobro da aresta da base do prisma: r = 2a
2 π (2 a ) hC = 3 a hP ⇒ 4 π a hC = 3 a hP ⇒
Volume do cilindro: VC = π r2 hC = π 4a2 hC
a hT
hP , em que hT é a altura do triângulo da
2
3a
base, e como esse triângulo é equilátero, hT =
, logo,
2
Volume do prisma: VP =
a hT
VP =
2
3 a 2 hP
3a
=
2
4
Portanto, a razão entre esses0 volumes é:
6)r = 5 cm
ASuperficieTotalCone= π r ( g + r ) = π 5 ( g + 5 ) =100 π ⇒ g = 15 cm
Logo: g2 = h2 + r2 ⇒ 152 = h2 + 52 ⇒ h = 200 = 10 2 cm .
7)Sejam: hCI: altura do cilindro, hCO: altura do cone, VCO : volume do cone,
VCI : volume do cilindro e r: raio, então:
hCI = 8 cm , hCO =4 cm e r = 3 cm
Assim, VCI = π r2 h = π 32 8 =72 π cm3 e VCO =
Logo, V Total = 72 π + 12 π = 84 π cm3
1
1
π r2 hCO = π 32 4 =12 π cm3
3
3
8)Se h = 12 cm e g = 15 cm, então, como
g2 = h2 + r2 ⇒ 15 2 = 12 2 + r2 ⇒ r = 9 cm
Assim, a área da superfície total do cone é:
ASuperficieTotalCone = π r ( g + r ) = π 9 ( 15 + 9 )=216 π cm2
E o volume do cone é:
VCone =
1
1
π r2 h = π 9 2 12 = 324 π cm2
3
3
252
Book 1.indb 252
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Geometria II
9) h = 20 m, r = 7,5 m e R = 10 m
Assim, o volume do tronco do cone é:
V TC =
10)
π m3
ASuperfícieEsfera = 4 π r2 = 2916 π ⇒ r = 27 cm
VEsfera = 26244 π cm3
11)
ASuperfícieLateralCilindro= 2 π r h
mas h = 2r
ASuperfícieLateralCilindro= 2 π r.2r = 4 π r2 = 36 π ⇒ r = 3 cm
VEsfera =
VEsfera = 36 cm3
12)
ASuperfícieEsfera = 4 π r2 = 144 π ⇒ r = 6 cm
VEsfera =
13)
288 π cm3
r = 3 3 9 cm
Respostas dos desafios
Unidade 1
„„
Quantos triângulos equiláteros temos na figura a seguir?
Resposta: 13 triângulos
253
Book 1.indb 253
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Unidade 2
1)
a) Quando situado num plano paralelo à projeção ortogonal é um
triângulo congruente ao triângulo dado, diz-se que em verdadeira
grandeza.
b) Quando situado num plano oblíquo à projeção ortogonal é um
triângulo com medidas menores que o triângulo dado.
254
Book 1.indb 254
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Geometria II
c) Quando situado num plano perpendicular, a projeção ortogonal é
unicamente um segmento de reta.
2)
Unidade 3
Como os poliedros estão planificados, e sabendo que cada aresta une duas
faces, temos arestas internas, que estão entre duas faces e arestas externas,
duplicadas na planificação. Assim, a contagem das externas é dividida por
2 e para as internas a contagem é simples.
Assim, nas figuras propostas, que representam prismas planificados, temos:
„„
Prisma reto triangular: (10/2)+4 = 9 arestas
„„
Prisma reto pentagonal: (18/2)+6 = 15 arestas
255
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1
12/01/20
15:28
C
M
Y
CM
MY
CY
CMY
K
ISBN 978-85-7817-254-1
9 788578 172541