ISBN 978-85-8015-053-7
Cadernos PDE
VOLUME I I
Versão Online
2009
O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOS
DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
Produção Didático-Pedagógica
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA
ROSA ÂNGELA MARIA NIERO FLORES
ENSINO DE GEOMETRIA ESPACIAL UTILIZANDO MATERIAIS
MANIPULÁVEIS
MARINGÁ – PR.
2010
ROSA ÂNGELA MARIA NIERO FLORES
UNIDADE DIDÁTICA
Desenvolvido por meio do Programa de
Desenvolvimento Educacional – PDE, na área
de Matemática, com o tema de intervenção –
Ensino de Geometria Espacial utilizando
Materiais Manipuláveis.
Orientador: Prof. Dr. Ednei Aparecido Santulo
Junior.
MARINGÁ– PR.
2010
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS .............................................................................................. 4
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 6
2 CONTEÚDO ........................................................................................................ 6
3 AVALIAÇÃO OU ACOMPANHAMENTO ........................................................... 7
4 RESULTADOS ESPERADOS ............................................................................ 7
5 RECURSOS UTILIZADOS .................................................................................. 8
6 CRONOGRAMA ................................................................................................. 8
7 ATIVIDADES ....................................................................................................... 8
7.1 ATIVIDADE 1 ................................................................................................ 8
7.2 ATIVIDADE 2 ...............................................................................................10
7.3 ATIVIDADE 3 ...............................................................................................13
7.4 ATIVIDADE 4 ...............................................................................................14
7.5 ATIVIDADE 5 ...............................................................................................15
7.6 ATIVIDADE 6 ...............................................................................................18
7.7 ATIVIDADE 7 ...............................................................................................21
7.8 ATIVIDADE 8 ...............................................................................................23
7.9 ATIVIDADE 9 ...............................................................................................25
7.10 ATIVIDADE 10 ...........................................................................................28
7.11 ATIVIDADE 11 ...........................................................................................29
7.12 ATIVIDADE 12 ...........................................................................................31
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................36
REFERÊNCIAS ON LINE .....................................................................................36
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Atividade exploratória (1)......................................................................... 9
Figura 2: Atividade exploratória (2). ........................................ ..............................10
Figura 3: Princípio de Arquimedes (1) ...................................................................11
Figura 4: Princípio de Arquimedes (2) ...................................................................11
Figura 5: Balança de dois pratos (1). ....................................................................12
Figura 6: Realizando comparações (1). ................................................................12
Figura 7: Balança de dois pratos (2)............................. .........................................12
Figura 8: Realizando comparações (2).. ...............................................................13
Figura 9: Cubo com 1 cm de aresta e volume de 1 cm3 .............................. .........15
Figura 10: Paralelepípedo .....................................................................................15
Figura 11: Cilindros.................... ...........................................................................17
Figura 12:Jarra graduada e cubo de vidro. ...........................................................17
Figura 13: Realizando a experiência .....................................................................17
Figura 14: Baralho (paralelepípedo retângulo). .....................................................19
Figura 15: Baralho (paralelepípedo oblíquo). ........................................................19
Figura 16: Baralho (sólido diferente).................... .................................................19
Figura 17: Resma de papel.. .................................................................................20
Figura 18: Princípio de Cavalieri ...........................................................................21
Figura 19: Triângulo e retângulo........ ...................................................................22
Figura 20: Prisma triangular e paralelepípedo.......................................................22
Figura 21: Cilindro e prisma....... ...........................................................................24
Figura 22: Prisma e pirâmide (1). ..........................................................................26
Figura 23: Prisma e pirâmide (2). ..........................................................................26
Figura 24: Três pirâmides equivalentes ................................................................27
Figura 25: Cubo formado por três pirâmides. ... ....................................................27
Figura 26: Cilindro e cone. ....................................................................................28
Figura 27: Semiesfera e cone ...............................................................................30
Figura 28: Realizando a experiência. ....................................................................30
Figura 29: Esfera e cone. ......................................................................................30
Figura 30: Cilindro equilátero e a clepsidra.. .........................................................32
Figura 31: Cilindro equilátero e a esfera. ..............................................................33
Figura 32: Secções da anticlepsidra e da esfera...................................................33
Figura 33: Coroa e círculo. ....................................................................................34
Figura 34: Cilindro equilátero, clepsidra e esfera. .................................................34
Figura 35: Cilindro equilátero.. ..............................................................................34
Figura 36: Cilindro equillátero e os dois cones (clepsidra). ...................................34
Figura 37: Cilindro equilátero, dois cones (clepsidra) e a esfera. .........................35
6
1 INTRODUÇÃO
Com o propósito de enfocar a Matemática dos livros didáticos com um
olhar diferenciado de modo que os educandos possam compreendê-la,
apropriando-se de seu significado, é que os materiais manipuláveis são utilizados
enquanto mediadores do processo de ensino e de aprendizagem. Lorenzato
(2009, p.22) acredita que “para se chegar ao abstrato, é preciso partir do
concreto”.
Logo, há necessidade de se trabalhar com a geometria espacial, por meio
de atividades exploratórias e com utilização de materiais manipuláveis, com o
intuito de facilitar o processo ensino- aprendizagem.
E neste sentido é de fundamental importância fazer o uso de materiais
manipuláveis no ensino de geometria espacial, mais especificamente ao cálculo
do volume de sólidos geométricos, utilizando o Laboratório de Ensino de
Matemática da escola, e, na falta deste, desenvolver o trabalho na sala de aula,
desenvolvendo atividades que promovam a construção do conceito de volume, a
partir de algumas experiências, oportunizando, assim, a abstração necessária à
formalização deste conceito por meio da manipulação de materiais.
Tem-se como principal objetivo fazer com que o aluno da Educação
Básica, a partir de atividades práticas e de sua própria experiência, seja capaz de
compreender o conteúdo (volume de sólidos geométricos), atribuindo real
significado aos conceitos vistos.
2 CONTEÚDO
As etapas a serem desenvolvidas durante a intervenção pedagógica
compreendem os seguintes conteúdos:
 Atividade exploratória qualitativa de volumes em recipientes de diversos
formatos.
 Comparação qualitativa de volumes de sólidos de diferentes formatos por
imersão em água.
7
 O Princípio de Arquimedes.
 Comparação entre volumes - necessidade de padronizar as unidades de
medida.
 Comparação entre volumes – análise quantitativa.
 O Princípio de Cavalieri com uso de materiais manipuláveis.
 O Princípio de Cavalieri aplicado no conceito do volume de prismas.
 O Princípio de Cavalieri aplicado no conceito do volume de cilindros.
 Comparação entre volumes de prismas e pirâmides de mesma base e
mesma altura.
 Comparação entre volumes de cilindros e cones de mesma base e mesma
altura.
 Uso de materiais manipuláveis para a estimativa do volume de uma
esfera de raio conhecido pelo Raciocínio de Arquimedes.
 Princípio de Cavalieri aplicado a uma clepsidra.
3 AVALIAÇÃO OU ACOMPANHAMENTO
A avaliação dar-se-á no decorrer de todo o processo. Será contínua,
diagnóstica, formativa e efetivada em todas as atividades desenvolvidas.
Os alunos serão avaliados com base na participação das atividades
desenvolvidas, na apresentação dos resultados, na confecção e manuseio com
materiais manipuláveis e na contribuição dada aos colegas, durante discussões
promovidas em sala.
4 RESULTADOS ESPERADOS
Espera-se com este trabalho que o aluno, pela construção e manipulação
de materiais concretos, seja capaz de compreender o conteúdo de volume de
sólidos geométricos, atribuindo real significado a conceitos já vistos, por meio de
atividades práticas que enfatize sua própria experiência, desenvolva o raciocínio
lógico-matemático e tenha capacidade de elaborar conceitos sistematizados.
8
Espera-se, também, que ele se sinta estimulado a fazer uso de materiais
manipuláveis, para facilitar a aprendizagem e desenvolver atitudes mais positivas
em relação ao cálculo de volumes de sólidos geométricos.
5 RECURSOS UTILIZADOS
Para o desenvolvimento das atividades elaboradas abaixo, será
necessário o uso de materiais manipuláveis, tanto os construídos pelos alunos,
pela autora como também os disponíveis no Laboratório de Ensino de Matemática
da escola, ainda serão usados: TV multimídia, vídeos, Laboratório de Informática,
internet, texto digitado ou fotocopiado, Power point entre outros.
6 CRONOGRAMA
Esta unidade didática será desenvolvida no segundo semestre letivo de
2010, no Colégio Estadual de Iporã E.F.M.P., com alunos da 3ª série do Ensino
Médio.
7 ATIVIDADES
7.1 ATIVIDADE 1
ATIVIDADE EXPLORATÓRIA QUALITATIVA DE VOLUMES EM RECIPIENTES
DE DIVERSOS FORMATOS.
Objetivo:
Compreender a relação entre altura e a área da seção transversal.
Carga horária: 02 horas aulas.
9
Para esta atividade pedir aos alunos que tragam recipientes de diversos
formatos, sem graduação de volume, régua e pincel atômico, será necessário um
recipiente com graduação. Esta experiência poderá ser realizada no Laboratório,
com os alunos em grupos.
a) Utilizando os recipientes, despejar um mesmo volume de água (100 ml por ex.)
e pedir aos alunos que meçam a altura da água em cada um desses recipientes
(figura 1) e assinalem com o pincel. Levantar questões com a turma:
b) Que relação pode ser percebida entre a altura da água e as áreas das seções
transversais dos recipientes utilizados?
Figura 1: Atividade exploratória (1).
Imagens da autora.
c) Pedir para que os alunos debatam acerca da altura que eles esperam que o
líquido atinja ao se despejar em cada recipiente novamente o mesmo volume de
água já despejado e que façam uma marca no recipiente com o pincel.
d) Efetuar a operação sugerida em (c), anotar com o pincel a altura atingida e
verificar a diferença entre a altura prevista e a altura real do líquido em cada
recipiente (figura 2).
10
Figura 2: Atividade exploratória (2).
Imagens da autora.
e) Baseado nos resultados obtidos efetuar discussão com a classe de como se
deveria graduar o volume em cada um dos recipientes (diferença de altura entre
os níveis marcados).
f) Ao final da atividade os alunos farão um relatório com os resultados das
observações e discussões que deverá ser entregue para o professor.
7.2 ATIVIDADE 2
COMPARAÇÃO QUALITATIVA DE VOLUMES DE SÓLIDOS DE DIFERENTES
FORMATOS POR IMERSÃO EM ÁGUA.
Objetivo:
Propiciar o entendimento do real volume de sólidos de formatos diferentes.
Carga horária: 03 horas aulas.
Para esta atividade pedir aos alunos que tragam pedras (pequenas) de diversos
formatos, esferas de aço, bolas de gude, frutas (laranja e limão), barbante,
tesoura, calculadora, régua, providenciar uma balança de dois pratos.
Esta experiência poderá ser realizada no Laboratório utilizando copos de Becker,
com os alunos em grupos.
11
a) De posse de diversos sólidos (pedra, fruta, bola de gude etc.) de modo que,
dentre alguns deles não seja visível qual o de maior e o de menor volume e
recipientes com água (figura 3), pedir a cada grupo de alunos que listem os
sólidos em ordem crescente de volume, segundo sua intuição.
b) Imergir cada um dos sólidos um de cada vez no recipiente com volume de água
suficiente para cobrir completamente os sólidos a serem analisados.
Figura 3: Princípio de Arquimedes (1).
Imagem da autora
Figura 4: Princípio de Arquimedes (2).
Imagem da autora
c) Medir a variação de altura que a imersão de cada um causa no nível de água
(figura 4) e descobrir a ordem crescente de volume desses sólidos.
d) Solicitar aos alunos que verifiquem se a ordem crescente dos volumes dos
sólidos encontrada após a imersão na água confere com a ordem crescente feita
por intuição.
e) Aproveitar o resultado da atividade anterior e utilizando a balança de dois
pratos (figura 5 ou 7) propor que façam comparações entre o volume e a massa
12
dos sólidos (figura 6 ou 8). Os alunos farão um relatório com os resultados das
observações e discussões que deverá ser entregue para o professor.
Figura 5: Balança de dois pratos (1).
Imagem da autora.
Figura 6: Realizando comparações (1).
Imagem da autora.
Figura 7: Balança de dois pratos (2).
Imagem da autora.
13
Figura 8: Realizando comparações (2).
Imagem da autora.
A balança utilizada na figura 5 e 6 é do Laboratório de Ciências do Colégio
Estadual de Iporã, município de Iporã e a da figura 7 e 8 foi adquirida e
restaurada por esta autora. Na experiência foi utilizada uma esfera de aço (prato
da esquerda) e uma bolinha de gude.
7.3 ATIVIDADE 3
O PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES.
Objetivo:
Compreender o princípio de Arquimedes.
Carga horária: 02 horas aulas.
Para esta atividade gravar um vídeo do youtube com duração de 6’47”
<<<<<<<História:
http://www.youtube.com/watch?v=X8c3AdgMi9w&NR=1>.
Acesso em 03 jul.
Arquimedes e a coroa do rei
2010
a) Assistir o vídeo com a História de Arquimedes e solicitar aos alunos que
anotem em seu material o que ficou conhecido como o Princípio de Arquimedes:
"Quando um corpo é mergulhado na água ele perde, em peso, uma
quantidade que corresponde ao peso do volume de água que foi deslocado
pela imersão do corpo". (matemático Arquimedes Séc. III a.C.)
b) Levantar a seguinte questão com a turma: Sabendo que o ouro é mais denso
que a prata e que Arquimedes descobriu que o volume da coroa era maior do que
realmente deveria ser. Isso pode ser justificado pela substituição parcial do ouro
fornecido, pela prata? (debater em grupos e entregar ao professor).
14
7.4 ATIVIDADE 4
COMPARAÇÃO ENTRE VOLUMES - NECESSIDADE DE PADRONIZAR AS
UNIDADES DE MEDIDA.
Objetivo:
Perceber a necessidade de se padronizar as unidades de medidas. Formalizar o
conceito de volume do paralelepípedo.
Carga Horária: 03 horas aulas.
Para esta atividade solicitar aos alunos que tragam caixinhas de papelão, por ex:
creme dental, sabonete, cremes, gelatina etc., lápis e régua.
Antes de iniciar esta atividade dividir a turma em grupos, deixar sobre uma mesa
vários sólidos geométricos de diversos formatos (prismas, caixas, cilindros,
pirâmides, cones, esferas), existentes na escola.
a) Pedir aos alunos que selecionem dentre os sólidos que estão sobre a mesa
quais eles consideram semelhantes ao que eles trouxeram de casa e separar dos
demais.
b) Questioná-los sobre como são conhecidas estas figuras por eles, que nomes
costumam usar para esses objetos. (Interferir caso seja necessário para se
chegar ao paralelepípedo retângulo ou ortoedro).
Lançar o seguinte questionamento:
c) Qual a necessidade que o ser humano sentiu para padronizar a unidade de
volume?
d) Relatar o resultado da discussão em grupo e no final da atividade entregar para
o professor.
e) Distribuir material dourado para as equipes a fim de que eles construam um
sólido semelhante às caixinhas que trouxeram.
f) Pedir que desenhem no caderno o que construíram e anotem quantos cubinhos
(figura 09) foram necessários para formar o sólido (figura 10).
15
3
Figura 9: Cubo com 1 cm de aresta e volume de 1 cm .
Imagem da autora.
Figura 10: Paralelepípedo.
Imagem da autora.
g) Solicitar aos alunos que expressem como chegaram ao resultado. Aproveitar
as respostas e concluir com eles que o volume de um paralelepípedo é o produto
de suas dimensões: comprimento x largura x altura.
Neste momento o professor trabalha no quadro a seguinte fórmula
Volume do paralelepípedo= (área da base) x (altura)
Vparalelepípedo = a . b. c
formalizando o conceito de volume do paralelepípedo e como sugestão assistir
ao vídeo do youtube com duração de 3’21”
<http://www.youtube.com/watch?v=oeHCucU_dXA&feature=related>. Acesso em
18 mai. 2010.
7.5 ATIVIDADE 5
COMPARAÇÃO ENTRE VOLUMES - ANÁLISE QUANTITATIVA.
Objetivo:
16
Quantificar o volume de um sólido qualquer com auxílio de água utilizando
materiais manipuláveis.
Carga Horária: 02 horas aulas.
Para esta atividade solicitar aos alunos que tragam embalagens redondas, por ex:
latas de batatas fritas, embalagens que envolvem perfumes, latas de
achocolatado em pó, latas ou vidros de conservas, copos etc.
Faremos uso de um cubo de vidro com dimensões internas de 10 cm, construído
numa vidraçaria e uma jarra graduada de 1 litro. Esta atividade poderá ser
realizada no Laboratório.
Antes de iniciar esta atividade dividir a turma em grupos, deixar sobre uma mesa
vários sólidos geométricos de diversos formatos (prismas, cilindros, pirâmides,
cones, esferas), existentes na escola.
a) Pedir aos alunos que selecionem dentre os sólidos que estão sobre a mesa
quais eles consideram semelhantes ao que eles trouxeram de casa e separar dos
demais.
b) Distribuir os cubinhos do material dourado para as equipes afim de que eles
preencham os espaços internos dos objetos trazidos por eles, sem deixar
espaços vazios.
c) Questioná-los se o método de decomposição em cubinhos unitários funciona
com estes objetos de corpos redondos.
d) Poderíamos despejar a água que comporta o cubo de 1 cm3 no seu interior?
e) Debater então com a turma como calcular a capacidade de um objeto de corpo
redondo como um cilindro (figura 11), sem deixar espaços vazios?
17
Figura 11: Cilindros.
Imagem da autora.
f) Diante das conclusões apresentadas pelos alunos, demonstrar que outra
unidade utilizada para medir volume é o litro. Um litro é o volume de um cubo de 1
dm3 , que será comprovada pela seguinte experiência.
g) De posse de um cubo de vidro com dimensões internas de 1 dm, e uma jarra
graduada de 1 litro com água (figura 12), solicitar um aluno para despejar todo o
conteúdo da jarra no cubo com 1 dm de aresta (figura 13).
h) Solicitar que relatem e registrem a conclusão e no final da atividade entreguem
ao professor.
Figura 12:Jarra graduada e cubo de vidro.
Imagem da autora.
Figura 13: Realizando a experiência.
Imagem da autora.
18
Como sugestão assistir ao vídeo do youtube com duração de 9’43”
<http://200.144.189.54/tudo/exibir.php?midia=vntc&cod=_unidadesdevolume>
Acesso em 19 mai. 2010.
7.6 ATIVIDADE 6
O PRINCÍPIO DE CAVALIERI COM USO DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS.
Objetivo:
Comprovar o Princípio de Cavalieri por meio de materiais manipuláveis.
Carga horária: 03 horas aulas.
Para esta atividade solicitar aos alunos que tragam vários jogos de baralho e
réguas.
Faremos uso de uma resma de papel para demonstrar o Princípio de Cavalieri.
Antes de iniciar esta atividade dividir a turma em grupos.
a) Pedir para que arrume sobre a carteira, uma pilha formada com as cartas dos
jogos de baralho trazida por eles, deixar a pilha reta. (figura 14).
b) Estando a pilha de baralho arrumada, questionar que figura eles reconhecem
neste sólido. Após eles concluírem pedir para que calcule o volume do
paralelepípedo montado com as cartas de baralho, utilizando a régua para tirar as
medidas, comparar o resultado entre os grupos.
c) Prosseguir a atividade encostando uma régua nas faces laterais (figuras 15),
transformando o paralelepípedo retângulo em outro paralelepípedo, agora
oblíquo, solicitar novamente que calculem o volume deste sólido, comparar com o
resultado do paralelepípedo reto.
d) Usando as mãos (figura 16), pedir para moldarem um sólido bem diferente,
novamente calcular o volume e comparar os três resultados encontrados.
e) Pedir aos alunos que expressem e registrem suas conclusões e no final da
atividade entreguem ao professor.
19
Figura 14: Baralho (paralelepípedo retângulo).
Imagem da autora.
Figura 15: Baralho (paralelepípedo oblíquo).
Imagem da autora.
Figura 16: Baralho (sólido diferente).
Imagem da autora.
f) Confirmar com os alunos que desta forma podemos calcular o volume de um
paralelepípedo oblíquo, que não pode ser decomposto em cubinhos unitários.
h) Informar aos alunos que o cálculo do volume desse sólido ilustra a ideia
central de Cavalieri. Essa ideia consiste em imaginar um sólido decomposto em
camadas muito finas, como as cartas de um baralho ou uma resma de papel
(figura 17).
20
Figura 17: Resma de papel.
Imagem da autora.
i) Seria interessante que o professor de posse da resma de papel, fizesse a
demonstração. Questionar: Se dois sólidos forem constituídos por camadas
iguais, de mesma área e de mesma altura, então seus volumes também serão
iguais?
Para isso sugere a leitura do texto O Princípio de Cavalieri que poderá ser
impresso e entregue aos alunos.
Texto: Se imaginarmos os dois sólidos fatiados no mesmo número de fatias muito
finas, todas com a mesma altura, duas fatias correspondentes com mesma área
terão, aproximadamente, mesmo volume. Tanto mais aproximadamente quanto
mais finas forem. Sendo o volume de cada sólido a soma dos volumes de suas
fatias, concluímos que os dois sólidos têm volumes iguais. Repare ainda que o
exemplo da resma de papel mostra um caso particular desse argumento, onde os
dois sólidos possuem, cada um, 500 fatias, todas iguais.
De uma forma mais geral, suponha que dois sólidos A e B estão apoiados em um
plano horizontal e que qualquer outro plano também horizontal corte ambos
segundo seções de mesma área (figura 18). O Princípio de Cavalieri afirma que o
volume de A é igual ao volume de B. Extraído de (LIMA, E.L.; CARVALHO,
P.C.P.; WAGNER, E.; MORGADO, A.C. A Matemática do Ensino Médio Vol. 2,
Coleção do Professor de Matemática, 5 ed. Rio de Janeiro. SBM, 2004,p.255 e
256)
21
Figura 18: Princípio de Cavalieri. Disponível em: www.dma.uem.br/jrgeronimo/geometria. Acesso em 27 jun.
de 2010.
Axioma (Princípio de Cavalieri)
“São dados dois sólidos e um plano. Se todo plano paralelo ao plano
dado secciona os dois sólidos segundo figuras de mesma área, então esses
sólidos têm o mesmo volume”. (matemático italiano Cavalieri séc. XVII)
7.7 ATIVIDADE 7
O PRINCÍPIO DE CAVALIERI APLICADO NO CONCEITO DO VOLUME DE
PRISMAS.
Objetivo:
Aplicar o Princípio de Cavalieri no cálculo do volume do prisma por comparação,
com o volume do paralelepípedo.
Carga horária: 04 horas aulas.
Para esta atividade pedir aos alunos que tragam 1 cartolina , tesoura, régua, lápis
e esquadro.
Explicar que iremos recortar na cartolina triângulos e retângulos para construir
Explicar eque
iremos recortar(retomar
na cartolina
triângulos
e retângulos
formar
prismas
paralelepípedos,
cálculo
de áreas
das figuraspara
planas).
Antes de iniciar esta atividade pedir aos alunos que formem grupos.
a) Desenhar e recortar em cartolina, 100 triângulos e 100 retângulos que tenham
22
a mesma área. Sugerir estas medidas: triângulo com base 6 cm e altura 8 cm;
retângulo de lados 4 cm e 6 cm (figura 19).
Figura 19: Triângulo e retângulo.
Imagem autora.
b) Pedir que calculem a área do triângulo e do retângulo e comparem os
resultados. Após confirmarem que as áreas são iguais, construir duas pilhas de
mesma altura com os cem triângulos e os cem retângulos (figura 20).
Figura 20: Prisma triangular e paralelepípedo.
Imagem da autora.
c) Pedir que relatem e registrem suas conclusões e no final da atividade
entreguem ao professor.
d) Comentar que a primeira pilha tem a forma de um prisma triangular. A segunda
pilha tem a forma de um bloco retangular ou paralelepípedo que também é um
prisma de base retangular. Esses dois prismas têm a mesma altura e suas bases,
embora sejam diferentes, têm a mesma área.
23
Neste momento o professor trabalha no quadro a seguinte fórmula
volume do paralelepípedo é: V = (área da base) x (altura), o volume do prisma é
também o produto da área de sua base por sua altura.
Volume do prisma= (área da base)x(altura)
Vprisma = (área da base)x(altura)
formalizando o conceito de volume do prisma.
7.8 ATIVIDADE 8
O PRINCÍPIO DE CAVALIERI APLICADO NO CONCEITO DO VOLUME DE
CILINDROS.
Objetivo:
Aplicar o Princípio de Cavalieri no cálculo do volume do cilindro por comparação,
com o volume do prisma.
Carga horária: 03 horas aulas.
Para esta atividade pedir aos alunos que tragam 1 cartolina , tesoura, régua,
lápis, esquadro e compasso.
Explicar que iremos recortar na cartolina, retângulos e círculos para construir
prismas e cilindros, (retomar cálculo de área das figuras planas).
Antes de iniciar esta atividade pedir aos alunos que formem grupos.
a) Desenhar e recortar em cartolina, 100 retângulos e 100 círculos que tenham a
mesma área. Sugerir estas medidas: retângulo de lados 10 cm e 5 cm; círculos de
raio 4 cm e
  3,14.
b) Solicitar que calculem a área do retângulo e do círculo e comparem os
resultados. Após confirmarem que as áreas são iguais, construir duas pilhas de
mesma altura com os 100 círculos e os 100 retângulos (figura 21).
24
Figura 21: Cilindro e prisma.
Imagem da autora.
c) Solicitar que expressem e registrem suas conclusões e entreguem ao professor
no final da atividade.
d) Comentar que a primeira pilha tem a forma de um cilindro. A segunda pilha tem
a forma de um bloco retangular ou paralelepípedo que também é um prisma de
base retangular. Esses dois sólidos têm a mesma altura e suas bases, embora
sejam diferentes, têm a mesma área.
Neste momento o professor trabalha no quadro a seguinte fórmula
volume do prisma é: V = (área da base) x (altura), o volume do cilindro é também
o produto da área de sua base por sua altura.
Volume do cilindro= (área da base)x(altura)
Vcilindro= (área da base) x(altura)
formalizando o conceito de volume do cilindro.
Para reforçar a aprendizagem sugere os seguintes vídeos do youtube. O
professor poderá enviar aos alunos por email os endereços abaixo:
Disponível em: < http://www.youtube.com/watch?v=EB6-j_ffLwg >
Acesso em 18 mai. 2010 (Comprimento e Área do Círculo e Volume do Cilindro –
parte 1), com duração de 7’34”.
Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=JOLg7OOMCKo&NR=1>
Acesso em 18 mai. 2010 (Comprimento e Área do Círculo e Volume do Cilindro –
parte 2), com duração de 6’38”.
25
Para reforçar a aprendizagem sugere os seguintes vídeos do youtube. O
professor poderá enviar aos alunos por email os endereços abaixo:
Disponível em:< http://www.youtube.com/watch?v=fFNJQzPYYKI >
Acesso em 19 mai. 2010 (cubos, prismas, cilindros – parte 1), com duração de
6’03”.
Disponível em:< http://www.youtube.com/watch?v=niHCF9FjLGw >
Acesso em 19 mai. 2010 (cubo, prismas, cilindros – parte 2), com duração de
5’07”.
Para reforçar a aprendizagem sugere os seguintes vídeos do youtube. O
professor poderá enviar aos alunos por email os endereços abaixo:
Disponível em:<http://www.youtube.com/watch?v=97RI0RFbKkU>
Acesso em 19 mai. 2010 (comparar embalagens, volumes e preços de
mercadorias – parte 1), com duração de 5’01”.
Disponível
em:<
http://www.youtube.com/watch?v=AhwEnFYshiU&NR=
>
Acesso em 19 mai. 2010 (observando embalagens- paralelepípedos e cilindros –
parte 2), com duração de 6’37”.
7.9 ATIVIDADE 9
COMPARAÇÃO ENTRE VOLUMES DE PRISMAS E PIRÂMIDES DE MESMA
BASE E MESMA ALTURA.
Objetivo:
Compreender o volume da pirâmide por meio de experimentos e demonstrações.
Carga horária: 03 horas aulas.
Para esta atividade providenciar pirâmides e prismas de mesma base e mesma
altura e um prisma formado por três pirâmides equivalentes (verificar kit de
materiais em acrílico disponível na escola).
Esta experiência poderá ser realizada no Laboratório com os alunos em grupos.
Propiciar uma revisão dos resultados importantes da geometria plana.
26
a) De posse de um prisma e uma pirâmide de mesma base e com a mesma altura
(figura 22), pedir aos alunos que façam comparações entre estes dois sólidos,
destacando a base e a altura.
Figura 22: Prisma e pirâmide (1).
Imagem da autora.
Figura 23: Prisma e pirâmide (2).
Imagem da autora.
b) Solicitar a cada grupo que expressem segundo sua intuição quantas vezes
será necessário despejar o conteúdo da pirâmide no prisma até que ele fique
completamente cheio.
c) Pedir a dois alunos voluntários que demonstrem para a turma a experiência.
d) Solicitar aos alunos que verifiquem se a quantidade prevista pela intuição
confere com a demonstração feita pelos colegas (figura 23).
e) Concluir com os alunos que o volume de qualquer pirâmide é a terça parte do
volume do prisma que tem a mesma base e a mesma altura.
f) Entregar a um grupo de alunos três pirâmides equivalentes (figura 24) e pedir
que as junte formando um prisma (figura 25), neste exemplo o sólido formado
será um cubo (hexaedro regular) que é um prisma.
27
Figura 24: Três pirâmides equivalentes.
Imagem da autora.
Figura 25: Cubo formado por três pirâmides.
Imagem da autora.
g) Solicitar que expressem e registrem suas conclusões e entreguem ao professor
no final da atividade.
h) De posse do prisma composto pelas três pirâmides equivalentes, novamente
desmontá-lo e oportunizar para que todos os grupos realizem a experiência.
Neste momento o professor trabalha no quadro a seguinte fórmula
volume de qualquer pirâmide é a terça parte do volume do prisma que tem a
mesma base e a mesma altura
Volume da pirâmide =
Vpirâmide=
1
(volume do prisma)
3
1
(área da base) x (altura)
3
formalizando o conceito de volume da pirâmide e como sugestão assistir ao vídeo
do youtube <http://www.youtube.com/watch?v=zUngfdgUj3w>.
(Pirâmide, Cone e Esfera – parte 1), com duração de 5’31”. Acesso em 18 mai.
2010.
28
7.10 ATIVIDADE 10
COMPARAÇÃO ENTRE VOLUMES DE CILINDROS E CONES DE MESMA
BASE E MESMA ALTURA.
Objetivo:
Compreender o volume do cone por meio de experimentos e demonstrações.
Carga horária: 02 horas aulas.
Para esta atividade providenciar cilindros e cones de mesma base e mesma
altura (verificar kit de materiais em acrílico na escola). Esta experiência poderá
ser realizada no Laboratório com os alunos em grupos. Propiciar uma revisão dos
resultados importantes da geometria plana.
a) De posse de um cilindro e um cone de mesma base e com a mesma altura
(figura 26), pedir aos alunos que façam comparações entre estes dois sólidos,
destacando a base e a altura.
Figura 26: Cilindro e cone.
Imagem da autora.
b) Solicitar a cada grupo que expressem segundo sua intuição quantas vezes
será necessário despejar o conteúdo do cone no cilindro até que ele fique
completamente cheio.
c) Pedir a dois alunos voluntários que realizem a experiência com água.
d) Solicitar aos alunos que verifiquem se a quantidade prevista pela intuição
confere com a demonstração feita pelos colegas.
e) Solicitar que expressem e registrem suas conclusões e entreguem ao professor
no final da atividade.
29
Neste momento o professor trabalha no quadro a seguinte fórmula
volume de qualquer cone é a terça parte do volume do cilindro, de mesma base e
de mesma altura
1
Volume do cone = (volume do cilindro)
3
V cone=
1
(área da base) x (altura)
3
formalizando o conceito de volume do cone e como sugestão assistir ao vídeo do
youtube < http://www.youtube.com/watch?v=e8lT0RZTDRM >. Acesso em 18 mai.
2010. (Pirâmide, Cone e Esfera – parte 2), com duração de 5’57” e interromper o
vídeo em 1’57”.
7.11 ATIVIDADE 11
USO DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS PARA A ESTIMATIVA DO VOLUME DE
UMA ESFERA DE RAIO CONHECIDO PELO RACIOCÍNIO DE ARQUIMEDES.
Objetivo:
Confirmar o Raciocínio de Arquimedes aplicado ao cálculo do volume de uma
esfera.
Carga horária: 02 horas aulas.
Para esta atividade providenciar uma semiesfera oca e um cone, o raio da
semiesfera deve ser igual ao raio da circunferência do cone. A altura do cone
deve ser é igual ao raio da semiesfera. Organizar os alunos em grupos no
Laboratório, solicitar que tragam pó de serra. Usaremos o raciocínio do
matemático grego Arquimedes, demonstrado em seu livro “Sobre a esfera e o
cilindro”.
a) De posse da semiesfera oca e do cone, pedir aos alunos que debatam quantas
vezes será necessário encher o cone e despejar na semiesfera para que ela fique
completamente cheia, segundo sua intuição (figura 27).
30
O cone da figura ao lado foi
idealizado e construído pelo
colaborador desta atividade Sr.
Damião de Sousa, utilizando
folha de polipropileno.
Figura 27: Semiesfera e cone.
Imagem da autora.
b) Solicitar que relatem a conclusão do grupo e entreguem ao professor no final
da atividade.
c) Pedir a um aluno voluntário que encha o cone com o pó de serra e despeje na
semiesfera (figura 28) e demonstre à turma.
Figura 28: Realizando a experiência.
Imagem da autora.
Figura 29: Esfera e cone.
Imagem da autora.
d) Mediante a experiência realizada, solicitar que registrem suas conclusões e
verifiquem se confere com a intuição do grupo.
31
Através de uma dedução, o grande matemático grego demonstrou que o volume
da esfera é quatro vezes o volume do cone que tem o raio da esfera e cuja altura
é o raio da esfera (figura 29).
Volume da esfera = 4 x volume do cone
Volume da esfera = 4 x
1
(área da base x altura),
3
como a altura do cone é igual ao raio da semi-esfera, substituiremos a altura do
cone pelo raio, portanto:
Volume da esfera = 4 x
1
(área da base x raio).
3
formalizando o conceito de volume da esfera e como sugestão assistir ao vídeo
do youtube <http://www.youtube.com/watch?v=e8lT0RZTDRM>. Acesso em 18
mai. 2010 (Pirâmide, Cone e Esfera - parte 2) com duração de 5’57”, iniciar o
vídeo em 1’54”.
7.12 ATIVIDADE 12
PRINCÍPIO DE CAVALIERI APLICADO A UMA CLEPSIDRA.
Objetivo:
Confirmar o princípio de Cavalieri aplicado a uma clepsidra.
Carga horária: 03 horas aulas.
Para esta atividade providenciar um cilindro equilátero (com altura igual ao
diâmetro da base), dois cones com o raio e a altura iguais ao raio do cilindro e
uma esfera com raio igual ao raio do cilindro e do cone e pó de serra. Organizar
os alunos em grupos no Laboratório. Usaremos o princípio de Cavalieri que
estabelece que dois sólidos com mesma altura tem mesmo volume, se as
secções planas de mesma altura tem mesma área.
a) De posse do cilindro equilátero com os dois cones em seu interior, pedir aos
alunos que relatem o sólido que estão visualizando.
32
b) Debater com eles a propriedade do cilindro equilátero e dos dois cones que
estão em seu interior.
c) Retirar os dois cones que estão dentro do cilindro e perguntar como
reconhecem este sólido (figura 30).
Figura 30: Cilindro equilátero e a clepsidra.
Imagem da autora.
Quando o cilindro é equilátero, ou seja, com altura igual ao diâmetro da base, chamamos
de clepsidra o sólido obtido pelos dois cones em seu interior. E chamamos de
anticlepsidra o sólido obtido pelo cilindro menos os dois cones. Os dois cones e a
clepsidra da figura acima foram idealizados e construídos pelo colaborador desta
atividade Sr. Damião de Sousa, utilizando folha de polipropileno.
d) Sabendo que o cilindro é equilátero, ou seja, a altura é igual a 2R, propor aos
alunos calcular o volume da esfera pelo princípio de Cavalieri, considerando uma
esfera de raio R (figura 31).
33
Figura 31: Cilindro equilátero e a esfera. Disponível em:
http://alfaconnection.net/pag_avsm/geo1601.htm >. Acesso em 20 mai. 2010.
Figura 32: Secções da anticlepsidra e da esfera. Disponível em:
< http://alfaconnection.net/pag_avsm/geo1601.htm > Acesso em 20 mai. 2010.
e) Pedir a dois alunos que retirem os cones do interior do cilindro, restando a
anticlepsidra (o sólido obtido pelo cilindro menos os dois cones). Demonstrar que
as secções da anticlepsidra e da esfera (figura 32) produzidas por um plano
paralelo às bases do cilindro possuem a mesma área, efetuar os cálculos
utilizando a coroa e o círculo (figura 33).
34
As secções da anticlepsidra e da
esfera (coroa e círculo) utilizadas
nesta atividade foram idealizadas e
construídas pelo colaborador desta
atividade Sr. Damião de Sousa,
utilizando folha de polipropileno.
Figura 33: Coroa e círculo. Imagem da autora.
f) Após os cálculos, providenciar para que realizem a experiência com o material
concreto construído para esta atividade: cilindro equilátero, clepsidra e esfera
(figura 34).
Figura 34: Cilindro equilátero, clepsidra e esfera. Imagem da autora.
O cilindro equilátero utilizado nesta
atividade foi idealizado pela autora,
cortado de uma garrafa de
espumante de 2 litros, substituído o
fundo por um círculo de vidro e
permanecendo com altura igual ao
diâmetro da base.
Figura 35: Cilindro equilátero. Imagem da autora.
Figura 36: Cilindro equillátero e os dois cones (clepsidra). Imagem da autora.
35
Figura 37: Cilindro equilátero, dois cones (clepsidra) e a esfera.
Imagem da autora.
g) Pedir a alunos voluntários que encham o cilindro equilátero com o pó de serra
(figura 35), retirem a quantidade dos dois cones a clepsidra (figura 36) e
confirmem por meio da atividade que o que sobrou no cilindro a anticlepsidra
(figura 37) é o volume da esfera. Solicitar que relatem a conclusão do grupo e
entreguem ao professor no final da atividade.
Aplicando o Princípio de Cavalieri podemos afirmar que: o volume da esfera é
igual ao volume da anticlepsidra.
Volume da esfera: V
Volume da anticlepsidra: V ’
Volume do cilindro: V ’’
Volume do cone: V ’’’
V=V’
formalizando o conceito de volume da esfera e como sugestão assistir ao vídeo
do youtube com duração de 2’32”.
<http://www.youtube.com/watch?v=LcOZ29j6I00&feature=PlayList&p=B9F42EF36
F4A3ECC&playnext_from=PL&playnext=1&index=17>. Acesso em 19 mai. 2010 (Aplicação do Princípio de Cavalieri – Cálculo do Volume da Esfera).
36
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CARVALHO, P.C.P. Introdução à Geometria Espacial, Coleção do Professor
de Matemática, 4 ed. Rio de Janeiro. SBM, 2005.
GIOVANNI, J.R.; BONJORNO, J.R. Matemática Completa, 2. ed. renov. São
Paulo: FTD, 2005.
LIMA, E.L.; CARVALHO, P.C.P.; WAGNER, E.; MORGADO, A.C. A Matemática
do Ensino Médio Vol. 2, Coleção do Professor de Matemática, 5 ed. Rio de
Janeiro. SBM, 2004.
LORENZATO, Sergio (org). O Laboratório de Ensino de Matemática na
Formação de Professores. 2 ed. Campinas, SP. Autores Associados, 2009.
Coleção Formação de Professores.
MATEMÁTICA 2º GRAU – o novo telecurso / FRM em convênio com a
Fundação Bradesco. Rio de Janeiro, Editora Rio Gráfica, 1985.
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação do. Diretrizes Curriculares da
Rede Pública do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2009.
REFERÊNCIAS ON LINE
< http://www.youtube.com/watch?v=X8c3AdgMi9w&NR=1> com acesso em 03 jul.
2010.
<http://www.youtube.com/watch?v=oeHCucU_dXA&feature=related> com acesso
em 18 mai. 2010.
<http://200.144.189.54/tudo/exibir.php?midia=vntc&cod=_unidadesdevolume>
com acesso em 19 mai. 2010.
< http://www.youtube.com/watch?v=EB6-j_ffLwg > com acesso em 18 mai. 2010.
<http://www.youtube.com/watch?v=JOLg7OOMCKo&NR=1 >com acesso em 18
mai. 2010.
< http://www.youtube.com/watch?v=fFNJQzPYYKI > com acesso em 19 mai.
2010.
< http://www.youtube.com/watch?v=niHCF9FjLGw > com acesso em 19 mai.
2010.
<http://www.youtube.com/watch?v=97RI0RFbKkU> com acesso em19 mai. 2010.
37
< http://www.youtube.com/watch?v=AhwEnFYshiU&NR= > com acesso em 19
mai. 2010.
<http://www.youtube.com/watch?v=zUngfdgUj3w> com acesso em 18 mai.2010.
< http://www.youtube.com/watch?v=e8lT0RZTDRM >com acesso em 18 mai.
2010.
<http://www.youtube.com/watch?v=LcOZ29j6I00&feature=PlayList&p=B9F42EF36
F4A3ECC&playnext_from=PL&playnext=1&index=17>com acesso em 19 mai.
2010.