Professor Caio
MATEMÁTICA
GEOMETRIA ESPACIAL - SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
1. A área lateral de um semi-cilindro eqüilátero de altura 4
2
cm, em cm , é:
a) 8 b) 8(+2) c) 6(2+1) d) 9
e) 4(2+3)
2. (FUVEST) Aumentando-se de 6 unidades o raio ou a
altura de um cilindro, num e outro caso o seu volume
aumenta de y unidades cúbicas. Sendo 2 a altura original, o
raio original é :
a)2
b)4
c)6
d)6
e)8
3. (FUVEST) A base de um cilindro de revolução é
equivalente à secção meridiana. Se o raio da base é
unitário, então a altura do cilindro é:
a)
b)1/2
c)

d) /2
e)
 /2
4. (UNESP) Num tonel de forma cilíndrica, está depositada
uma quantidade de vinho, que ocupa a metade de sua
capacidade. Retirando-se 40 litros de seu conteúdo, a altura
do nível do vinho baixa de 20%. O número que expressa a
capacidade desse tonel, em litros, é:
a) 200
b) 300
c) 400
d) 500
e)800
5. (FUVEST) Um cilindro de ferro de raio r e altura h está
totalmente imerso na água contida em um recipiente
cilíndrico de raio interno R, com R>r. Ao retirarmos o cilindro
de ferro, o nível de água baixará de:
2
a) (R.h)/r
b) (r.h)/R
c) (r/R) .h
2
d) h
e) .(r/R) .h
6. (PUC) Se triplicarmos o raio da base de um cilindro,
mantendo a altura, o volume do cilindro fica multiplicado por:
a)3
b)6
c)9
d)12
e)15
7. (MACK) Um cilindro reto C1 tem altura igual ao diâmetro
da base e um cilindro C2, também reto, tem altura igual a
oito vezes o diâmetro da base. Se a razão entre os volumes
de C1 e de C2 é 1/27, então a razão entre os respectivos
raios é:
a)1/9
b) 1/27
c)2/27
d)1/3
e)2/3
8. (UFPA) O reservatório “tubinho de tinta” de uma caneta
esferográfica tem 4 mm de diâmetro e 10 cm de
comprimento. Se você gasta 5 mm³ de tinta por dia, a tinta
de sua esferográfica, em dias, durará:
a)20
b)40
c)50
d)80
e)100
9. (UNESP) Atira-se uma pedra de forma irregular em um
vaso cilíndrico de 1,2 m de diâmetro da base em parte cheio
de água. Qual o volume da pedra, se em consequência da
imersão a água elevou-se 0,54m?
(  = 3,14)
a) 0,610 m³
b) 0,620 m³
c) 0,580 m³
d) 0,850 m³
e) 0,575 m³
10. (UNESP) Seja V o volume de um cubo e W o volume do
cilindro circunscrito ao cubo. Então:
a) W - V é menor que a terça parte de V
b) W - V está entre a terça parte de V e a metade de W
c) W - V está entre a metade de V e dois terços de W
d) W - V está entre dois terços de V e W
e) W - V é maior que V
11. (UFSCAR) Num cone circular reto de altura H e raio da
base R está inscrito um cilindro circular reto de altura h e
raio da base r. Sejam V e v os volumes do cone e do
cilindro, respectivamente, Se R=4r, a razão V/v é igual a:
a) 36 b) 16 c) 64/3 d) 64 e) 64/9
12. (FUVEST) Um cone e um cilindro de revolução têm a
mesma altura e são equivalentes. A área lateral do cilindro é
igual à área lateral do cone. Obter o volume do cone em
função do raio R de sua base.
13. (ITA) A geratriz de um cone circular reto forma com o
eixo deste um ângulo de 45°. Sabendo-se que o perímetro
de sua secção meridiana mede 2 cm, podemos afirmar que
a área total deste cone vale:
a)/3.(2 2 - 2) cm²
d)/2.( 2 -1)cm²
b).( 2 -1)cm²
e).( 5 -1) cm²
c).( 3 - 1)cm²
14. (PUC) Para vender um determinado produto foram feitas
duas embalagens. Uma de forma cilíndrica, com 18 cm de
altura e 16 cm² de área da base; outra na forma de um
cone, com a mesma base e a mesma altura que a caixa
cilíndrica. Pode-se dizer que:
a) O volume da caixa cônica é 1/3 do volume da caixa
cilíndrica.
b) O volume da caixa cilíndrica é 16 vezes maior que a caixa
cônica.
c) O volume da caixa cônica é 2/3 do volume da caixa
cilíndrica.
d) As duas embalagens têm o mesmo volume.
e) O volume da caixa cilíndrica é o dobro do volume da caixa
cônica.
15. (PUC) Um quebra-luz é um cone de geratriz 17 cm e
altura 15 cm. Uma lâmpada acesa no vértice do cone projeta
no chão um círculo de 2 m de diâmetro. A que altura do
chão se encontra a lâmpada?
a)1,5m
b)1,87m c)1,90m
d)1,97m
e)2,00m
16. (FUVEST) As bases de um tronco de cone circular reto
são círculos de raios 6 cm e 3 cm. Sabendo-se que a área
lateral do tronco é igual à soma das áreas das bases,
calcule:
a) a altura do tronco de cone
b) o volume do tronco de cone
17. (PUCCAMP) Um cone de altura h = 18 cm e raio da
base r = 6 cm, foi seccionado por um plano paralelo à base,
a 12 cm da mesma. A área da secção obtida é:
a)12cm² b)8cm²
c)3cm²
d)9cm² e)4cm²
18. Dado um cone circular reto de altura h, a que distância
do seu vértice deve-se traçar um plano paralelo à base, de
modo que o volume do cone menor seja 1/8 do volume do
tronco determinado?
19. (FUVEST) Um cone circular reto tem 24 cm de altura e
raio da base medindo 9 cm. Esse cone é cortado por dois
planos paralelos à sua base e que dividem a sua altura em
três partes iguais. Em cm³, o volume do tronco de cone
compreendido entre esses dois planos é:
a)24
b)168
c)192
d)504
e)648
20. (FUVEST) Numa caixa em forma de paralelepípedo retoretângulo, de dimensões 26 cm, 17 cm e 8 cm, que deve ser
tampada, coloca-se a maior esfera que nela couber. O maior
número de esferas iguais a essa que cabem juntas na caixa
é:
a)1
b)2
c)4
d)6
e)8
21. (FUVEST) A área de intersecção de um plano com uma
bola de raio 13 é 144. A distância do plano ao centro da
bola é:
a)1
b) 5
c) 8
d) 12
e) 25
22. (FUVEST) Um recipiente cilíndrico cujo raio da base é 6
cm contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é
colocada no interior do recipiente, ficando totalmente
submersa. Se a altura da água subiu 1 cm, então o raio da
esfera é:
a) 1 cm
b) 2 cm
c) 3 cm
d) 4 cm
e) 5 cm
23. (FUVEST) O volume do cubo circunscrito à esfera de
volume unitário é:
a) 4
b) /6
c) 6
d) 8
e) 6/
24. (MACK) A área da superfície esférica circunscrita a um
cubo de volume unitário é:
a) 2/3
b) 3
c) 3/2
d) 2
e) 4/3
25. Um cilindro de revolução de altura 10 cm e raio da base
12 cm está inscrito em uma esfera. Calcule a área da
superfície dessa esfera.
26. Um cone de revolução de altura 8 cm está inscrito numa
esfera de raio 5 cm. Obtenha o volume do cone.
27. (FUVEST) Um cubo de aresta m está inscrito em uma
semi-esfera de raio R de tal modo que os vértices de uma
face pertencem ao plano equatorial da semi-esfera e os
demais vértices pertencem à superfície da semi-esfera.
Então, m é igual a:
a)R
2
3
b)R
2
2
c)R
3
3
d)R
e)R
3
2
28. (PUC) Numa esfera de 26 cm de diâmetro, faz-se um
corte por um plano que dista 5 cm do centro. O raio da
secção feita mede, em cm:
a)8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
29. (FGV) Um depósito de grãos num armazém tem o
formato de um cilindro reto encimado por um hemisfério.
a) Se o raio da base do cilindro for 2 m e o volume do
recipiente for de 50. m³, qual será a altura do cilindro?
b) Se o volume do recipiente for 47/3. m³ e o cilindro tiver
15 m de altura, obtenha o raio da base do cilindro (que é o
mesmo do hemisfério).
30. (UNICAMP) O volume V de uma bola de raio r é dado
3
pela fórmula V = 4/3. .r .
a) Calcule o volume de uma bola de raio r = 3/4 cm. Para
facilitar os cálculos você deve substituir o  por 22/7.
b) Se uma bola de raio 3/4 cm é feita de uma material cuja
densidade volumétrica (quociente da massa pelo volume) é
5,6g/cm³, qual será a sua massa?
31. (ITA) Uma esfera de raio 3 cm está inscrita num prisma
hexagonal regular que, por sua vez, está inscrito numa
esfera de raio R. Pode-se afirmar que a medida do raio R
vale:
a) 7 cm
b) 7 /3 cm
c)2 3 cm d) 7 /2 cm e)4 3 cm
32. (ITA) Um cone circular reto tem altura 12cm e raio da
base 5cm. O raio da esfera inscrita nesse cone mede:
a) 10/3cm
b) 7/4cm c) 12/5cm
d) 3cm
e)2cm
33. (UNICAMP) Depois de encher de areia um molde
cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície
horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu,
formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do
raio da base do cilindro.
A altura do cone formado pela areia era igual a:
a) 3/4 da altura do cilindro.
c) 2/3 da altura do cilindro.
b) 1/2 da altura do cilindro.
d) 1/3 da altura do cilindro.
34. (UNIFESP) A figura representa um lápis novo e sua
parte apontada, sendo que D, o diâmetro do lápis, mede
10mm; d, o diâmetro da grafite, mede 2mm e h, a altura do
cilindro reto que representa a parte apontada, mede 15mm.
A altura do cone reto, representando a parte da grafite que
foi apontada, mede s mm.
a) Calcule o volume do material (madeira e grafite) retirado
do lápis.
b) Calcule o volume da grafite retirada.
35. (GV) A figura A mostra um copo cilíndrico reto com
diâmetro da base de 10cm e altura de 20cm, apoiado sobre
uma mesa plana e horizontal, completamente cheio de água.
O copo foi inclinado lentamente até sua geratriz formar um
ângulo de 45º com o plano da mesa, como mostra a figura
3
B. Então, o volume de água derramada, em cm , foi:
a) 4200
b) 5700
c) 4500
d) 5200
e) 3800
40. (MACKENZIE) Um tanque de gás tem a forma de um
cilindro de 4m de comprimento, acrescido de duas semiesferas de raio 2m, uma em cada extremidade, como mostra
a figura. Adotando π = 3, a capacidade total do tanque, em
m3, é:
a)120π b)125π c)250π d)300π e)500π
36. (MACKENZIE) Um frasco de perfume, que tem a forma
de um tronco de cone circular reto de raios 1cm e 3cm, está
totalmente cheio. Seu conteúdo é despejado em um
recipiente que tem a forma de um cilindro circular reto de
raio 4cm, como mostra a figura.
a) 80
c) 60
e) 50
41. (MACKENZIE) Uma esfera de raio R é cortada por dois
planos paralelos, um deles passando por seu centro,
obtendo-se, assim, dois círculos cujas áreas estão na razão
de 1 para 4. A distância d entre os dois planos, em função
de R, é:
a)2R / 3
d)R 3 / 3
Se d é a altura da parte não preenchida do recipiente
cilíndrico e, adotando-se π = 3, o valor de d é:
a)10/6 b)11/6 c)12/6 d)13/6 e)14/6
37. (GV) Um observador colocado no centro de uma esfera
de raio 5m vê o arco AB sob um ângulo α de 72º, como
mostra a figura. Isso significa que a área do fuso esférico
determinado por α é:
2
a)20πm
2
b)15πm
2
c)10πm
2
d)5πm
2
e)πm
38. (ITA) Uma esfera é colocada no interior de um cone
circular reto de 8cm de altura e de 60º de ângulo de vértice.
Os pontos de contato da esfera com a superfície lateral do
cone definem uma circunferência e distam 2 3 cm do
vértice do cone. O volume do cone não ocupado pela esfera,
em cm³, é igual a:
a) 416π /9
b) 480π /9
c) 500π /9
d) 512π /9
e) 542π /9
39. (MACKENZIE) Uma bóia marítima construída de uma
determinada liga metálica tem o formato de uma gota que,
separada em dois sólidos, resulta em um cone reto e em
uma semi-esfera, conforme a figura ao lado, na qual r =
2
50cm. Se o preço do m da liga metálica é 1200 reais,
adotando-se π= 3, o custo da superfície da bóia é, em reais,
igual a:
b) 70
d) 55
c)R 3 / 2
b)R / 2
e)R 2
42. (UNICAMP) Uma peça esférica de madeira maciça foi
escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a
figura ao lado. Observe que, na escavação, retirou-se um
cilindro de madeira com duas tampas em formato de calota
esférica. Sabe-se que uma calota esférica tem volume:
Vcal = πh².(3R – h) / 3, em que h é a altura da calota e R é o
raio da esfera. Além disso, a área da superfície da calota
esférica (excluindo a porção plana da base) é dada por:
Acal = 2πRh.
a) Supondo que h = R/2,
determine o volume do anel
de madeira, em função de R.
b) Depois de escavada, a
peça de madeira receberá
uma camada de verniz, tanto
na parte externa, como na
interna. Supondo,
novamente, que h = R/2,
determine a área sobre a
qual o verniz será aplicado.
Atenção: não use um valor aproximado para π.
-------------------------------------------------------------------------------1)B
2)C
3)D
GABARITO:
4)C
5)C
11)E
12)
6)C
3R
3
8)D
9)A
10)C
14)A
15)B
16)a)4cm b)84cm³ 17)E
7)E
3
13)B
3
18) h 3
19)B
3
20)D
21)B
22)C
27)128/3cm3 27)A
30) a)99/56cm b)9,9 g
34)a)0,25πcm³ b) 2.10-3πcm³
23)E
28)E
31)A
35)B
39)C
42)a)
40)A
41)C
24)B
25)676cm2
29)a)h=11,16m b)1m
32)A
33)A
36)B
37)A
38)A
R3
6
b)
(2  3).R2