Aplicação do Método dos Momentos na Análise de Antenas
Dilermando R. de Melo, Marcelo N. Kawakatsu, Victor Dmitriev, Karlo Q. da Costa
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I. INTRODUÇÃO
II.2. ALGORITMO GENÉTICO
Nos últimos anos, a análise de dispositivos eletromagnéticos com geometria complexa, tem
sido facilitada pelo uso de métodos numéricos como o método dos momentos (Method of
Moments - MoM). Neste trabalho foram analisadas duas antenas, uma antena planar em Finvertido (PIFA) modificada e uma antena monopolo dobrada compacta (BFMA), com o uso
do MoM. Na PIFA, teve-se como objetivo a redução da sua altura com a manutenção da
largura de banda (BW) de freqüência, para uma linha de alimentação com impedância de 50
Ω. Na BFMA, teve-se como objetivo a otimização de suas dimensões geométricos visando
obter-se a máxima BW de freqüência, nas impedâncias de 50, 75, 150 e 300 Ω.
O algoritmo genético (AG) é um método numérico de otimização, baseado na evolução
natural de uma população por seleção, cruzamento e mutação (chamados de operadores
genéticos). Nesse algoritmo, cada parâmetro do problema é codificado em uma seqüência
binária (ou outro tipo de código), chamada de gene. A cadeia formada por todos os genes
recebe a denominação de cromossomo ou indivíduo, representando uma solução possível
qualquer para o problema que está sendo otimizado. O conjunto de todos os cromossomos
constitui a população.
Para iniciar o algoritmo, a população inicial é criada de forma aleatória. A cada geração,
obtém-se uma nova população após a aplicação dos operadores genéticos. A classificação
dos indivíduos por aptidão é feita através da função custo ou objetivo do problema. Neste
trabalho, a função objetivo utilizada foi a maximização da largura de banda de impedância da
antena.
O AG implementado neste trabalho possui as seguintes características:
 População fixa de 12 indivíduos
 Elitismo (manutenção do indivíduo mais apto para a próxima geração)
 Ponto de cruzamento aleatório
 Probabilidade de mutação de 5 %
 Critério de parada: número de gerações (100)
III. RESULTADOS
III.1. PIFA Modificada
Para o caso da PIFA, a otimização por AG dos parâmetros geométricos permitiu reduzir
bastante o plano de terra, reduzir a altura em 20 % e aumentar BW de impedância em torno
de 8 % em relação a configuração inicial.
As configurações da PIFA inicial e otimizada com suas respectivas BW de impedância são
mostradas na Tabela 1.
Fig. 1: Configurações geométricas da PIFA (a) e BFMA (b)
TABELA 1: CONFIGURAÇÕES INICIAL E OTIMIZADA DA PIFA
II. METODOLOGIA
Ambas as antenas, PIFA modificada e BFMA, foram analisadas numericamente
empregando as equações integrais dos potenciais em conjunto com o MoM. Com este
método é possível calcular a distribuição de corrente nas superfícies da antena a partir de
uma dada excitação, como por exemplo, a fonte de alimentação da antena. Para fazer a
otimização da PIFA foi usado o algoritmo genético (AG), enquanto que na BFMA foi feita
uma otimização paramétrica.
A impedância de entrada e o coeficiente de reflexão da configuração otimizada são
mostradas nas Fig. 2 (a) e (b), respectivamente.
PIFA Otimizada
PIFA Otimizada
0
100
R-Matlab
X-Matlab
R-IE3D
X-IE3D
80
II.1. Método dos Momentos
60
Matlab
IE3D
-2
-4
Es r    jAr   e r 
-6
20
, dB
No MoM, as equações integrais dos potenciais são resolvidas numericamente através da
discretização da estrutura da antena em N células pequenas e aproximação da densidade de
corrente em cada célula por funções conhecidas (chamadas de funções de base), entretanto,
com coeficientes desconhecidos. Para determinar os N coeficientes da densidade de
corrente, é necessário construir um sistema com N equações linearmente independentes,
obtidas a partir da aplicação das equações (1) - (5)
Zin, ohm
40
0
-8
-20
-10
-40
-12
-60
-80
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
Frequência, GHz
3.4
Fig. 2 (a)
(1)
3.6
3.8
4
-14
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
Frequência, GHz
3.4
3.6
3.8
4
Fig. 2 (b)
III.2. BFMA
onde,

e jkR
A r  
J r '
ds'

4 S
R
(2)
1
e  jkR
e r  
 r '
ds'

4 S
R
(3)
 r '  
(4)
1
  J r '
j
Para o caso da BFMA, os melhores resultados obtidos para a largura de banda foram de 8,7
%; 12,1 %; 56,0 % e 29,0 % nas impedâncias de alimentação de 50, 75, 150 e 300 Ω,
respectivamente.
A impedância de entrada e o coeficiente de reflexão da melhor BFMA otimização
mostradas nas Fig. 3 (a) e (b), respectivamente.
são
Condição de contorno para o campo elétrico nas superfícies metálicas da antena
t
s
E  E
t
i
(5)
O sistema de N equações lineares pode ser colocado na forma matricial (chamada de
equação do MoM) mostrada em (5)
Vm   Zm,n  I m ,
m, n  1, 2, ..., N
(6)
onde, [Zm,n] é chamada de matriz de impedância, [Im] é a matriz de corrente e [Vm] é a matriz
de tensão.
A matriz de tensão [Vm] é conhecida, pois corresponde a excitação da antena, possuindo
todos os elementos nulos com exceção do elemento correspondente ao ponto de
alimentação. A matriz de impedância [Zm,n] é determinada com o uso das equações (1)-(5).
Logo, esta equação pode ser resolvida para a matriz de corrente [Im]
I m   Z m,n  .Vm   Ym,n .Vm 
1
(7)
na qual, [Ym,n] é a matriz de admitância.
Na aplicação do MoM para o caso da PIFA, foi utilizada a função de base de Rao-WiltonGlisson, obtendo a seguinte expressão para a matriz de impedância
Z 
mn
c
  c   mc 

 c

c
c
m
  m n  m n  , m  1, 2, ..., N
 lm  j  Am n .
 Am n .
2
2 
 

(8)
Para o caso da BFMA, foi utilizada a função de base pulso, chegando na seguinte
expressão para a matriz de impedância
1                 
Zm,n   jl n  l m (n, m)    n, m    n, m    n, m    n, m 
(9)
j  
 
 
 

Fig. 3 (a)
Fig. 3 (b)
IV. CONCLUSÃO
Para a antena PIFA, a largura de banda de impedância foi aumentada em 8%, mesmo
reduzindo a altura em 20 %, na impedância de 50 Ω. Também houve redução do plano de
terra de 121x121 mm2 para 40x40 mm2.
Já a antena BFMA teve como melhor resultado a largura de banda de 56 %, casada na
impedância de 150 Ω
Os resultados calculados pelo programa desenvolvido usando-se o MoM foram comparados
com os resultados obtidos pelo software comercial IE3D da Zeland, também baseado no
MoM, tendo apresentado boa concordância.
Agradecimentos
Este trabalho foi parcialmente financiado pela Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado
do Amazonas (FAPEAM), Programa RH-POSGRAD, e pelo Conselho Nacional de
desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq).