OS CINCO SIGNIFICADOS DE FRAÇÃO E O SOFTWARE JCLIC: RELATO DE
UMA PROPOSTA COM ALUNOS DE 6º ANO
Aparecida de Araújo
Secretaria de Estado da Educação do Paraná - SEED
[email protected]
Veridiana Rezende
Universidade Estadual do Paraná/Campo Mourão
[email protected]
Resumo:
Nossa experiência como professoras de Matemática, juntamente com resultados de pesquisas como
Nunes e Bryant (1997), mostram as dificuldades dos alunos na compreensão do conceito de fração.
Esse fato reflete no baixo desempenho dos alunos em avaliações realizadas pelo Ideb, Prova Brasil,
Provinha Brasil, Saresp, Enem e SAEB. Além disso, muitos livros didáticos limitam a abordagem das
frações com significado parte do todo, fato que não favorece a compreensão plena desse conceito.
Assim, com o objetivo de favorecer a compreensão do conceito de fração por alunos do 6º ano,
apresentamos nesse trabalho parte de nossa proposta de produção didática do Programa de
Desenvolvimento Educacional que teve a intenção de explorar os cinco significados do conceito de
fração: número, relação parte-todo, medida, quociente e operador multiplicativo, conforme propostos
por Nunes (2003). Além disso, aliamos à nossa sequência didática a abordagem das frações por meio
do Software Jclic.
Palavras-chave: Educação Matemática. Cinco significados de fração. Software Jclic.
Introdução
Apresentamos nesse texto parte de nossa pesquisa que se encontra em fase de
desenvolvimento, vinculada ao Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE do Estado
do Paraná. O objetivo principal de nosso trabalho foi elaborar uma sequência de atividades
que favorecesse o ensino e a aprendizagem do conceito de fração, utilizando-se do uso do
Software Jclic, para alunos do 6º ano do Ensino Fundamental.
Nossa experiência mostra que, em relação ao conceito de fração, nossos alunos
apresentam muitas dificuldades, não abstraem os conceitos que as fundamentam. Esse fato
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pode ser confirmado com os resultados de pesquisas e provas para medição de desempenho
dos alunos, tais como Saeb1, Ideb2, Prova Brasil3, Provinha Brasil4, Saresp5, Enem6.
Desta forma, com a intenção de repensar em nossa própria prática docente e, de
repente, colaborar com a prática pedagógica de outros professores de Matemática, a respeito
do ensino de fração, realizamos um estudo em pesquisas e documentos curriculares a respeito
do tema frações que culminou na elaboração de uma sequência com cinquenta e nove
atividades, fundamentadas nos cinco significados de frações: número, relação parte-todo,
medida, quociente e operador multiplicativo e número, buscando explorar uma diversidade de
situações para favorecer a compreensão dos alunos.
Para o presente trabalho, apresentaremos como os livros didáticos vêm abordando o
conceito de frações e as teorias relacionadas aos cinco significados de frações que
fundamentaram nosso projeto. Finalizamos o trabalho apresentando algumas das atividades
que compuseram nossa produção didática, com breves relatos da implementação desenvolvida
com os alunos.
A fração nos documentos curriculares e nos livros didáticos de Matemática
De acordo com os PCN - Parâmetros Curriculares Nacionais para a disciplina de
Matemática (BRASIL, 1998), os professores devem iniciar formalmente as primeiras ideias
do conceito de número racional a partir do 4° e 5° ano do Ensino Fundamental, ampliando-se
este estudo nos 6° e 7° anos desta mesma modalidade de ensino. Este fato também é sugerido
pelas DCE - Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná para a disciplina de Matemática
(PARANÁ, 2008). Como parte do estudo dos números racionais, as frações referem-se a um
dos principais conceitos a ser estudado neste nível de ensino.
De acordo com análises realizadas por Bonotto (2011), os livros didáticos abordam
as frações como exercícios práticos, sequência de conceitos ilustrativos e conceito
contextualizado.
A pesquisadora analisou, entre outras, a obra de Jakubovic, Lellis e
1. Sistema de Avaliação da Educação Básica.
2. Índice de Desenvolvimento da Educação Básica.
3. Avaliação para diagnóstico, em larga escala, desenvolvidas pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas
Educacionais Anísio Teixeira (Inep/MEC).
4. A Provinha Brasil é uma avaliação diagnóstica aplicada aos alunos matriculados no segundo ano do ensino
fundamental (MEC).
5. Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo.
6. Exame Nacional do Ensino Médio.
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Centurión (1999), referente à 5ª série do Ensino Fundamental. Como exemplo de exercício
dessa obra, a autora cita: “Quando dividimos uma figura em duas partes iguais cada parte é
um meio ou metade da figura. Com símbolos matemáticos, escrevemos que cada uma (1) das
duas partes (2) é 1 2 da figura. Assinalamos 1 2 da figura” (p.22). Vejamos o desenho do
retângulo dividido em duas partes e uma parte pintada apresentado pelos autores:
Moutinho (2005) também aponta outras obras que apresentam essas mesmas
características na forma de abordar fração. Entre elas, são mencionadas as obras de Dante
(2001)7, Andrini e Vasconcellos (2002)8, Jakubovic e Lellis (1999)9. Acrescentamos, ainda,
que estas mesma característica de abordar fração pode ser observada em coleção mais
recentes, tais como Giovani, Castrucci e Giovanni Jr (2009)10.
Toledo e Toledo (1997) afirmam que tanto nos livros didáticos como nas salas de
aulas os números racionais são introduzidos pela ideia de fração, que é ensinada de modo
rígido por meio de ilustrações de situações de natureza contínua que é repartida em n partes
iguais e são coloridas m dessas partes, para representar a fração
m
. No entanto,
n
pesquisadores, tais como Bertoni (2004), Bezerra (2002), Moutinho, (2005), Nunes (2005),
Santos (2005) e Rodrigues (2005), têm apontado dificuldades na compreensão dos alunos ao
se abordar o conceito de fração somente como quociente e como descritoras de quantidades.
Em relação ao ensino de Matemática, para Toledo e Toledo (1997), os conceitos de
frações são trabalhados apenas com significado parte do todo, a partir de sua representação
a
b
com a e b naturais e b  0 . Em relação a apresentar aos alunos apenas este significado de
frações, Campos e Cols (1997, apud NUNES, p.191) afirmam que esse modo de ensino “[...]
simplesmente encoraja os alunos a empregar um tipo de procedimento de contagem dupla –
ou seja, contar o número total de partes e então as partes pintadas – sem entender o
significado desse novo tipo de número”.
7
8
9
10
Matemática, Editora Ática
Praticando Matemática, Editora Brasil
Matemática na Medida Certa, Editora Scipione
A Conquista da Matemática, A+Nova e na Edição renovada
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Discussão das dificuldades dos alunos com o conceito de frações e a importância de
metodologias diversificadas para a aprendizagem da Matemática
Quanto à aprendizagem de frações, os alunos podem manifestar habilidades em
manipular operações com números fracionários sem ter assimilados os conceitos. Nunes e
Bryant (1997, p.191) afirmam que:
Com as frações as aparências enganam. Às vezes as crianças parecem ter uma
compreensão completa das frações e ainda não a têm. Elas usam os termos
fracionários certos; falam sobre frações coerentemente, resolvem alguns problemas
fracionais; mas diversos aspectos cruciais das frações ainda lhes escapam. De fato,
as aparências podem ser tão enganosas que é possível que alguns alunos passem
pela escola sem dominar as dificuldades das frações, e sem que ninguém perceba.
Diariamente nos deparamos com diversas situações nas quais empregamos frações,
como por exemplo,
3
1
4 de uma xícara, 2 quilo de carne, eleições vence o candidatos que
obtiver (metade) total dos votos mais um no primeiro turno ou a maioria simples no segundo,
em mapas e plantas com uso de escalas; razões e proporções empregadas na música, na física,
na culinária e em outras. As frações não se apresentam desprovidas ou desvinculadas de
situações do cotidiano, estão sempre relacionadas com medidas, objetos, valores, entre outros.
Segundo Moutinho (2005), o ser humano não se relaciona de forma mecânica ou
imediata com o outro e com a realidade. Para essas relações, faz-se preciso uma dimensão
simbólica ou representacional. Para Moutinho (2005),
[...] os conceitos que nós utilizamos estão embebidos na vida cotidiana e não surgem
por simples apreensão sensível diretamente do real; por outro lado, os conceitos só
funcionam, quando estão reunidos em proposições, sentenças, enunciados e
teoremas e não operam em vão.
Desta forma, os conceitos, além de se relacionar entre si, dão suporte para estabelecer
novos conceitos, estabelecendo conexões com várias áreas de conhecimento.
Deste modo, faz-se necessário ressaltar que estamos inseridos numa sociedade em que
suas transformações exigem profissionais pensantes, críticos, capazes de aprender e articularse dentro de equipe de trabalho e principalmente de conhecer-se como pessoa. Delors (1999,
p.89-102) afirma que:
[...] a educação deve organizar-se em torno de quatro aprendizagens fundamentais
que, ao longo de toda vida, serão de algum modo para cada indivíduo, os pilares do
conhecimento: [...] aprender a conhecer, isto é adquirir os instrumentos da
compreensão; [...] aprender a fazer, para poder agir sobre o meio envolvente; [...]
aprender a viver juntos, a fim de participar e cooperar com os outros em todas as
atividades humanas; finalmente [...] aprender a ser, via essencial que integra as três
precedentes.
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Desta forma, a educação escolar não pode ser alienada as necessidades impostas pela
sociedade, tornam-se imprescindível, a nós, professores, acompanharmos tais transformações.
As DCE (PARANÁ, 2008) aponta que o ensino da matemática deve possibilitar aos
estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e formulação ideias, ou
seja, que os alunos tornem-se capaz de estabelecer relações e se apropriem significativamente
dos conceitos matemáticos necessários para atuar positivamente em seu cotidiano e contribua
para o desenvolvimento da sociedade.
Ainda as DCE (PARANÁ, 2008) apresentam considerações sobre tendências
metodológicas que compõem o campo de estudos da Educação Matemática. Dentre elas,
aponta que as mídias tecnológicas vêm contribuindo para uma melhora na compreensão da
disciplina.
No contexto da Educação Matemática, as mídias tecnológicas têm potencializado o
processo pedagógico através de recursos tecnológicos, como software, a televisão, as
calculadoras, os aplicativos da internet, entre outros, pois tem favorecido as experimentações
matemáticas e possibilitado simulações nas formas de resolução de problemas (PARANÁ,
2008). Nesse sentido D‟Ambròsio e Barros (1998), afirmam que:
As atividades com lápis e papel ou mesmo quadro de giz, para construir gráficos,
por exemplo, se forem feitas com o uso dos computadores, permitem ao estudante
ampliar suas possibilidades de observação e investigação, porque algumas etapas
formais do processo construtivo são sintetizadas.
As ferramentas tecnológicas possibilitam ao estudante realizar ensaios, expectativas,
simulações, tais características devem ser, na medida do possível, consideradas pelo
professor.
Para que isso ocorra, Moram (2008) assinala que é necessário um currículo mais
integrado, mais próximo do cotidiano, com muito mais liberdade de percurso, de escolhas, de
integração significativa. Com metodologias diversificadas, mais ativas e focadas em pesquisa
e produção, em jogos, na relação prática-teoria-prática. Utilizando as mídias possíveis e de
forma integrada nos novos nichos educacionais.
Foi com este propósito que desenvolvemos nossa produção didático pedagógica,
buscando favorecer o ensino e a aprendizagem de frações e, igualmente, inserir recursos
tecnológicos, como o software Jclic, no ensino de Matemática. Para a aprendizagem de
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fração, buscamos contemplar na sequência de atividades os cinco significados de frações,
descritos na sequência deste texto.
Fração vista a partir de cinco significados
Magina (2013, p.91, apud NUNES, 2003) afirma que a aprendizagem de conceito de
fração pode ser obtida com maior êxito quando esse conceito é explorado por meio de cinco
significados: parte-todo, medida, quociente e operador multiplicativo e número, sendo cada
um trabalhado a partir de uma gama diversificada de situações. A seguir, descrevemos cada
um destes significados.
Significado Número: Uma fração
a
, com b  0, pode assumir o significado de número e ser
b
posicionada na reta numérica. Assim como os pesquisadores Bonotto (2011) e Moutinho
(2005), podemos observar que esta abordagem raramente é utilizada pelos livros didáticos, o
que prejudica a organização do conceito, pois o aluno tende a não identificar a fração como
um número. É importante que o aluno reconheça este significado, e visualize seu
posicionamento na reta numérica, além do fato deste número também poder ser representado
como um decimal.
Significado Relação Parte-Todo: Esta ideia representa um todo (contínuo ou discreto)
dividido em n partes iguais, onde cada uma dessas partes é representada como
1
. A relação
n
parte-todo implica em um procedimento de dupla contagem, onde o denominador representa o
número de partes que este todo foi dividido e o numerador quantas partes foram consideradas.
Nota-se que esta ideia é bastante abordada pelos livros didáticos, sendo muitas vezes utilizada
como uma estratégia para a introdução do conteúdo de frações. Este fato por ser observado
nos livros didáticos como: Dante (2001)11, Andrini e Vasconcellos (202)12, Jakubovic e Lellis
(199)13, entre outros.
Significado de Medida: Neste caso, a ideia é de comparação entre duas grandezas, podendo
estas ser intensivas ou extensivas (medida de quantidade de mesma natureza, parte todo).
Como exemplo, cita-se o cálculo da probabilidade de um evento, que é obtido através da
razão entre o número de casos prováveis e o número de casos possíveis desse evento ocorrer.
Assim, a chance de ocorrer de tal evento varia entre 0 e 1, sendo este número, na maioria dos
11 Matemática, Editora Ática, 2001.
12 Praticando Matemática. Editora Brasil, 2002.
13 Matemática na medida certa. Editora Scipione,1999.
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casos, uma fração. Da mesma forma que o estudo de probabilidades, podemos relacionar a
este significado a porcentagem.
Significado de Quociente: O significado quociente é empregado quando em determinada
situação a divisão é o recurso empregado para a solução do problema, ou seja, quando a
situação
a
, a e b inteiros, e b  0 , é utilizado para escrever a  b . Este aspecto do conceito
b
de fração é pouco explorado pelos materiais didáticos.
Operador Multiplicativo: A fração
a
, com a e b inteiros, e b  0 , atua como fator
b
transformador de um número ao ser multiplicando por 'a' e, logo em seguida, dividindo por
„b‟. O número resultante deste processo pode ser maior ou menor que o número em seu estado
inicial, dependendo do quociente
a
. Este momento poder aproveitado para abordar as ideias
b
de número inverso e identidade.
Como mencionado anteriormente, também podemos observar que a maioria dos livros
didáticos aborda frações como sendo divisão do inteiro em partes iguais. Além de nomear
fração como número de partes pintadas do número total de partes e analisar ordem da fração e
equivalência por meio da observação e percepção. Essa forma de abordagem pode conduzir o
aluno a um raciocínio errôneo das relações lógico-matemáticas que estão envolvidas nos
conceitos fracionários. Sob este olhar de se considerar a importância de se explorar os cinco
significados de frações: parte-todo, medida, quociente e operador multiplicativo e número, é
que conduzimos a proposta da produção didático pedagógica de nosso trabalho do Programa
de Desenvolvimento Educacional – PDE.
Assim, a proposta do projeto para trabalhar tais significados consiste em explorar uma
diversidade de situações relacionadas às frações, de modo que o aluno possa vivenciar, no
decorrer das atividades trabalhadas, o conceito de fração contextualizado com situações
possíveis de serem deparadas em seu cotidiano.
Além disso, considerando a importância de se inserir recursos tecnológicos no ensino
e aprendizagem da Matemática, em conformidade com documentos curriculares do Estado do
Paraná (PARANÁ, 2008), e com a intenção de atrair a atenção dos alunos e favorecer melhor
compreensão e visualização das situações propostas, parte das atividades foram elaboradas
utilizando Software Jclic.
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A seguir, apresentamos uma pequena parte do relato de duas atividades de nossa
implementação da produção didático pedagógica.
A sequência de atividades: breve relato da implementação de uma atividade
A sequência de atividades elaborada consiste em duas partes. A primeira parte o
professor pode desenvolvê-la em sala de aula, utilizando lápis e papel. A segunda parte desta
sequência de atividades deve ser desenvolvida em laboratório de informática, utilizando
computadores e o software Jclic. No entanto, ressaltamos que as atividades com lápis e papel
e com computadores podem ser utilizadas como complementares, mas também podem ser
desenvolvidas separadamente, conforme as necessidades e disponibilidades do professor.
A sequência didática foi elaborada em cinco seções. Cada seção refere-se a um dos
significados de fração. Além das atividades, cada seção possui um espaço que nomeamos de
“Importante” destinado ao professor, além disso, no espaço que nomeamos “Professor – esta é
a ideia da construção”, apresentamos as atividades desenvolvidas com a intenção de
apresentamos praticidade para as aulas do professor.
A sequência didática ainda contém atividades de fixação para que o aluno possa
desenvolver os conceitos compreendidos. Os significados, ou seja, cada seção pode ser
trabalhada independente. Caso o professor desejar escolher as atividades apenas de uma única
seção, nada impedirá que a mesma seja trabalhada desvinculadamente.
Apresentamos a seguir uma atividade que foi realizada com lápis e papel, em sala de
aula convencional, com vinte e oito alunos do 6º ano do Ensino Fundamental. Apresentamos
também a atividade similar para ser explorada com o Software Jclic, ambas com o mesmo
objetivo de se explorar o significado parte – todo.
No entanto, informamos que todas as atividades elaboradas em nossa sequência de
atividades estão disponibilizadas no link a seguir, livres para serem acessadas:
https://dl.dropboxusercontent.com/u/13324699/cidamurrojclic/index.htm
Figura 1: atividade lápis e papel – significado de fração parte-todo
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Fonte: autoras deste trabalho
Figura 2: atividade Jclic – significado de fração parte-todo
Fonte: autoras deste trabalho
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Nesta seção, significado “parte-todo” foi muito importante para os alunos “enxergar” e
estabelecer relações entre conceito de frações ensinado na escola, com situações que
envolvem frações no seu cotidiano. Podemos perceber esta relação por meio dos relatos dos
alunos:
Figura 3: Registros dos alunos do 6 ano a respeito do conceito de frações
De modo geral, podemos dizer que os alunos apresentaram um grande entusiasmo em
trabalhar com as atividades em sala de aula. Porém, quando fomos para o laboratório eles
ficaram vidrados. A partir da primeira aula no laboratório, em todas as outras aulas eles
questionavam se teríamos aula com as atividades do Jclic. Para que os alunos pudessem
“brincar” com as atividades quantas vezes quisessem, disponibilizamos o endereço do site que
contém as atividades de nosso trabalho e muitos puderam ter acesso as atividades fora da
escola.
Foi possível observar que ao realizarem as atividades do Jclic eles lembravam dos
significados trabalhados em sala de aula e buscavam aplicar de forma correta. Em algumas
atividades, como por exemplo, calcular ¼ de certa quantidade, alguns alunos diziam: 1/4 é a
metade da metade. Não é verdade professora?
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Considerações
As atividades ainda estão sendo implementadas. Os resultados até o momento estão
sendo positivos e os alunos estão correspondendo nossas expectativas. Ressaltamos que os
alunos estão resolvendo as atividades e estão compreendendo o conceito de fração.
Porém, consideramos importante destacar algumas dificuldades apresentadas pelos
alunos tais como trabalhar com a régua e, principalmente, com a divisão de frações, ou seja,
os alunos tem dificuldades com a representação decimal. Estas dificuldades, limitam a
aprendizagem do significado de número e a sua localização na reta. Desta forma, para
favorecer a divisão foi introduzido o uso da calculadora, pois no momento, mesmo retomando
o algoritmo da divisão, não teríamos tempo hábil para trabalhar divisão decimal.
No significado quociente, os alunos relacionaram com facilidade que a fração é uma
divisão, porém, apresentaram certa confusão quanto a “quantidade de objetos ou elementos” e
para “quem dividi-los”, o que deveria ser considerado o inteiro, o denominador e o
numerador. Para favorecer a compreensão realizamos uma dramatização. Representamos os
três bolos – “uma folha de sulfite”, para dois alunos. Desta forma entenderam que os bolos
seriam divididos entre os meninos e não os meninos divididos para os bolos.
Assim, sugerimos que os professores fiquem atentos aos cinco significados de fração e
que os explorem com seus alunos, não ficando limitados às abordagens apresentadas pelos
livros didáticos, que muitas vezes são limitadas a apenas um ou dois significados de fração,
privando os alunos de ampliarem seus conhecimentos.
Uma observação importante quanto as ferramentas tecnológicas: a escola não oferece
plenas condições para trabalhar no laboratório, pois além de poucas máquinas, ainda há
aquelas que na hora “H” não funcionam. Desta forma, no primeiro momento apresentamos
algumas atividades, coletivamente, com o uso do multimídia, em seguida trabalhamos off-line.
Disponibilizamos atividades impressas para um grupo de alunos, enquanto o outro grupo
trabalhava nas máquinas, todos dentro do laboratório. Mas deu certo! Inclusive, o software
jclic possibilita ao professor verificar as atividades que o aluno realizou com sucesso, além da
porcentagem de acertos no final da seção proposta.
Mesmo com várias barreiras para trabalhar com as ferramentas tecnológicas,
acreditamos que o professor deva propor atividades que possibilita o aluno experimentar,
simular e aplicar através destas ferramentas, os conceitos trabalhados por meio de
experiências ou mesmo por meio de folha e papel em sala de aula. Pois sabemos que nossos
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alunos de hoje são “crias” de ambientes tecnológicos. A maioria convivem com as
ferramentas tecnológicas e apresentam uma grande satisfação em executar atividades proposta
por meio das mesmas.
Referências
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frações? Um Proceedings Estudo Exploratório. Da 26 Conferência Internacional para a
Psicologia da Educação Matemática (PME), vol. 2, pp 89-96, Norwich, UK, de Julho, 2002.
PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica, Secretaria de Estado da Educação
do Paraná, Matemática, 2008.
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http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/leonel_valpereiro_moutinho.pdf>. Acesso em:
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2013.
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Docente: Análise da Formação Continuada de um Grupo de Professores das Séries
Iniciais do Ensino Fundamental, Tendo como Objeto de Discussão o Processo de Ensino
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