MF.01
1.e
Construindo a tabela verdade, temos:
p
q
r
(p∨~q)
~q
~(p ∨ ~q)
~p
(~p ∨ ~r)
~r
~(p ∨ ~q) ∧ (~p ∨ ~r)
V
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
V
F
2.e
Se x < 3, então y = -4.
Se P, então Q.
Não ocorre Q, temos: y ≠ -4
Não ocorre P, temos: x > 3
Se não ocorre Q, então não ocorre P fica:
Se y ≠ -4, então x > 3.
Cor do carro
cinza
Uno
Berenice
preto
Saveiro
César
branco
Fiesta
César tem um Fiesta branco.
3.d
Sejam as proposições:
p: Jean é francês.
q: Todo francês é feliz.
A condicional p w q só é falsa se p for verdadeira e q for falsa.
Só é falsa então a afirmação IV, portanto três são verdadeiras.
5.e
De acordo com o enunciado foram entrevistadas 450 das 1.000
maiores empresas.
Dessa maneira, faltam ser entrevistadas 550 dessas empresas.
Assim, das 551 empresas de maior receita bruta do país, pelo menos
uma foi entrevistada.
MF.02
4.a
Vamos montar a seguinte tabela:
Cor do carro
Marca do carro
Antônio
1.b
Considere a figura:
X
Marca do carro
Antônio
Y
a
b
c
Berenice
César
Vamos completar a tabela usando as informações do enunciado:
I. O carro de Antônio é cinza.
II. O carro de César é o Fiesta.
Cor do carro
Antônio
Marca do carro
Cinza
Berenice
César
Fiesta
Como o carro de Berenice não é branco, então só pode ser preto (já
que cinza é o de Antônio) e não é o Uno, então só pode ser a Saveiro
(já que o Fiesta é do César).
Completando a tabela, temos:
I.
b é o número de elementos de X % Y.
II.
a + b = 20
III.
b+c=7
Em III conclui-se que 0 < b < 7 (Para que tenhamos b e c não negativos).
Assim, a intersecção do conjunto X com o conjunto Y tem no máximo 7 elementos.
a) (F) Sendo b = 0, m(X) = 20 elementos e m(Y) = 7 elementos (total
de 27 elementos).
b) (V) Veja os itens I, II e III.
c) (F) Por exemplo, para b = 1, temos que X - Y terá 19 elementos.
d) (F) X - Y = X nas condições da alternativa.
2.c
Considere a figura:
Álgebra A
Cor do carro
Antônio
Berenice
César
cinza
preto
a
Saveiro
Fiesta
Consequentemente, o carro de César é um Fiesta branco e o de Antônio um Uno cinza.
1
Cálculo II
Marca do carro
b
f
g
c
d
e
Geometria analítica
Hiper 1
Matemática
Resolução
I. 40 cursam somente geometria analítica: e = 40
II.Os alunos matriculados em álgebra A não cursam cálculo II
nem geometria analítica: b = g = f = 0
III. 6 cursam simultaneamente cálculo II e geometria analítica:
g + d = 6 s 0 + d = 6 s d = 6
IV. O curso de cálculo II tem 60 alunos:
b + c + d + g = 60 s 0 + c + 6 + 0 = 60 s c = 54
O número de estudantes em álgebra A é:
a + b + f + g = a + 0 + 0 + 0 = a
Do enunciado temos:
a + b + c + d + e + f + g = 120
Assim:
a + 0 + 54 + 6 + 40 + 0 + 0 = 120 s a + 100 = 120 s a = 20
3.d
I.(F) A 5 (AC % B) = A 5 B
III.(F) AC 5 BC = ® - (A % B)
4.a
1
A=
5
–1
B=
3
A 5 B = [-1; 5[
5.b
a)(F)
a
A=
b
c
B=
d
c
A%B=
b
(A % B) 1 [c; b]
b)(V)C RA = R - A (A 1 R)
a
c
b
B
c)(F) A relação de inclusão não pode ser entre elemento e conjunto.
d)(F) A relação de pertinência só é válida entre elementos de conjuntos.
e) (F) Do item (I), verifica-se que (A - B) = [a; c[
\ b # (A - B)
MF.03
1.c
A medida de cada pedaço é o MDC entre 450 e 756.
Cálculo do MDC(450; 756):
450; 756 2 *
225; 378 2
225; 189 3 *
75; 63 3 *
25; 21 3
25;
7 5
5;
7 5
1;
7 7
1;
1
MDC(450; 756) = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 18
Cada pedaço terá 18 cm.
Quantidade de pedaços obtidos:
450
756
+
= 25 + 42 = 67 pedaços
18
18
2
2.c
MMC(30; 40) = 120
Ou seja, de 120 em 120 minutos os ônibus das duas linhas partem
simultaneamente.
Como às 4 horas da manhã houve a primeira partida simultânea,
as próximas serão às 6 horas e às 8 horas.
Como eles chegaram às 7 horas e 15 minutos, ficarão no terminal
até as 8 horas, ou seja, por 45 minutos.
3.e
y - x = 24 s y = 24 + x (I)
MDC(x; y) ⋅ MMC(x; y) = x ⋅ y s x ⋅ y = 12 ⋅ 180 s
s x ⋅ y = 2.160 (II)
Substituindo I em II:
x ⋅ (24 + x) = 2.160 s x2 + 24x - 2.160 = 0 s
s x = -60 (Não convém.) ou x = 36
Substituindo em I: y = 24 + 36 = 60
\ 5x - 3y = 180 - 180 = 0
4.a
Se n dividido por 4 deixa resto 3, então n - 3 é múltiplo de 4 e, portanto, n - 3 + 4, ou seja, n + 1 é múltiplo de 4.
Se n dividido por 5 deixa resto 4, então n - 4 é múltiplo de 5 e, portanto, n - 4 + 5, ou seja, n + 1 é múltiplo de 5.
Se n dividido por 6 deixa resto 5, então n - 5 é múltiplo de 6 e, potanto, n - 5 + 6, ou seja, n + 1 é múltiplo de 6.
Logo, o número n + 1 é múltiplo comum de 4, 5 e 6. Para que se tenha o menor valor natural de n, é preciso que se calcule o mínimo
múltiplo comum desses três números.
n + 1 = MMC(4; 5; 6) s n + 1 = 60 s n = 59
Além disso: 5 + 9 = 14
5.a)3.600 = 24 ⋅ 32 ⋅ 52
Número de divisores inteiros de 3.600:
(4 + 1) ⋅ (2 + 1) ⋅ (2 + 1) = 5 ⋅ 3 ⋅ 3 = 45
Todo divisor de 720 é também divisor de 3.600.
720 = 24 ⋅ 32 ⋅ 51
Número de divisores inteiros de 720:
(4 + 1) ⋅ (2 + 1) ⋅ (1 + 1) = 5 ⋅ 3 ⋅ 2 = 30
b) São pares os seguintes números:
2a; 2a ⋅ 3b; 2a ⋅ 5g; 2a ⋅ 3b ⋅ 5g com
a 3 {1; 2; 3; 4}; b 3 {1; 2}; g 3 {1; 2}
Portanto, temos:
4 + 4 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 2 números pares, ou seja 36 números pares.
A quantidade dos divisores de 3.600 que são quadrados perfeitos
é do tipo 2a ⋅ 3a ⋅ 5g, em que a 3 {0; 2; 4}, b 3 {0; 2} e g 3 {0; 2}.
Portanto, temos:
3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 12 divisores de 3.600 que são quadrados perfeitos.
MF.04
1.c
2x + 2-x = 7 s (2x + 2-x)2 = 72 s
s 22x + 2 ⋅ 2x ⋅ 2-x + 2-2x = 49 s
s (22)x + 2 + (22)-x = 49 s 4x + 4-x = 47
2.b
( 2 + 3 ) +
2
= 5 + 2 6 +
5–2 6
1
2+2 6 +3
+
=
2 =
1
5+2 6
52 – (2 6 )
5–2 6
= 5 + 2 6 + 5 - 2 6 = 10
25 – 24
Hiper 1
Matemática
Resolução
3.a
No triângulo AHO, temos:
1
I.0,0333... =
30
1
II.0,333... =
3
3
III.1,5 =
2
sen 30° =
5
OH
2
s
s
=
OB
OB
2
10
s OB =
=5 2
2
sen 45° =
1
1
1
+ (7 3 ) 3 –
0, 033... + (343) 0,333... – 30 –1
30
30
=
=
1,5
3
3
3 ⋅ (3 7 )
3 ⋅32 ⋅ 7 2
=
3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 4 73
OH
1
OH
=
s
s OH = 5
2
10
10
No triângulo HBO, temos:
Temos, então:
7
Hiper 1
Matemática
Resolução
=
4.
A
4
7⋅47
7
7
⋅ 4 =
=
9⋅7
9
7
4
7
9 ⋅ 4 73
x
4.d
3
2 28 + 2 30
=
10
= 29 ⋅
3
2 27 ⋅ 2 + 2 27 ⋅ 2 3
=
10
3
 2 + 23 
 =
2 27 ⋅ 
 10 
2+8
= 29
10
5.b
7–4 3 +
x =
sx=
22 – 2 ⋅ 2 ⋅ 3 + ( 3)
sx=
(2 –
sx=2-
3)
4 – 2⋅2⋅ 3 +3 +
3 sx=
2
3 +
+
2
+
3 s
B
1,80 m
C
II. tg 60° =
x
s
y
20 + y
y
3 =
Substituindo I em II, temos:
3 sx=2
3 =
MF.05
20 + x – 20
s x 3 - 20 3 = x s x = 30 + 10 3
x – 20
\ Altura = (31,8 + 10 3 ) m H 49,1 m
1.d
Seja H = h + 1,7 a altura da torre.
tg (21°) =
60°
y
Observação: As dimensões lineares estão fora de escala.
O triângulo ABC é isósceles.
Assim:
x
x
I. tg 45° =
s1=
s x = 20 + y s y = x - 20
20 + y
20 + y
3 s
3 s
45°
20 m
5.Considere a figura:
h
s 0,3839 ⋅ 100 = h s h = 38,39 m
100
O’
H = 38,39 + 1,7 = 40,09 m
α
4
2.d
Considere a figura:
C
x
O
w
δ
A
B
β
A
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
(AC)2 = (5,4)2 + (1,8)2 s (AC)2 = 29,16 + 3,24 s
324
18 10
9 10
=
=
10
10
5
BC
10
1,8
9
=
sen (j) =
=
=
AC
10
9 10
9 10
5
A
3
30°
a
d
d
sx=
cos   =
a
2
x
cos  
2
45°
h
MF.06
H
M
h
45°
B
Logo, o triângulo AOO’ é isósceles de base AO ' .
Assim: AO = x
No triângulo AMO, temos:
C
10
d
No triângulo AOM, temos:
a
b = 90 2
a
a
a
a
d+b+
= 90° s d = 90° - 90 +
sd=
4
4
2
4
s (AC)2 = 32,4 s AC =
3.
α
2
B
1.b
Por uma regra de três, temos:
180°
225°
Então:
π rad
a
180a = 225π s a =
MF.07
1.e
-1 < sen (x) < 1 s - 1 < 2m - 9 < 1 s 8 < 2m < 10 s 4 < m < 5
225 π
5π
sa=
180
4
2.c
2.c
12km
12.000metros
=
= 200 m/min
1 hora
60minutos
Como ele correu durante dois minutos, a distância percorrida é de
400 metros.
Assim:
 = a ⋅ r s 400 = a ⋅ 100 s a = 4 rad
Por uma regra de três, temos;
180°
π rad
x
4 rad
Adotando π = 3,14, temos:
x =
4 ⋅ 180
 114,6°
3, 14
sen ( x )
1 + cos ( x ) sen 2 ( x ) + [1 + cos ( x )] 2
+
=
=
sen ( x )
sen ( x ) ⋅ [1 + cos ( x )]
1 + cos ( x )
=
sen 2 ( x ) + 1 + 2cos x + cos 2 x
2 + 2 ⋅ cos ( x )
=
sen ( x ) ⋅ [1 + cos ( x )]
sen ( x ) ⋅ [1 + cos ( x )]
2 ⋅ [1 + cos ( x )]
2
=
=
sen ( x ) ⋅ [1 + cos ( x )] sen ( x )
3.d
sen ( x )
sen ( x )
4
–4cos ( x )
s
= – s sen (x) =
cos ( x )
cos ( x )
3
3
Da relação trigonométrica fundamental, temos:
tg (x) =
sen2 (x) + cos2 (x) = 1 s
16cos 2 ( x )
+ cos2 (x) = 1 s
9
s 16cos2 (x) + 9cos2 (x) = 9 s 25cos2 (x) = 9 s
3. A figura apresenta oito ângulos centrais congruentes em que cada
2π
π
=
rad.
um mede
8
4
3π
π
 ) = 5 π ; m( AH
 ) = 7π
AB ) = ; m( 
AD) =
m( 
; m( AF
4
4
4
4
4.d
Um quadrado de perímetro igual a 320 cm tem 80 cm de lado.
Assim, considere a figura:
A
R
O
R
B
 + 2R = 80 s  + 40 = 80 s  = 40 cm
 = a ⋅ R s 40 = a ⋅ 20 s a = 2 radianos
5.b
Considere a figura:
Assim:
sen (x) = Então:
4  3
4
⋅ –  =
3  5
5
sen (x) + cos (x) = -
0
2π
4.c
Substituindo s por 16 em ambas as equações, temos:


 1 
 16 – 15 
 = 10 + 12 ⋅ sen  2 π ⋅   =
T = 10 + 12 ⋅ sen  2 π ⋅ 
 12 
 12 


π
1
= 10 + 12 ⋅ sen   = 10 + 12 ⋅
= 16 °C
6
2

 16 – 9 
 =
I = 400 + 200 ⋅ cos  3π ⋅ 
 63 


 7 
= 400 + 200 ⋅ cos  3π ⋅   =
 63 

5.c
sen2 x + cos2 x = 1 s (k - 1)2 + 3 - k2 = 1 s
s k2 - 2k + 1 + 3 - k2 = 1 s -2k = - 3 s k =
3
2
Observe que esse valor satisfaz -1< sen (x) < 1 e -1 < cos (x) < 1.
3π
2
Fazendo π H 3,14, temos:
MF.08
1.a)
1,57
C
30°
Q
3,14
0 P
6,28
105°
45°
4,71
Temos: 1,57 < 3 < 3,14
Portanto, o arco que mede 3 radianos no sentido anti-horário encontra-se no segundo quadrante.
4
3
4
1
+
=
5
5
5
π
1
= 400 + 200 ⋅ cos   = 400 + 200 ⋅
= 500
3
2
π
2
p
9
3
s cos (x) = - (2o quadrante)
25
5
s cos2 (x) =
A
3
B
H
Pela lei dos senos, temos:
3 2
BC
BC
3
BC
3
=
s BC = 3 2 km
s
s
=
=
1
sen 45° sen 30°
2
2
2
2
2
Hiper 1
Matemática
Resolução
b) sen 75° =
s HC =
(
HC
2+ 6
=
s
3 2
4
HC
s
BC
1
ˆ ) = - 3 s cos (MBN
ˆ ) =- 3
⋅ cos (MBN
2
8
4
ˆ ) e DÂM são suplementares.
Os ângulos (MBN
s
2 + 6)⋅3 2
6+6 3
3+3 3
=
=
km
4
4
2
ˆ )= 3
Assim: cos (DÂM) = -cos (MBN
4
2.d
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo DAM, temos:
B
 1
(DM)2 = 12 +  
2
A
45º
R
s (DM)2 = 1 +
6 cm
sR=
6
⋅
2
6
2⋅
2
2
s
x – 1 2x 2 – 1 2x 2 + x 2 – 1 – 2x 2 + 1
2x
+
=
=
–
x+1
x
x ( x + 1)
x ( x + 1)
1
120°
1
A
x2
x
=
=
x ( x + 1) x + 1
C
1
G
D
x
1
3.c
 1
1
1
1 
+
= 3
–
=
x – y x + y
x – y x + y
1
F
1
E
 x+y+x-y 
 x+y– x+y 
=
 = 3 ·  (x – y) ⋅ (x + y)  =
 ( x – y ) ⋅ ( x + y ) 


Aplicando a lei dos cossenos no triângulo CDE, temos:
x2 = 12 + 12 - 2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ cos (120°) s
 1
s x2 = 1 + 1 - 2 ⋅  –  s x2 = 3 s x =
 2
2x = 6y s x = 3y s
3 dm
O perímetro pedido é dado por: 1 + 1 + 1 + 1 +
3 =4+
3
4. Considere a figura a seguir:
x
S
x
x
R
x
x
T
3 km
A
x
x
x
Q
Os triângulos RAS, SAT, TAP e PAQ são equiláteros de lado x. Logo,
cada um de seus ângulos internos mede 60°.
Assim: m(RÂQ) = 360° - 4 ⋅ 60° = 360° - 240° = 120°
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo RAQ, temos:
32 = x2 + x2 - 2 ⋅ x ⋅ x ⋅ cos (120°) s 3x2 = 9 s x = 3 km
1.320 4 – 4 ⋅ 1.320 3 ⋅ 1.318 + 6 ⋅ 1.320 2 ⋅ 1.318 2 – 4 ⋅ 1.320 ⋅ 1.318 3 + 1.318 4 =
Temos que: AM = MB = BN =
1
2
a 4 + b 4 – 2a 2 ⋅ b 2
ab
⋅
=
a2 ⋅ b2
(a + b)
(a 2 – b 2 ) 2
ab
a2 – b2
ab
⋅
=
⋅
=
2
( ab )
(a + b)
ab
(a + b)
s
5
 1
+  
 2
-2⋅
(a – b) ⋅ (a + b)
= a - b = 9,888 - 0,888 = 9
(a + b)
MA.02
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo MBN, temos:
2
(1320 – 1318) 4 = 22 = 4
5.c
=
5.b
x
=3
y
4.d
Seja a = 1.320 e b = 1.318:
(a - b)4 = (a - b)2 ⋅ (a - b)2 = (a2 - 2ab + b2) ⋅ (a2 - 2ab + b2) =
= a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4
Logo:
=
x
P
 1
=  
 2
7
49
⋅ (-7) =
3
3
2.a
B
 14 

 4 
2
1
3
1
s (DM)2 =
s DM =
2
4
4
2
= (a + b) ⋅ (ab - 1) = -
2
s R = 3 2 cm
2
2
1 3
⋅
s
2 4
1.b
a2b + ab2 - a - b = ab(a + b) - (a + b) =
3.b
Considere a figura:
2
-2⋅1⋅
MA.01
C
6
AC
= 2R s
= 2R s R =
sen 45°
sen Bˆ
2
1 1
ˆ )s
⋅
⋅ cos (MBN
2 2
14
1
1
1
ˆ )s
=
+
⋅ cos (MBN
16
4
4
2
1.e
O número foi divido em a e b.
a
b
5a
=
sb=
6 10
3
5a
- a = 120 s 5a - 3a = 360 s
b - a = 120 s
3
Hiper 1
Matemática
Resolução
s 2a = 360 s
s a = 180 e b = 300
a + b é o valor do número antes da divisão.
\ a + b = 180 + 300 = 480
2.e
Consideremos que 42 m = 4.200 cm
2,1
diâmetro do olho
2,1
1
2,1
=
=
=
diâmetro da lente 4.200 4.200 2.000
2,1
Assim, teremos:
1, 17 ⋅ Ds 0, 9 ⋅ Ds
=
= 0,9 ⋅ Δt1
Dt2 =
1, 3v
v
Ou seja, o tempo de viagem diminui em 10%.
4.b
Considere que a prova tem x questões e Carlos, após o teste, tenha
acertado n dessas questões.
Número de acertos
= porcentagem de acertos
Número de questões
n–1
= 0,375 (Faltando uma questão ainda a ser respondida.)
I.
x–1
3.e
Por uma regra de três, temos:
1 hora
24 km
1.200 km
x horas
24x = 1.200 s x = 50 horas
Em (II), temos que n = 0,4x.
Substituindo esse valor em (I), temos:
4.
0, 4 x – 1
= 0,375 s 0,4x - 1 = 0,375x - 0,375 s
x–1
G.I.P.
n
II. = 0,4 (Após responder todas as questões.)
x
s 0,025x = 1 - 0,375 s 0,025x = 0,625 s x = 25 questões
G.I.P.
Operários
Dias
Horas/Dia
12
36
10
15
x
8
12 ⋅ 36 ⋅ 10 = 15 ⋅ 8 ⋅ x s
sx=
12 ⋅ 36 ⋅ 10
= 36
15 ⋅ 8
A reforma demorará 36 dias.
5.a
S
S ⋅ x2
k ⋅ b ⋅ d2
=ks
=ksS=
2
1
b⋅d
x2
b ⋅d2 ⋅ 2
x
MA.03
MA.04
1.c
25
⋅ 279 = 69,75 internautas responderam não à enquete.
100
Isso é um valor entre 50 e 75.
2.b
O objeto que custava x, após o aumento, passou a custar 1,25x.
Sendo de y o valor reduzido, deveremos ter:
1,25x y
⋅ 1,25x = x s
100
s 125x - 1,25xy = 100x s
s 125x - 100x = 1,25xy s
s 25x = 1,25xy s
s 25 = 1,25y s
sy=
25
y
= 20%
s y = 20 s
1, 25
100
3.b
v =
Ds
Ds
s Dt1 =
Dt 1
v
Optando por um percurso 17% mais longo, ele percorrerá 1,17 ⋅ Ds.
Aumentando a velocidade em 30%, ela será de 1,3v.
6
5.e
Seja A a quantidade de aves azuis e V a quantidade de aves verdes.
I. A + V = 100% s A + V = 1
II. A = 0,98(A + V)
Suponha que morreram K aves azuis.
Assim ficamos com:
Azuis = A - K; Verdes = V (O todo agora é A - K + V.)
III. A - K = (0,96)(A - K + V)
Substituindo II em III, temos:
0,98(A + V) - K = 0,96 A - 0,96K + 0,96V s
s 0,98A + 0,98V - K = 0,96A - 0,96K + 0,96V s
s 0,02A + 0,02V = 0,04K s 0,02(A + V) = 0,04K
Mas por (I), temos: A + V = 1
Então: 0,04K = 0,02 s K = 0,5 = 50%
1.d
Se foram pagos R$ 500,00 na entrada, faltam ainda R$ 400,00.
Foi então cobrado R$ 100,00 de juros.
100 = x ⋅ 400 s x = 0,25 = 25%
2.c
Sendo x o valor da casa, temos que:
0,05 ⋅ x = 4.600 s x = R$ 92.000,00
que é o valor que a pessoa resgatou após a aplicação.
Sendo C o capital aplicado, J os juros que esse capital rendeu, i a
taxa de aplicação e t o tempo de investimento, temos:
J=C⋅i⋅t
J + C = 92.000 s J = 92.000 - C
Então, aplicando a fórmula de juros simples, temos:
92.000 - C = C ⋅ 0,04 ⋅ 3 s 92.000 = C + 0,12C s
s 1,12C = 92.000 s C = R$ 82.142,86
3.b
Dimensões da sala:
1
4
=
s m = 400 cm
100 m
1
5
=
s n = 500 cm
100 n
Hiper 1
Matemática
Resolução
Quantidade de ladrilhos:
Para a dimensão m: 400 : 20 = 20
Para a dimensão n: 500 : 20 = 25
Para cobrir todo o piso da sala: x = 20 ⋅ 25 = 500 ladrilhos
b)x1 ⋅ x2 = c)
5
3
x + x2
1
1
1
3
+
= 1
=
=–
5
x1 x2
x1 ⋅ x2
5
–
3
4.d
Sendo x a altura da maquete A, temos:
d) x 12 ⋅ x2 + x1 ⋅ x 22 = (x 1 ⋅ x2)(x1 + x2) = -
x
1
36
s x=
=
= 0,25 m = 25 cm
36 144
144
e)x1 + x2 = 1 s (x1 + x2)2 = 12 s x 12 + 2x1 ⋅ x2 + x 22 = 1 s
Para encontrarmos a escala usada na maquete B, procedemos da
seguinte maneira:
36
1, 2 1
= s y=
= 30
y
1, 2
36
Logo a escala usada na maquete B é de 1 : 30.
5.a
I. (V) Sendo 2.700 km = 270.000.000 cm, temos:
1
18
=
270.000.000 15.000.000
II. (F) Dimensões reais da cidade B:
1
14
=
s x = 350.000 cm = 3,5 km (I)
25.000
x
1
5
=
s y = 125.000 cm = 1,25 km (II)
25.000 y
A área real da cidade B é dada por: 3,5 ⋅ 1,25 = 4,375 km2
MA.05
1.b
5 x + 3 y = 76
-
 2 x + 5 y = 76
3x - 2y = 0 s x =
2y
3
s x 12 –
s x2 - 3x + 2 + 3 = 2x + 1 s x2 - 5x + 4 = 0
D = b2 - 4ac s D = 25 - 16 = 9
x =
–b ± D
5±3
s x = 1(Não convém.) ou e x = 4
sx=
2
2a
S = {4}
MA.06
1.e
a) (F) Entre 1992 e 1995 houve um período em que a produção foi
decrescente.
b)(F) A média da produção no período foi 50 mil toneladas ao ano.
c)(F) O acréscimo na produção em relação ao ano anterior foi de 20%.
d) (F) No período considerado houve período de produção constante
e crescente.
e)(V) A média de produção anual foi de 50 mil toneladas.
2.e
2y
5 ⋅
+ 3y = 76 s 10y + 9y = 228 s
3
f(x) = -
2
Além disso, temos: 8 =
⋅ 12
3
2.d
Considere como x o número de amigos e y o valor da conta.
I.13x = y - 24
II.16x = y + 12
Fazendo II - I:
3x = 36 s x = 12
3.b
Seja x o número de elementos do grupo.
Assim temos:
 1.200

+ 90  s
1.200 = (x - 3) ⋅ 
 x

s 1.200x = 1.200x + 90x2 - 3.600 - 270x s
s 90x2 - 270x - 3.600 = 0 s
s x2 - 3x - 40 = 0 s
s x = -5 (Não convém.) ou x = 8
4.a) x1 + x2 =
7
3
=1
3
10 13
10
=
+ x 22 = 1 s x 12 + x 22 = 1 +
3
3
3
5.d
C.E. x ≠ ±1
x–2
x
3
1
+
=
+
s
x + 1 ( x – 1) ⋅ ( x + 1) x – 1 ( x – 1) ⋅ ( x + 1)
( x – 1) ⋅ ( x – 2) + 3
x + 1+ x
s
s
=
x
⋅
x
+
x
(
–
1)
(
1)
(
–
1) ⋅ ( x + 1)
Substituindo em I, temos:
s 19y = 228 s y = 12 e x = 8
5
5
⋅1=3
3
3
2x – 3
3
2x – 3
=- s
= -3 s
s
5
5x
5
x
s 2x - 3 = - 3x s 5x = 3 s x =
3
5
3.d
f(1) = 4
f(2) = 4f(1) = 4 ⋅ 4 = 42
f(3) = 4f(2) = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 43
f(4) = 4f(3) = 4 ⋅ 43 = 44
f(10) = 410
4.c
p = 50 x
Quadruplicando o valor de x, temos:
p = 50 4x s p = 50 ⋅ 2 ⋅ x = 2 ⋅ 50 x = 2p
Logo, quadruplicando o valor de x, o valor de p dobra.
5.e
C = kWh consumidos + impostos + taxa de iluminação
C = E + I + 2,50 (I)
E = 0,54k (II)
I = 0,17E (III)
Substituindo II em III:
I = 0,17 ⋅ 0,54k = 0,0918k
Hiper 1
Matemática
Resolução
Substituindo em I:
C = 0,54k + 0,0918k + 2,50 s C = 0,6318k + 2,50
MA.08
1.b
yv > -1 s -
MA.07
1. e
O gráfico da função é uma reta; logo essa função é do 1º grau.
I.
f(-1) = 0 s -a + b = 0
II.
f(0) = 1 s a ⋅ 0 + b = 1 s b = 1
Substituindo II em I, temos que a = 1.
Assim: f(x) = x + 1 s y = x + 1
2.c
y = ax + b
I. (0; 10.000): b = 10.000
II. (5; 1.000): 5a + b = 1.000
Substituindo (I) em (II), temos:
5a + 10.000 = 1.000 s 5a = -9.000
a = -1.800
Logo, f(x) = -1.800x + 10.000 e estamos procurando f(3).
f(3) = -1.800 ⋅ 3 + 10.000 = -5.400 + 10.000 = 4.600
3.c
Banda A:
f(x) = 1.300
Banda B:
Sendo x o preço de cada ingresso e p o número de ingressos vendidos, temos que a arrecadação é p ⋅ x; considere ainda como k a
arrecadação com refrigerantes.
g(x) = 600 + 0,2p ⋅ x + 0,2k
Para p = 400 e k = 1.500, temos:
g(x) = 600 + 0,2 ⋅ 400 ⋅ x + 0,2 ⋅ 1.500 s
s g(x) = 600 + 80x + 300 s g(x) = 80x + 900
\ f(x) = g(x) s 1.300 = 80x + 900 s 80x = 400 s x = R$ 5,00
s-
D
(m 2 - 32)
m 2 - 32
> -1 s > -1 s +1>0s
4
4
4a
m 2 - 28
> 0 s -m2 + 28 > 0 s m2 - 28 < 0 s m2 < 28 s
4
s -2 7 < m < 2 7
Como
7 é aproximadamente 2,6, o maior valor inteiro de m é 5.
2.b
C(p) = 0,5p + 1
p(t) = 2t2 - t + 110
C(t) = 0,5 ⋅ (2t2 - t + 110) + 1 s C(t) = t2 s C(t) = t2 -
t
+ 55 + 1 s
2
t
+ 56
2
Para C(t) = 61, temos:
t2 -
t
t
+ 56 = 61 s t2 - 5 = 0 s 2t2 - t - 10 = 0
2
2
D = 81
t =
–b ± D
1± 9
st=
4
2a
t = -2 (Não convém.) ou t = 2,5 anos
\ 2 anos e 6 meses
3.a
Seja c(x) o comprimento do canal medido na altura da abscissa x de
tal forma que c(x) = x2 - (2x - 5), ou seja, c(x) = x2 - 2x + 5. Obter a
menor distância é obter o valor do cmín., ou seja, o cV.
Cmín. = cV =
–D
– [ (–2) 2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 5 ]
s cmín. =
s cmín. = 4
4a
4⋅1
Na escala da figura, teremos 4 ⋅ 50, ou seja, 200 metros.
4.Soma = 18 (02 + 16)
(01)(F) f(0) = -2; f(3) = 0; x2 > x1 s f(x2) > f(x1). A função é crescente.
(02) (V) Pelo gráfico: f(3) = 0. Logo, 3 é raiz da função.
(04) (F) Como o gráfico da função é uma reta, temos que ela é do
1º grau. f(x) = ax + b
I.
f(0) = -2 s b = -2
II.
f(3) = 0 s 3a + b = 0 s 3a - 2 = 0 s a =
f(x) =
(08)(F) A =
2
3
2x
-2
3
3⋅2
=3
2
(16) (V) De acordo com o item (04):
f(x) =
2x
2⋅6
- 2 s f(6) =
-2 = 4 - 2 = 2
3
3
5.b
Lucro: L = 1.500
custo: c = 5.000 + 10x
v = 15x
L = v - c s 1.500 = 15x - 5.000 - 10x
5x = 6.500 s x = 1.300 camisetas
Para dobrar o lucro, devemos ter:
L = 3.000 s L = v - c s 3.000 = 15x - 5.000 - 10x
8.000 = 5x s x = 1.600 camisetas
8
4.d
f(D) = a ⋅ D2 + b ⋅ D + c s
N
= a ⋅ D2 + b ⋅ D + c, com 0 < D < 8
10 4
f(0) = 5 s a ⋅ 0 + b ⋅ 0 + c = 5 s c = 5
f(1) = 2 s a + b + c = 2 s a + b + 5 = 2 s a + b = -3
f(2) = 1 s 4a + 2b + c = 1 s 4a + 2b + 5 = 1 s
s 4a + 2b = - 4 s 2a + b = -2
Das expressões anteriores, temos: a = 1 e b = -4
A função é então dada por:
N
4 = D2 - 4 ⋅ D + 5, com 0 < D < 8
10
Analisando as afirmações, temos:
I. (F) Para serem inteiramente dizimados, precisaríamos ter f(D) = 0
II.(V) Segundo a função (ver gráfico) o valor de N diminui até o
2º dia e depois volta a crescer.
III.(V)
N
= 52 - 4 ⋅ 5 + 5 s N = 104 ⋅ (25 - 20 + 5) s
10 4
s N = 104 ⋅ 10 s N = 105
IV.(F)
N
= D2 - 4 ⋅ D + 5 s
10 4
s N = 104 ⋅ D2 - 4 ⋅ 104 + 5 ⋅ 104
5.a)Para p = 32, temos: n = 400 - 5 ⋅ 32 = 240 kg
A arrecadação A é dada por: A = p ⋅ n s A = 32 ⋅ 240 = R$ 7.680,00
Hiper 1
Matemática
Resolução
O gerente paga Q ao fornecedor.
Q = 200 + 10 ⋅ n s Q = 200 + 10 ⋅ 240 s
s Q = 200 + 2.400 s Q = R$ 2.600,00
O lucro L é dado por: L = A - Q s L = 7.680 - 2.600 = R$ 5.080,00
b)Sendo A a arrecadação com a venda dos peixes, p o preço do
quilograma do peixe e n a quantidade de peixes vendida, em
quilogramas, temos:
A = p ⋅ n s A = p ⋅ (400 - 5p) s A = -5p2 + 400p
O gerente paga Q ao fornecedor.
Q = 200 + 10n s Q = 200 + 10(400 - 5p) s
s Q = 200 + 4.000 - 50p s Q = -50p + 4.200
O lucro L é dado por:
L = A - Q s L = -5p2 + 400p + 50p - 4.200 s
s -5p2 + 450p - 4.200
O lucro é máximo para o “p” do vértice.
pv =
–450
= R$ 45,00
–10
a
a
180° – a
180° – c
c
c
b = 180 - a + 180 - c s a + b + c = 360°
5.a
Ângulos alternos internos são congruentes.
Então:
5x
5x
15 x + 60 10 x + 360
=
+ 10° =
+ 60° s
s
2
3
6
6
s 5x = 300 s x = 60°
MG.02
1.c
MG.01
d =
1.a
n ⋅ ( n – 3)
n ⋅ ( n – 3)
s
= 35 s n2 - 3n = 70 s
2
2
s n2 - 3n - 70 = 0 s n = −7 (Não convém.) ou n = 10
t
r
120°
60°
20°
60°
u
x
s
Observe a figura:
20° + 60° + x = 180° s x = 100°
2.b
m(BÂM) = 180° - 100° - 50° = 30°
Como AM é bissetriz de CÂB, temos que BÂM £ CÂM.
Assim: m(CÂM) = 30°
 e AMB
 são suplementares.
Observe que AMC
ˆ
Logo, m(AMB) = 180° - 100° = 80°
Então:
x + 80° + 30° = 180° = 70°
3.d
Considere a figura:
D
2.b
Sejam os polígonos com n e n + 3 lados.
Somando o número de diagonais de ambos, encontramos o valor
64.
Então:
n ⋅ ( n – 3) ( n – 3) ⋅ ( n + 3 – 3)
= 64 s
+
2
2
s n ⋅ (n - 3) + n ⋅ (n + 3) = 128 s
s n2 - 3n + n2 + 3n = 128 s 2n2 = 128 s n2 = 64 s n = 8
Então os polígonos são n = 8 (octógono) e n + 3 = 8 + 3 = 11 (undecágono).
3.d
Para n e d como número de lados e de diagonais de um polígono,
temos:
n ⋅ ( n – 3)
I. d =
2
( n + 3) ⋅ ( n + 3 – 3)
II. Do enunciado, temos: d + 21 =
2
Substituindo I em II:
n ⋅ ( n – 3)
( n + 3) ⋅ n
s n2 - 3n + 42 = n2 + 3n s
+ 21 =
2
2
C
s 6n = 42 s n = 7
E
z
B
A
4.a
Observe a figura:
k
y
x
36º
O
F
OD é bissetriz de AÔE : x + y + z = k
I.
II.
x + y + z + k + 36° = 180° s k + k + 36° = 180° s
s 2k = 144° s k = 72°
OC é bissetriz de AÔD: x + y = z
III.
Em I, temos que x + y = k - z; substituindo em III, temos:
k - z = z s 2z = k s 2z = 72° s z = 36°
OB é bissetriz de AÔC: x = y
IV.
Substituindo IV em III, temos: 2x = z s 2x = 36° s x = 18°
4.a
Seja a figura:
9
A
180° – x
B
60°
x
180° – x
x
C
D
180° - x + 180° - x + 60° = 180° s 2x = 240° s x = 120°
Hiper 1
Matemática
Resolução
O polígono em questão tem os ângulos internos iguais a 120°.
m(â) + m(b̂) + m(ĉ ) + m(d̂ ) = 360° s
( n – 2) ⋅ 180
= 120° s
n
s
x
3x
+ x = 360° s 5x = 360° s x = 72° s d = x = 72°
+ 2x +
2
2
s 180° ⋅ n - 360° = 120° ⋅ n s
s 60° ⋅ n = 360° s n = 6
O polígono é um hexágono.
m(ê) + m( f̂ ) + m( ĝ) = 180° s 90° + m( f̂ ) + 72° = 180°
5.a
Se o polígono ABCDE é um pentágono regular, temos que m(BÂE) =
4.d
=
\ m( f̂ ) = 18°
7
(5 – 2) ⋅ 180°
= 108°.
5
a
Como EF // AB, temos que os ângulos FÊA e EÂB são colaterais internos, ou seja, são congruentes. Daí, temos:
m(BÂE) = 180° - a s 108° = 180° - a s a = 180° - 108° = 72°
4
a
4
3
4
3
13
a2 - 32 + 42 s a2 = 25 s a = 5
Perímetro:
2p - 7 + 2a + 13 s 2p = 30
MG.03
1.a
Considere a figura:
6
A
E
B
5.c
O quadrilátero que tem essas propriedades é o losango.
Considere a figura:
x
12
α
α
25
12
C
D
α
O perímetro do triângulo CDE é 2 ⋅ 6 5 + 12 = 12( 5 + 1) cm.
2.b
Observe a figura:
I.6a = 180° s a = 30°
No triângulo retângulo da figura, temos:
sen a =
1
25
x
x
x
s =
s x=
s sen (30°) =
25
2 25
2
25
cos a =
3
25 3
y
y
y
s
=
s y=
s cos (30°) =
25
2
25
2
25
B
y
Uma das diagonais é 2x = 25 e a outra é 2y = 25 3 .
O
MG.04
92°
D
2α
y
Os triângulos ACE e BED são congruentes.
Assim, AE = EB = 6.
Aplicando Pitágoras no triângulo AEC, temos:
x2 = 144 + 36 s x2 = 180 s x = 6 5 cm
A
x
α
45°
x
1.d
Considere a figura:
x
C
A
No triângulo DOC, temos:
x + 92° + 45° = 180° s x = 43°
90° + 90° + 86° + y = 360° s y = 94°
Portanto, o ângulo agudo mede 86°, e o obtuso mede 94°.
60º
F
y
3.b
Temos:
m( d ) = m( g) (o.p.v.)
B
y
x
E
C
x
x
D
f
c
b
a
10
d
g
e
No triângulo FBE:
x + y = 60° (I)
No triângulo CDE:
y = 2x (II)
Substituindo II em I:
Hiper 1
Matemática
Resolução
x + 2x = 60° s 3x = 60° s x = 20° e y = 40°
No triângulo ABC:
 + 2y = 180° s  + 80° = 180° s  = 100°
No triângulo ACD, temos:
2.a
Observe a figura:
5.e
D é o baricentro do triângulo ABC.
x
AB = x s BF =
2
BG = CG = z
y
AC = y s CE =
2
 ) + m( ADC
 ) = 180° s
m(CÂD) + m( ACD
s m(CÂD) + 80° + 80° = 180° s m(CÂD) = 20°
B
k
F
E
AG = k s DG =
x
x
80º
y x
CD
n
= 2 s FD =
FD
2
y
x
A
D
C
x + 80° + x = 180° s x = 50°
y + 2x = 180° s y + 100° = 180° s y = 80°
k + 80° + 80° = 180° s k = 20°
BE = m s DE =
E
15º
75º
4
4
D
4
3 x + 3n + 2k + 6 z
x n k
+ + +z=
2 2 3
6
II. Perímetro do quadrilátero CEDG:
60º
3 x + 3n + 2k + 6 z
3 y + 2m + 2k + 6 z
+
=
6
6
3 x + 3 y + 12 z + 4k + 2m + 3n
=
6
4
B
4
MG.05
I.(V)
II.(F)
III.(V) AD = 4 2 H 5,657
IV.(V) O triângulo EAC é isósceles.
ˆ ) = 180° s 30° + 2m(AÊC) = 180° s
30° + m(AÊC) + m( ACE
s 2m(AÊC) = 150° s m(AÊC) = 75°
\ m(DÊC) = 90° - 75° = 15°
V.(V) A altura do triângulo ABC é:
 3 4 3
=
= 2 3 H 3,46
2
2
A distância entre C e DE é: 4 - 3,46 = 0,54
h =
A
40°
40°
20°
80° 80°
C
C
y
x
A
B
2x
2.a
 é inscrito.
DBA
40°
D
1.Considere a figura:
y e 2x são ângulos inscritos de um mesmo arco.
Assim, y = 2x (I)
O triângulo ABC é retângulo em C.
Assim: x + y = 90° (II)
Substituindo I em II, temos:
x + 2x = 90° s 3x = 90° s x = 30°
Logo: y = 60°
4.b
40°
3 y + 2m + 2k + 6 z
y m k
+ + +z=
2 3 3
6
\ I + II =
4
4
A
E
ABC e ADE são triângulos isósceles com bases AB e AE , respectivamente.
ˆ ) = m(BÂC) = m(AÊD) = m(DÂE) = 40°
Logo, m( ABC
ˆ é um ângulo externo ao triângulo ABC e, portanto, igual à soma
ADC
ˆ ) = 80°
dos ângulos internos não adjacentes: m( ADC
ˆ é um ângulo externo ao triângulo ADE e, portanto, igual à soma
ADC
ˆ ) = 80°
dos ângulos internos não adjacentes: m( ADC
11
I. Perímetro do quadrilátero BGDF:
CE + DE + DG + CG =
C
30º
B
m
3
BF + FD + DG + BG =
3. V - F - V - V - V
Observe a figura:
k
3
A
85º
D
20º
E
85º
95º – x
C
x
B
Hiper 1
Matemática
Resolução
 ) = 40° e m(BA
 ) = 140° ( BAD
 é um semicírculo).
Assim, m(DA
(95° - x) é inscrito.
Assim:
140°
s x = 95° - 70° s x = 25°
95° - x =
2
3.c
Em uma circunferência, um ângulo inscrito mede a metade da medida do ângulo central correspondente.
Assim:
MG.06
AD
AB
BC
CD
=
=
=
s
AD ' AB ' B ' C ' C ' D '
10
2
3
5
s
=
=
=
13
AB
'
B
'
C
'
C
D'
'
\ AB’ = 2,6 cm, B’C = 3,9 cm e C’D = 6,5 cm
1.
2.c
Considere a figura:
80°
40°
20°
Fazendo II + IV:
2x + 90° = 250° s 2x = 160° s x = 80° e y = 90°
Assim:
 ) = 80° e m(DG)
 = 90°
m( FE
Hiper 1
Matemática
Resolução
k
480
z
y
4.c
Considere a figura:
x
30
r
y
2y
y
C
x
90
120
Observe que x + y + z + k = 480.
Aplicando o teorema de Tales, temos:
z
k
x+y+z+k
x
y
=
=
=
=
30 + 60 + 90 + 120 30 60 90 120
B
s
60
A
O
480
x+y+z+k
x
x
I.
=
s
=
s x = 48 m
30 + 60 + 90 + 120 30
300 30
Do triângulo AÔB tiramos que x + 2y = 90° s y =
90° – x
(I)
2
 ) = 90° + y (II)
m( ABC
Substituindo II em I:
ˆ ) = 180° + 90° - x s
ˆ ) = 90° + 90° – x s 2 ⋅ m( ABC
m( ABC
2
 ) s x = 3π - 2 m( ABC
 )
s x = 270° - 2 ⋅ m( ABC
2
480
x+y+z+k
y
y
II.
=
s
=
s y = 96 m
30 + 60 + 90 + 120 60
300 60
480
x+y+z+k
z
z
III.
=
s
=
s z = 144 m
30 + 60 + 90 + 120 90
300 90
480
x+y+z+k
k
k
IV.
=
s
=
s k = 192 m
30 + 60 + 90 + 120 120
300 120
3.Considere a figura:
Edifício
5.a
Considere a figura:
E
Homem
8
A
50º
E
2
Ponto
de luz
100º
12 – x
x
A
F
O
D
40º
B
G
C
, DG
e FG
, respectivamente.
Seja x e y e z as medidas dos arcos FE
I.50° =
y+z–x
s y + z - x = 100°
2
II.40° =
x+z–y
s x + z - y = 80°
2
Fazendo I + II, temos:
2z = 180° s z = 90° (III)
Da figura temos: x + y + z = 360° - 100° = 260°
Tomando o valor de z em III:
x + y + 90° = 260° s x + y = 170° (IV)
12
C
D
B
Os triângulos ABC e ADE são semelhantes.
Assim:
12 – x 2
= s 96 - 8x = 24 s 8x = 72 s x = 9 metros
12
8
4.c
Considere a figura:
E
B
4
A
x
Projetor
D
x
k
1,2k
k
Projetor
1,2k
C
F
3.Considere a figura:
Os triângulos ABC e DEF são semelhantes.
Então:
A
1, 2k 2 x + 4
2x + 4
= 1,2 s 2x + 4 = 4,8 s
=
s
4
4
k
s 2x = 0,8 s x = 0,4
Devemos colocar o projetor a uma distância de (2x + 4) metros:
2 ⋅ 0,4 + 4 = 0,8 + 4 = 4,8 metros
5.b
2a
C
B
C
H
100
E
h
h
2
a
B
4.Considere a figura:
4
D
D
h
3
†ABE ~ †DCE
k = h = 2
h
2
m
3a
a
x
B
3
M
4
B
Aplicando Pitágoras no triângulo ADC, temos:
(AC)2 = 32 + 42 s (AC)2 = 9 + 16 s (AC)2 = 25 s AC = 5 cm
Ainda no triângulo ADC, aplicando uma das relações métricas no
triângulo retângulo, temos:
E
h
C
n
A
A
AD2 = AM ⋅ AC s AM =
C
D
9
= 1,8 = 18 cm
5
5.d
Considere a figura:
†ABD ~ †ECD
\
80
Aplicando Pitágoras no triângulo ABC:
(BC)2 = (AB)2 + (AC)2 s 10.000 = 6.400 + (AC)2 s
s (AC)2 = 3.600 s AC = 60 km
De uma relação métrica no triângulo retângulo, temos:
AB ⋅ AC = BC ⋅ AH s 80 ⋅ 60 = 100 ⋅ AH s AH = 48 km
A
k =
Hiper 1
Matemática
Resolução
A
3a
=3
a
12
h
h
h
=3sx=
x
3
C
D
B
8
n
MG.07
1. I. Por Pitágoras, no triângulo ABC, temos:
102 = 82 + x2 s 100 - 64 = x2 s x2 = 36 s x = 6
II.
x2 = 10k s 36 = 10k s k = 3,6
III.82 = 10z s 64 = 10z s z = 6,4
IV.8x = 10y s 8 ⋅ 6 = 10y s y = 4,8
2.e
A
Aplicando Pitágoras no triângulo ACD, temos:
122 = h2 + 82 s h2 = 144 - 64 s h2 = 80
Por uma das relações métricas no triângulo retângulo, temos:
h2 = 8 ⋅ n s 80 = 8 ⋅ n s n = 10 cm
Assim, o diâmetro BC mede: (8 + 10) cm = 18 cm
O raio da circunferência mede 9 cm.
MG.08
15
h
14 – x
B
D
1.e
AC ⋅ AD = (AB)2 s x ⋅ 2x = 82 s 2x2 = 64 s
s x2 = 32 s x2 = 16 ⋅ 2 s x = 4 2
13
x
C
2.b
h + x = 13 s h = 13 - x (I)
h2 + (14 - x)2 = 152 s h2 = 152 - (14 - x)2 (II)
(I) e (II): 152 - (14 - x)2 = 132 - x2 s
s 225 - (196 - 28x + x2) = 169 - x2 s
s 225 - 196 + 28x - x2 = 169 - x2 s
s 28x = 140 s x = 5
\ 14 - x = 9
2
13
2
2
2
2
D
2
b
A
B
40
40
x
C
DC é o diâmetro da circunferência.
40 ⋅ 40 = 80x s
A
1.600
=xs
80
Hiper 1
Matemática
Resolução
P
6
9
C
12
B
s x s 20
Portanto, o diâmetro da circunferência é 20 + 80 = 100, sendo, então, o raio r = 50 cm.
Perímetro: 2πr = 100π cm
x
D
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD s 6 ⋅ 18 = 9x s x = 12
3.e
Considere a figura:
5.c
Considere a figura:
C
A
18 – x
E
x
D
x
A
B
E
H
18 – x
F
30 – x
D
CE £ DE
AE ⋅ EB = EC ⋅ DE s 576 = (EC)2 s 576 s EC = 24
4.d
Considere a figura:
14
x–6
B
x–6
G
AE = AF; DE = DH; CH = CG; BF = BG
Da figura, temos:
AB = 18 - x + x - 6 = 12
30 – x
C