Matemática 2
Pedro Paulo
GEOMETRIA PLAN A XVII
1 – ÁREA DO CÍRCULO E SUAS PARTES
As principais figuras curvas que aparecem na
Geometria Plana são o círculo e as suas partes. A
seguir, nós vamos ver como calcular a área de cada
uma delas.
1.3 – Área do setor circular
Se um setor circular possui raio
e ângulo
central , como está ilustrado na figura abaixo, a sua
área será diretamente proporcional à área do círculo.
Se é medido em radianos, tem-se:
1.1 – Área do círculo
Se um círculo possui raio , como está
ilustrado na figura abaixo, a sua área será:
Figura 3 – área do setor circular
1.4 – Área do segmento circular
Um segmento circular é a região interior ao
setor circular de raio e ângulo central e exterior ao
triângulo isósceles
, como está ilustrado na figura
abaixo:
Figura 1 – área do círculo
Observação: a circunferência é o contorno do círculo
e possui um comprimento
. A rigor, a
circunferência é uma curva (logo possui comprimento)
e o círculo é uma região (logo possui área).
Observação: o comprimento do arco de circunferência
̂ é diretamente proporcional ao da circunferência. Se
é medido em radianos,
. Assim, a
circunferência é um arco com ângulo central
Figura 4 – área do segmento circular
1.2 – Área da coroa circular
Se uma coroa circular possui raio externo e
raio interno , como está ilustrado na figura abaixo, a
sua área será:
(
)
Figura 2 – área da coroa circular
CASD Vestibulares
Geometria
1
Resolução:
Exercício Resolvido 1:
Calculando a área do círculo:
Na coroa circular abaixo de centro , sabe-se
que
são colineares,
e
. Qual é a
área da coroa?
Como o arco de circunferência delimitado pelo
setor mede
, o ângulo central do setor também é
. Uma maneira prática de determinar a área do
setor é simplesmente utilizar uma regra de três.
Lembrando que um círculo pode ser enxergado como
um setor de ângulo central
, tem-se:
Resposta: A área do setor circular é
Exercício Resolvido 3:
Determine a área do segmento circular abaixo.
Figura 5: figura do exercício resolvido 1
Resolução:
Na coroa, o raio interno é
externo é
área da coroa é
e o raio
. Então a
Figura 7: figura do exercício resolvido 3
Resolução:
Calculando a área do círculo:
Resposta: A área da coroa circular é
Calculando a área do setor circular:
Exercício Resolvido 2:
Determine a área do setor circular abaixo.
Calculando a área do triângulo isóscele
√
√
Calculando a área do segmento circular:
Figura 6: figura do exercício resolvido 2
(
√
√ )
Resposta: A área do segmento circular é
(
2
Geometria
√ )
CASD Vestibulares
4. (UNICAMP - 13) O segmento
é o diâmetro de
um semicírculo e a base de um triângulo isósceles
, conforme a figura abaixo.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I
1. (UFMG - 10)
Por razões antropológicas
desconhecidas, certa comunidade utilizava uma
unidade de área singular, que consistia em um círculo,
cujo raio media
, e a que se dava o nome de
anelar.
Adotando-se essa unidade, é CORRETO afirmar que a
área de um quadrado, cujo lado mede
,é
a)
anelar
b)
anelar
c)
anelar
d)
anelares
2. (UNIFESP - 07) Se um arco de
num círculo
tem o mesmo comprimento de um arco de
num
círculo , então, a razão da área do círculo pela área
do círculo é
a)
b)
c)
d)
e)
3. (FATEC - 08) Na figura, o raio do círculo de centro
é três vezes o raio do círculo de centro e os ângulos
̂ e ̂ , são tais que a
centrais sombreados,
̂
medida de
é a metade da medida de ̂ .
Denotando as áreas das regiões semicircular e
triangular, respectivamente, por ( ) e ( ) podemos
afirmar que quando
radianos, a razão
( ) ( )é
a)
b)
c)
5. (UNICAMP - 12) Um vulcão que entrou em erupção
gerou uma nuvem de cinzas que atingiu rapidamente a
cidade de Rio Grande, a
de distância. Os voos
com destino a cidades situadas em uma região circular
com centro no vulcão e com raio
maior que a
distância entre o vulcão e Rio Grande foram
cancelados. Nesse caso, a área da região que deixou
de receber voos é
a) maior que
b) menor que
c) maior que
d) maior que
Se, no círculo de centro , a área do setor circular
sombreado
é igual a , então, no círculo de centro
, a área do setor circular sombreado
é:
a)
b)
c)
d)
d)
e menor que
e menor que
6. (FATEC - 08) Na figura a seguir tem-se o quadrado
, cujo lado mede
. As retas verticais
dividem os lados ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅ em partes iguais; as retas
horizontais dividem os lados ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅ em
partes
iguais.
e)
Considere o maior número possível de círculos que
podem ser construídos com centros nos pontos
assinalados, raios medindo
e sem pontos internos
comuns. Se do quadrado forem retirados todos esses
círculos, a área da região remanescente, em
centímetros quadrados, será igual a
a)
d)
CASD Vestibulares
Geometria
(
(
)
)
b)
e)
(
(
)
)
c)
(
)
3
Nível II
7. (FUVEST - 09) Na figura, estão representadas a
circunferência , de centro e raio , e os pontos , ,
e , de tal modo que:
1. O ponto
pertence ao segmento
2.
,
√
3.
e
são pontos da circunferência,
perpendicular a
e
é perpendicular a
é
Dados
e
e sabendo que a altura
média da lâmina de óleo sobre as águas era de
e que barril de petróleo cru contém
litros de óleo, o número aproximado de barris que
vazaram no incidente foi
Assim sendo, determine:
a) A área do triangulo
b) Os comprimentos dos arcos determinados por
em
c) A área da região hachurada.
a)
e
b)
c)
d)
e)
9. (ENEM CANCELADO - 09) Dois holofotes iguais,
situados em
e
, respectivamente, iluminam
regiões circulares, ambas de raio . Essas regiões se
sobrepõem e determinam uma região
de maior
intensidade luminosa, conforme figura.
8. (UNESP - 12) No vazamento de petróleo da
empresa americana Chevron do último dia 7 de
novembro, na bacia de Campos/RJ, a mancha de óleo
na superfície do mar assumiu grandes dimensões e
teve seu pico de área entre os dias 12 e 14 daquele
mês. O vazamento levou dias para ser contido, pois o
petróleo continuava a escapar por fissuras, como
mostrado na foto.
Área do setor circular:
,
em radianos.
A área da região , em unidades de área, é igual a
a)
d)
√
b)
(
√ )
c)
e)
A figura mostra, de forma hipotética e aproximada, em
tom escuro, as áreas da mancha de óleo na superfície
do mar.
4
Geometria
CASD Vestibulares
10. (UFRGS - 13) Observe a figura abaixo.
No quadrado
diâmetros dos
sombreada é
a)
b)
de lado , os lados
semicírculos. A área
c)
d)
de circunferência e tangencia as arestas
pontos e , respectivamente.
nos
e
são
da região
e)
11. (FUVEST - 07) Na figura,
é um setor circular
com centro em ,
é um retângulo e o segmento
é tangente em
ao arco de extremos
e
do
setor circular.
Se
igual a
√ e
, então a área do setor
a)
b)
c)
d)
e
é
a) Calcule a área do quadrilátero de papel que forma o
papagaio.
b) Calcule o comprimento da vareta de bambu que liga
os pontos e .
14. (UFSCAR - 08)
A figura representa três
semicírculos, mutuamente tangentes dois a dois, de
diâmetros ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅.
Sendo ̅̅̅̅ perpendicular a ̅̅̅̅, e sabendo-se que
e
, a medida da área da região
sombreada na figura, em
, é igual a
e)
4
a)
b)
12. (UNICAMP - 07) Em um triângulo com vértices ,
e , inscrevemos um círculo de raio . Sabe-se que o
ângulo tem
e que o círculo inscrito tangencia o
lado
no ponto , dividindo esse lado em dois
trechos com comprimentos
e
.
15. (FUVEST - 12)
c)
d)
e)
a) Determine
b) Determine
e
c) Determine a área da região que é, ao mesmo tempo,
interna ao triângulo e externa ao círculo
13. (UNICAMP - 10) O papagaio (também conhecido
como pipa, pandorga ou arraia) é um brinquedo muito
comum no Brasil. A figura a seguir mostra as
dimensões de um papagaio simples, confeccionado
com uma folha de papel que tem o formato do
quadrilátero
, duas varetas de bambu (indicadas
em cinza) e um pedaço de linha. Uma das varetas é
reta e liga os vértices e da folha de papel. A outra,
que liga os vértices e , tem o formato de um arco
CASD Vestibulares
Na figura, a circunferência de centro
é tangente à
reta ⃡ no ponto , o qual pertence à reta ⃡ . Além
disso, e são pontos da circunferência,
√ e
√ . Nessas condições, determine
a) a medida do segmento ̅̅̅̅;
b) o raio da circunferência;
c) a área do triângulo
;
d) a área da região hachurada na figura.
Geometria
5
16. (FUVEST - 07) A figura representa um trapézio
de bases ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅ , inscrito em uma
circunferência cujo centro
está no interior do
trapézio.
Sabe-se que
,
e
√ .
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
1. Note que
anelar corresponde a
2. Sejam
o raio do círculo e
o raio do círculo .
No círculo , o comprimento do arco de
(ou
)é
. No círculo , o comprimento do arco
de
(ou
) é
. Como os
comprimentos são iguais, tem-se:
A razão entre as áreas é
( )
( )
3. Sejam
o raio do círculo de centro e
o raio do
círculo de centro . Então a razão entre as áreas dos
setores circulares
e
é
a) Determine a altura do trapézio.
̂
̂
(
)
̂
̂
b) Calcule o raio da circunferência na qual ele está
inscrito.
c) Calcule a área da região exterior ao trapézio e
delimitada pela circunferência.
17. (UFMG - 11) Nesta figura plana,
é um
triângulo equilátero de lado e, sobre os lados desse
triângulo, estão construídos os quadrados
,
e
4. Seja
. Use Pitágoras no triângulo
e
note que
o raio da região
√ . Seja
semicircular. Então note que
. Note
√
que ( )
e que ( )
5. O raio da região circular que deixou de receber vôos
é
, logo a área da região é
6. Note que é possível colocar 3 círculos lado a lado na
metade de cima do quadrado
e mais 3 círculos
lado a lado na metade de baixo do quadrado
.
Assim, a área do quadrado é
e
a área dos círculos é
. Logo a área
remanescente é
Considerando essas informações,
a) Determine o perímetro do hexágono
b) Determine a área do hexágono
c) Determine o raio da circunferência que passa pelos
vértices do hexágono
6
Geometria
CASD Vestibulares
7. No item a), note que
Pitágoras no triângulo retângulo
. Aplicando
10. A figura do problema é a seguinte:
:
√
Note que a área do triângulo
é
No item b), no triângulo retângulo
No triângulo retângulo
, tem-se
Sejam , , , os pontos médios dos lados
,
,
e
, respectivamente. Seja
o centro do
quadrado. Então
,
e
são quadrados
de lado , logo cada um deles têm área
. Note
que dentro de cada um dos quadrados
e
há um quarto de um círculo de raio , logo a área de
cada um dos quartos de círculo é
, tem-se
√
Logo, os ângulos centrais determinados por
e
.
e
são
No item c), aplicando Pitágoras no triângulo retângulo
:
√
√
Note que a área do triângulo
A área do setor circular
Note que á area da região sombreada é a diferença
entre a soma das áreas dos quadrados
,
e
e a soma das áreas dos quartos de círculo:
é
é
.
11. A figura do problema é a seguinte:
.
8. Note que a área do triângulo retângulo é
(
)(
)
, a área
do círculo é
, a área do quarto
de círculo é
e a área de cada
semicírculo é
. Assim, a
área da lâmina de óleo é aproximadamente
(
)
, o que equivale
a
. Além disso,
sabe-se que a espessura da lâmina é
. Logo, o volume da lâmina
é
Como
é tangente em ao arco de extremos e ,
tem-se que
é perpendicular a
ea
. Seja o
ponto em que
corta
e
. Então
√
√ e
Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo
:
√
9. A figura do problema é a seguinte
̂
̂
Sejam
e
os centros dos círculos, e
e
as
extremiddes de . Note que a região
pode ser
dividida em duas regiões de área
, sendo cada
região equivalente a um segmento circular de raio e
ângulo central
(o ângulo central é
, pois os
triângulos
e
são equiláteros de lador )
, logo o ângulo central é
).
Então:
√
CASD Vestibulares
(
√
̂
̂
)
̂
̂
̂
Logo a área do setor
é
12. No item a), use o Teorema do Bico para os vértices
,
e e note que
e
. Além
disso,
. Usando Pitágoras:
(
)
(
)
No item b), basta trocar em
e
No item c), note que a área do triângulo é
Geometria
7
̂
14. Como
é um ângulo inscrito em um
semicírculo, ele enxerga um arco de
, logo que
̂
. Então, aplicando Pitágoras no triângulo
retângulo
:
13. No item a), a figura do problema é a seguinte:
̂
̂ . No
̂
são semelhantes.
No triângulo
, sejam
triângulo
, note que ̂
. Então os triângulos
e
Seja
o ponto médio de
. Sejam
. Então, no triângulo retângulo
: é oposto aos lados
(no
)e
(no
);
: é oposto aos lados
(no
)e
(no
);
(no
);
e
: é oposto aos lados
, tem-se:
(no
Semelhança entre
√
No triângulo retângulo
e
√
)e
e
:
√
, tem-se:
Note que a área do triângulo
é
e que a área do triângulo
√
√
O semicírculo de diâmetro
e área
possui raio
.
O semicírculo de diâmetro
e área
possui raio
.
O semicírculo de diâmetro
e área
possui raio
é
No item b), a figura do problema é a seguinte:
.
Note que a área da região sombreada é a diferença
entre a área do semicírculo de diâmetro
e a soma
das áreas dos semicírculos de diâmetros
e
:
(
)
Seja o centro do arco que liga a . Como o arco
tangencia as arestas
e
nos pontos e , tem̂
̂
se que ̂
, logo ̂
.
̂
̂
Então ̂
. Seja ainda
o raio do arco que liga a . Então,
.
Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo
:
√
Como ̂
que liga a
8
e
é
√ , o comprimento do arco
√
Geometria
CASD Vestibulares
√
15. No item a),
√
√
GABARITO
Usando potência de ponto no ponto :
√
1. A
√
2. B
No item b), aplicando Pitágoras no triângulo
calcule
. Lembre-se que
é o dobro do raio .
,
3. C
4. A
No item c), note que
e use
trigonometria para calcular
. Como
, o triângulo
é isósceles, logo
̂
̂
̂
̂
̂ . Use a
e
fórmula trigonométrica para calcular a área do triângulo
5. B
6. A
7. a)
No item d), note que a área da região hachurada é a
área do setor
menos a área do triângulo
16. No item a), como o trapézio
é inscritível,
̂
̂
̂
̂
. Além disso,
,
̂ , então o trapézio é isósceles. Trace
logo ̂
uma perpendicular a
por
que corta
em .
Então
,
e a altura do trapézio é
.
Use Pitágoras no triângulo
para calcular a altura.
√
b) Os comprimentos dos arcos são
e
√
c) A área da região hachurada é
8. B
9. A
No item b), use Pitágoras no triângulo
para
calcular
. No triângulo retângulo
, calcule
. Então use a trigonometria para
calcular
. Finalmente, use a lei dos
senos no triângulo
para achar o raio.
10. E
No item c), tome a diferença entre a área do círculo e a
área do trapézio.
c) A área da região que é, ao mesmo tempo, interna ao
triângulo e externa ao círculo é
17. No item a), note que ̂
(afinal,
dos cossenos nos triângulos
que
√
̂
,
̂
). Usando a lei
e
, note
11. C
12. a)
b)
e
(√
13. a) A área do quadrilátero é
b) O comprimento da vareta de bambu é
)
√
14. D
No item b), use a fórmula trigonométrica para calcular a
área dos triângulos
,
e
: cada um deles
tem uma área de
. Além disso, cada um
dos quadrados
,
e
tem área
eo
triângulo equilátero
tem área √
No item c), seja o centro da circunferência. Por ,
trace uma perpendicular a
que corta
em e
em . Note que
,
,
é
um terço da altura do triângulo equilátero
, logo
√
√
15. a)
√
b) O raio é
d) A área hachurada é (
√ )
16. a) A altura do trapézio é
b) O raio da circunferência é √
c) A área da região exterior ao trapézio e delimitada
pelo trapézio é
17. a) O perímetro do hexágono é
(
√
√ )
O raio da circunferência é a medida de
encontrar
, use Pitágoras no triângulo
:
( )
CASD Vestibulares
(
(
b) A área do hexágono é
. Para
√ )
√
c)
(
c) O raio da circunferência é
(√
)
√ )
√
√
)
Geometria
9