X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
TÓPICOS DE HISTÓRIA E ENSINO DE MATEMÁTICA: UMA PROPOSTA DE
ATIVIDADE PARA O TEOREMA DE TALES
Ana Paula Pereira do Nascimento Silva
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
[email protected]
Giselle Costa de Sousa
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
[email protected]
Resumo: Neste trabalho propomos refletir, mediante uma pesquisa bibliográfica, sobre
como usar a História da Matemática, teoria e prática em sala de aula, mediante atividades
históricas. Assim, discorremos sobre problemas históricos como um método para ajudar
nossos alunos a perceberem uma familiaridade cotidiana ou ao menos uma justificativa
convincente para os aspectos matemáticos durante as aulas de Matemática. Em seguida
chamamos atenção para as dificuldades que tem o professor ao elaborar e executar uma
atividade diferente em sala de aula. Além disso, inspirados nesta fundamentação teórica,
procuramos abordar uma atividade que utiliza a história para facilitar o ensino da
Matemática no tocante ao Teorema de Tales.
Palavras-chave: História; Teorema de Tales; Atividades.
Introdução
Em meio aos estudiosos da educação matemática existem aqueles que nomearam a
História da Matemática como um recurso pedagógico em suas aulas, dentre eles
destacamos Miguel e Miorim, além de, Mendes e Fossa. Segundo Brito et. al (2005), a
Matemática produzida, organizada e difundida historicamente pela sociedade, reflete as
necessidades que diferentes grupos sócio-culturais tiveram na busca de soluções viáveis
para seus problemas cotidianos ao longo dos tempos. Tomando mesmo partido desses
estudiosos, apresentaremos considerações sobre o uso atividades que utilizem a história
para o ensino de Matemática, particularmente exemplificando, no que concerne o ensino
do Teorema de Tales.
É de nosso interesse neste momento ver em que aspectos a integração da História
da Matemática e o ensino de Matemática podem ajudar o aluno em sua aprendizagem.
Deste modo, a História e as atividades aqui apresentadas serão para nós, organizadas do
ponto de vista de suas implicações para o ensino aprendizagem dessa mesma disciplina.
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Alguns obstáculos
Para desenvolvermos qualquer tipo de atividade com objetivo de tornar o ensino de
Matemática mais fácil e acessível, temos primeiramente que ter consciência de que são
várias as dificuldades e obstáculos que surgirão. Tendo consciência desses obstáculos nos
deteremos nesse primeiro momento a discorrer sobre eles.
Um dos primeiros obstáculos, segundo Brito et. al. (2005), que impede o êxito do
ensino-aprendizagem de Matemática diz respeito ao desinteresse dos estudantes com
relação ao modo como a Matemática é exposta em sala de aula, aliada a imparcialidade e a
falta de criatividade do professor que não aproveita, na maioria dos casos, os pouquíssimos
recursos para tornar a aula mais prática e dinâmica. Por exemplo, com relação a esses
obstáculos, acreditamos que podem ser vencidos com as atividades históricas, pois além de
tornar a aula diferente, a História leva os alunos à investigação, a discussão, desperta a
curiosidade e revela a Matemática como produção humana.
Outro obstáculo que surge com frequência é a falta de materiais didáticos que limita
o trabalho do professor, juntamente ao desinteresse da direção e a falta de um trabalho
conjunto entre os professores das demais disciplinas. Nesse sentido a história ajuda o
trabalho, pois podemos elaborar atividades com caráter de pesquisa que podem ser
desenvolvidas no próprio laboratório de informática do colégio ou na biblioteca, bem
como, atividades interdisciplinares, por exemplo, com professores de História e Geografia.
Os questionamentos que geralmente os estudantes fazem quanto aos porquês em
determinado assunto torna-se também um obstáculo a ser vencido, pois muitas vezes o
professor não está preparado para responder as perguntas que surgem. Dessa maneira,
acreditamos que a história da matemática pode ser de grande auxílio para alunos e
professores que tentam encontrar resposta para indagações do tipo: Quem fez isso? Por que
estudo isso? Para que serve? Dentre outros questionamentos que aparecem com frequência.
Desse modo nosso trabalho apresentará uma proposta de abordagem fundamentada
nas atividades de ensino aprendizagem do livro História da matemática por atividades
(2005) – as quais incorporem aspectos históricos com objetivo de favorecer o ensinoaprendizagem de Matemática e que tentem vencer, senão todos, uma grande parte desses
obstáculos que impedem na maioria dos casos que o aluno tenha um aprendizado de
qualidade.
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Objetivando uma melhor e sólida construção dessa proposta discorreremos a seguir
sobre como e qual a melhor forma de utilizar a História da Matemática em sala de aula.
Utilizando a história em sala de aula
Ao tratar do uso da história na sala de aula não podemos deixar de mencionar a
altivez colocada para este tópico nos documentos oficiais que regem o ensino de
Matemática. A exemplo, os Parâmetros curriculares Nacionais colocam que a História da
Matemática contribui “para a superação do preconceito de que a Matemática é um
conhecimento produzido exclusivamente por determinados grupos sociais ou sociedades
mais desenvolvidas” (BRASIL, 1998, p. 34). Nesta mesma direção as Organizações
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio afirmam:
A utilização da História da Matemática em sala de aula também pode ser
vista como um elemento importante no processo de atribuição de
significados aos conceitos matemáticos. É importante, porém, que esse
recurso não fique limitado à descrição de fatos ocorridos no passado ou à
apresentação de biografias de matemáticos famosos. A recuperação do
processo histórico de construção do conhecimento matemático pode se
tornar um importante elemento de contextualização dos objetos de
conhecimento que vão entrar na relação didática. A História da
Matemática pode contribuir também para que o próprio professor
compreenda algumas dificuldades dos alunos, que, de certa maneira,
podem refletir históricas dificuldades presentes também na construção do
conhecimento matemático.
(BRASIL, 2006, p. 86)
Corroborando com estes documentos Brito et. al (2005) pondera que
O conteúdo histórico surge como um elemento motivador e gerador da
matemática escolar, pois se apresenta como um fator bastante esclarecedor
dos porquês matemáticos tão questionados pelos estudantes de todos os
níveis de ensino. É nas informações históricas que estão plantadas as raízes
cotidiana, escolar e científica do conhecimento matemático a ser
(re)construído pelos estudantes e, por isso, precisam ser bem explorado
pelo professor. (BRITO; et. al., 2005, p.58)
Num primeiro momento, o professor de Matemática tem que ter cuidado quando
utiliza a história da matemática, sobretudo, no tocante ao estudo do assunto a ser tratado e
os objetivos a serem alcançados. Contar aos seus alunos como certo matemático viveu ou
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como chegou a tal fórmula pode não chamar atenção deles e pior ainda, não desenvolver
nele habilidades nem conhecimentos úteis. Contudo, salientamos que neste sentido o papel
motivador está em pauta, mas quando o objetivo consiste em construir um conceito, esta
abordagem pode deixar a desejar.
Ao elaborar atividades que utilizem a história da matemática, o professor deve
propor situações que conduzam os alunos a (re)descobrir conceitos através da elaboração,
interpretação, investigação, testes e conclusões de hipóteses por eles elaboradas. Dessa
maneira acreditamos que o aluno é capaz de apreender o porquê fazem/sabem desta ou
daquela maneira, além de ser capaz de estabelecer sua própria aprendizagem, através da
cognição do conhecimento e redescoberta de princípios.
Assim sendo o professor deve transformar sua sala de aula em um ambiente de
pesquisa, onde seus alunos devem se posicionar como investigadores que tem como
objetivo responder questões que lhes surgem no contexto da matemática escolar e que
podem ser respondidas através de aspectos históricos.
É indispensável que o professor seja audacioso e criativo, pois só assim será capaz
de transformar sua sala de aula em um ambiente de investigação, proporcionado aos seus
alunos um local que favoreça a concretização da imaginação e criatividade matemática. Do
contrário, os obstáculos citados anteriormente, tais como a falta de materiais ou
desinteresse do aluno, por exemplo, seriam fatores para inviabilizar a proposta.
Utilizando a história da matemática em atividades
As atividades históricas propostas devem provocar curiosidade no estudante e atiçálo a investigação. Acreditamos que essas características podem ajudá-lo a produzir e reter
conhecimento.
É claro que essas atividades devem ser cuidadosamente elaboradas e ricamente
exploradas em sala, para que sejam de fato proveitosas. Outro cuidado que os docentes
devem atentar consiste na sequência em que os conteúdos serão expostos para que as
atividades possam, de fato, conduzir os estudantes à formalização da ideias matemáticas
construídas ao longo do processo de aprendizagem. De qualquer modo, o professor deve
estar atento para fazer as interferências que forem necessárias para sistematização e
formalização do conhecimento pelo aluno. Da mesma forma:
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[...] consideramos essencial que o professor conheça profundamente os
tópicos históricos da matemática a serem apresentados aos alunos, pois
nessa base teórica que ele se apoiará para segurar as discussões provocadas
pelos estudantes no ato da realização das atividades.
(MENDES, 2001, p.229)
De fato, ao elaborarmos atividades históricas é imprescindível que o professor
tenha consciência de todos os tópicos de história envolvidos e explorados na atividade a ser
desenvolvida. Se assim o for, as atividades de ensino-aprendizagem que incorporam
aspectos da história da matemática manifestam características construtivistas e que
colaboram positivamente para aquisição do conhecimento dos conteúdos matemáticos
pelos estudantes. Mais ainda,
As atividades históricas, portanto, devem conduzir os estudantes a um
processo mais dinâmico de concepção da matemática ensinada em sala de
aula, sob três aspectos da construção do conhecimento: o cotidiano, o
escolar e o científico.
(MENDES, 2001, p.232)
Norteados por estes aspectos, vejamos uma proposta de atividade referente ao
ensino do Teorema de Tales que utilizam a História da Matemática como motivação e fio
condutor da exploração de conceitos.
Sobre atividade proposta
Nessa atividade, acreditamos que poderia ser proposta uma aula de campo onde os
alunos teriam de trabalhar em duplas. Inicialmente pediríamos para que cada um medisse a
altura, bem como, a sombra projetada no chão do colega. Acreditamos que depois das
discussões provocadas pela atividade o aluno crie condições para construir o caminho para
a aprendizagem das relações do Teorema de Tales. Lembremos também que a partir das
observações da atividade podemos revisar a teoria de semelhança de triângulo e, também,
partir para as primeiras idéias das relações trigonométricas.
Uma observação pertinente é que esta atividade só pode ser realizada em dia de sol,
já que desejamos medir sombras projetadas no chão. Portanto quando o professor pensar
em colocar uma atividade de campo deste tipo - que depende das condições climáticas para
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ser realizada com sucesso – ele deve estar consciente dos obstáculos e ter em mão um
outro plano de aula, já que a atividade pode não ser executada no dia planejado.
Vale salientar que, sobre o mesmo assunto, ainda há uma variedade de atividades
que podem ser desenvolvidas, por exemplo, as apresentadas nos anexos deste trabalho.
Ressaltamos que todas elas almejam a perspectiva de explorar conceitos matemáticos
potencializados pela história da Matemática.
Ainda para uma maior orientação, se o leitor achar necessário, a atividade aqui
proposta foi inspirada numa atividade que se encontra no livro História da Matemática em
atividades didáticas e um paradidático para alunos do ensino fundamental intitulado
Contando a Histórias da Matemática. (ambos os livros1 se encontram nas nossas
referências).
Atividade: Teorema de Tales e a altura da pirâmide
A atividade sugerida deve levar o aluno a sentir-se seguro da sua própria
capacidade de construir conhecimentos matemáticos e a perseverar na busca de soluções e
na observação.
Contextualização: Desde a antiguidade os gregos já sabiam como calcular a altura
de um objeto através da projeção da sua sombra, utilizando apenas o conhecimento que
eles tinham sobre semelhança de triângulo. De acordo com as narrações históricas atribuise esta descoberta ao sábio Tales de mileto.
Em uma de suas viagens por volta de 600 a.C., Tales se encontrava no Egito e foi
abordado por escribas (estudiosos da época) a mando do faraó que conhecia a fama de
grande matemático que ele tinha. O objetivo do encontro era fazer com que Tales aceitasse
o desejo do faraó que queira que ele calculasse a altura de uma de suas pirâmides. Tales
ouviu-os com cuidado e atendeu ao pedido feito.
No deserto quando Tales já se encontrava próximo à pirâmide deitou uma vara no
chão e marcou o comprimento dela na areia do deserto, depois fincou a vara no chão em
uma das marcas feita por ele. Tales então esperou o momento em que a sombra da vara
tivesse o mesmo comprimento da vara. No momento exato ele disse: Vá, depressa a
sombra, pois seu comprimento é iguala altura da pirâmide. Tales ainda foi capaz de
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Guelli (2000) e Brito et. al (2005).
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perceber que esse procedimento não estava totalmente correto, pois como a pirâmide era
muito grande escondia parte de sua sombra, logo acrescentou, a medida achada, metade da
medida da base da pirâmide. Desta maneira, Tales conseguiu atender ao pedido do Faraó.
Figura 1
Tales no Egito
Não havia mistério no feito realizado por Tales, pois se tratava de um grande
conhecimento de Geometria. Isso é confirmado com o procedimento de esperar que a vara
e sua sombra tenham a mesma medida e relacionar essas medidas com as da pirâmide e de
sua sombra. Com essa metodologia Tales, observando o triângulo retângulo isósceles
formado e usando conhecimentos geométricos sobre semelhança de triângulo, conseguiu
resolver o problema a ele proposto.
Objetivos: Desenvolver a intuição, a criação de estratégias e a capacidade de
resolver problemas; além de estimular o interesse do aluno pela Matemática, a curiosidade
e o espírito de investigação tendo em vista fazer com que eles se lancem na aventura do
conhecimento. Compreender através da construção do saber o Teorema de Tales.
Sugestão: Essa atividade pode ser expandida e trabalhada conjuntamente com o
professor de Geografia, por exemplo, utilizando um mapa do mundo para achar a
localização dos lugares citados na atividade; e/ou com o professor de História, por
exemplo, para estudarmos o que estava acontecendo de produção cultural na época.
Material Necessário: Fita métrica, folha e lápis para anotações.
Local: Parque ou bosque, praça nos arredores da escola ou o próprio pátio.
Público alvo: alunos do 7º ano e/ou do ensino médio (caso se aproveite para
explorar as relações trigonométricas)
Desafio: Para você compreender melhor as idéias suscitadas aqui podemos desafiá-lo
a realizar uma experiência similar àquela que Tales fez há mais de 2000 anos atrás. Vamos
lá?!
Primeiramente os alunos devem-se dispor de frente para o sol e daí:
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Cada dupla, munida com fita métrica, medem a altura e a sombra de seu respectivo par;
Divide altura pela sombra e anota os resultados no espaço abaixo;
Altura
sombra
Depois de uma hora repita a operação a cima;
Altura
sombra
O que se observa com os resultados obtidos? E comparando com os resultados de
colegas de turma? Que conclusão pode-se tirar desses resultados?
Para chegarmos a resultados mais precisos vamos analisar algumas definições
importantes:
Feixe de Paralelas
Um conjunto de três ou mais retas paralelas de um plano chama-se feixe de
paralelas. As retas que cortam um feixe de paralelas são chamadas de transversais.
Figura 2
Posições de retas
Finalmente!
Teorema de Tales: Um feixe de paralelas determina sobre duas transversais,
segmentos proporcionais.
Figura 3
Comprimento da pirâmide
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Resumindo o que Tales realizou no Egito, e que mais tarde ficaria conhecido como
Teorema de Tales temos:
Tales observou que, num mesmo instante, a razão entre a altura de um objeto e o
comprimento da sombra que esse objeto projetava no chão era sempre a mesma para
quaisquer objetos.
Referências
BRASIL. Ministério da educação e do desporto (MEC). Parâmetros curriculares
nacionais, Ensino Médio. Brasília: SEF, 1998.
______. Ministério da educação e do desporto (MEC). Organizações curriculares
nacionais para o ensino médio. Brasília: SEF, 2006.
BRITO, Arlete de Jesus. et. al. História da matemática em atividades didáticas.
EDUFRN: Natal, 2005.
GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática. Editora Ática, São Paulo, 2000.
MENDES, Iran Abreu. Construtivismo e Historia no ensino da matemática: uma
aliança possível. In: SEMINÁRIO NACIONAL DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, 4.,
2001, Natal. Anais...SBHMAT, 2001. p.228-234.
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ANEXO
Atividade
1) Uma vara de bambu, fincando verticalmente no chão, projeta uma sombra de 1,8m,
quando uma pessoa de 1,72m projeta uma sombra de 1,29m. Qual é o comprimento
da vara?
2) Uma estaca de 1dm, fincada no chão, projeta uma sombra de 21dm, quando uma
árvore projeta uma sombra de 294dm. Qual é a altura da árvore?
Depois de todas essas atividades você consegue explicar qual a ligação entra a
atividade de campo desenvolvida e o teorema de Tales? Explique com suas palavras o que
você pode entender com a atividade proposta.
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