MATEMÁTICA
Prof. Favalessa
1.
Num instante t1, um avião é visto por um observador situado no solo sob um ângulo de 60° e, no
instante t 2 , sob um ângulo de 30°. Sabendo-se que o avião voa numa reta horizontal a uma altitude de
5 km, assinale o que for correto.
01) No instante t1, a distância entre o observador e o avião é 10 3 km.
02) No instante t 2 , a distância entre o observador e o avião é 10 km.
04) A distância percorrida pelo avião entre os instantes t1 e t 2 é maior que 5 km.
08) A distância percorrida pelo avião entre os instantes t1 e t 2 é menor que 4 km.
Resposta: 02 + 04 = 06.
[01] Falsa, pois sen60
5
y
[02] Verdadeira, pois sen30
3
2
5
y
5
x
1
2
y
5
x
10 3
km.
3
x
10 km.
[04] Verdadeira, pois o triângulo At1t2 é isósceles, logo z = y > 5.
[08] Falsa, pois z = y > 5.
2. Um caminhão, cuja carroceria está a uma altura de 1,2 m do chão está estacionado em um terreno
plano. Deseja-se carregar uma máquina pesada neste caminhão e para isso será colocada uma rampa da
carroceria do caminhão até o chão. O comprimento mínimo da rampa para que esta forme com o chão um
ângulo máximo de 30° é, em metros, de:
1
3
3
, cos 30°
e tg 30°
(Considere: sen 30°
)
2
2
3
a) 0,8 3.
Resposta: [B]
b) 2,4.
No triângulo assinalado, temos:
c) 1,2 3.
sen30
1,2
x
d) 0,6 3.
1
2
1,2
x
x
e) 0,6.
2,4
3. O pistão de um motor se movimenta para cima e para baixo dentro de um cilindro, como
ilustra a figura.
Suponha que em um instante t, em segundos, a altura h(t) do pistão, em centímetros, possa ser
descrita pela expressão:
1
2πt
4.
0,05
a) Determine a altura máxima e mínima que o pistão atinge.
b) Quantos ciclos completos esse pistão realiza, funcionando durante um minuto?
Resposta:
2πt
a) A altura máxima ocorre quando o valor do seno é máximo, ou seja, sen
1.
0,05
hmáxima = 5 cm
h t
4 sen
2π
0,05s.
2π
0,05
1 ciclo se realiza em 0,05; em 60s teremos 60/0,05 = 1200 ciclos completos
b) Determinando o período P da função, temos: P
4. Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto P, no chão.
Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo
de 30°, conforme mostra figura abaixo.
O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê
a coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e a uma
distância BR de medida 6 2 metros.
Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P
alinhados e desprezando-se a espessura do poste, podese afirmar então que a medida do deslocamento AB do
rato, em metros, é um número entre
a) 3 e 4
b) 4 e 5
c) 5 e 6
d) 6 e 7
Resposta: [B]
O triângulo BPR é retângulo e isósceles, logo BP = PR = h.
Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escrever que h2
No triângulo APR, podemos escrever:
h
tg30
h AB
3
3
AB
AB
h2
(6 2)2 , logo h = 6.
6
AB 6
18 6 3
3
18 3 18
3
AB  4,2
e 4 < 4,2 < 5.
5. O teodolito é um instrumento de medida de ângulos bastante útil na topografia. Com ele, é possível
determinar distâncias que não poderiam ser medidas diretamente. Para calcular a altura de um morro em
relação a uma região plana no seu entorno, o topógrafo pode utilizar esse instrumento adotando o seguinte
procedimento: situa o teodolito no ponto A e, mirando o ponto T no topo do morro, mede o ângulo de 30°
com a horizontal; desloca o teodolito 160 metros em direção ao morro, colocando-o agora no ponto B, do
qual, novamente mirando o ponto T, mede o ângulo de 60° com a horizontal.
2
Se a altura do teodolito é de 1,5 metros, é
CORRETO afirmar que a altura do morro
com relação à região plana à qual
pertencem A e B é, em metros:
a) 80 3 1,5
b) 80 3 1,5
c)
160 3
3
1,5
Resposta:
d)
160 3
3
1,5
[A]
H é a altura do morro em metros. O triângulo ABT é isósceles, logo BT =160m.
No triângulo assinalado, temos:
sen60
H 1,5
160
3
2
H 1,5
160
H
80 3 1,5 m
6. Um especialista, ao estudar a influência da variação da altura das marés na vida de várias espécies em
certo manguezal, concluiu que a altura A das marés, dada em metros, em um espaço de tempo não muito
grande, poderia ser modelada de acordo com a função:
A(t) 1,6 1,4 sen
6
t
Nessa função, a variável t representa o tempo decorrido, em horas, a partir da meia-noite de certo dia.
Nesse contexto, conclui-se que a função A, no intervalo [0,12], está representada pelo gráfico:
a)
b)
d)
e)
c)
3
Resposta: [A]
i. Se t = 0, temos A(0) = 1,6 – 1,4.sen0 = 1,6;
ii. Se t = 3, temos A(3) = 1,6 – 1,4.sen
iii. Se t = 6, temos A(6) = 1,6 – 1,4.sen π = 1,6; iv. Se t = 9 temos, A(9) = 1,6 – 1,4.sen
π
2
= 0,2;
3.π
2
= 3,0.
Portanto, o gráfico da alternativa [A] é o correto.
7. Para colocar um objeto em movimento e deslocá-lo sobre uma trajetória retilínea por x metros, é
necessário aplicar uma força de 20 10 sen x newtons sobre ele.
Em qual dos gráficos abaixo, no intervalo 0,3 , está representada a relação entre a força aplicada e a
distância, quando o objeto é deslocado até 3 metros?
a)
b)
d)
e)
c)
Resposta: [A]
Sabemos que a lei de F é F(x)
Portanto, como F(0)
20 e F
π
2
20 10sen(x).
20 10
30, segue que a alternativa [A] apresenta o gráfico de F no
intervalo [0, 3].
8. Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir:
Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que AB
De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a:
160 3
80 3
16 3
3
8 3
m
m
m
m
m
a)
b)
c)
d)
e)
3
3
3
3
3
Resposta: [B]
Pela Lei dos Senos, segue que:
AB
sen60
2R
2R
80
R
80
3
80 3
m.
3
80 m.
3
3 3
2
9. Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o
topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em
linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro,
avalia que os ângulos BÂC e
valem 30°, e o
vale 105°, como mostra a figura:
4
a) 12,5.
b) 12,5 2 .
Resposta:
50
BC
sen45
d) 25,0 2 .
e) 35,0.
[B]

No triângulo ABC ABC
o
c) 25,0.
sen30o
45o , aplicando o teorema dos senos, temos:
BC. 2
50
sen30o
No triângulo BDC, temos:
BC
25 2
h
1
2
25 2
h
25 2
h 12,5 2
10. Uma certa propriedade rural tem o formato de um trapézio como na figura. As bases WZ e XY do
trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e o lado YZ margeia um rio.
Se o ângulo X YZ é o dobro do ângulo X WZ, a medida, em km, do lado YZ que fica à margem do rio é:
a) 7,5.
b) 5,7.
c) 4,7.
d) 4,3.
e) 3,7.
Resposta:
[E]
11. Na figura abaixo temos um losango, um paralelogramo, um triângulo isósceles e um triângulo
retângulo. Sabendo disso, podemos afirmar que os valores, em graus, dos ângulos A e B são,
respectivamente:
°
°
a) 190 e 60 .
Resposta: [E]
°
°
b) 60 e 190 .
°
°
c) 60 e 250 .
12.
5
°
°
d) 190 e 40 .
°
°
e) 250 e 40 .
Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80
km e AC = 120 km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura anterior. Logo, a distância entre
B e C, em km, é:
a) menor que 90.
b) maior que 90 e menor que 100.
c) maior que 100 e menor que 110.
d) maior que 110 e menor que 120.
e) maior que 120.
Resposta: [C]
13. Na figura tem-se o trapézio isósceles ABCD no qual as bases medem 15 cm e 27 cm.
Os lados AB e CD foram divididos em 4 partes iguais, e pelos pontos de divisão, foram traçados 3
segmentos paralelos às bases. A soma das medidas dos três segmentos traçados é, em centímetros,
a) 52
Resposta:
b) 58
[E]
c) 59
d) 61
6
e) 63