ENSINO DE GEOMETRIA A PARTIR DAS EXPECTATIVAS DOS
ESTUDANTES: UMA EXPERIÊNCIA COM MODELAGEM MATEMÁTICA
BISCONSINI, Vilma Rinaldi
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LAVAQUI, Vanderlei
[email protected]
TAMBARUSSI, Gracikel Deliceus
[email protected]
Resumo
Este trabalho relata uma experiência com ensino de geometria a partir do referencial e
orientações da modelagem matemática como processo de ensino e de aprendizagem da
matemática escolar. Aborda o assunto de geometria espacial segundo as etapas/fases
metodológicas indicadas no citado referencial teórico, como também discute os resultados
obtidos nessa experiência e indica possibilidades vislumbradas para continuidade dos
estudos.
Palavras-Chave: Modelagem matemática. Geometria espacial. Educação Matemática.
INTRODUÇÃO
Este trabalho relata uma experiência com ensino de geometria espacial tendo
como orientação metodológica a modelagem matemática, discutindo-a como uma
possibilidade para o ensino da matemática escolar na Educação Básica - séries finais do
ensino fundamental e ensino médio. Defende o ensino de geometria a partir das
etapas/fases metodológicas indicadas nos referenciais teóricos acerca da modelagem
matemática. Apresenta e discute os resultados obtidos na realização dessa experiência e
indica possibilidades vislumbradas para continuidade dos estudos nessa perspectiva
teórico-metodológica.
MODELAGEM MATEMÁTICA: ORIENTAÇÃO TEÓRICO-METODOLÓGICA
As pesquisas em Educação Matemática têm apontado possibilidades quanto à
utilização da modelagem matemática no processo de ensino e de aprendizagem. Dispõe-se,
atualmente, de fundamentação teórica e de relatos de experiências que auxiliam e, em
grande medida, dão suporte em relação à adoção da modelagem como metodologia de
ensino.
Embora tenhamos produções teóricas e haja ações desencadeadas por
pesquisadores e programas de pós-graduação com uma história de aproximadamente vinte
anos de pesquisas na área, ainda não se tem uma utilização mais consistente da modelagem
matemática, por parte dos professores, em suas práticas junto aos estudantes em sala de
aula, na Educação Básica, séries finais e ensino médio.
Assim, essa área, no âmbito da Educação Matemática, tem acumulado
conhecimentos que subsidiam o desenvolvimento de ações para o ensino da matemática
como uma atividade humana em construção.
Essa perspectiva comparece em documentos oficiais que orientam o ensino da
disciplina na Educação Básica, como exemplo, pode-se indicar as Diretrizes Curriculares
de Matemática do Paraná (DCE) quando explicitamente optam pelas orientações da
Educação Matemática em suas tendências metodológicas:
Os conteúdos propostos nestas diretrizes devem ser abordados por meio de
tendências metodológicas da Educação Matemática que fundamentam a prática
docente, das quais destacamos: resolução de problemas; modelagem
matemática; uso de mídias tecnológicas; etnomatemática; história da
Matemática; investigações matemáticas (PARANÁ, 2008, p. 35, grifo nosso).
Percebemos que as discussões teóricas e experiências avançam na reflexão sobre
o ensino da matemática e apontando a modelagem matemática como opção metodológica.
A mesma aparece no escopo de uma diversidade de possibilidades metodológicas
de ensino. Ainda, de acordo com as DCE,
A modelagem matemática tem como pressuposto a problematização de situações
do cotidiano. Ao mesmo tempo em que propõe a valorização do aluno no
contexto social, procura levantar problemas que sugerem questionamentos sobre
situações de vida. [...] O trabalho pedagógico com a modelagem matemática
possibilita a intervenção do estudante nos problemas reais do meio social e
cultural em que vive, por isso, contribui para sua formação crítica (PARANÁ,
2008, p. 37-38).
A modelagem matemática, nessa perspectiva, representa um avanço, interferindo
na formação de sujeitos em condições de pensar e instrumentalizar-se, ao participar
ativamente do processo de construção de conhecimentos matemáticos.
O indicado nas DCE corrobora a opinião de pesquisadores e pesquisas na área,
que apresentam significados para a modelagem matemática enquanto estratégia de ensino.
Segundo Bassanezi:
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[...] Modelagem Matemática utilizada como estratégia de ensino-aprendizagem é
um dos caminhos a ser seguido por tornar um curso de matemática, em qualquer
nível, mais atraente e agradável. Tal processo, que consiste na arte de
transformar problemas da realidade em problemas matemáticos, resolvê-los e,
então, interpretar suas soluções na linguagem do mundo real, é um processo
dinâmico e atraente. Um modelo eficiente permite fazer previsão, tomar
decisões, explicar e entender, enfim, participar do mundo real com capacidade
de influenciar em suas mudanças (BASSANEZI, 2006, p. 7).
A modelagem matemática como tendência para ensino da matemática é defendida
como possibilidade de romper com o paradigma do ensino tradicional, como propõe
D’Ambrósio:
A modelagem matemática tem sido utilizada como uma forma de quebrar a forte
dicotomia existente entre a matemática escolar formal e a sua utilidade na vida
real. Os modelos matemáticos são formas de estudar e formalizar os fenômenos
do dia a dia. Através da modelagem matemática o aluno se torna mais consciente
da utilidade da matemática para resolver e analisar problemas do dia adia. Esse é
um momento de utilização de conceitos já aprendidos. É uma fase de
fundamental importância para que os conceitos trabalhados tenham um maior
significado para os alunos, inclusive com o poder de torná-los mais críticos na
análise e compreensão de fenômenos diários (D’AMBRÓSIO, 1989, p. 17).
Embora a modelagem matemática represente uma tendência para o ensino da
matemática, parece ainda não haver um consenso bem estabelecido quanto sua utilização
como metodologia de ensino, como mostra Silveira (2005, p. 3):
Uma questão que ainda não se tem consenso e que aparece na literatura é se a
Modelagem Matemática é uma metodologia (FIORENTINI, 1996); um método
de ensino-aprendizagem (BIEMBENGUT, 2000); um ambiente de aprendizagem
(BARBOSA, 2001) ou uma estratégia de ensino e aprendizagem (BASSANEZI,
2002). Por outro lado, existem autores que afirmam que o conceito de
Modelagem Matemática não está bem definido nos trabalhos acadêmicos no
âmbito da Educação Matemática e assinalam que essa falta de clareza reside, em
parte, na complexidade de transferir ou adaptar a atividade do modelador ao
campo de ensino de matemática onde atua o professor de matemática. (BEAN,
2002, p. 56).
Apesar dos diferentes entendimentos acerca dessa questão, assumimos que a
modelagem matemática apresenta-se como uma alternativa metodológica para a condução
do processo de ensino e de aprendizagem, já que, para uma concepção progressista de
educação, permite considerar a prática social do estudante como um ponto de partida para
o trabalho do docente. Adicionalmente, possibilita que, durante o processo, o estudante
participe, reflita, generalize e construa conceitos matemáticos e perceba, com uma visão
crítica, a presença da matemática em diferentes contextos.
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Considerando que a modelagem matemática pode ser aplicada como uma
metodologia,
é importante procurar entender suas
especificidades, objetivando
compreender algumas terminologias presentes em textos acadêmicos.
Na literatura, observa-se a presença de diversos termos e definições, como:
modelo, modelagem, modelação e, para que tenhamos alguma clareza sobre o significado
dessas terminologias, analisamos discussões e proposições organizadas por Leal (1999).
De acordo com a autora, o termo modelo foi introduzido com o advento das
geometrias não euclidianas e, atualmente, é muito utilizado no meio acadêmico. Apresenta
ainda algumas definições para o termo, tomando como referência pesquisadores na área.
Leal (1999), destaca que:
Modelo Matemático é um sistema axiomático consistindo de termos indefinidos
que são obtidos pela abstração e qualificação de idéias essenciais do mundo real
(MAKI
e
THOMPSOM,
1973,
p.
14,
GAZZETTA).
Modelo Matemático é uma estrutura Matemática que descreve aproximadamente
as características de um fenômeno em questão (SWETZ, 1992, p. 65,
GERTNER).
O Modelo Matemático é uma
imagem que se forma na mente, no momento em que o espírito racional busca
compreender e expressar de forma intuitiva uma sensação, procurando relacionar
com algo já conhecido, efetuando deduções (GRANJER, 1997, p. 78
BIEMBENGUT).
Um
conjunto de símbolos e relações matemáticas que traduz, de alguma forma, um
fenômeno em questão ou um problema de situação real, é denominado de
Modelo Matemático (BIEMBENGUT, 1997, p. 89).
Modelo Matemático de
um fenômeno, é um conjunto de símbolos e relações matemáticas que traduzem
de alguma forma, o fenômeno em questão (BASSANEZI, 1997, p. 65).
Percebemos que, em grande medida, as definições para modelo matemático
apresentam uma semelhança de concepção, voltando-se para o meio físico, fonte que
desperta a atenção e é objeto de observações do modelador, que procura identificar
variáveis significativas objetivando chegar a um modelo adequado ao fenômeno.
MODELAGEM MATEMÁTICA
A modelagem está presente no processo de construção do conhecimento humano
desde os primórdios. Os seres humanos primitivos, observando o ambiente, buscavam
formas de reconhecer regularidades e dar explicações a fenômenos físicos e problemas de
ordem prática. No entanto, é na civilização grega que a matemática passou a ser
sistematizada de forma mais racional, com a busca de modelos que permitissem explicar os
fenômenos sem recorrer tão somente à intuição e observações empíricas, mas utilizando o
pensamento dedutivo. Após um caminho carregado de descobertas, com erros e acertos, a
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humanidade construiu um ferramental matemático em condições de resolver problemas
práticos e científicos.
A modelagem matemática tem se destacado com maior ênfase nas últimas
décadas, em que os problemas demandados pelas organizações empresariais e situaçõesproblema emanadas das ciências humanas e biológicas.
Os pesquisadores apresentam diversas definições para modelagem matemática.
Apresentaremos algumas dessas definições para compreensão de tal processo e distinção
da modelagem como processo científico e como estratégia de ensino.
Segundo Burak (1992, p. 62), “[...] a Modelagem Matemática constitui-se em um
conjunto de procedimentos cujo objetivo é construir um paralelo para tentar explicar,
matematicamente, os fenômenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer
predições e a tomar decisões”.
De acordo com Chaves (2005, p. 11), a modelagem matemática é:
[...] um método que transforma uma situação/questão escrita na linguagem
corrente e proposta pela realidade em linguagem simbólica da matemática,
fazendo aparecer um modelo matemático, que por ser uma representação
significativa do real, se analisado e interpretado segundo as teorias matemáticas,
devolve informações interessantes para a realidade que se está questionando.
Para Biembengut (1997),
Modelagem Matemática é o processo envolvido na obtenção de um modelo.
Podendo, sob alguns aspectos, ser considerado um processo artístico, pois para
elaborar um modelo, além de conhecimento apurado de Matemática, o
modelador deve ter uma dose significativa de intuição e criatividade para
interpretar o contexto, discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e
senso lúdico para jogar com as variáveis envolvidas.
As definições apresentadas para a modelagem implicam um significado
diferenciado para o processo de ensino e de aprendizagem, na medida em que desloca o
eixo de um ensino com características tradicionais para uma abordagem em que o
cotidiano, o real, a problemática social passam a oferecer elementos para implementar
novos ambientes de aprendizagem.
Essa concepção apresenta ao professor a possibilidade de desenvolver de forma
significativa os conceitos/conteúdos matemáticos, partindo de situações empíricas e
passando por um processo de sistematização e generalização, permitindo aos estudantes
vislumbrar outras possibilidades de analisar problemas tendo a matemática como
instrumento que permite a resolução dos mesmos modelando-os.
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Percebe-se ainda a modelagem matemática como um processo que visa traduzir as
linguagens do mundo real para a linguagem matemática. Isso implica admitir que a
modelagem matemática permita o estabelecimento de um elo entre a matemática e a
realidade, que são postos para interagir a partir do processo de elaboração de um modelo
matemático.
Entretanto, para que se possa colocar em prática o processo de obtenção de um
modelo matemático, há a necessidade de uma seqüência de etapas/procedimentos que
orientem o trabalho do professor junto aos estudantes, a fim de garantir que toda a ação
seja significativa, do ponto de vista da apropriação de conhecimentos matemáticos.
Nessa direção, adotaremos o encaminhamento das ações elaboradas por
Biembengut (1997), que agrupa e identifica os procedimentos em três etapas: interação
com o assunto; matematização e modelo matemático.
De acordo com a autora, a etapa denominada interação com o assunto pode ser
subdividida em duas subetapas: reconhecimento da situação problema e familiarização
com o assunto a ser modelo-pesquisa.
Nessa etapa, a situação problema a ser abordada e estudada será delineada e, para
que possa ser melhor compreendida pelos estudantes, podem ser encaminhadas pesquisas
bibliográficas acerca da temática em livros e revistas especializadas, por exemplo. Pode-se
ainda buscar junto a especialistas da área informações e dados relevantes sobre a situação
objeto de estudo.
A segunda etapa do processo é denominada matematização, que, por sua vez, é
constituída de duas subetapas:
•
Formulação do problema-hipótese.
•
Resolução do problema em termos do modelo.
Para Biembengut (1997), esta é a fase mais complexa e desafiadora, pois é nela
que se dará a tradução da situação-problema para a linguagem matemática. Assim,
intuição e criatividade são elementos indispensáveis. Para formular e validar as hipóteses
considera necessário:
a) classificar as informações (relevantes e não relevantes) identificando fatos
envolvidos;
b) decidir quais os fatores a serem perseguidos - levantando hipóteses;
c) identificar constantes envolvidas;
d) generalizar e selecionar variáveis relevantes;
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e) selecionar símbolos apropriados para as variáveis;
f) descrever estas relações em termos matemáticos.
Ao final dessa etapa, deve-se obter um conjunto de expressões e fórmulas, ou
equações algébricas, ou gráficos, ou representações, ou programa computacional que
levem a solução ou permitam a dedução de uma solução.
Desta forma, o problema passa a ser resolvido com o ferramental matemático que
se dispõe. Isto requererá um conhecimento razoável sobre as entidades matemáticas
envolvidas na formulação do modelo.
Por fim, a terceira etapa do processo, que é chamado pela autora de modelo
matemático, correspondente à interpretação da solução e validação do modelo.
Em tal etapa do processo, torna-se necessário avaliar – antes de partir para as
conclusões e utilização do modelo matemático obtido - em que nível o modelo se aproxima
da problemática abordada inicialmente.
A interpretação do modelo deve tomar como referência a situação-problema. Por
meio de uma análise das implicações da solução, oriunda do modelo que está sendo
investigado, tem-se elementos para averiguar a adequabilidade do modelo em face à
problemática.
Assim, retornando à situação problema investigada, pode-se avaliar o quão
significativa é a solução obtida. Por sua vez, caso o modelo não atenda às necessidades que
o gerou, o processo deve ser retomado para a segunda etapa, alterando-se, por exemplo,
hipóteses e variáveis com vistas a permitir que o modelo encontrado possa representar da
melhor forma possível, a realidade que o originou.
Porém, para a utilização do processo de modelagem matemática na Educação
Básica – séries finais do ensino fundamental e ensino médio -, objeto deste estudo, o
método deve sofrer algumas alterações levando em consideração o grau de escolaridade
dos estudantes, o tempo disponível que terão para o trabalho de classe, o programa a ser
cumprido e a abertura por parte da comunidade escolar para implantar mudanças. Além
disso, o professor deve ter conhecimento seguro sobre modelagem e para tanto, deve
realizar um estudo sobre a respectiva metodologia, elaborar alguns modelos e já ter
experiência da proposta no ensino.
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EXPERIÊNCIA: MODELAGEM MATEMÁTICA COMO METODOLOGIA DE
ENSINO
Diante das inúmeras discussões e reflexões a respeito da busca de estratégias
metodológicas que possam contribuir com a melhoria do ensino da matemática, essa
relação nos impõem desafios, dentre eles o de desenvolver uma experiência com a
modelagem matemática em sala de aula, com duas turmas de 8ª séries do ensino
fundamental, de uma escola pública do município de Assis Chateaubriand, Paraná.
Num determinado momento, ao entrar na sala dessas duas turmas de oitava série,
observando o comportamento dos estudantes caracterizado pelo desânimo e por relativa
inércia, fomos impulsionados a levar esses dois grupos a perceber o porquê de estudar
matemática.
A primeira iniciativa foi a de buscar conhecimentos mais consistentes a respeito
da modelagem matemática enquanto procedimentos em sala de aula. Este subsídio foi
encontrado, entre outros, especialmente nos trabalhos de Biembengut e Hein (2005).
No segundo momento, propomos aos estudantes outra forma de trabalho, quando
os desafiamos a pensar num problema ou situação que os incomodava e que de certa forma
não conseguiam resolver e que provavelmente poderiam ser resolvidos com ferramentas
matemáticas. Inicialmente, os estudantes aceitaram a proposta com um pouco de
resignação, mas como tinham um tempo para pensar, ou seja, para trazer tal problemática
para a próxima aula, apareceram situações interessantes como:
a) Quais os custos e a viabilidade para produção de chinelos de borracha, tipo
“havaianas” decorados com miçangas?
b) A confecção de artesanatos “toalhas” de crochê é viável do ponto de vista
econômico? Justifica o trabalho de uma pessoa?
c) Será que a quantidade de produto contida em uma embalagem é realmente
a que consta no rótulo? Como comprovar isso?
Feitas as discussões com certa reserva por parte dos estudantes, decidimos por
estudar o problema das embalagens, proposta bem aceita pela maioria deles. Esta decisão
comungou com a nossa perspectiva inicial, em que tínhamos em mente trabalhar com
embalagens. Porém, decidimos fazer os encaminhamentos conforme propõe a metodologia
da modelagem, ou seja, levantar a problemática a partir do interesse dos alunos.
Ressaltamos o modo interessante com que um aluno problematizou a situação envolvendo
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embalagens, pois é quase natural, em se tratando de embalagens, perguntar: quanto de
material vai para produzir determinada embalagem? Ou qual é o volume dessa
embalagem? Mas sim, ele levantou o questionamento: Será que a quantidade de produto
contida em uma embalagem é realmente a que consta no rótulo? Como comprovar isso?
No primeiro momento, providenciamos uma caixa com produtos de diversas
embalagens como: embalagem de leite; caixa de sabão em pó; lata de achocolatado no
formato circular; etc.
Na seqüência do trabalho, solicitamos que os estudantes trouxessem para as aulas
embalagens no formato de prisma quadrangular e cilindros, pois já tínhamos em mente que
não abordaríamos todas as formas convencionais da geometria espacial, isso porque
estamos experimentando um trabalho diferenciado e, portanto exige um planejamento
cuidadoso, orientação esta que é ressaltado por Biembengut e Hein (2005, p. 28) que: “[...]
Há um inconveniente de não sabermos, inicialmente, por onde o modelo passará, ou seja,
nem sempre o ferramental matemático requerido está ao alcance do educando e mesmo do
professor”.
Em sala, fizemos a relação entre as embalagens e os conhecimentos
sistematizados sobre sólidos geométricos, levando os estudantes a reconhecer os diferentes
formatos das embalagens, classificando-as de acordo com sua nomenclatura e
identificando alguns elementos como face, aresta e vértice. A partir desse momento,
organizamos a sala em grupos em que, cada grupo ficou com um prisma quadrangular e
orientamos que fizessem o esboço dessa embalagem, colocando as medidas reais das três
dimensões.
O segundo passo foi planificar a embalagem e calcular a quantidade de matéria
prima usada para confecção dessa embalagem e revisando as unidades de medida de área.
Por último, foi calculado o seu volume com a revisão das unidades de volume, fazendo
relação com medidas de capacidade e analisando com a qual estavam trabalhando.
Esse momento foi interessante porque nos permitiu observar que os estudantes
conseguiram relacionar as discussões sobre embalagens e os conteúdos de geometria do
livro didático, pois quando trabalhamos os conteúdos somente a partir do livro didático, a
impressão que temos é que estamos fora de situações reais, ou seja, o estudante não
consegue fazer essa relação.
Outro fato importante foi o estudante compreender que estudar os sólidos
geométricos exigia recorrer a conhecimentos adquiridos em séries anteriores.
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Na seqüência, realizamos a experimentação em que consistiu em medir a
quantidade de leite existente na embalagem. Para isso, os estudantes confeccionaram uma
caixa no formato de um cubo, com 10 cm de aresta, tendo conhecimento que 1000 cm3
correspondem a 1000 ml, ou seja, um litro. Eles revestiram o interior da caixa com uma
embalagem tipo saco plástico, o que permitiu transferir o leite da caixa original para a
caixa cúbica que serviu para comprovar a medida contida no rótulo. Esse era o principal
questionamento que o estudante fazia no início do trabalho. O mesmo, no momento da
atividade, reagiu de forma entusiástica ao constatar a veracidade contida no rótulo,
passando a impressão de que tinha alcançado um objetivo: perceber agora que tinha
conquistado os instrumentos matemáticos para comprovar as medidas constantes nos
rótulos.
Outro experimento, realizado na mesma aula, foi o de comprovar se a quantidade
de sabão em pó constante no rótulo era realmente a de um quilograma. Com o auxílio de
uma balança doméstica, pesaram esse produto e constataram a veracidade do rótulo.
No decorrer do trabalho, realizamos a modelação da embalagem do achocolatado,
no formato cilíndrico, fazendo encaminhamento como: o esboço dessa embalagem,
colocando as medidas reais da altura e do diâmetro. Em seguida, desenharam também sua
planificação para calcular a quantidade de metal necessário para confecção dessa
embalagem. Após, foi calculado o volume contido na mesma, ressaltando que os
estudantes já tinham conhecimento sobre cálculos de circunferência e círculo.
O interessante foi observar que os estudantes perceberam que para calcular o
volume de um prisma e de um cilindro, a fórmula construída é a mesma, ou seja, o volume
é igual a área da base multiplicado pela medida da altura. No entanto, o problema que os
estudantes encontram foi no momento de calcular a área da base, porque eles precisaram
recorrer ao estudo das áreas de figuras geométricas planas.
Outro aspecto que ressaltamos é o fato de, após ter concluído os experimentos e
formalizando e validando os conceitos e fórmulas, terem sido trabalhados diversas
situações-problema constante no livro didático, envolvendo o mesmo conteúdo, porém, os
estudantes mostraram ter mais segurança e compreensão das situações envolvendo os
conhecimentos de geometria espacial e plana.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Apresentamos inicialmente alguns aspectos da modelagem matemática no âmbito
da Educação Matemática e sua presença em documentos oficiais que orientam o ensino de
matemática na Educação Básica, indicando as Diretrizes Curriculares Estaduais do Paraná
como exemplificação.
Discutimos
a
utilização
da
modelagem
matemática
como
uma
estratégia/metodologia de ensino, destacando algumas características deste processo e
avaliando que esta, mesmo estando fortemente presente como uma tendência, sua presença
efetiva em sala de aula no trabalho do professor junto aos estudantes ainda é tímida.
Entendendo que a Modelagem apresenta-se como uma alternativa metodológica,
buscou-se na literatura um esclarecimento acerca de algumas terminologias geralmente
utilizadas, como modelo matemático e modelagem matemática. Posteriormente,
apresentamos as etapas do processo para um trabalho pedagógico com essa metodologia.
Ressaltamos que as etapas apresentadas são uma referência para a realização de
uma ação pedagógica e que não representa um caminho único ou fechado a ser seguido,
mas permite indicar caminhos para o trabalho dos estudantes e dos docentes.
Descrevemos uma experiência realizada junto a estudantes da oitava série de uma
escola pública de ensino regular tomando como elemento norteador do trabalho as etapas
descritas na fundamentação teórica.
Destacamos ainda que o importante desse processo foi observar que os estudantes
participaram dos trabalhos espontaneamente, mostraram ter maior responsabilidade com as
atividades. Isso nos mostrou que o fato de eles participarem da sugestão do trabalho
desenvolveu neles um maior comprometimento e, conseqüentemente, houve compreensão
e aprendizagem do conteúdo.
O experimento com modelagem matemática enquanto metodologia de ensino se
mostrou viável, o que nos dá maior segurança em aplicá-la na abordagem de outros
conteúdos, seguindo suas orientações, especialmente de partir de problematizações
propostas pelos estudantes.
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REFERÊNCIAS
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programas de formação de professores. UNICAMP – IMECC, Depto de Matemática.
Pesquisado em: <http://www.ime.unicamp.br/~biomat/bio9art_1.pdf>. Acesso em: 15 jun
2006.
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proposta metodológica e curricular. Florianópolis: UFESC, 1997. (Tese, Doutorado,
Engenharia de Produção e Sistemas).
BIEMBENGUT. Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem matemática no ensino. 4. ed.
São Paulo: Contexto, 2005.
BURAK, Dionísio. Modelagem matemática: ações e interações no processo de ensinoaprendizagem. Campinas: UNICAMP-FE, 1992 (Tese, Doutorado).
D’AMBRÓSIO, Beatriz. Como ensinar matemática hoje? Temas e Debates. Sociedade
Brasileira de Educação Matemática. Ano II, nº 2, 1989, p. 15-19
CHAVES, Maria Isaura de Albuquerque. Modelando matematicamente questões
ambientais relacionadas com a água a propósito do ensino-aprendizagem de funções
na 1ª série do ensino médio. Belém: UFPA - NPADC, 2005 (Dissertação, Mestrado em
Educação em Ciências e Matemáticas).
LEAL, Simone. Modelação matemática uma proposta metodológica para o curso de
economia. Dissertação (Mestrado em engenharia) - Programa de Pós-Graduação em
Engenharia de Produção da Universidade Federal de Santa Catarina, 1999. Disponível
em:<http://www.eps.ufsc.br/disserta99/leal/index.html>. Acesso em: 15 jun. 2006.
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes curriculares de matemática
para as séries finais do ensino fundamental e para o ensino médio. Pesquisado em:
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/livro_e_diretrizes/diretr
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SILVEIRA, Everaldo. Modelagem matemática em educação no Brasil: o que dizem as
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Pesquisado
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<http://paje.fe.usp.br/estrutura/eventos/ebrapem/completos/85.doc>. Acesso em: 14 jun.
2006. Trabalho apresentado no IX EBRAPEM – Encontro Brasileiro de Pós-Graduação em
Educação Matemática.
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