1 PUCRS - Faculdade de Matemática Cálculo Diferencial e Integral II Integral definida Seja f uma função contínua definida num intervalo [a ; b] . b−a , e n considerarmos a = x 0 < x 1 < x 2 < L < x n −1 < x n = b os extremos destes intervalos então a integral definida de f no intervalo [a ; b] é dada por Se dividirmos o intervalo [a ; b] em n subintervalos de comprimento Δx = b ∫ f (x ) dx = lim ∑ f (x ) Δx [ onde x 1 ∈ x 0 ; x 1 * ] a n n → +∞ [ , x 2 ∈ x1 ; x 2 * ] i =1 * i [ , ... , x n ∈ x n -1 ; x n * ] Exemplo: Considere f (x ) = x 2 n=2 n=4 Para n = 40 : CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS n =8 2 Cálculo de área Seja f uma função contínua num intervalo [a ; b] com f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a ; b] . A a b A integral definida da função f no intervalo [a ; b] representa geometricamente a área compreendida entre a curva da função f , o eixo x e as retas x = a e x = b. Teorema fundamental do cálculo Seja f uma função contínua num intervalo [a ; b] e F uma antiderivada da f em [a ; b] . Chamaremos de integral definida de f em [a ; b] ao número real obtido da seguinte forma: b ∫ f (x ) dx = F(b) − F(a ) a Exemplo: 2 ∫ 3x 4 dx = F(2) − F(1) = ? 1 Sendo F(x ) = ∫ 3x 4 dx = 3∫ x 4 dx = 3x 5 +C 5 ⎡ 3 . (2 )5 ⎤ ⎡ 3 . (1)5 ⎤ 93 ⎡ 3x 5 ⎤ Logo, ∫ 3x dx = F(2 ) − F(1) = ⎢ ⎥−⎢ ⎥= ⎥ =⎢ ⎣ 5 ⎦1 ⎣ 5 ⎦ ⎣ 5 ⎦ 5 1 2 2 4 Cálculo via Maple > int(3*x^4,x=1..2); 93 5 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS 3 Propriedades da integral definida a ➀ ∫ f(x)dx = 0 a ➁ ➂ b c b a a c ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx , sendo a < c < b b a a b ∫ f(x)dx = − ∫ f(x)dx ④ Se f(x) ≥g(x), ∀x ∈[a; b] então ∫ b b a a f(x)dx ≥ ∫ g(x)dx Exemplos Cálculo de áreas através da integral definida. ❶ A = 8 u.a. f (x ) = x ❷ A= 32 u.a. 3 f (x ) = − x 2 + 4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS 4 ❸ A = 32 u.a. 3 f (x ) = x 2 − 4 ❹ A = 5 u.a. x f (x ) = − + 2 2 Área da região entre duas curvas Em alguns casos a área a ser determinada envolve duas funções diferentes, conforme mostram os exemplos a seguir. Exemplos: Cálculo da área de regiões limitadas por curvas e pelos eixos coordenados através da integral definida. ❶ Cálculo da área da região limitada pelas funções f1 (x ) = x 3 e f 2 (x ) = − x + 2 . f 1 (x ) = x 3 f 2 (x ) = - x + 2 ➥ CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS A= 3 u.a. 4 5 ❷ Cálculo da área da região limitada pelas funções f1 (x ) = x 2 e f 2 (x ) = x . f 1 (x ) = x 2 f 2 (x ) = x ➥ A= 1 u.a. 3 ❸ Cálculo da área da região limitada pelas funções f1 (x ) = 3 , f 2 (x ) = x 2 − 1 e o eixo x f 1 (x ) = 3 f 2 (x ) = x 2 − 1 ➥ CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS A= 28 u.a. 3 6 ✔ Exercícios Em cada um dos itens que segue, calcule a área da região limitada pelas curvas cujas equações são dadas e com o auxílio dos gráficos também apresentados. ⎧ y = 3x − x 2 ⎪ ① ⎨x=4 ⎪ y=0 ⎩ ➥ A= ⎧ ⎪ ② ⎪⎨ ⎪ ⎪⎩ ➥ A = 27 u.a. ⎧ ⎪ ③ ⎪⎨ ⎪ ⎪⎩ y = 4x 3 − 4 x = −2 x =1 19 u.a. 3 y=0 y = x 2 + 2x + 1 x = −1 x =1 y=0 ➥ CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS A= 8 u.a. 3 7 ⎧ ⎪ ④ ⎪⎨ ⎪ ⎪⎩ y = 3x 5 − x 3 x = −1 x =1 y=0 ➥ A= 29 u.a. 54 ⑤ ⎨ ➥ A= 16 u.a. 3 ⎧ y = x2 ⑥ ⎨ ⎩ y=4 ➥ A= 32 u.a. 3 ⎧ x 2 + 4x + 2y = 0 ⎩ y=0 ⎧ y = 3− x2 ⑦ ⎨ ⎩ y = x +1 ➥ CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS A= 9 u.a. 2 8 ⎧ y = x 3 − 4x ⎪ ⑧ ⎨ y = 5x ⎪ x≥0 ⎩ ➥ ⎧ y = x2 ⑨ ⎨ ⎩ y = 2−x ⎧ y = x 3 − 3x ⑩ ⎨ ⎩ y=x CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS A= 81 u.a. 4 9 u.a. 2 ➥ A= ➥ A = 8 u.a. 9 Sólidos de revolução Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno de uma reta que está no mesmo plano da região, sendo a reta denominada eixo de revolução. Volume por discos perpendiculares ao eixo x Seja f um função contínua e não-negativa no intervalo [a ; b] e seja R a região limitada por y = f (x ) , o eixo x e pelas retas x = a e x = b . O sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo x tem volume dado por b V=∫ π [ f (x ) ] 2 dx a Como as secções transversais têm a forma de disco, a aplicação desta fórmula é chamada de método dos discos. Exemplo: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y = x , x = 4 e y = 0 em torno do eixo x. ➥ ✔ V = 8π u.v. Exercícios Em cada um dos itens abaixo apresentados, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo x. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS 10 ⎧ y = 2x − x 2 ① ⎨ ➥ V= 16 π u.v. 15 ⎧ y = x2 + 3 ② ⎨ ⎩ y=4 ➥ V= 48 π u.v. 5 ⎧ y=3 x ⎪ ③ ⎨ x =8 ⎪ y=0 ⎩ ➥ V= 96 π u.v. 5 ⎩ y=0 ⎧ ⎪ ⎪ ④ ⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 2 x y=0 x =1 x=4 y= ➥ Volume por discos perpendiculares ao eixo y CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS V = 3π u.v. 11 O sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo y tem volume dado por d V = ∫ π [g (y ) ] dy 2 c Exemplo: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y 2 = x e x = 2y em torno do eixo y. ➥ ✔ V= 64 π u.v. 15 Exercícios Em cada um dos itens abaixo apresentados, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo y. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS 12 ⎧ y = x2 ① ⎪⎨ 3 ➥ V= 1 π u.v. 10 ⎧ y2 = x ② ⎨ ⎩ y-x+2 = 0 ➥ V= 72 π u.v. 5 ⎪⎩ y = x ⎧ y= x ⎪ ③ ⎨x=4 ⎪ y=0 ⎩ ➥ ⎧⎪ y = x 2 ④ ⎨ 2 ⎪⎩ y = 8x ➥ CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS DEFINIDAS V= 128 π u.v. 5 V= 24 π u.v. 5