1
PUCRS - Faculdade de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral II
Integral definida
Seja f uma função contínua definida num intervalo [a ; b] .
b−a
, e
n
considerarmos a = x 0 < x 1 < x 2 < L < x n −1 < x n = b os extremos destes intervalos então a
integral definida de f no intervalo [a ; b] é dada por
Se dividirmos o intervalo
[a ; b]
em n subintervalos de comprimento Δx =
b
∫ f (x ) dx = lim ∑ f (x ) Δx
[
onde x 1 ∈ x 0 ; x 1
*
]
a
n
n → +∞
[
, x 2 ∈ x1 ; x 2
*
]
i =1
*
i
[
, ... , x n ∈ x n -1 ; x n
*
]
Exemplo:
Considere f (x ) = x 2
n=2
n=4
Para n = 40 :
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
INTEGRAIS DEFINIDAS
n =8
2
Cálculo de área
Seja f uma função contínua num intervalo [a ; b] com f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a ; b] .
A
a
b
A integral definida da função f no intervalo [a ; b] representa geometricamente a área
compreendida entre a curva da função f , o eixo x e as retas x = a e x = b.
Teorema fundamental do cálculo
Seja f uma função contínua num intervalo [a ; b] e F uma antiderivada da f em [a ; b] .
Chamaremos de integral definida de f em [a ; b] ao número real obtido da seguinte forma:
b
∫ f (x ) dx = F(b) − F(a )
a
Exemplo:
2
∫ 3x
4
dx = F(2) − F(1) = ?
1
Sendo F(x ) = ∫ 3x 4 dx = 3∫ x 4 dx =
3x 5
+C
5
⎡ 3 . (2 )5 ⎤ ⎡ 3 . (1)5 ⎤ 93
⎡ 3x 5 ⎤
Logo, ∫ 3x dx = F(2 ) − F(1) = ⎢
⎥−⎢
⎥=
⎥ =⎢
⎣ 5 ⎦1 ⎣ 5 ⎦ ⎣ 5 ⎦ 5
1
2
2
4
Cálculo via Maple
> int(3*x^4,x=1..2);
93
5
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
INTEGRAIS DEFINIDAS
3
Propriedades da integral definida
a
➀
∫ f(x)dx = 0
a
➁
➂
b
c
b
a
a
c
∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx , sendo a < c < b
b
a
a
b
∫ f(x)dx = − ∫ f(x)dx
④ Se
f(x) ≥g(x), ∀x ∈[a; b] então
∫
b
b
a
a
f(x)dx ≥ ∫ g(x)dx
Exemplos
Cálculo de áreas através da integral definida.
❶ A = 8 u.a.
f (x ) = x
❷ A=
32
u.a.
3
f (x ) = − x 2 + 4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
INTEGRAIS DEFINIDAS
4
❸ A = 32 u.a.
3
f (x ) = x 2 − 4
❹ A = 5 u.a.
x
f (x ) = − + 2
2
Área da região entre duas curvas
Em alguns casos a área a ser determinada envolve duas funções diferentes, conforme mostram os
exemplos a seguir.
Exemplos:
Cálculo da área de regiões limitadas por curvas e pelos eixos coordenados através da integral
definida.
❶ Cálculo da área da região limitada pelas funções f1 (x ) = x 3 e f 2 (x ) = − x + 2 .
f 1 (x ) = x 3
f 2 (x ) = - x + 2
➥
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
INTEGRAIS DEFINIDAS
A=
3
u.a.
4
5
❷ Cálculo da área da região limitada pelas funções f1 (x ) = x 2 e f 2 (x ) = x .
f 1 (x ) = x 2
f 2 (x ) = x
➥
A=
1
u.a.
3
❸ Cálculo da área da região limitada pelas funções f1 (x ) = 3 , f 2 (x ) = x 2 − 1 e o eixo x
f 1 (x ) = 3
f 2 (x ) = x 2 − 1
➥
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
INTEGRAIS DEFINIDAS
A=
28
u.a.
3
6
✔
Exercícios
Em cada um dos itens que segue, calcule a área da região limitada pelas curvas cujas equações
são dadas e com o auxílio dos gráficos também apresentados.
⎧ y = 3x − x 2
⎪
① ⎨x=4
⎪ y=0
⎩
➥
A=
⎧
⎪
② ⎪⎨
⎪
⎪⎩
➥
A = 27 u.a.
⎧
⎪
③ ⎪⎨
⎪
⎪⎩
y = 4x 3 − 4
x = −2
x =1
19
u.a.
3
y=0
y = x 2 + 2x + 1
x = −1
x =1
y=0
➥
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
INTEGRAIS DEFINIDAS
A=
8
u.a.
3
7
⎧
⎪
④ ⎪⎨
⎪
⎪⎩
y = 3x 5 − x 3
x = −1
x =1
y=0
➥
A=
29
u.a.
54
⑤ ⎨
➥
A=
16
u.a.
3
⎧ y = x2
⑥ ⎨
⎩ y=4
➥
A=
32
u.a.
3
⎧ x 2 + 4x + 2y = 0
⎩ y=0
⎧ y = 3− x2
⑦ ⎨
⎩ y = x +1
➥
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
INTEGRAIS DEFINIDAS
A=
9
u.a.
2
8
⎧ y = x 3 − 4x
⎪
⑧ ⎨ y = 5x
⎪ x≥0
⎩
➥
⎧ y = x2
⑨ ⎨
⎩ y = 2−x
⎧ y = x 3 − 3x
⑩ ⎨
⎩ y=x
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
INTEGRAIS DEFINIDAS
A=
81
u.a.
4
9
u.a.
2
➥
A=
➥
A = 8 u.a.
9
Sólidos de revolução
Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno de uma
reta que está no mesmo plano da região, sendo a reta denominada eixo de revolução.
Volume por discos perpendiculares ao eixo x
Seja f um função contínua e não-negativa no intervalo [a ; b] e seja R a região limitada por
y = f (x ) , o eixo x e pelas retas x = a e x = b . O sólido de revolução gerado pela rotação da
região R em torno do eixo x tem volume dado por
b
V=∫ π
[ f (x ) ] 2 dx
a
Como as secções transversais têm a forma de disco, a aplicação desta fórmula é chamada de
método dos discos.
Exemplo:
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
y = x , x = 4 e y = 0 em torno do eixo x.
➥
✔
V = 8π u.v.
Exercícios
Em cada um dos itens abaixo apresentados, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da
região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo x.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
INTEGRAIS DEFINIDAS
10
⎧ y = 2x − x 2
① ⎨
➥
V=
16
π u.v.
15
⎧ y = x2 + 3
② ⎨
⎩ y=4
➥
V=
48
π u.v.
5
⎧ y=3 x
⎪
③ ⎨ x =8
⎪ y=0
⎩
➥
V=
96
π u.v.
5
⎩ y=0
⎧
⎪
⎪
④ ⎪⎨
⎪
⎪
⎪⎩
2
x
y=0
x =1
x=4
y=
➥
Volume por discos perpendiculares ao eixo y
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
INTEGRAIS DEFINIDAS
V = 3π u.v.
11
O sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo y tem volume dado por
d
V = ∫ π [g (y ) ] dy
2
c
Exemplo:
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
y 2 = x e x = 2y em torno do eixo y.
➥
✔
V=
64
π u.v.
15
Exercícios
Em cada um dos itens abaixo apresentados, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da
região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo y.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
INTEGRAIS DEFINIDAS
12
⎧ y = x2
① ⎪⎨
3
➥
V=
1
π u.v.
10
⎧ y2 = x
② ⎨
⎩ y-x+2 = 0
➥
V=
72
π u.v.
5
⎪⎩ y = x
⎧ y= x
⎪
③ ⎨x=4
⎪ y=0
⎩
➥
⎧⎪ y = x 2
④ ⎨ 2
⎪⎩ y = 8x
➥
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
INTEGRAIS DEFINIDAS
V=
128
π u.v.
5
V=
24
π u.v.
5