Capı́tulo 24
Aplicações da Integral Definida
24.1
Introdução
As integrais surgiram no estudo das áreas, mas, assim como as derivadas, revelaram possuir muitas outras aplicações.
Mostraremos neste e nos próximos capı́tulos como as integrais aparecem no cálculo de posições, áreas, volumes,
comprimento de arco, massa, probabilidade, momentos, centros de gravidade e trabalho.
O raciocı́nio empregado em cada um dos casos é sempre o mesmo e segue os seguintes passos:
1. A quantidade em estudo é aproximada por uma soma, que é identificada como sendo a soma de Riemann de
uma função;
2. A solução exata para o problema é obtida pela passagem ao limite;
3. O limite das somas de Riemann é identificado à integral de uma função.
24.2
Distância
O problema é deduzir a mudança de posição de uma partı́cula que se desloca ao longo de uma linha reta com
velocidade v (t) conhecida para todos os instantes t de um certo intervalo de tempo [a, b]. Se conseguirmos, de algum
modo, determinar a posição s(t) da partı́cula para qualquer instante de tempo t do intervalo [a, b], a mudança de
posição da partı́cula em relação ao instante inicial t = a, será dada por s(b)-s(a).
Existem duas maneiras de abordarmos este problema. A primeira delas foi utilizada na motivação do teorema
fundamental do cálculo e consiste em considerar a velocidade da partı́cula constante em cada subintervalo de uma
partição do intervalo [a, b]. Assim, seja τi um ponto qualquer de cada subintervalo [ti−1 , ti ] da partição considerada.
Em cada um desses subintervalos, considerando a velocidade da partı́cula igual a v(τi ), podemos aproximar a mudança
de posição da partı́cula por
v(τi ) (ti − ti−1 ) = v(τi ) ∆ ti .
Dessa maneira, a mudança total de posição será aproximadamente igual a
n
∑
v(τi ) ∆ ti .
i=1
À medida que o comprimento ∆ ti de cada subintervalo se torna menor, esta soma se aproxima, cada vez mais, do
valor exato da mudança de posição da partı́cula. Como
lim
∆ ti →0
n
∑
∫
b
v(τi ) ∆ ti =
v(t) dt ,
a
i=1
temos que a mudança de posição da partı́cula de t = a até t = b é dada pela integral
∫
b
v(t) dt .
a
Podemos obter este mesmo resultado aplicando, diretamente, o teorema fundamental do cálculo à função v(t) =
s′ (t). Desse modo,
∫ b
∫ b
s(b) − s(a) =
s′ (t) dt =
v(t) dt,
a
como antes.
a
322
Cap. 24.
Aplicações da Integral Definida
É importante observar que quando v < 0, a partı́cula se move para a esquerda e a função posição, s(t), decresce.
∫b
A integral a v(t) dt fornece, portanto, a variação lı́quida de posição da partı́cula. A distância total percorrida pela
∫b
partı́cula neste intervalo de tempo será dada por a | v(t) | dt.
Da mesma maneira, conhecendo-se a aceleração da partı́cula para todos os instantes t do intervalo [a, b], podemos
determinar a sua velocidade. Como a aceleração da partı́cula é a taxa de variação da sua velocidade em relação ao
tempo, isto é, a(t) = v′ (t), aplicando, novamente, o teorema fundamental do cálculo, a velocidade da partı́cula em
qualquer instante de tempo t será dada por
∫ t
∫ t
v ′ (u) du =
a(u) du
v(t) − v(a) =
a
a
ou, equivalentemente,
∫
v(t) = v0 +
t
a(u) du,
a
onde v0 é a velocidade da partı́cula no instante inicial t = a. Repare que, como no caso anterior, a integral
fornece a variação total de velocidade da partı́cula no intervalo [a, b].
∫b
a
| a(t) | dt
Exemplo
1. Sabendo que uma partı́cula, com velocidade inicial v0 e posição inicial s0 , se desloca com aceleração a constante,
determine a sua velocidade e posição em qualquer instante de tempo.
Solução A velocidade da partı́cula, em qualquer instante de tempo t, será dada por
∫
t
v(t) = v(0) +
a dt .
0
Assim, v(t) = v0 + a t em qualquer instante de tempo t. Do mesmo modo, a sua posição é dada por
∫
s(T ) − s(0) =
T
v0 + a t dt = v0 T +
0
aT2
,
2
para qualquer instante de tempo T , ou equivalentemente,
s(T ) = s0 + v0 T +
aT2
.
2
2. Uma partı́cula se desloca em linha reta com velocidade dada por v(t) = t2 . Qual o deslocamento total da
partı́cula entre t = 1 e t = 2?
Solução Como a velocidade é positiva, o deslocamento total da partı́cula será dado por
∫
2
s(2) − s(1) =
t2 dt .
1
Como a função F (t) =
t3
3
é uma primitiva de f (t) = t2 , o teorema fundamental do cálculo garante que
∫
2
t2 dt =
1
24.3
2
13
7
t3 23
−
= .
=
3 1
3
3
3
Área de regiões planas
Na introdução do estudo de integral, vimos como é possı́vel calcular a área sob o gráfico de uma função contı́nua e
positiva f , definida em um intervalo [a, b]. A solução deste problema motivou a definição de integral como limite de
somas de Riemann.
Vamos abordar agora o problema da determinação de áreas de regiões planas mais gerais, limitadas lateralmente
pelas retas verticais x = a e x = b, superiormente por uma função contı́nua f e inferiormente por outra função contı́nua
g, definidas em um intervalo [a, b] e tais que g(x) ≤ f (x), em [a, b] . As ilustrações mostram regiões deste tipo.
W.Bianchini, A.R.Santos
323
x
x
0
0
Como g(x) ≤ f (x) para todo x em [a, b], então, f (x) − g(x) ≥ 0 em [a, b]. Assim,
∫
b
(f (x) − g(x)) dx ≥ 0.
a
Vamos provar que a integral acima fornece a área A, da região hachurada. Para isso vamos construir somas de
Riemann para a função h(x) = f (x) − g(x).
Considere uma partição a = x0 < x1 < ... < xi−1 < xi < ... < xn = b do intervalo [a, b], em n subintervalos iguais
de comprimento ∆ x. Seja ci um ponto qualquer de cada subintervalo [ xi−1 , xi ]. Denotando-se por ∆ Ai a área da
região entre os gráficos de f e g, sobre o i-ésimo intervalo [xi−1 , xi ], então ∆ Ai é aproximadamente igual a área de
um retângulo de altura f (ci ) − g(ci ) e base ∆ x, ou seja,
∆ Ai = (f (ci ) − g(ci )) ∆ x,
como mostra a figura:
3
2
Ci
1
0
0.5
1
1.5 x
2
2.5
3
3.5
–1
–2
–3
Somando as áreas dos n retângulos assim construı́dos sobre o intervalo [a, b], temos uma aproximação para a área
A dada por:
n
n
∑
∑
∆ Ai =
(f (ci ) − g(ci )) ∆ x
i=1
i=1
À medida que se aumenta o número de pontos considerados na partição do intervalo [a, b], esta aproximação se torna
cada vez melhor. Veja esta afirmação ilustrada no diagrama:
Desse modo,
A = lim
n→∞
Note que a soma
n
∑
n
∑
x
x
x
x
x
x
∆ Ai = lim
n→∞
i=1
n
∑
(f (ci ) − g(ci )) ∆ x.
i=1
(f (ci ) − g(ci )) ∆ x é uma soma de Riemann para a função h(x) = f (x) − g(x), de modo que:
i=1
lim
n→∞
n
∑
i=1
(f (ci ) − g(ci )) ∆ x = lim
n→∞
n
∑
i=1
∫
∫
b
h(ci ) ∆ x =
b
f (x) − g(x) dx,
h(x) dx =
a
a
324
Cap. 24.
Aplicações da Integral Definida
como querı́amos mostrar.
Exemplo 1 Nos exemplos a seguir, calcule a área da região limitada pelas curvas dadas
2
(a) y = x4 , x = 0 e y = 4 (situada no primeiro quadrante). Esta
região é mostrada na primeira figura ao lado.
Solução A área da região hachurada é dada pela integral
∫
4
4
32
x3 x2
dx = 4 x − =
.
4−
4
12
3
0
0
Note que a integral acima pode ser escrita como:
∫ 4
∫ 4
∫ 4 2
x2
x
4−
dx =
4 dx −
dx.
4
0
0
0 4
Geometricamente, a primeira integral calcula a área do quadrado
de lado igual a 4 e a segunda integral calcula a área da região
2
sob gráfico da função x4 , no intervalo [0, 4], ou seja, a área da
região hachurada é a área do quadrado de lado 4 menos a área
hachurada da figura ao lado.
4
2
0
∫
2
2
x3 23
4
2 x − x dx = x − = 22 −
= .
3 0
3
3
2
0
2
(c) y = x2 − 1 e y = x + 5. Veja esta região no gráfico ao lado.
Para calcular a área da região hachurada é necessário determinar
os pontos de interseção das curvas y = x2 + 1 e y = x + 5. Para
isto basta resolver a equação x2 + 1 = x + 5. Usando o comando
solve do Maple, obtemos
>
f:=x->x+5:g:=x->x^2-1:
>
solve({f(x)=g(x)},x);
4
2 x
4
4
2
0
(b) y = x2 e y = 2 x.
Esta região corresponde à parte hachurada
∫ 2 da figura ao lado.
A área desta região é dada pela integral 0 2 x − x2 dx, pois os
pontos de interseção das curvas y = x2 e y = 2x são x = 0 e
3
x = 2. Além disso, como a função F (x) = x2 − x3 é uma primi2
tiva da função f (x) = 2 x − x , o teorema fundamental do cálculo
garante que
2 x
4
2
0
1
2
x
8
6
4
2
–2
–1
0
1
x 2
3
{x = −2}, {x = 3}
A área da região hachurada é dada, portanto, pela integral:
3
∫ 3
x3 x2
125
2
+ 6x − =
.
x + 6 − x dx =
2
3 −2
6
−2
Exemplo 2 Calcule a área da região limitada pelas curvas y 2 = 2 x e x − y = 4.
Esta região é esboçada na figura ao lado.
4
Observe que a curva dada pela equação y 2 =
√ 2 x define, implicita√
3
mente, duas funções de x, a saber: f1 (x) = 2 x e f2 (x) = − 2 x.
2
2
Na ilustração, o gráfico da função f1 é a parte da parábola y = x,
1
situada acima do eixo x, e f2 é a parte situada abaixo. O ponto
0
–1
de interseção da função f2 com a reta y = x − 4 é o ponto (2, −2),
–2
e o ponto de interseção da função f1 com a mesma reta é o ponto
–3
(8, 4).
Assim, a área da região hachurada é dada por:
2
4x
6
8
W.Bianchini, A.R.Santos
∫
2√
√
2 x − (− 2 x) dx +
0
325
∫
8√
√ 3 2
√ 3
2 x − (x − 4) dx = (2 2 x 2 ) + ( 2 x 2 −
0
2
Outro modo de calcular esta área é integrar em
relação à variável y, isto é, pensar em y como a
variável independente, como é ilustrado no gráfico ao
lado.
Neste caso a área da região hachurada pode ser calculada por meio de uma única integral, a saber:
∫ 4
2
3 4
y2
dy = y2 + 4 y + y6 = 18
y+4−
2
−2
−2
x2
2
8
+ 4 x) = 18
2
8
6
4
2
–2
–1
1
2y
3
4
–2
Em resumo Para achar a área de uma região por integração, devemos:
1. Esboçar a região cuja área se quer determinar.
2. Achar os pontos de interseção das curvas que delimitam a região.
3. Decidir se, para integrar, é mais fácil considerar faixas verticais ou horizontais, isto é, se é mais fácil considerar
a região limitada por curvas do tipo y = f (x) ou do tipo x = g(y).
4. Expressar a área da região como uma integral definida, onde os limites de integração e o integrando são encontrados examinando-se o esboço feito.
5. Resolver a integral resultante.
24.4
Áreas e cálculo de probabilidades (opcional)
Em matemática, a palavra probabilidade significa uma medida
numérica da possibilidade de um certo evento acontecer. Considere, por exemplo, o alvo desenhado ao lado. Um ponto deste
alvo é escolhido ao acaso quando alguém, com os olhos vendados,
lança um dardo contra ele. Admitindo-se que é tão provável que
o dardo atinja um determinado ponto como um outro qualquer,
a probabilidade de que o ponto escolhido esteja na mosca (região
central mais escura) deve expressar a razão entre o número de
pontos existentes na área central e o número total dos pontos do
alvo.
É intuitivamente claro que esta probabilidade é igual à razão entre a área da região central e a área total do alvo.
Dessa maneira, se os discos acima têm raios 1/2, 2 e 4, respectivamente, a probabilidade de que um ponto, escolhido
1
. Do mesmo modo, a probabilidade de que o dardo, lançado por alguém de
ao acaso, esteja na região central é de 15
olhos vendados, atinja a coroa externa mais escura é de 14 .
Esta probabilidade, em termos estatı́sticos, significa que, se for feito um grande número de lançamentos ao acaso, a
razão entre o número de lançamentos que atingem o aro externo e o número de lançamentos totais é de 1 para 4 e esta
razão teórica se aproxima cada vez mais da razão experimental à medida que aumentamos o número de lançamentos.
Uma aplicação da integral definida no cálculo de probabilidades aparece no célebre problema da agulha de Buffon,
inventado pelo cientista francês Buffon, no inı́cio do século XVIII. Este problema consiste em calcular a probabilidade
de que uma agulha de L cm de comprimento, lançada ao acaso num assoalho feito de tábuas corridas de L cm de
largura, caia atravessando uma das junções.
A posição em que a agulha cai no chão pode ser descrita por duas
variáveis x e θ, onde x é a distância do ponto médio O da agulha
à junção mais próxima e θ é o menor ângulo que a reta horizontal
que passa pelo ponto médio da agulha faz com ela própria. Veja
a figura ao lado, onde a agulha está representada pelo segmento
.
de reta inclinado e m = L cos(θ)
2
θ
O x
m
326
[0,
[0,
Cap. 24.
Aplicações da Integral Definida
Repare que um lançamento da agulha corresponde a uma escolha aleatória das variáveis x e θ nos intervalos
L
π
2 ] e [0, 2 ], respectivamente, que, por sua vez, corresponde a uma escolha ao acaso de um ponto no retângulo
L
π
2 ] × [0, 2 ].
2
Além disso, a queda da agulha atravessando uma junção das
. Esta desigualtábuas corresponde à desigualdade x < L cos(θ)
2
dade é descrita pela região hachurada sob o gráfico da função
x = L cos(θ)
, como mostrado na figura ao lado, no caso particular
2
em que L = 4. Portanto, a probabilidade de a agulha cair atravessando uma junção das tábuas é igual a razão entre a área da
região hachurada e a área do retângulo.
1
0
1
theta
2
Usando integral definida para calcular a área sob o gráfico da curva, temos que a probabilidade que queremos
calcular é dada por
π
2
∫
π
2
cos(θ) dθ =
0
2
.
π
Essa expressão pode ser usada para estimar, empiricamente, o valor do número π. Se realizarmos, de fato, o
experimento de lançar um número grande de vezes uma agulha sobre um piso de tábuas cuja largura é igual ao
comprimento da agulha e contarmos, cuidadosamente, o número k de vezes em que a agulha cai atravessando uma
junção, a probabilidade acima deverá ser, aproximadamente, igual à razão nk , onde n é o número de lançamentos
k
2
efetuados. Esta aproximação melhora à medida que o número de lançamentos cresce. Assim, lim
= . Este limite
n→∞ n
π
significa que o número π pode ser aproximado pela razão 2kn , para grandes valores de n. Este método, além de tedioso,
não permite grande precisão pelos erros inerentes em todas as medições.
Outro exemplo do uso de integrais para o cálculo de probabilidades pode ser encontrado no Projeto Calculando a
probabilidade de que uma equação quadrática tenha raı́zes reais.
24.5
Volume de um sólido de revolução: Método do disco
Um sólido de revolução é obtido fazendo-se girar uma superfı́cie plana em torno de um eixo. Esferas, cones, bolas
de futebol e pneus são sólidos de revolução. O volume da esfera já era conhecido desde o século III A.C., quando
Arquimedes empregou uma forma primitiva, bonita e engenhosa de integração para calculá-lo. (Veja a seção Um pouco
de História.)
Vamos considerar sólidos de revolução obtidos girando-se, em torno do eixo x, a região limitada por uma função
f contı́nua, positiva e definida em um intervalo fechado [a, b]. Por exemplo, vamos considerar a região limitada pela
curva y = f (x) = (2 − x)3 + 2, pelo eixo x e pelas retas x = a = 1 e x = b = 3, como é mostrado na figura a seguir à
esquerda. Girando-se esta região em torno do eixo x, obtemos o sólido mostrado à direita.
4
3
2
3
1
0
1
2
x
3
2
1
3
2
1
0
–1
–2
–3
–2
–3
1.5
2
2.5
3
4
Neste caso, o eixo x é dito eixo de revolução. O problema que se coloca é como calcular o volume de um sólido
deste tipo?
Se a curva y = f (x) fosse uma reta, o sólido resultante seria um cilindro do qual conhecemos o volume. Veja a
figura a seguir, onde a geratriz do cilindro é a reta y = 3.
W.Bianchini, A.R.Santos
327
3
2
1
3
2
1
0
–2
–1
–2
–3
–3
1.5
2
2.5
3
Para calcular o volume de um sólido de revolução mais geral, isto é, de um sólido obtido pela rotação de uma curva
y = f (x) em torno do eixo x, como descrevemos anteriormente, a idéia é dividir este sólido por planos perpendiculares
ao eixo x, em fatias muito finas, como é mostrado na figura a seguir à esquerda, e, depois, aproximar o volume de
cada pequena fatia pelo volume de um cilindro. Veja a figura à direita, onde aproximamos uma dessas fatias por um
cilindro.
3
3
2
1
2
–2
1
0
0
2
1.5
2
2
2.5
–2
–2
1.5
3
2
2.5
–2
3
–3
–3
Para “fatiar” o sólido de revolução, dividimos o intervalo [a, b] em n partes iguais, isto é, consideramos a seguinte
partição do intervalo [a, b]:
a = xo ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xi ≤ xi+1 ≤ . . . xn = b ,
onde |xi+1 − xi | = b−a
n = ∆ x. Assim, cada ponto xi desta partição é da forma xi = a + i ∆ x. Logo, a i-ésima fatia
pode ser aproximada por um cilindro de altura ∆ x e raio f (ci ), onde ci é um ponto qualquer no intervalo [xi−1 , xi ].
(Repare que, para esta aproximação, estamos considerando a função f constante e igual a f (ci ), em cada subintervalo
da partição.) O volume do i-ésimo cilindro é, portanto, π f (ci )2 ∆ x. Então, uma aproximação para o volume total do
sólido, denotado por V , pode ser obtida pela soma dos volumes dos n cilindros considerados, isto é,
V ≈
n
∑
π f (ci )2 ∆ x.
i=1
Execute, na versão eletrônica, a animação que mostra que, à medida que aumentamos o número n de cilindros considerados neste
processo, a soma dos volumes dos n cilindros se aproxima, cada
vez mais, do volume que queremos calcular. Execute-a passo a
passo para melhor visualizar esta afirmação! A seguir mostramos
a aproximação obtida quando consideramos cinco subintervalos
na partição, o que corresponde à construção de cinco cilindros da
maneira descrita anteriormente.
3
2
1
–2
0
2
1.5
–2
2
2.5
3
–3
A soma acima fornece, portanto, o volume de uma seqüência de n cilindros. À medida que a espessura desses
cilindros tende para zero, a soma se aproxima cada vez mais do volume do sólido em questão. Podemos concluir,
portanto, que o volume do sólido é dado por
lim
n→∞
n
∑
π f (ci )2 ∆ x = lim
∑
∆ x→0
i=1
π f (ci )2 ∆ x .
i
Como já vimos em outros exemplos, tentar calcular somas deste tipo “no braço” não é uma tarefa nem muito
fácil, nem muito eficiente, mesmo fazendo uso de um programa de computador do tipo do Maple. Podemos fazer algo
melhor
que isso! Se estudarmos com afinco os capı́tulos anteriores, podemos observar, sem dificuldade, que a soma
∑n
π
f(ci )2 ∆x é uma soma de Riemann para a função y = π f (x)2 , portanto, o limite acima nada mais é do que a
i=1
integral desta função, isto é,
V = lim
n→∞
n−1
∑
i=0
∫
2
3
π f (x)2 dx
π f (ci ) ∆ x =
1
328
Cap. 24.
Aplicações da Integral Definida
e, graças ao teorema fundamental do cálculo, podemos calcular esta integral sem necessidade de usar limites de
nenhuma espécie. Podemos, agora, com a ajuda do Maple e usando a igualdade acima, verificar, facilmente, que o
volume do sólido obtido no caso que estamos estudando é dado por
∫ 3
V =
π ((2 − x)3 + 2)2 dx = 26, 03033913
1
Resolva você esta integral e comprove o resultado acima por seus próprios meios!
Conclusão Para uma função qualquer f , contı́nua e positiva em [a, b], o volume do sólido de revolução obtido
ao girarmos a região limitada pelo gráfico de f , pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b em torno do eixo x é dado por
lim
n→∞
n
∑
∫
b
2
π f (x)2 dx.
π f (ci ) ∆ x =
a
i=1
Um resultado semelhante poderia ser obtido considerando-se uma função x = g(y) contı́nua, definida em um intervalo [c, d]: girando-se a região limitada por g, pelo eixo y e pelas retas y = c e y = d em torno do eixo y, o volume V,
do sólido de revolução obtido, é dado por
∫ d
π g(y)2 dy
V =
c
Exemplo 1
Se f (x) = x2 + 1, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico
de f , de −1 a 1.
Solução A figura a seguir ilustra o sólido obtido e uma fatia cilı́ndrica tı́pica.
2
1
–1
–0.5 1
2
–2
0.5
–1
1
–2
Como o raio de cada fatia cilı́ndrica é dado por f (xi ) = xi 2 + 1 para algum ponto do subintervalo considerado,
temos que seu volume será dado por π (xi 2 + 1)2 ∆ x. Assim, o volume do sólido será
[ 5
]1
∫ 1
∫ 1
2 x3
x
56 π
V =
π (x2 + 1)2 dx = π
+
+x
x4 + 2 x2 + 1 dx = π
=
5
3
15
−1
−1
−1
Exemplo 2 Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada por y = x3 , y = 1, y = 8 e o eixo
y, em torno deste eixo.
Solução A figura a seguir ilustra o sólido e uma fatia cilı́ndrica tı́pica.
8
7
6
5
4
3
2
2
1
–1
–2
–2
1
Como o raio da fatia cilı́ndrica tı́pica, neste caso, é dado por f (yi ) = yi 3 para algum ponto do subintervalo con∫8
1
1 2
siderado, temos que seu volume será dado por π (yi 3 )2 ∆ y. Assim, o volume do sólido será 1 π (y 3 ) dy. Resolvendo
esta integral temos que
∫ 8
8
3
24
5
V =π
y 2/3 dy = π 35 y 3 = π ( 82/3 − ).
5
5
1
1
W.Bianchini, A.R.Santos
24.6
329
Volume de um anel de revolução
Considere uma região do plano limitada acima pela curva y = f (x) e abaixo pela curva y = g(x), onde f e g são duas
funções contı́nuas e positivas (veja figura a seguir à esquerda). Ao girarmos esta região em torno do eixo x, obtemos
um sólido de revolução, chamado anel de revolução (figura à direita).
4
3
2
3
1
2
–1
1
2
–2
3
–3
1
0
1
2
x
3
4
O volume do anel será dado, então, pela diferença entre o volume do sólido obtido ao girarmos a região limitada
pela curva y = f (x), definida no intervalo [a, b], pelas retas x = a e x = b, e pelo eixo x (figura a seguir à esquerda), e
o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos, em torno do mesmo eixo, a região limitada pela curva y = g(x),
pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b (figura à direita).
3
3
2
2
1
1
–1
–1
1
2
–2
1
2
–2
3
–3
3
–3
Assim, o volume do anel de revolução é dado por
∫
∫
b
∫
b
π f (x) dx −
2
π g(x) dx =
a
a
b
π (f (x)2 − g(x)2 ) dx.
2
a
Exemplo 1 Determine o volume do sólido de revolução obtido pela revolução, em torno do eixo x, da região
limitada pelos gráficos de x2 = y − 2, 2 y − x − 2 = 0, x = 0 e x = 1.
Solução Como a rotação é feita em torno do eixo x, é necessário exprimir y como uma função de x. Assim, a
primeira equação dada é equivalente a y = x2 + 2 e a segunda, a y = x2 + 1. Um esboço da região limitada pelo gráfico
dessas funções e pelas retas dadas é mostrado na figura a seguir à esquerda. O sólido obtido pela revolução desta
região em torno do eixo x é mostrado na figura à esquerda.
3
2.8
2.6
3
2.4
2
2.2
2
1
1.8
0
1.6
0.2
2
1.4
0.4
0.6
1.2
1
0.8
1
1.2
1.4
–2
0.8
–3
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
1.2
1.4
O volume deste sólido será dado por
∫ 1
∫ 1
x
15 x2
V =
π [(x2 + 2)2 − ( + 1)2 ] dx = π
[x4 +
− x + 3] dx.
2
4
0
0
5
3
Como F (x) = x5 + 5 4x −
F (1) − F (0) = 7920π .
x2
2
+ 3 x é uma primitiva da função f (x) = x4 +
15 x2
4
− x + 3, a integral acima é igual a
Exemplo 2 Determine o volume do sólido gerado pela revolução da mesma região descrita no Exemplo 1 em
torno da reta y = 3.
Solução Girar a região dada em torno da reta y = 3, é equivalente a girar a região limitada pelas funções
y = x2 + 2 − 3 = x2 − 1 e y = x2 + 1 − 3= x2 − 2 em torno do eixo x, isto é, a transladar verticalmente toda a região,
três unidades para baixo, de modo que a reta y = 3 passe a coincidir com o eixo x. Veja os gráficos:
330
Cap. 24.
Aplicações da Integral Definida
x
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
y
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
1
1.2
0
–0.2
–0.4
–0.6
–0.8
–1
–1.2
–1.4
y
–1.6
–1.8
–2
–2.2
–2.4
–2.6
–2.8
–3
1.4
Raciocinando como no item anterior, temos que o volume do sólido gerado pela revolução desta nova região em
torno do eixo x é dado por
∫
V =π
0
1
x
[( − 2)2 − (x2 − 1)2 ] dx = π
2
∫
10
[3 − 2 x +
0
9 x2
51 π
− x4 ] dx =
4
20
Exemplo 3 Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região do primeiro quadrante,
3
limitada pelos gráficos de y = x8 e y = 2 x, em torno do eixo y.
Solução : A figura seguinte, à esquerda, mostra a região a ser girada em torno do eixo y e a figura à direita, o
sólido de revolução obtido.
8
5
6
4
3
y
4
2
5
2
8
6
4
2
1
–2
–4
–6
–8
–5
0
1
2
x
3
4
5
Como devemos integrar em relação a y, expressamos as equações dadas como funções do tipo x = g(y). Assim
1
temos, respectivamente, que x = 2 y 3 e x = y2 .
Os pontos de interseção destas duas curvas são y = 0 e y = 8. Daı́, o volume do sólido resultante da rotação desta
região em torno do eixo y será dado por
∫
0
24.7
8
2
[4 y 3 −
V =π
y2
512 π
] dy =
4
15
Comprimento de arco
O problema da retificação de arcos
Um arco é a parte de uma curva que está entre dois pontos, A e B, especificados. Fisicamente, é fácil calcular o
comprimento de um arco de uma determinada curva. Esticamos um pedaço de barbante, ajustando-o à curva de A
até B; “endireitamos”, isto é, retificamos o fio, e medimos o seu comprimento com uma régua (daı́ o termo retificar
um arco).
Matematicamente, o problema é um pouco mais complicado: na realidade, é possı́vel dar exemplo de uma curva
contı́nua, que não tem comprimento definido! Esse fato, bastante surpreendente, sugere que a teoria necessária ao
cálculo de comprimentos de arcos é mais complicada do que parece.
Embora, desde a Antiguidade já fosse conhecido o comprimento de um arco de circunferência, até meados do
século XVII pensava-se que o problema de retificação de curvas algébricas era impossı́vel de ser resolvido. Em 1650,
William Neil, usando técnicas do cálculo diferencial e integral, calculou pela primeira vez o comprimento de um arco
da parábola semicúbica y 2 = x3 .
O método empregado no cálculo de comprimentos de arcos consiste em um procedimento de aproximação e passagem
ao limite, que se presta a um tratamento matemático, como é descrito na próxima seção.
Calculando comprimentos de arcos
Dizemos que uma curva no plano xy, descrita pelo gráfico de uma função y = f (x), é suave ou lisa quando f tem
derivada contı́nua em todos os pontos. De um modo intuitivo, isto significa que uma pequena variação em x produz
W.Bianchini, A.R.Santos
331
uma pequena variação no coeficiente angular f ′ (x), da tangente ao gráfico de f . Assim, não há bicos no gráfico de
uma função suave.
O problema que se coloca é como calcular o comprimento de arco entre dois pontos A e B de uma curva lisa.
Obviamente, se a curva dada fosse um segmento de reta, o comprimento seria dado pela distância entre as suas
extremidades. (Se f é suave em um intervalo fechado [a,b], os pontos A = (a, f (a)) e B = (b, f (b)) são chamados
extremidades do arco AB.)
A idéia, então, é dividir a curva em pequenos segmentos de reta e aproximar o comprimento do arco em questão
pela soma do comprimento de cada um destes pequenos segmentos de reta. Isto é, aproximamos o comprimento do
arco pelo comprimento de uma poligonal de n lados, cujos vértices estão sobre o arco dado.
Para diminuir o erro cometido nesta aproximação, basta dividir o arco em um número maior de segmentos. Ou
seja, à medida que n cresce, o comprimento da poligonal se aproxima cada vez mais do comprimento do arco em
questão.
Para precisar matematicamente esta idéia, vamos considerar uma
12
partição regular do intervalo [a, b], ou seja, vamos dividir o intervalo
10
[a, b] em n partes iguais, a saber, a = xo < x1 < ... < xn−1 < xn = b,
8
onde cada subintervalo [xi−1 , xi ] tem o mesmo comprimento, dado por
y6
∆ x = xi − xi−1 .
A cada ponto da subdivisão do intervalo [a, b] corresponde um ponto
4
[xi , f (xi )] sobre a curva y = f (x). Estes pontos serão os vértices da
2
poligonal. Observe o gráfico ao lado, onde dividimos o intervalo [a, b]
0
1
2
3
4
5
x
em cinco partes iguais e construı́mos a poligonal correspondente.
Veja agora, no diagrama a seguir, como à medida que n cresce, a poligonal de n lados se aproxima da curva e como
o comprimento desta poligonal se aproxima de um limite. Este limite é o comprimento do arco em questão.
11.62591907
10.
22.47158240
10.
24.11035914
10.
0
5.
0
5.
0
5.
23.49181175
23.91378736
24.25799919
10.
10.
10.
0
5.
0
5.
0
5.
24.38854155
24.51856939
24.62364094
10.
10.
10.
0
5.
0
5.
0
5.
A partir desta idéia geométrica, é fácil obter, analiticamente, uma fórmula que forneça o comprimento da poligonal
considerada. O comprimento de cada segmento de reta desta poligonal é dado por
√
distância(Pi−1 , Pi ) = (xi − xi−1 )2 + (f (xi ) − f (xi−1 ))2
(∗)
Como, por hipótese, f é uma função contı́nua, pelo teorema do valor médio aplicado ao subintervalo [xi−1 , xi ],
existe um ponto ci neste intervalo, tal que,
f (xi ) − f (xi−1 ) = f ′ (ci )(xi − xi−1 ) = f ′ (ci )∆ x .
Substituindo este valor em (*), temos
√
distância(Pi−1 Pi ) =
2
2
(∆ x) + [(f ′ (ci )) ∆ x] =
√
1 + (f ′ (ci ))2 ∆ x.
A soma do comprimento de todos os segmentos de reta que compõem a poligonal nos dará o comprimento total
dela. Assim, o comprimento da poligonal será dado por
n √
∑
2
1 + (f ′ (ci )) ∆ x
i=1
Se, à medida que aumentarmos o número n de lados da poligonal, esta soma se aproximar de um limite, o arco será
dito retificável e o comprimento L do arco da curva considerada será dado por
n √
∑
2
lim
1 + (f ′ (ci )) ∆ x .
n→∞
i=1
332
Cap. 24.
Aplicações da Integral Definida
Lembrando a definição da integral definida, concluı́mos que:
∫
n √
∑
2
′
L = lim
1 + (f (ci )) ∆ x =
n→∞
b
√
2
1 + (f ′ (x)) dx .
a
i=1
Assim, se f é uma função suave no intervalo [a, b], a fórmula acima fornece o comprimento do arco do gráfico de
f do ponto A = (a, f (a)) até o ponto B = (b, f (b)).
No caso de um arco de curva suave dado como gráfico de x = g(y), para y variando no intervalo [c, d], começando
com uma partição do intervalo [c, d] e usando argumentos análogos aos empregados no caso anterior, podemos deduzir
a fórmula
∫ √
d
2
1 + (g ′ (y)) dy.
L=
c
A maioria dos matemáticos lembra das fórmulas sem necessidade de memorizá-las, mas raciocinando de tal forma
que seja rápido e fácil deduzi-las, sem perigo de errar.
No caso de comprimentos de arcos, se usarmos a notação de Leibniz para derivadas, existe uma abordagem intuitiva
que torna estas fórmulas muito mais fácil de entender e de memorizar.
Vamos denotar por s o comprimento de arco variável de A até
um ponto qualquer na curva. Se denotarmos por ds um pequeno
acréscimo no comprimento s, isto é, se entendermos esta grandeza
como a diferencial da função comprimento de arco, ds pode ser
ds
tomado tão pequeno que esta parte da curva se confunde com a
dy
hipotenusa de um pequeno triângulo retângulo de catetos dx e
dy, que correspondem às mudanças ocorridas nas variáveis x e y,
dx
quando o comprimento do arco cresce de s para s + ds (veja a
figura ao lado).
Aplicando o teorema de Pitágoras a este pequeno triângulo, temos que ds 2 = dx 2 + dy 2 e, desta equação simples,
podemos deduzir todas as fórmulas de comprimento de arco. Assim,
√
√
dy
2
2
ds = dx + dy = 1 + ( )2 dx
dx
Podemos entender, também, o comprimento total do arco AB como a soma (ou integral) de todos os elementos de
arco ds, quando ds percorre a curva desde A até B. Desse modo, temos que
∫
∫
B
comprimento do arco AB =
b
√
ds =
A
1+(
a
dy 2
) dx.
dx
Da mesma maneira, tratando x como função de y obtemos
√
√
dx
ds = dx 2 + dy 2 = ( )2 + 1 dy.
dy
Nesse caso, a integral para o comprimento do arco AB é dada por:
∫ B
∫ d√
dx
ds =
( )2 + 1 dy.
dy
A
c
É muito fácil esquecer fórmulas, mas é quase impossı́vel esquecer um conjunto de idéias, quando verdadeiramente
compreendidas!
3
Exemplo Calcule o comprimento de arco da parábola semi-cúbica y = x 2 no intervalo [0,5].
√
dy 2
Solução: Como 1 + ( dx
) =
√
(
1
3x2
2
1+
∫
5
l=
0
√
)2
√
=
4+9 x
,
2
temos que o comprimento em questão será dado por
1
4 + 9x
dx =
2
18
∫
4
44
√
u du =
335
27
W.Bianchini, A.R.Santos
24.8
333
Área de uma superfı́cie de revolução
Vamos considerar uma curva suave que esteja acima do eixo x. A rotação desta curva ao redor do eixo x gera uma
superfı́cie de revolução. Veja o gráfico a seguir que mostra a superfı́cie obtida pela rotação da curva y = x12 em torno
do eixo x, para x variando no intervalo [1, 3].
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
–1
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6
2.8 3
–0.4
–0.6
–0.8
–1
De um modo geral, uma superfı́cie de revolução é a superfı́cie obtida fazendo-se um arco de curva girar em torno
de uma reta situada no mesmo plano que ele. Nosso problema é o de calcular a área de tal superfı́cie.
Podemos obter uma aproximação para esta área considerando a superfı́cie gerada pela revolução, em torno do eixo
x, de uma das poligonais usadas para aproximar o comprimento do arco, descrito pela curva geratriz da superfı́cie
original. Em cada um dos subintervalos considerados esta rotação gerará um tronco de cone, como é ilustrado abaixo.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
–1
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6
2.8 3
–0.4
–0.6
–0.8
–1
Desse modo, se conhecermos a área lateral de um tronco de cone, poderemos calcular de um modo razoavelmente
simples a área da superfı́cie de revolução.
2
A área lateral S de um tronco de cone com raio médio rm = r1 +r
2 , onde r1 e r2 são, respectivamente, os raios
da base menor e da base maior do tronco, e geratriz (altura inclinada) L é dada pela fórmula S = 2 π rm L. (Veja
Problema 10 ).
Assim, podemos calcular uma aproximação para a área da superfı́cie de revolução gerada pela rotação, em torno do
eixo x, do arco suave y = f (x), com x variando no intervalo [a, b], dividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais
de comprimento ∆ x e, tal como no estudo que fizemos para o comprimento do arco, aproximar o arco subtendido pelos
pontos Pi = (xi , f (xi )) e Pi−1 = (xi−1 , f (xi−1 )) pelo comprimento do segmento retilı́neo que une estes dois pontos,
ou seja,
arco(Pi−1 Pi ) ≈ | Pi−1 Pi | =
√
1 + (f ′ (ci ))2 ∆ x ,
para algum ponto ci , no i-ésimo subintervalo [xi−1 , xi ] da partição considerada.
Repare que o tronco de cone obtido pela revolução deste segmento de reta em torno do eixo x tem geratriz
Li = |Pi−1 Pi | e raio médio rmi = f (xi−12)+f (xi ) . Como a função f é contı́nua e rmi está entre dois valores desta função
(f (xi−1 ) e f (xi )), o teorema do valor intermediário para funções contı́nuas garante que existe um ponto di no intervalo
[xi−1 , xi ], tal que rmi = f (di ). Pela fórmula estabelecida para a área de troncos de cones, temos que a área deste
tronco de cone é dada por
√
2 π rmi Li = 2 π f (di ) 1 + (f ′ (ci ))2 ∆ x.
Somando-se as áreas desses cones obtemos a área da superfı́cie aproximadora
A=
n
∑
2 π f (di )
√
1 + (f ′ (ci ))2 ∆ x .
i=1
Se ci e di fossem o mesmo ponto do intervalo [xi−1 , xi ], então esta soma seria a soma de Riemann para a integral
∫
b
2 π f (x)
a
√
1 + (f ′ (x))2 dx .
334
Cap. 24.
Aplicações da Integral Definida
Intuitivamente, é claro, que embora os números ci e di não sejam iguais, quando ∆ x tende a zero, a diferença entre
ci e di também tende a zero, portanto, a soma aproximadora tende para a integral acima, quando ∆ x tende a zero.
(Veja Problema 11.)
Tendo em vista o exposto acima, define-se a área A da superfı́cie gerada pela revolução em torno do eixo x, do
arco suave y = f (x), para x em [a,b], pela fórmula
A = lim
n→∞
n
∑
2 π f (di )
√
∫
1 + (f (ci ))2 ∆ x =
b
2 π f (x)
√
1 + (f ′ (x))2 dx,
a
i=1
desde que o limite acima exista.
Escrevendo-se y em vez de f (x) e ds em vez de
√
df 2
1 + ( dx
) d x podemos abreviar a fórmula acima por
∫
A=
b
2 π y ds.
a
Esta última fórmula é fácil de guardar, se pensarmos em 2 π y ds como a área de um tronco de cone estreito, obtido
pela revolução do pequeno arco ds em torno do eixo x. Nesse caso, y = f (x) é o raio médio desse tronco estreito.
Uma fórmula semelhante pode ser obtida se girarmos a curva y = f (x), em torno do eixo y. Neste caso, temos que
∫
d
A=
√
2
′
2 π y 1 + ((f −1 ) (y)) dy
c
(Veja Problema 12.)
Exemplo: Um parabolóide de revolução é a superfı́cie obtida ao
girarmos um ramo de parábola em torno de seu eixo. Ache a
área do pabolóide de revolução√obtido pela rotação do arco da
parábola y = x2 , para x em [0, 2], em torno do eixo y. Veja ao
lado o gráfico desta superfı́cie.
2
1.5
1
0.5
–1
1
–1
0.5 0.5
1
Solução Usando a última fórmula dada, tem-se
∫
A = 2π
2
x
0
24.9
√
∫
√
π 8√
13 π
1 + (2 x)2 dx =
1 + u du =
.
4 0
3
Trabalho
Quando a bateria do carro descarrega e você precisa empurrá-lo para que o motor “pegue no tranco”, você está
realizando um trabalho, e o efeito deste trabalho é fazer o carro funcionar e se movimentar. Nosso objetivo nesta seção
é mostrar o papel da integral no estudo do conceito de trabalho. Quando você empurra o carro para ele “pegar no
tranco”, o motor vai ser acionado dependendo da força F que você está aplicando e da distância d, durante a qual a
força F é aplicada. Assim , força e distância são os ingredientes na definição de trabalho.
Definição
Quando uma força constante de módulo F, move um objeto de uma distância d, então definimos o trabalho W
realizado pela força F sobre o objeto como sendo
W=Fd
Exemplo 1 Se você aplica uma força constante F = 50 N (newtons) para empurrar um carro por uma distância
de 10 metros, o trabalho realizado será:
W = 50 N . 10 m = 500 (N.m) (newtons-metros).
Agora, se uma força variável F (x) movimenta uma partı́cula ao longo do eixo x de um ponto a até outro ponto b,
qual o trabalho exercido pela força F (x)?
A idéia é fazer uma partição do intervalo [a, b] em n subintervalos suficientemente pequenos nos quais a força F não
varie muito e possamos aproximá-la por uma constante. Assim podemos usar a definição acima em cada subintervalo
W.Bianchini, A.R.Santos
335
para obter um valor aproximado do trabalho realizado em cada subintervalo. O trabalho realizado ao longo do intervalo
[a, b] será aproximado pela soma de Riemann dos valores obtidos em cada subintervalo. Tomando-se o limite da soma
de Riemann iremos obter uma integral para o trabalho realizado ao longo de [a, b].
Para isto, considere uma partição x0 = a < x1 < ...< xi−1 < xi < ... < xn = b do intervalo [a, b]. Assim, o trabalho
Wi realizado no subintervalo [xi−1 , xi ] é aproximado por:
Wi ≈ F(ci ) ∆ xi
onde ∆ xi = xi − xi−1 e ci é um ponto qualquer do subintervalo [xi−1 , xi ]. Somando-se estas aproximações, obtém-se
a seguinte soma de Riemann, que aproxima o trabalho W realizado ao longo de [a, b]:
W=
n
∑
Wi ≈
i=1
n
∑
F(ci ) ∆ xi
i=1
Tomando-se o limite quando n → ∞, com a condição de que ∆ xi → 0, obtém-se a integral:
∫ b
n
∑
W = lim
F(ci ) ∆ xi =
F(x) dx
|∆ xi |→0
i=1
a
Exemplo 2 Suponha que você deseja tirar água de uma cisterna com 12 metros de profundidade. O balde pesa
2 kg, tem capacidade para 10 litros d’água, e a corda pesa 0,10 kg/m. Acontece que o balde tem um furo no fundo
de modo que ele chega na boca da cisterna com apenas metade de sua capacidade. Suponha que você puxe o balde
com velocidade constante e que a água saia pelo buraco também com razão constante. Determine o trabalho realizado
para puxar o balde até a boca da cisterna. Considere que a água pesa 1 kg por litro.
Solução Considere um sistema de coordenadas com x = 0 na boca da cisterna e x = 12 no nı́vel d’água. A força
total F(x) que é exigida para puxar o balde, Fb (x), a água, Fa (x), e a corda, Fc (x), é dada por:
F(x) = Fa (x) + Fb (x) + Fc (x)
- A força produzida pelo balde é uma constante, uma vez que o peso em qualquer profundidade é constante e igual
a 2 kg. Assim, Fb (x) = 2.
- A força produzida pela corda varia com a profundidade. Quando a corda está esticada x metros, o peso dela será
de 0,10 kg/m vezes xm = 0, 1x kg, isto é, Fc (x) = .1 x kg.
- Já que o balde tem um furo vazando água, o peso da água varia com a profundidade x. Quando o balde começa
a subir, ele contém 10 litros d’água pesando 10 kg, e quando chega ao topo ele contém apenas 5 litros d’água pesando
5 kg. Supondo que o balde sobe a uma velocidade constante v m/s e a água vaza também a uma razão constante z
kg/s, o tempo t que ele leva para chegar até a boca da cisterna percorrendo 12 m é o mesmo tempo para ele ficar com
5 kg de água, o que nos dá:
5
12
z
12
=
i. e.,
=
.
z
v
v
5
Agora, o peso da água restante após um tempo t é p = 10 − z t e o comprimento da corda é x = 12 − v t . Resolvendo
esta equação para t, substituindo na equação do peso e usando o fato de que vz = 12
5 , obtemos
t=
p = 10 −
5x
z (12 − x)
=5+
v
12
Assim,
5x
.
12
Logo, a força exigida para puxar o balde, a corda e a água a uma profundidade de x metros é
Fa (x) = 5 +
F(x) = 5 +
5x
+ 2 + 0, 1 x = 7 + 0, 52 x
12
Assim, o trabalho realizado para puxar o balde é
∫
W=
12
7 + 0, 52 x dx = 121, 44
m-kg
0
Exemplo 3 Um reservatório de álcool tem a forma de um cone circular reto invertido com 10 metros de altura e 8
metros de diâmetro no topo. Ele contém álcool até a altura de 8 metros. Encontre o trabalho realizado para bombear
o álcool para o topo do tanque. (A densidade do álcool é aproximadamente de 1000 kg/ m3 )
336
Cap. 24.
Aplicações da Integral Definida
Solução Veja a figura a seguir onde colocamos o eixo x apontando para baixo e a origem no topo. O álcool
vai de uma profundidade de 2 até 10 metros. Considerando uma partição 2 = x0 < x1 < x2 < ... < xn = 10 do
intervalo [2, 10] em n partes iguais, tem-se uma divisão do reservatório cônico em n partes na forma de um tronco de
cone com altura ∆ x = n8 . Escolhendo em cada subintervalo [xi−1 , xi ] , um ponto ci , podemos aproximar o volume
do i-ésimo tronco de cone pelo volume de um cilindro de raio f (ci ) e altura ∆ x, onde f é a função geratriz do cone,
isto é, f (x) = 2 (10−x)
.
5
Y
z
Y
2
4
X
6
8
10 X
Assim,
Vi = π f(ci )2 ∆ x =
π 4 (10 − ci )2
∆x
25
e sua massa é
1000 π 4 (10 − ci )2
∆ x = 160 π (10 − ci )2 ∆ x
25
Assim, o trabalho exigido para bombear este elemento até o topo será igual a Wi = Fi ci = mi g ci , que é aproximadamente igual a
Wi = [9, 8] 160 π (10 − ci )2 ci ∆ x = 1570 π (10 − ci )2 ci ∆ x.
mi = densidade.volume ≈
Logo, o trabalho realizado é dado por
W=
24.10
lim
|∆ x|→0
n
∑
∫
10
1570 π (10 − ci )2 ci ∆ x =
1570 π (10 − x)2 x dx =
2
i=1
1570 π 2048
.
3
Exercı́cios
1. Calcule a área da região limitada pelas curvas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
y = x2 e y = −x2 + 4 x
y 2 = 2 x − 2e y = x − 5
y = sen(x) e y = cos(x) , para x em [− π2 , π2 ]
y = 2 sen(x) e y = −3 sen(x), para x em [0, 2 π]
1
y = √1−x
e y = 0, para x em [−1/2, 1/2]
2
(f) y = x4 − 2 x2 e y = 2 x2
(g) y = f (x) = x3 − 3 x + 3, y = 0, x = a e x = b, onde a é o ponto de máximo local de f e b é o ponto de
mı́nimo local.
(h) x2 − y 2 = a2 e x = 2 a
(i) y = | x + 1 | + | x |, y = 0, x = −2 e x = 3
(j) y = x2 e x2 = 18 − y
(k) y = x3 , y = 2x e y = x
2. A área da região delimitada pelas curvas x = y 2 e x = 4 é dividida em duas partes iguais pela reta x = a.
Determine a.
3. Calcule c > 0, de modo que a área limitada por y = x2 − c e y = c − x2 seja igual a 9.
4. Cada uma das integrais abaixo representa a área de uma região R. Faça um esboço da região e calcule a sua
área.
∫ 2
∫ 0
∫ 1
x
x + 6 − x∫3 2dx
(c)
x + 6 − (− ) dx +
(a)
4 x + 1 dx
2
0
−4
0
∫ 1
(e)
y 2 − (2 y 2 − 4) dy
∫ 1
−2
2
3
(b)
4 − x dx
(d)
x − x dx
0
0
W.Bianchini, A.R.Santos
337
5. Nos itens abaixo, esboce a região limitada pelos gráficos das equações dadas e determine a área dessa região por
dois processos: (i ) integrando em relação a x e (ii ) integrando em relação a y.
(c) 2 y 2 = x + 4 e x = y 2
(a) y = −x2 e y = x2 − 8
2
(b) y = 4 − x e x + 2 y − 1 = 0
6. Prove que o volume de uma esfera de raio R é igual a
4 π R3
3 .
7. Ao girarmos o segmento de reta y = ax, a > 0, com x no intervalo [h, H], em torno do eixo x, obtemos um
tronco de cone. Calcule seu volume.
2
2
8. Determine o volume do elipsóide gerado pela rotacão da elipse xa2 + yb2 = 1 em torno do eixo x.
√
9. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da curva y = x em torno do eixo y, para y entre 0 e 1.
10. Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos de y = x2 e y = 4 em torno:
(a) da reta y = 4
(b) da reta y = 5
(c) da reta x = 2
Sugestão: O volume não se altera se as regiões são transladadas.
11. Cada uma das integrais abaixo representa o volume de uma sólido de revolução. Descreva o sólido correspondente
em cada caso.
∫ 4
∫ a
π b2
(a)
π x2 dx
(c) 2
a2 − x2 dx
a
0
−a
∫ 4
∫ 1
(b)
π y dy
(d) π
x4 − x6 dx
0
0
12. Calcule o volume do sólido obtido ao girarmos a região plana limitada por y =
em torno do eixo x.
√
4 − x2 , y = 2
√
2 x e y = −2
√
2x
13. Um torneiro vazou uma esfera sólida de metal de raio 5 cm com uma broca de 6 cm de diâmetro, passando o
furo pelo centro da esfera. Determine o volume do sólido que restou.
14. Num copo cilı́ndrico de raio 2 e altura 8 cheio de água, coloca-se um parabolóide de revolução voltado pra cima
com o vértice centrado no fundo do copo. Calcule o volume de água que resta no copo. (O parabolóide de
revolução é obtido ao girarmos uma parábola em torno de seu eixo de simetria.)
15. (a) Para cada x pertencente ao intervalo [0, 1], seja Tx o triângulo cujos vértices são (0, 0), (1, 0) e (x, 1). Que
valor (ou valores) de x fornece o sólido de volume máximo, quando Tx é girado em torno do eixo x ?
(b) Suponha que o triângulo Tx seja girado em torno do eixo y. Que valores de x fornecem o sólido de volume
máximo?
2
2
16. Considere as elipses de equação xa2 + yb2 = 1, que tem a soma dos dois semi-eixos igual a 2, isto é, (a + b) = 2.
Qual dessas elipses giradas em torno do eixo x fornecerá um elipsóide de volume máximo?
17. Mostre graficamente que a circunferência de raio 1 pode ser aproximada por uma poligonal e calcule, desse modo,
uma aproximação para o valor de π. Compare a aproximação que você achou com o resultado obtido usando a
fórmula do comprimento de arco.
18. Em cada caso, estabeleça a integral que fornece o comprimento do arco indicado. No estágio em que estamos,
você é capaz de calculá-las?
√
(a) y = x , para x no intervalo [1, 4]
(c) y = x3 , para x no intervalo [0,1]
2
(b) y = x , para x no intervalo [0, 1]
(d) a parte de y = −x2 + 4 x − 3 acima do eixo
x.
19. Ache a área da superfı́cie gerada pela revolução da curva dada em torno do eixo indicado:
√
(a) y = x, para x em [0, 1], em torno do eixo x
(b) y = x3 , para x em [1, 2], em torno do eixo x
(c) y =
x5
5
+
1
12 x3 ,
para x em [1, 2], em torno do eixo y.
20. Você pode obter uma esfera de raio r fazendo girar o gráfico de f (x) =
[−r, r], em torno do eixo x. Calcule a área desta esfera.
2
2
√
r2 − x2 , para x variando no intervalo
21. (a) Calcule o comprimento de arco total da astróide x( 3 ) + y ( 3 ) = 1.
(b) Determine a área da superfı́cie gerada pela revolução da astróide do item anterior em torno do eixo y.
338
Cap. 24.
24.11
Aplicações da Integral Definida
Problemas
1. Uma partı́cula se move ao longo do eixo x de tal maneira que sua velocidade em qualquer instante de tempo t
é dada por v(t) = sen(2 t). Em t = 0, a partı́cula está na origem.
(a) No intervalo de tempo [0, π], ache todos os valores de t para os quais a partı́cula está se deslocando para a
esquerda.
(b) Determine a posição da partı́cula em qualquer instante de tempo t.
(c) Determine o valor médio da função posição encontrada em (b), no intervalo [0,
π
2 ].
2. Uma partı́cula se desloca ao longo do eixo x com aceleração dada por a(t) = 2 t − 10 +
12
t
para t ≥ 1.
(a) Sabendo que v(1) = 9, determine a velocidade da partı́cula para t ≥ 1.
(b) Para que valores de t, no intervalo [1, 3], a velocidade atinge seu valor máximo? Justifique a sua resposta.
(c) Sabendo que s(1) = −16, determine a posição s(t) da partı́cula para t ≥ 1.
3. Uma partı́cula se move ao longo do eixo x de tal maneira que a sua aceleração em qualquer instante de tempo
9
t > 0 é dada por a(t) = 18 − t12 . Quando t = 1, sua velocidade é igual a 16
m/s e sua posição em relação à origem
25
é 48 m.
(a) Ache a velocidade da partı́cula como função do tempo.
(b) Ache a distância da partı́cula à origem em t = 2.
4. Seja R a região limitada pelo gráfico de (x − 4)2 + y 2 = 9.
(a) Exprima a área A de R como uma integral.
(b) Determine A sem integrar.
5. Se A é a área da região limitada pelos gráficos de 2 x + 3 y = 6, x = 0 e y = 0, exprima o valor de A como uma
integral. Determine o valor de A sem integrar.
6. Calcule os valores de m para os quais a reta y = mx e a curva y =
a área de tal região.
x
x2 +1
delimitam uma região fechada. Calcule
7. Calcule a área acima do eixo x, limitada pela curva y = x12 e pelas retas x = 1 e x = b, onde b é um número
qualquer maior que um. O que acontece com essa área quando b → ∞?
8. Resolva o problema anterior para a região limitada pelas mesmas retas e pela curva y = x1p , onde p é um número
positivo maior que um. O que acontece quando p é um número positivo menor que um?
∑
9. Se lim
π xi 4 ∆ x representa o limite de uma soma de Riemann para uma função f no intervalo [0, 1], resolva
∆ x→0
i
os ı́tens abaixo:
(a) Determine o valor do limite.
(b) Interprete o limite como a área de uma região do plano xy.
(c) Interprete o limite como o volume de um sólido de revolução.
10. Mostre por cada um dos métodos a seguir que a área de um cone circular reto cuja geratriz tem comprimento l
e cuja base tem raio r é π r l.
(a) Corte o cone ao longo de uma das suas geratrizes e “desenrole-o”. Sua superfı́cie forma, então, uma fração
de um cı́rculo de raio l, cuja área você pode calcular facilmente.
(b) Imagine que o cone é constituı́do por n triângulos de altura l e base 2 nπ r (esta hipótese se torna cada vez
melhor à medida em que n cresce). Deduza a partir deste raciocı́nio a fórmula para a área da superfı́cie do
cone.
(c) Da fórmula obtida para a área da superfı́cie do cone, deduza uma fórmula para a área de um tronco de
cone reto com raios r1 (base menor) e r2 (base maior) e geratriz (altura inclinada) L. (A área de um tronco
de cone pode ser obtida como a diferença das áreas de dois cones um com base r2 e geratriz L2 , e o outro
com base r1 e geratriz L1 = L2 − L ).
W.Bianchini, A.R.Santos
339
11. Este problema se destina a formalizar as idéias intuitivas empregadas para estabelecer a fórmula para a área de
uma superfı́cie de revolução.
df (a) Suponha que dx
≤ M em [a, b]. Mostre a partir do teorema do valor médio que
|f (x1 ) − f (x2 )| ≤ M |x1 − x2 | ,
se x1 e x2 estão em [a, b].
(b) Suponha que xi−1 ≤ ci ≤ xi . Mostre que
| f (xi ) + f (xi−1 ) − 2 f (ci )| ≤ 2 M | xi − xi−1 | ,
isto é, que f (xi ) + f (xi−1 ) não pode diferir de 2 f (ci ) por mais do que 2 M (xi − xi−1 ).
(c) Mostre que se todos os intervalos na partição a = x0 < ... < xn = b têm comprimentos menores ou iguais
a ∆ x, então cada termo da soma
∑
√
(∗)
π (f (xi ) + f (xi−1 )) 1 + (f ′ (ci ))2 ∆ xi
i
difere do termo correspondente da soma
∑
2 π f (ci )
√
1 + (f ′ (ci ))2 ∆ xi
i
√
por não mais que 2 π M ∆ x 1 + M 2 ∆ xi .
(d) Mostre que a diferença entre as duas somas anteriores é menor ou igual a
√
2 π M ∆ x 1 + M 2 (b − a)
e, portanto, é desprezı́vel quando ∆ x é pequeno. Assim, tanto (*) quanto (**) tendem para o mesmo limite
quando ∆ x tende para zero.
√
∫d
df 2
12. Prove a fórmula A = c 2 π x 1 + ( dx
) dx para a área de uma superfı́cie de revolução obtida pela rotação da
curva suave y = f (x), em torno do eixo y, para x em [a, b].
13. Resolva o exemplo 3 com o reservatório tendo a forma de uma esfera com 5 metros de raio e estando totalmente
cheio.
24.12
Um pouco de história
No século III A.C., Arquimedes considerou a esfera como um sólido de revolução ao estabelecer a sua famosa fórmula
3
V = 4 π3r para o volume de uma esfera de raio r.
Para chegar a este resultado, Arquimedes utilizou troncos de cones, do modo como foi feito nesta seção para o
cálculo de áreas de superfı́cies de revolução, e não cilindros, como fizemos para o cálculo de volumes.
Além de descobrir o volume de uma esfera, Arquimedes encontrou também a área de sua superfı́cie, relacionando
estas duas quantidades de uma forma brilhante. Sua idéia foi dividir a esfera sólida em um grande número de pequenas
“pirâmides” da maneira descrita a seguir.
Imagine a superfı́cie da esfera dividida em muitos pequenos ”triângulos”. Como não há linhas retas na superfı́cie
esférica, estas pequenas figuras não são triângulos de verdade, no entanto, se elas forem suficientemente pequenas cada
figura está em um plano aproximador e pode ser considerada, aproximadamente, como triângulos. Suponha que cada
“triângulo” seja usado como base de uma pirâmide de altura r (raio da esfera) e com vértice no centro da esfera. Se
Ak é a área da base de uma destas pequenas “pirâmides” e Vk o seu volume, sabemos que Vk = A3k r , para todo k (este
fato foi descoberto por Demócrito, em V A.C.). Assim,
n
∑
k=1
n
n
∑
Ak r
r ∑
Vk =
= ( )(
Ak ) .
3
3
k=1
k=1
Como todas as pirâmides preenchem a esfera sólida, esta fórmula nos diz que o volume da esfera e a sua área estão
relacionados pela equação
Ar
V =
.
3
340
Cap. 24.
Aplicações da Integral Definida
Ao descobrir o volume da esfera, Arquimedes, usando esta fórmula, concluiu também, que
4 π r3
Ar
=
.
3
3
Logo, A = 4 π r2 é a área da esfera de raio r.
24.13
Para você meditar
24.13.1
Regiões ilimitadas têm, necessariamente, áreas infinitas?
O teorema fundamental do cálculo não se aplica ao cálculo de integrais definidas em intervalos onde o integrando não
seja uma função contı́nua. Em especial, não é possı́vel aplicar este teorema para o cálculo de integrais em intervalos
onde o integrando se torna ilimitado. Um exemplo deste tipo de situação foi explorado∫ no Problema 7 do Cap. 22.
1
Naquele problema, ao aplicar o teorema fundamental do cálculo para resolver a integral −1 x12 dx, obtivemos para ela
um valor negativo, o que é, evidentemente, um absurdo, visto ser o integrando sempre positivo. No entanto, usando
um processo de limite, é possı́vel calcular esta integral de uma maneira bastante fácil e intuitiva. Sua tarefa é descobrir
como isto é possı́vel. (O Problema 7, deste capı́tulo fornece uma pista de como isto pode ser feito.)
Use suas conclusões para calcular a integral acima. Interprete o resultado obtido como a área de uma região do
plano. Você é capaz de achar um exemplo de uma região ilimitada cuja área seja finita?
24.13.2
Volumes iguais?
Sejam T e T ′ triângulos com um dos seus lados sobre o eixo x. Se T e T ′ têm a mesma área, os sólidos obtidos quando
estes triângulos são girados em torno do eixo x terão o mesmo volume?
24.13.3
A raiz quadrada de 2 é igual a 1?
Qualquer que seja o arco de curva definido pelo gráfico de uma função suave y = f (x), desde o ponto A = (a, f (a))
até o ponto B = (b, f (b)), existe uma seqüência de funções escada (veja no Cap. 22 na seção Para você meditar ) que
converge para o arco em questão. Execute a animação do texto eletrônico ou examine os gráficos a seguir que ilustram
passo a passo esta idéia para a função y = x.
1.
0
1.
1.
1.
0
0
1.
1.
1.
1.
0
0
1.
1.
1.
0
1.
Em cada passo, a soma dos comprimentos dos n segmentos de reta que compõem a função degrau é igual a 1,
pois esta soma é igual ao comprimento
√ do intervalo [0, 1]. Como esta seqüência de funções converge para a diagonal
do quadrado de lado 1, temos que 2 = 1, pois, no limite, a soma dos n segmentos de reta,
√ que é sempre constante
e igual a 1, deve convergir para a diagonal do quadrado unitário. Se temos certeza que 2 ̸= 1, onde está o erro do
raciocı́nio acima?
24.14
Projetos
24.14.1
Calculando a probabilidade de que uma equação
quadrática ter raı́zes reais
O objetivo deste projeto é calcular a probabilidade P de que uma equação quadrática do tipo x2 + b x + c = 0, onde
b e c são constantes aleatórias reais, tenha raı́zes reais.
Para isso siga os seguintes passos:
W.Bianchini, A.R.Santos
341
1. Determine a condição algébrica sobre os coeficientes c e b para que a equação acima tenha raı́zes reais.
2. Determine, graficamente, a região do plano bc que satisfaz a condição anterior, isto é, marque no eixo das abscissas
os valores de b e, no das ordenadas, os valores de c e determine a região que satisfaz a condição imposta.
3. Reduza o problema dado ao problema mais simples de calcular a probabilidade P (N ) de os valores de b e de c,
escolhidos aleatoriamente num retângulo do tipo [−N, N ], caı́rem na região que satisfaz a condição imposta no
primeiro item.
4. Resolver o problema proposto originalmente é equivalente a permitir que, no valor calculado no item anterior,
N aumente sem limite. Calcule P e interprete em termos estatı́sticos o resultado encontrado.
5. Os comandos a seguir calculam as raı́zes da equação x2 + b x + c = 0 , onde os coeficientes b e c são números
no intervalo [−1, 1], gerados aleatoriamente. Execute estes comandos um grande número de vezes, por exemplo
100 vezes, e verifique, experimentalmente, que a probabilidade P (N ) (N = 1) que você encontrou está correta.
Repita esta tarefa para valores sucessivamente maiores de N e verifique, também, que à medida que o valor de
N aumenta, P (N ) se aproxima cada vez mais de P .
>
N:=1:
>
>
n1:=rand():n2:=rand(1..2):n3:=rand():
b:=N*evalf(n1()*(-1)^(n2())/10^12);
c:=N*evalf(n3()*(-1)^(n2())/10^12)
;
>
solve(x^2+b*x+c,x);
>
>
b := −.009104967988
c := .4668664455
.004552483994 − .6832610924 I, .004552483994 + .6832610924 I
6. A equação quadrática mais geral a x2 + b x + c = 0 pode ser reduzida ao caso anterior dividindo-se ambos os
membros por a ̸= 0. No entanto, neste caso, a probabilidade das raı́zes desta equação serem reais diminui
bastante. Comprove experimentalmente esta afirmação executando os comandos abaixo um grande número de
vezes e justifique este fato mesmo que intuitivamente.
>
N:=1:
>
>
>
n1:=rand():n2:=rand(-1..0):n3:=rand():n4:=rand():
b:=N*evalf(n1()*(-1)^(n2())/10^12);c:=N*evalf(n3()*(-1)^(n2())/10^12)
;a:=N*evalf(n4()*(-1)^(n2())/10^12);
>
solve(x^2+b/a*x+c/a,x);
b := .1079981641
c := .5820868907
a := −.2641263567
−1.294094224, 1.702982475
24.14.2
Volumes de sólidos: seções retas
Suponha que um sólido qualquer esteja situado entre dois planos perpendiculares ao eixo x, um em x = a e outro em
x = b. Se um plano perpendicular ao eixo x intercepta o sólido, a região comum ao plano e ao sólido é chamada seção
reta ou seção transversa do sólido.
Todas as seções transversas de sólidos de revolução obtidas pela interseção de planos perpendiculares ao eixo de
revolução com o sólido são circunferências. A figura à esquerda ilustra esta afirmação no caso do sólido ser um cone
de revolução. Esta propriedade foi usada neste capı́tulo ao obtermos uma fórmula para o cálculo do volume de sólidos
de revolução. Quando todas as seções retas de um sólido forem iguais, o sólido será considerado um cilindro. A figura
a seguir à direita mostra um cilindro onde todas as seções retas são parábolas idênticas.
342
Cap. 24.
500
15
400
10
5
10
–5
Aplicações da Integral Definida
300
2
4
6
8
200
10 12 14
–10
100
–15
10
5
–10
0.2 0.4
0.6 0.8
1
Se estamos interessados apenas na parte do gráfico limitada pelos planos que passam pelos pontos de coordenadas
x = a e x = b (na figura da direita, a = 0 e b = 1), então as seções transversas, limitadas por estes planos, são
chamadas bases do cilindro e a distância entre as bases é a sua altura.
O objetivo deste projeto é estabelecer uma fórmula para calcular volumes de cilindros e de sólidos mais gerais, isto
é, de sólidos tais que a área das seções retas seja dada por uma função A(x), onde A é uma função contı́nua em [a, b].
1. Estabeleça uma fórmula para calcular volumes de cilindros sendo conhecidas a área da sua base e a altura. Como
caso especial, mostre que o volume de um cilindro circular reto com raio da base r e altura h é π r2 h.
2. Utilizando a idéia de dividir o sólido em fatias finas e aproximar o seu volume somando os volumes de cada uma
dessas fatias, estabeleça uma fórmula para calcular o volume de um sólido cuja área de cada seção reta seja dada
por A(x), onde A é uma função contı́nua em [a, b].
3. O cone mais geral é gerado por todas as retas que passam por um ponto dado V (o vértice) e por uma região
plana dada (a base). Imagine um eixo vertical com origem em V e a base B de um cone contida no plano y = h.
Mostre que a área da seção reta passando por y0 é ( yho )2 A, onde A é a área da base dada B. Use este resultado
e a fórmula que você obteve no item anterior para mostrar que o volume de um cone é A3h .
4. Determine, por integração, o volume de uma pirâmide reta se a sua altura é h e a base um retângulo de lados a
e 2a.
5. Mostre que a fórmula obtida para calcular volumes de sólidos de revolução pelo método do disco é um caso
particular do método das seções retas, onde cada seção reta é um disco cujo raio é conhecido.
6. Demonstre o teorema de Cavalieri : “Se dois sólidos têm alturas iguais e se todas as seções transversas por planos
paralelos às suas bases e à mesma distância delas têm áreas iguais, então os sólidos têm o mesmo volume”.
24.14.3
Volumes de sólidos de revolução: método das cascas cilı́ndricas
O método das seções retas (projeto anterior) é geral e se aplica, teoricamente, a qualquer problema de cálculo de
∫b
volume de sólidos, isto é, é sempre verdade que V = a A(x) dx. No entanto, na prática, esta fórmula não é muito útil.
Considere, por exemplo, o sólido gerado pela revolução da região limitada pelo gráfico da função y = cos(x) e pelas
∫1
∫1
retas x = 0 e x = π2 , em torno do eixo y. O volume de tal sólido será dado por 0 A(y) dy = 0 π [arccos(y)]2 dy. Esta
última integral é bastante difı́cil de calcular.
O objetivo deste projeto é ilustrar um outro método, útil em
muitas situações, para calcular volumes de sólidos de revolução.
Em vez de aproximarmos o sólido por discos finos, a idéia é
aproximá-lo por cascas cilı́ndricas finas, por este motivo este
método é chamado método das cascas cilı́ndricas.
Uma casca cilı́ndrica é a região obtida ao girarmos em torno do
eixo y um retângulo com base sobre o eixo x. Veja a figura ao
lado
1
0.8
0.6
0.4
0.2
–1
0.5
1
–1
–0.5
–0.5
0.5
1
Como dissemos acima, a idéia é aproximar o volume do sólido que queremos calcular pela soma do volume de
cascas cilı́ndricas muito finas. Assim, podemos aproximar o volume de um sólido gerado pela revolução em torno do
eixo y, de uma região limitada pelo gráfico da função y = f (x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, pela soma
dos volumes de i cascas cilı́ndricas concêntricas, cujas espessuras recobrem o intervalo [a, b], de tal modo que a altura
da i-ésima casca seja dada por f (xi ). À medida que a espessura de cada casca se aproxima de zero, a soma de seus
volumes se aproxima cada vez mais do volume do sólido, da mesma forma como as camadas concêntricas de uma
cebola preenchem o seu volume. Veja a figura a seguir, onde esta idéia é ilustrada.
W.Bianchini, A.R.Santos
343
1. Mostre que a área de um anel circular de raios r1 e r2 é dada por
π (r2 2 − r1 2 ) = π (r2 − r1 ) (r2 + r1 ) = 2 π rm ∆ r,
onde rm é o raio médio do anel e ∆ r a sua espessura.
2. Mostre que o volume de uma casca cilı́ndrica de raios r1 e r2 e altura h é dada por
π h (r2 − r1 ) (r2 + r1 ) = 2 π h rm ∆ r
3. Seja A o conjunto {(x, y); a ≤ x ≤ b e g(x) ≤ y ≤ f (x)}, onde a ≥ 0 e g ≤ f no intervalo [a, b]. Um sólido
de revolução é gerado fazendo-se A girar em torno do eixo y. Mostre que o volume do sólido é dado por
∫b
2 π x (f (x) − g(x)) dx.
a
4. Use a fórmula acima para determinar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos
de y = 4 − x2 e y = 0, em torno do eixo y.
5. Um anel esférico é o sólido que permanece após a perfuração de um buraco através de uma esfera sólida. Se a
esfera tem raio a e o anel altura h, prove o fato notável de que o volume do anel depende de h, mas não de a.
24.14.4
Usando matemática para modelar um objeto real
Muitos objetos com que lidamos na vida cotidiana são exemplos de sólidos de revolução. Uma forma de pudim é
exemplo de um desses objetos. O objetivo deste projeto é descrever um objeto real, no caso uma fôrma de pudim,
como um sólido de revolução e obter o seu volume pelos métodos tratados neste capı́tulo. Para isso, siga os seguintes
passos:
1. Aproxime a seção reta da forma por uma função conhecida.
2. Seja f uma função positiva, definida num intervalo [a,b]. Sabemos que, no plano yz, onde z é o eixo vertical
e y o horizontal, a região limitada pelo gráfico da função z = f (y) e pelo eixo y, ao ser girada em torno do
eixo z, gera um sólido de revolução. A superfı́cie deste sólido pode ser descrita em função dos parâmetros y e
do ângulo de giro t. Mostre que as coordenadas de um ponto genérico desta superfı́cie podem ser dadas por
(y sen(t), y cos(t), f (y)).
3. Use a função obtida no primeiro item e o comando plot3d do Maple para visualizar a sua forma de pudim. Para
isso, no comando abaixo substitua f (y) pela função que você definiu no primeiro item e as constantes a e b pelo
correto intervalo de variação de y.
> plot3d([y*sin(t),y*cos(t),f(y)],t=0..2*Pi,y=a..b);
4. Calcule o volume da sua fôrma pelos métodos estudados nesta seção.
5. Meça o diâmetro, o diâmetro do canudo central e a profundidade de uma forma de pudim. Ajuste o seu modelo
teórico às dimensões verdadeiras (faça uma redução em escala, se necessário) e calcule o volume da sua fôrma
teórica depois do ajuste feito. Verifique a validade do modelo teórico: descubra qual a capacidade da fôrma real
(em litros, por exemplo) e compare o resultado teórico com o volume real.