Lista 4
2 de junho de 2014
Seção 5.1
1. (a) Estime a área do gráfico de f (x) = cos x de x = 0 até x = π/2 usando quatro retângulos
aproximantes e extremidades direitas. Esboce os gráficos e os retângulos. Sua estimativa é uma
subestimativa ou uma superestimativa?
(b) Repita a parte (a) usando as extremidades esquerdas.
2. Use a Definição 2 para achar uma expressão para a área sob o gráfico de f como um limite.
Não calcule o limite.
√
f (x) = 4 x, 1 ≤ x ≤ 16
3. Determine uma região cuja área seja igual ao limite dado. Não calcule o limite.
n
X
π
iπ
tan
n→∞
4n
4n
lim
i=1
4. (a) Seja An a área de um polı́gono com n lados iguais inscrito em um cı́rculo com raio r.
Dividindo o polı́gono em n triângulos congruentes com ângulo central 2π/n mostre que
2π
1
An = πr2 sin
2
n
(b) Mostre que limn→∞ An = πr2 . [Sugestão: Use a Equação 3.3.2]
Seção 5.2
Rg
1. É dado o gráfico de uma função f . Estime o f (x)dx utilizando quatro subintervalos com (a)
extremidades direitas, (b) extremidades esquerdas e (c) pontos médios.
2. Expresse o limite como uma integral definida no intervalo [π, 2π].
lim
π→∞
π
X
cos xi
i=1
1
xi
∆x
3. Demonstre que
Z
b
xdx =
a
4. O gráfico de f está mostrado. Calcule a integral
b2 − a2
2
R9
0
f (x)dx interpretando-a em termos das áreas.
5. Calcule a integral, interpretando-a em termos das áreas.
(a)
R0
(b)
R 10
−3 (1
1
+
p
9 − x2 )dx
|x − 5|dx
6. Dado que
R1
0
√
√
R0 √
3x x2 + 4dx = 5 5 − 8, o que é 1 3u u2 + 4du?
7. Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular a integral.
√
2π
≤
24
Z
√
π/4
cos xdx ≤
π/6
3π
24
8. Use o resultado do exercı́cio 65 [Stewart, vol. 6, pág. 356] para mostrar que.
Z
Z
2π
2π
f (x) sin 2xdx ≤
|f (x)|dx
0
0
2
Seção 5.3
Rt
1. Seja g(x) = 0 f (t)dt onde f é uma função cujo gráfico está mostrado.
(a) Calcule g(0), g(1), g(2), g(3), g(4), g(5) e g(6).
(b) Em que intervalos g está crescendo?
(c) Onde g tem um valor máximo?
(g) Faça um esboço do gráfico de g.
2. Esboce a área representada por g(x). A seguir encontre g 0 (x) de 2 maneiras: (a) Utilizando a
parte 1 do Teorema Fundamental e (b) Calculando a integral usando a Parte 2 e então derivando.
Z x
g(x) =
t2 dt
t
3. Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
(a) g(u) =
Ru
(b) g(x) =
R cos x
1
3 x+x2 dx
1
(1 + v 2 )10 dv
4. Calcule a integral.
(a)
R1
(b)
R2
(c)
R2
0
(1 + 12 u4 − 52 u9 )du
3
1 t4 dt
−2 f (x)dx,
onde
(
2,
f (x) =
4 − x2 ,
− 2 ≤ x ≤ 0,
0 < x ≤ 2.
se
se
5. O que está errado na equação?
Z
2
−1
4
2
dx = − 2
3
x
x
3
#2
=
−1
3
2
6. Ache a derivada da função.
Z
x2
√
g(x) =
tan x
7. Se F (x) =
Rx
8. Seja g(x) =
1
f (t)dt, onde f (t) =
Rx
0
R t2
1
√
1+u4
du,
u
1
dt
2 + t2
determine F 00 (2).
f (t)dt, onde f é uma função cujo gráfico está mostrado.
(a) Em que valores de x ocorrem os valores de máximos e mı́nimos locais em g?
(b) Onde g atinge seu valor máximo absoluto?
(c) Em que intervalos g é côncavo para baixo?
(d) Esboce o gráfico de g.
Seção 5.4
1. Ache a integral geral.
R 2
x + 1 + x21+1 dx
(a)
R
2x
(b) sin
sin x dx
2. Calcule a integral.
(a)
(b)
y+5y 7
dy
1
y3
R2
−1 (x − 2|x|)dx
R2
3. As fronteiras da região sombreada são o eixo y, a reta y = 1 e a curva y =
dessa região escrevendo x como função de y e integrando em relação a y.
√
4
x. Ache a área
4. Uma colmeia com umaR população inicial de 100 abelhas cresce a uma taxa de n0 (t) abelhas por
15
semana. O que 100 + 0 n0 (t)dt representa?
√
5. A densidade linear de uma barra de comprimento 4m é dada por ρ(x) = 9 + 2 x medida em
kg/m, em que x é medido em metros a partir de uma extremidade da barra. Ache a massa total
da barra.
4
Seção 5.5
1. Calcule a integral fazendo a substituição dada.
(a)
R
dt
,
(1−6t)4
(b)
R
esin θ cos θdθ,
u = 1 − 6t
u = sin θ.
2. Calcule a integral indefinida.
(a)
R
dx
5−3x dx
(b)
R
(c)
R
(d)
R
(e)
R
tan−1 x
dx
1+x2
cos x
dx
sin2 x
cos (π/x)
dx
x2
2
√x
dx
1−x
(f)
R
√
x3 x2 + 1dx
3. Calcule a integral definida.
(a)
(b)
(c)
R1
−x2 dx
0 xe
R 2 e1/x
1 x2 dx
R e4
. e √dx
dx
lnx
√
R2
4. Calcule −2 (x + 3) 4 − x2 dx escrevendo-a como uma soma de duas integrais e interpretando
uma dessas integrais em termos de uma área.
R9
R3
5. Se f for contı́nua e 0 f (x)dx = 4, encontre 0 xf (x2 )dx.
6. Se f for contı́nua em <, demonstre que
Z
b
Z
−a
f (−x)dx =
f (x)dx
−b
a
Para o caso onde f (x) ≥ 0 e a < x < b, faça um diagrama para interpretar geometricamente
essa equação como uma igualdade de áreas.
5
7. Se f for contı́nua em R, demonstre que
Z
b
Z
b+c
f (x)dx
f (x + c)dx =
a+c
a
Para o caso onde f (x) ≥ 0, faça um diagrama para interpretar geometricamente essa equação
como uma igualdade de áreas.
Problemas
1. Se x sin πx =
R x2
0
f (t)dt, onde f é uma função contı́nua, ache f (4).
2. Encontre o valor mı́nimo da área da região sob a curva y = x + 1/x de x = 0 a x = a + 1, 5, para
todo a > 0.
Rx
3. Se f for uma função derivável tal que f (x) nunca seja 0 e 0 f (t)dt = [f (x)]2 para todo x,
encontre f .
4. Encontre
d2
dx2
Z
x Z sin t p
1+
u2 du
dt
1
0
Seção 6.1
1. Encontre a área da região sombreada.
2. Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y.
Desenhe um retângulo aproximante tı́pico e coloque sua altura e largura. Então calcule a área
da região.
(a) y = x2 , y 2 = x
(b) y = cos x, x = sin 2x, x = 0, x = π/2.
3. Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.
Z
π/2
[sin x − cos 2x]dx
0
6
4. As larguras (em metros) de uma piscina em formato de rim foram medidas a intervalos de 2m,
como mostrado na Figura. Use a regra do Ponto Médio para estimar a área da piscina.
5. Dois carros, A e B, largam lado a lado e aceleram a partir do repouso. A figura mostra o gráfico
de suas funções velocidade.
(a) Qual carro estará na frente após 1 min? Explique.
(b) Qual o significado da área da região sombreada?
(c) Qual carro estará na frente após 2 min? Explique.
(d) Estime quando os carros estarão novamente lado a lado.
6. Encontre os valores de c tal que a área da região limitada pelas parábolas y = x2 −c2 e y = c2 −x2
seja 576.
7. Para quais valores de m a reta y = mx e a curva y = x/(x2 +1) delimitam uma região? Encontre
a área da região.
Seção 6.2
1. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno
das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela tı́picos.
√
x = 2 y, x = 0, y = 9 em torno do eixo y.
2. Veja a Figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta dada.
(a) <1 em torno de AB.
(b) <2 em torno de OC.
7
3. A integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido.
Z
π
π/2
[(1 + cos x)2 − 12 ]dx
0
4. Encontre o volume de uma pirâmide com altura h e base triangular equilátera com lado a (um
tetraedo).
5. (a) Escreva uma integral para um toro sólido (o sólido com formato de rosquinha da figura) com
raios r e R.
(b) Interpretando a integral com uma área, encontre o volume do toro.
6. Ache o volume comum aos dois cilindros circulares, cada qual com raio r, se os eixos dos cilindros
se interceptam em ângulos retos.
7. Um buraco de raio r é perfurado pelo centro de uma esfera de raio R > r. Encontre o volume
da porção remanescente da esfera.
8
Seção 6.3
1. Use o método das cascas cilı́ndricas para achar o volume gerado pela rotação em torno do eixo
y da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e uma casca tı́pica.
2
(a) y = e−x , y = 0, x = 0, x = 1
(b) y = x2 − 6x + 10, y = −x2 + 6x − 6
2. Use o método das cascas cilı́ndricas para achar o volume gerado pela rotação da região limitada
pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. Esboce a região e uma casca tı́pica.
y = x2 , x = y 2 , y = −1
3. Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume de um sólido obtido pela rotação da região
limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
√
x = sin y, 0 ≤ y ≤ π, x = 0; em torno de y = 4.
4. Suponha que você faça anéis para guardanapos perfurando buracos com diferentes diâmetros
através de duas bolas de madeira (as quais também têm diferentes diâmetros). Você descobre
que ambos os anéis de guardanapo têm a mesma altura h, como mostrado na figura.
(a) Faça uma conjectura sobre qual anel tem mais madeira.
(b) Verifique sua conjectura. Use cascas cilı́ndricas para calcular o volume de um anel de
guardanapo criado pela perfuração de um buraco com raio r através do centro de uma
esfera de raio R e expresse a resposta em termos de h.
Seção 6.4
1. Quanto trabalho é realizado ao se levantar um saco de areia de 40 kg a uma altura de 1,5 m?
2. Uma partı́cula é movida ao longo do eixo x por uma força que mede 10/(1 + x)2 newtons em
um ponto a x metros da origem. Calcule o trabalho realizado a mover a partı́cula da origem até
a distância de 9 metros.
9
3. Uma força de 10 lb é necessária para manter uma mola esticada 4 pol além do seu comprimento
natural. Quanto trabalho é realizado para esticá-la do seu comprimento natural até 6 pol além
do seu tamanho natural?
4. Um aquário de 2 m de comprimento, 1 m de largura e 1 m de profundidade está cheio de água.
Encontre o trabalho necessário para bombear metade da água para fora do aquário. (Use o fato
de que a densidade da água é de 1000 kg/m3 .)
Seção 6.5
1. Encontre o valor médio da função no intervalo dado.
√
(a) g(x) = x2 1 + x3 , [0, 2]
2
(b) f (t) = te−t ,
[0, 5]
2. Dado f (x) = (x − 3)3 ,
[2, 5].
(a) Encontre o valor de f no intervalo dado.
(b) Encontre c tal que fmed = f (c).
(c) Esboce o gráfico de f e um retângulo cuja área é a mesma que a área sob o gráfico de f .
Revisão
1. (a) A base de um sólido é um quadrado com vértices localizados em (1,0), (0,1), (-1,0) e (0,-1).
Cada secção transversal perpendicular ao eixo x é um semicı́rculo. Ache o volume do sólido. (b)
Mostre que cortando o sólido da parte (a) podemos rearranjá-lo para formar um cone. Assim,
calcule seu volume mais simplesmente.
2. Seja <1 a região limitado por y = x2 , y = 0 e x = b, em que b > 0. Seja a região <2 limitado
por y = x2 , x = 0 e y = b2 .
(a) Existe algum valor de b tal que <1 e <2 tenham a mesma área.
(b) Existe algum valor de b tal que <1 ocupe o mesmo volume quando girado em torno do eixo
x e do eixo y.
(c) Existe algum valor de b tal que <1 e <2 ocupem o mesmo volume quando girados em torno
do eixo x.
(d) Existe algum valor de b tal que <1 e <2 ocupem o mesmo volume quando girados em torno
do eixo y.
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