089303 - Cálculo 3 - Turma A
Sétima lista de exercı́cios
Profa . Vera Lúcia Carbone
22 de março de 2012
1. Use o Teorema de Green para encontrar o trabalho total realizado ao mover um objeto no sentido anti-horário, uma
vez em torno da circunferência x2 + y 2 = a2 , se o movimento for causado pelo campo de forças F~ (x, y) = ( sen x − y)~i +
(ey − x2 )~j.
ffi
F~ · dγ, onde F~ (x, y) = 4x3 y 3 ~i + (3x4 y 2 + 5x)~j e γ a fronteira do quadrado de vértices (−1, 0), (0, −1), (1, 0)
2. Calcule
γ
e (0, 1).
3. Sejam γ e K como no Teorema de Green. Prove que a área de K pode ser calculada por qualquer uma das seguintes
igualdades:
ffi
(a) área de K =
x dy.
γ
ffi
− y dx.
(b) área de K =
γ
1
(c) área de K =
2
ffi
− y dx + x dy.
γ
4. Em cada um dos ı́tens abaixo, use o exercı́cio anterior para calcular a área da região dada.
(a) A região limitada pela reta y = x e pela curva x = t3 + t e y = t5 + t, com 0 6 t 6 1. Faça um esboço da região.
(b) A região cuja fronteira é a circunferência x2 + y 2 = a2 .
√
(c) A região limitada pelos gráficos de y = x2 e y = x.
(d) A região limitada pela elipse
y2
x2
+
= 1, onde a, b > 0.
a2
b2
5. Em cada um dos ı́tens abaixo, calcule a integral de linha dada.
ffi
(a)
(x + y)dx + xydy, onde γ é a curva fechada determinada pelo eixo-x, pela reta x = 2 e pela curva 4y = x3 .
γ
ffi
y 2 dx + x2 dy, onde γ é a curva fechada determinada pelo eixo-x, pela reta x = 1 e pela curva y = x2 .
(b)
γ
ffi
(−x2 + x)dy, onde γ é a curva fechada determinada pela reta x − 2y = 0 e pela parábola x = 2y 2 .
(c)
γ
ffi
(d)
x2 y
dx − arctg x dy, onde γ é a elipse 4x2 + 25y 2 = 100.
x2 + 1
γ
6. Enuncie e prove o Teorema de Green para regiões dos tipos Rx = {(x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b e g1 (x) 6 y 6 g2 (x)}, onde
g1 e g2 são funções contı́nuas no intervalo [a, b] e Ry = {(x, y) ∈ R2 : c 6 y 6 d e h1 (y) 6 x 6 h2 (y)}, onde h1 e h2 são
funções contı́nuas no intervalo [c, d].
1
7. Seja K o triângulo da figura a seguir e γ a fronteira de K orientada no sentido anti-horário. Sejam P (x, y) e Q(x, y)
de classe C 1 num aberto contendo K. Prove que
¨
ˆˆ ∂Q ∂P dxdy.
P dx + Qdy =
−
∂x
∂y
γ
K
¨
ˆˆ
¨
ˆˆ
∂P
∂Q
Sugestão: Prove que
P dx = −
dxdy e
dxdy.
Qdx =
γ
K ∂y
γ
K ∂x
8. (a) Seja R a região triangular do plano xy de vértices (0, 0, 0), (0, 1, 0) e (1, 1, 0). Determine a área da parte do gráfico
de z = 3x + y 2 que se projeta em R.
(b) Determine a área da superfı́cie da parte do gráfico de z = 9 − x2 − y 2 acima do plano xy ou sobre ele.
(c) Calcule a área da parte do plano z = 1 − x − y sobre a região x > 0, y > 0 e x + y 6 1.
(d) Calcule a área da parte do plano z = 2 − x − y sobre a região x2 + y 2 6 1.
1
(e) Calcule a área da superfı́cie cilı́ndrica z = x2 sobre a região 0 6 y 6 x e x 6 2.
2
p
(f) Calcule a área da parte da superfı́cie esférica x2 + y 2 + z 2 = 1 que se encontra dentro do cone z > x2 + y 2 .
p
(g) Calcule a área da superfı́cie cônica z = x2 + y 2 sobre a região (x − 2)2 + 4y 2 6 1.
(h) Calcule a área da parte do parabolóide hiperbólico z = xy que se encontra dentro do cilindro x2 + y 2 6 4 e fora
do cilindro x2 + y 2 6 1.
(i) Determine a área da superfı́cie dada pela parte do gráfico de z = y +
xy de vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0) e (0, 1, 0).
x2
que se projeta sobre o quadrado do plano
2
(j) Determine a área da superfı́cie da parte do parabolóide z = x2 + y 2 seccionada pelo plano z = 1.
ˆˆ
9. Calcule a integral de superfı́cie
g(x, y, z) dS, sendo dados:
S
(a) g(x, y, z) = x e S a parte do gráfico de z = x2 + y sobre a região 0 6 x 6 1 e x2 6 y 6 1.
√
(b) g(x, y, z) = y e S a parte do gráfico de z = 1 − x2 sobre a região 0 6 x 6 1 e 0 6 y 6 x.
(c) g(x, y, z) = x2 + y 2 e S a superfı́cie x2 + y 2 + z 2 = 4, z > 1.
(d) g(x, y, z) = x2 e S o hemisfério superior de x2 + y 2 + z 2 = a2 .
2
(e) g(x, y, z) = x + y e S a parte do plano 2x + 3y + z = 6 situada no primeiro octante.
(f) g(x, y, z) = x2 z e S a parte do cone z 2 = x2 + y 2 que está entre os planos z = 1 e z = 4.
Definição: Sejam σ, S e f como na definição de integral de superfı́cie. Se f (x, y, z) representa a densidade superficial
de massa no ponto (x, y, z) ∈ S, então a massa M de S é dada por
¨
M=
f (x, y, z)dS.
σ
Quando f (x, y, z) ≡ k, com k constante, dizemos que a superfı́cie S é homogênea. O centro de massa (xc , yc , zc ) é
definido por
¨
¨
¨
yf (x, y, z)dS
xf (x, y, z)dS
xc =
σ
,
M
yc =
σ
M
zf (x, y, z)dS
,
zc =
σ
M
.
10. Calcule o centro de massa da superfı́cie homogênea dada.
(a) S é parametrizada por σ(u, v) = (u, v, u2 + v 2 ), u2 + v 2 6 1.
(b) S é a parte da superfı́cie cônica z 2 = x2 + y 2 compreendida entre os planos z = 1 e z = 2.
11. Calcule a massa da superfı́cie S dada, com função densidade superficial de massa f (x, y, z) dada.
(a) f (x, y, z) = z e S é a superfı́cie x2 + y 2 + z 2 = 1, z > 0.
p
(b) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 e S é a superfı́cie z 2 = x2 + y 2 , 1 6 z 6 2.
(c) f (x, y, z) = 2 e S a superfı́cie parametricada por σ(u, v) = (u, v, 1 − u2 ), 0 6 u 6 1 e 0 6 v 6 1.
12. (a) Seja Q o paralelepı́pedo retângulo limitado pelos planos coordenados e pelos gráficos de x = 1, y = 2 e z = 3. Se
F~ (x, y, z) = 2e−x z ~i + xy 2 ~j + z 3 ~j, calcule o fluxo de F~ sobre a superfı́cie S de Q.
(b) Seja Q a região limitada pelo cilindro z = 4 − x2 , o plano y + z = 5 e os planos xy e xz. Se ~n = (cos α, cos β, cos γ)
é um unitário de normal exterior à superfı́cie S de Q, calcule a integral de superfı́cie
¨
√
[(x3 + e−y sen z) cos α + (x2 y + tg −1 z) cos β + y sec x cos γ] dS.
S
¨
F~ · ~n dS, onde ~n é um vetor unitário normal exterior a S.
13. Em cada um dos itens abaixo, calcule
S
(a) F~ = y sen x~i + y 2 z ~j + (x + 3z) ~k; S a superfı́cie da região limitada pelos planos x = ±1, y = ±1, z ± 1.
(b) F~ = (x2 + sen (yz)~i + (y − xe−z ) ~j + z 2 ~k; S a superfı́cie dada por x2 + y 2 = 4, x + z = 2, z = 0.
(c) F~ = x~i + y ~j + z ~k; S dada por x2 + y 2 + z 2 = a2 .
(d) F~ = (x + z)~i + (y + z) ~j + (x + y) ~k; S a superfı́cie da região Q = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 y 2 + z 2 6 1, 0 6 x 6 2}.
(e) F~ = xy ~i + yz ~j + z 2 ~k; S a superfı́cie da região Q = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 x e 0 6 z 6 4}.
(f) F~ = −2xy ~i + y 2 ~j + 3z ~k; S a superfı́cie da região Q = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 6 1, z 6 x + y}.
(g) F~ = x~i + y ~j + z 2 ~k; S a superfı́cie da região Q = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 6 1}.
3
(h) F~ = 3xy ~i − y 2 ~j + z ~k; S a superfı́cie da região Q = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 6 1, x2 + y 2 6 z 6 5 − x2 − y 2 }.
2
14. (a) Considere o campo de força central ~g (x, y) = f (k~rk)~r, onde f : R → R é uma função derivável e ~r = x~i + y ~j.
Calcule rot ~g .
3
2
(b) Considere
o escoamento bidimensional na região Ω = {(x, y) ∈ R : −3 < x < 3, y ∈ R}com velocidade ~v (x, y) =
2
x
~j. Desenhe tal campo de velocidade. O escoamento é irrotacional?
1−
9
x
−y
~i +
~j, onde α > 0 é uma constante. Verifique que
(c) Considere o escoamento ~v (x, y) =
(x2 + y 2 )α
(x2 + y 2 )α
rot ~v (x, y) 6= 0 para α 6= 1.
15. Seja ϕ(x, y) = f (x2 + y 2 ) onde f (u) é uma função de uma variável real derivável até 2a ordem. Suponha que ∇2 ϕ = 0.
(a) Mostre que uf 00 (u) = −f 0 (u), u > 0.
(b) Determine uma f não-constante, para que se tenha ∇2 ϕ = 0.
16. Calcule o divergente do campo vetorial dado.
(a) ~v (x, y) = −y ~i + x ~j.
(b) ~u(x, y, z) = x~i + y ~j + z ~k.
(c) F~ (x, y, z) = (x2 − y 2 )~i + sen (x2 + y 2 ) ~j + arctg z ~k.
(d) F~ (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 ) arctg (x2 + y 2 + z 2 ) ~k.
17. Em cada um dos ı́tens abaixo, verifique os Teoremas de Gauss no plano e de Stokes no plano para o campo F~ e a região
R dados.
(a) F~ (x, y) = 3x~i + 2y~j e R é a região limitada pela circunferência x2 + y 2 = 1.
(b) F~ (x, y) = x2~i + y 2~j e R é a região limitada pela elipse 4x2 + 25y 2 = 100.
(c) F~ (x, y) = y 2~i + x2~j e R é a região limitada pela circunferência x2 + y 2 = 4.
ˆ
F~ · ~n ds, estando subentendido que ~n é unitário, sendo dados
18. Calcule
γ
(a) F~ (x, y) = x~i + y ~j, γ(t) = (cos t, sen t), 0 6 t 6 2π e ~n a normal exterior.
x2
+ y 2 6 1.
(b) F~ (x, y) = x2 ~i, γ(t) = (2 cos t, sen t), 0 6 t 6 2π e ~n a normal que aponta para fora da região
4
(c) F~ (x, y) = x~i + y ~j, γ(t) = (t, t2 ), 0 6 t 6 1 e ~n a normal com componente y < 0.
¨
rot F~ · ~n dS, sendo dados:
19. Em cada um dos itens abaixo, calcule
S
(a) F~ (x, y, z) = y ~i + (x + y) ~k, S a superfı́cie dada pelo gráfico de z = 2 − x2 − y 2 , com x2 + y 2 6 1, sendo ~n normal
apontando para cima.
(b) F~ (x, y, z) = x~i + y ~j + xyz ~k, S superfı́cie dada por z = 1 + x + y, x > 0, y > 0 e x + y 6 1, com normal ~n
apontando para baixo.
(c) F~ (x, y, z) = x3 ~k, S a superfı́cie z = y + 4, com 1 6 x2 + y 2 6 4, e com normal ~n apontando para baixo.
(d) F~ (x, y, z) = y 2 ~i + z 2 ~j + x2 ~k, S a parte do primeiro octante do plano x + y + z = 1, com normal ~n apontando
para fora.
1
(e) F~ (x, y, z) = z ~i + x ~j + y ~k, S o hemisfério z = (a2 − x2 − y 2 ) 2 , com normal ~n apontando para fora.
(f) F~ (x, y, z) = 2y ~i + ez ~j − ( arctg x) ~k, S a parte do parabolóide z = 4 − x2 − y 2 interceptada pelo plano xy.
4