Matemática 2
Pedro Paulo
GEOMETRIA PLAN A XIV
1 – ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA
Existem algumas retas e segmentos especiais
que possuem relação com a circunferência
:
Segunda propriedade (e aprenda muito bem
essa porque essa propriedade cai MUITO nos
vestibulares):
Toda reta tangente a uma circunferência é
perpendicular ao raio no ponto de tangência. Em uma
figura:
Figura 3 – retas tangentes à circunferência
Temos aqui retas tangentes em dois pontos:
e .Note que em ambos, a tangente é perpendicular ao
raio
que liga o ponto de tangência ao centro da
circunferência.
Figura 1 – circunferência e retas e segmentos especiais
Corda: Corda de uma circunferência é um segmento
de reta cujas extremidades pertencem à circunferência
3 – TEOREMA DO BICO
Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência é uma
corda que passa pelo centro da circunferência.
Observamos que o diâmetro é a maior corda da
circunferência e vale o dobro do raio
Aqui vai uma importantíssima relação que
envolve tangentes que partem de um ponto exterior à
circunferência e esta.
Os segmentos das tangentes traçadas de um
ponto exterior a um círculo são congruentes.
Veja a figura abaixo para que fique mais claro:
Reta secante: Uma reta é secante a uma
circunferência se essa reta intercepta a circunferência
em dois pontos quaisquer.
Reta tangente: Uma reta tangente a uma
circunferência é uma reta que intercepta a
circunferência em um único ponto . Este ponto é
conhecido como ponto de tangência ou ponto de
contato.
̅̅̅̅
2 - PROPRIEDADES
Figura 4 – Teorema do Bico
Primeira propriedade:
Imagine uma corda
da circunferência. Caso
baixemos um perpendicular à corda
passando pelo
centro da circunferência, encontraremos o ponto .
Este ponto será tal que
.
4 – TEOREMA DE PITOT
Num quadrilátero circunscritível (isto é cujos
lados são tangentes a uma circunferência interna),
temos que o Teorema do Bico nos dará uma
importante relação:
̅̅̅̅
Figura 2 – perpendicular à corda
CASD Vestibulares
̅̅̅̅
da circunferência
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Figura 5 – Teorema de Pitot
Geometria
1
Nível II
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I
1. (UNIFESP - 09) A figura exibe cinco configurações
que pretendem representar uma circunferência de
centro
e perímetro
e um quadrado de centro
e perímetro
. Aponte a alternativa que
corresponde à configuração descrita.
a)
b)
c)
5. (PUC-MG - 04) Na figura, o triângulo
é
retângulo em , e a medida de sua área é
; o
comprimento do cateto
é igual ao comprimento da
circunferência que tem
como diâmetro. A medida
do raio dessa circunferência, em metros, é:
a) √
b) √
c) √
d)
6. Atividade Proposta nº 1, Geometria Plana VII
7. Na figura, calcule a medida do raio
circunferência inscrista no triângulo retângulo
,
e
.
d)
da
,
e)
2. Determine o valor de
nos casos:
8. Atividade para Sala nº 4, Geometria Plana XIII
9. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede
e o raio do círculo inscrito mede
. Calcule o
perímetro do triângulo.
10. (UFG - 07)
A figura a seguir mostra uma
circunferência de raio
, inscrita num triângulo
retângulo, cuja hipotenusa mede
.
3. Atividade Proposta nº 3, Geometria Plana X
4. (UNESP - 05) Em uma residência, há uma área de
lazer com piscina redonda de
de diâmetro. Nessa
área há um coqueiro, representado na figura por um
ponto .
a) Calcule o comprimento da circunferência que
circunscreve o triângulo
.
Se a distância de (coqueiro) ao ponto de tangência
(da piscina) é
, a distância
, do coqueiro a
piscina, é:
a)
2
b)
c)
d)
b) Calcule o perímetro do triângulo
.
e)
Geometria
CASD Vestibulares
11. Calcule o valor do raio
trapézio retângulo.
do círculo inscrito no
12. Na figura abaixo, o valor de
15. (UFMG - 07) Nesta figura, está representada uma
circunferência de centro :
é:
Sabe-se que
13. (UFU - 06) Um polígono circunscreve um círculo,
conforme figura a seguir.
- os segmentos
e
medem, cada um,
;
- a reta
tangencia a circunferência no ponto ;
- o segmento
é perpendicular ao diâmetro
;e
pertence à circunferência e é o ponto médio do
segmento
.
Calcule o comprimento do segmento
.
16. (UFMG - 01) Observe esta figura:
Sabendo-se que
, então,
a)
b)
,
é igual a
c)
,
e
d)
14. (UERJ - 08) A ilustração da figura 1 mostra um
instrumento, em forma de V, usado para medir o
diâmetro de fios elétricos.
Para efetuar a medida, basta inserir um fio na parte
interna do V e observar o ponto da escala que indica a
tangência entre esse fio e o instrumento. Nesse ponto,
lê-se o diâmetro do fio, em milímetros.
Considere, agora, a ilustração da figura 2, que mostra
a seção reta de um fio de
de diâmetro inserido
no instrumento.
Nessa figura, o círculo tem centro e raio e
A reta
é tangente ao círculo em e o segmento
é perpendicular à reta
.
Assim sendo, o comprimento do segmento
é
a)
b)
c)
.
d)
17. (FUVEST - 14) Uma circunferência de raio
está inscrita no triângulo isósceles
, no qual
̅̅̅̅ ̅̅̅̅. A altura relativa ao lado ̅̅̅̅ mede
. O
comprimento de ̅̅̅̅ é, portanto, igual a
a)
b)
c)
d)
e)
Se o ângulo
do instrumento mede
, a distância
, em milímetros, do ponto ao ponto de tangência
é igual a:
a)
b)
CASD Vestibulares
c)
d)
Geometria
3
18. (UNIFESP - 06) Em um dia de sol, uma esfera
localizada sobre um plano horizontal projeta uma
sombra de
metros, a partir do ponto em que está
apoiada ao solo, como indica a figura.
Sendo o centro da esfera, o ponto de tangência de
um raio de luz,
um segmento que passa por ,
perpendicular à sombra
, e admitindo , , , e
coplanares:
a) justifique por que os triângulos
semelhantes.
e
são
21. (UNESP - 13) Uma semicircunferência de centro
e raio está inscrita em um setor circular de centro e
raio conforme a figura.
O ponto
é de tangência de ̅̅̅̅ com
semicircunferência. Se ̅̅̅̅
demonstre que
Nível III
22. (ITA - 12)
b) calcule o raio da esfera, sabendo que a tangente do
ângulo
é
.
19. (ITA - 06) Considere um losango
cujo
perímetro mede
e cuja maior diagonal mede
. Calcule a área, em
, do círculo inscrito
neste losango.
a
√
medidas
Um triângulo
,
tem lados com
e
. Uma
circunferência é tangente ao lado a e também aos
prolongamentos dos outros dois lados do triângulo, ou
seja, a circunferência é ex-inscrita ao triângulo. Então,
o raio da circunferência, em
, é igual a
a)
√
a)
√
a)
√
a)
√
a)
√
20. (UFMG - 13) Nos séculos XVII e XVIII, foi
desenvolvida no Japão uma forma particular de
produzir matemática. Um dos hábitos que a população
adotou foi o de afixar em templos placas contendo
problemas, em geral de geometria. Essas placas,
conhecidas como sangaku, apresentavam o problema
com ilustrações e a resposta, sem registrar a solução
dos autores. O seguinte problema foi adaptado de um
desses sangakus: considere ABCD um retângulo com
e
tome uma circunferência de
centro tangente aos lados
,
e
do retângulo,
e seja
uma de suas diagonais, interceptando a
circunferência nos pontos e .
Considerando essas informações,
a) DETERMINE o raio
da circunferência.
b) DETERMINE o comprimento do segmento
4
.
Geometria
CASD Vestibulares
3.
A figura do problema é a seguinte:
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
1.
Seja
é
Seja
o raio da circunferência. Como o perímetro dela
, tem-se:
o lado do quadrado. Como o perímetro dele é
, tem-se:
Assim, o lado da circunferência é igual ao raio do
quadrado
2. a)
A figura do problema é a seguinte:
Como
e
são tangentes à esfera por ,
e ̂
. Como
é a altura relativa à base do
triângulo isósceles
,
também é mediana.
Assim,
.
Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo
Sejam
Como
é o centro do círculo,
. Como
é a altura relativa à base do triângulo isósceles
,
.
Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo
̂
̂
e
̂
Assim, pelo caso A.A., os triângulos
semelhantes.
: é oposto aos lados
: é oposto aos lados
:
̂
(no
Semelhança entre
b)
A figura do problema é a seguinte:
)e
(no
: é oposto aos lados
e
)e
(no
);
(no
)e
e
.
Como a reta
é
.
, o raio da circunferência é . Assim,
.
é tangente à circunferência, o ângulo
Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo
CASD Vestibulares
são
(no
);
(no
);
:
4.
Como
é tangente à piscina, ̂
diâmetro da piscina é
, o seu raio é
Assim,
Como
:
Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo
. Como o
.
:
:
Geometria
5
5.
Seja
o raio da circunferência que tem
como
diâmetro. Então
. Como o comprimento de
é o comprimento dessa circunferência,
.
O triângulo
área é
tem base
, tem-se:
e altura
8.
Sejam , e os pontos em que os lados
,
e
tangenciam a circunferência. Nesse caso, tem-se
que
. Seja
a medida do lado
. Como o triângulo é isósceles,
.
. Como a sua
Pelo teorema do bico, tem-se
:
(
)
(
)
6.
Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo
A figura do problema é a seguinte:
√
(
√
√ )
√
√
√
:
(
√
√ )
A área da praça é
[
(
√ )]
(
(
√ )
)
9.
A figura do problema é a seguinte:
Sejam , e os pontos em que os lados
,
e
tangenciam a circunferência. Sejam o centro e
o raio do círculo. Então
é um quadrado. Assim,
. Pela figura,
e
Sejam
o triângulo retângulo,
o centro
do círculo inscrito e
e os pontos em que o círculo
inscrito tangencia os lados do triângulo.
Pelo teorema do bico, tem-se
:
(
)
(
Como o raio do círculo é
quadrado de lado
. Assim,
)
Sejam
7. Sejam , e os pontos em que os lados
,
e
tangenciam a circunferência. Sejam o centro e
o raio do círculo. Então
é um quadrado. Assim,
.
e
. Pelo teorema do bico,
tem-se:
Como a hipotenusa do triângulo mede
(
Pelo teorema do bico, tem-se
:
(
)
(
Geometria
:
)
O perímetro do triângulo
)
(
6
é um
.
)
é
(
)
CASD Vestibulares
10. a) Seja o raio da circunferência que circunscreve
o triângulo
. A hipotenusa
está oposta
̂
ao ângulo
. Pela lei dos senos, tem-se:
12. A figura do problema é a seguinte:
̂
O comprimento da circunferência que circunscreve o
triângulo
é
b) Sejam
o centro do círculo inscrito e
e
os
pontos em que o círculo inscrito tangencia os lados
,
e
do triângulo.
Como o raio do círculo é
é um
quadrado de lado
. Assim,
.
Sejam
e
. Pelo teorema do bico,
tem-se:
Como a hipotenusa do triângulo mede
:
Baixando a altura do trapézio a parter de , obtemos o
ponto
. Então
,
e
.
Pelo teorema do bico,
Então
e
Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo
(
(
)
(
(
O perímetro do triângulo
(
é
)
)
)
)
:
(
(
)
)
(
)
13. A figura do problema é a seguinte:
(
)
11. A figura do problema é a seguinte:
Sejam , , , , e os pontos em que os lados
,
,
,
,
e
tangenciam o polígono,
respectivamente.Pelo Teorema do Bico, tem-se:
Baixando a altura do trapézio a parter de
ponto
. Então
,
,
,
, obtemos o
e
Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo
,
,
,
( )
( )
:
( )
( )
Fazendo ( )
(
)
Note que
CASD Vestibulares
Geometria
(
( )
)
( )
(
( ), tem-se:
)
(
(
)
)
(
)
7
14. A figura do problema é a seguinte:
16. Como o círculo tem centro
e raio ,
Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo
:
√
̂
Sejam
Como o fio tem diâmetro
, o seu raio é
.
Assim,
. Além disso, pelo Teorema do
Bico,
. Então os triângulos
e
são
congruentes. Assim,
. Logo,
é a
bissetriz de
. Além disso,
No triângulo retângulo
̂
: é oposto aos lados √
: é oposto aos lados
(no
(no
(no
Semelhança entre
e
̂
(no
)e
: é oposto aos lados
(no
)e
(no
Semelhança entre
);
(no
);
) e √
(no
:
√
√
√
17. A figura do problema é a seguinte:
̂ .
: é oposto aos lados
: é oposto aos lados
(no
√
̂
e
)e
√
, tem-se:
15. Como
tangencia a circunferência no ponto ,
é perpendicular a
. Como
também é
perpendicular a
,
é paralelo a
, logo os
triângulos
e
são semelhantes. Seja
Como o diâmetro
vale
, o raio
vale
̂
̂
)e
: é oposto aos lados
);
√
Sejam
̂
e
(no
);
(no
)e
e
);
(no
);
Como a circunferência tem raio
Como a altura relativa ao lado
,
é
,
:
Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo
(
é ponto médio de
Note que
)
Sejam
: é oposto aos lados
é raio, logo
Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo
(
(
)
:
: é oposto aos lados
8
̂
̂
e
(no
(no
: é oposto aos lados
)
Semelhança entre
Como
isósceles,
(lembre-se que
̂
)e
)e
(no
̂
(no
(no
)e
e
:
);
);
(no
);
:
é a altura relativa à base do triângulo
é uma mediana. Então:
)
Geometria
CASD Vestibulares
18. a) Como
e
são tangentes à esfera, tem-se
̂
̂
̂
̂ .
que
. Além disso,
Como os triângulos
e
possuem dois ângulos
iguais, eles são semelhantes
: é oposto aos lados
(no
);
(no
b) No triângulo retângulo
(no
: é oposto aos lados
). Então, tem-se:
)e
(no
)e
, tem-se:
Semelhança entre os triângulos
Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo
e
:
:
20. a) Tracando um segmento vertical por
o diâmetro é igual a
. Logo :
√
Seja
20. b) A figura do problema é a seguinte:
o raio da esfera. Então
̂
Sejam
: é oposto aos lados
: é oposto aos lados
̂ e
̂
(no
)e
(no
)e
√
: é oposto aos lados
);
Semelhança entre
̂
(no
);
(no
);
(no
) e
e
(no
Sejam
o ponto médio de
. Como
é paralelo a
,
é base média. Assim,
:
√
√
( √
, note que
√
)
(
)
e
e
o ponto médio de
é ponto médio de
Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo
:
√
√
√
̂ e
̂ . Como é o ponto médio
Sejam
de
,
. Como
é o
diâmetro da circunferência,
é tangente à
circunferência, logo ̂
.
̂
̂
̂
Então
e
√
19. A figura do problema é a seguinte:
Assim, os triângulos
e
são semelhantes
: é oposto aos lados
(no
)e
(no
);
: é oposto aos lados
(no
)e
(no
);
: é oposto aos lados
);
Semelhança entre
√
(no
) e
e
(no
:
√
Como o perímetro do losango é
,
. Como a diagonal maior
é
,
. Usando Pitágoras no triângulo
, temse que
.
CASD Vestibulares
Geometria
√
√
√
√
√
9
21. Como
é tangente à semicircunferência, o
̂
ângulo
vale
. Note que
̂
Sejam
: é oposto aos lados
: é oposto aos lados
̂
̂
e
(no
)e
(no
)e
: é oposto aos lados
);
(no
Semelhança entre
e
1. D
̂
(no
GABARITO
2. a) O valor de
);
(no
b) O valor de
é
3. A
);
) e
é
(no
4. A
5. B
:
(
6. C
7. A medida do raio
)
é
8. E
22. A figura do problema é a seguinte:
9. O perímetro do triângulo é
10. a) O comprimento da circunferência é
b) O perímetro do triângulo
11. O valor do raio
12. O valor de
tem lados
√
. Nesse triângulo, tem-se:
Pelo enunciado,
e
,
é
é
√
é
13. C
14. D
15. O comprimento do segmento
Sejam
e
. Pelo teorema do bico,
e
,
√
( )
√
16. A
17. C
18. a) Os triângulos são semelhantes pelo caso A.A.
(√
b) O raio da esfera é
√
(
√
)
19. A área do círculo inscrito no losango é
)
20. a) O raio
√
da circunferência é
√
b) O comprimento do segmento
Como
triângulos
,
e
é um lado comum, os
e
são congruentes. Assim,
, isto é,
é bissetriz de
No triângulo retângulo
(
10
)
√
√
(
é
21. Os triângulos
e
é
√
são semelhantes
22. A
, tem-se:
)
√
√
√
Geometria
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