Estatística
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Teoria
Prof. Sergio Altenfelder
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MATERIAL DIDÁTICO EXCLUSIVO PARA ALUNOS DO CURSO APROVAÇÃO
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MATERIAL DIDÁTICO EXCLUSIVO PARA ALUNOS DO CURSO APROVAÇÃO
Turma AFRF 2008
Prof. Sérgio Altenfelder
CONCEITOS E ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
ESTATISTICOS
1.) ( ICMS-MG/93) Os dados abaixo foram fornecidos pela
Golden Cross a um segurado.
Demonstrativo de Mensalidades Para IR Ano Base -1992
Vencimento
Valor em CR$
Pago em UFIR
02/92
54.748,61
91,69
03/92
70.615,25
74,67
04/92
90.345,51
78,29
05/92
107.959,64
78,07
06/92
301.529,64
218,05
07/92
374.198,79
117,82
08/92
470.182,39
223,44
09/92
586.269,09
186,97
10/92
745.207,00
192,70
11/92
963.403,47
198,53
12/92
1.206.180,74
200,94
No mês de outubro de 1992, o valor da UFIR foi:
a.) 3.135,63
b.) 4.852,68
c.) 3.867,19
d.) 2.104,29
e.) 6.002,69
2.) ( ICMS-MG/93) A Folha de São Paulo de 08/08/93,
caderno 8, página 12, divulgou as seguintes informações
do SEBRAE/IEI/UFRJ:
Maioria tem baixa competitividade entre as Micro Empresas
40,0%
28,1%
22,3%
9,6%
Média
Inferior
Inferior
Média
Superior
Superior
Fonte: Folha de São Paulo
4.) ( ICMS-MG/93)
As Cincos Melhores Universidades No Brasil, por número
de CURSOS ESTRELADOS (*)
Universidades
Cursos
Cursos Estrelados
N
%
USP
78
67
UFMG
41
26
UFRJ
45
25
UNICAMP
27
24
UFRGS
40
23
* Muito bons e excelentes
Fonte: Guia do estudante/94, Ed.Abril, página 12
A sigla da Universidade que, proporcionalmente, tem
mais cursos considerados muito bons e excelentes é:
a.) USP
b.) UFMG
c.) UFRJ
d.) UNICAMP
e.) UFRGS
5.) ( ICMS-MG/93)
No 1º quadro, há a relação dos elementos que compõem
uma população de universitários.
No 2º quadro, há um fragmento da tabela de números
aleatórios de 02 dígitos.
Elementos aleatórios
Nºs
Nomes
----------------47
Dalva
48
Edméa
49
Elisa
50
Ilda
51
Leni
--------------------
Nºs
56
89
76
24
16
99
50
39
88
72
Faria parte da amostra o seguinte elemento:
a.) Dalva
b.) Edméa
c.) Elisa
d.) Ilda
e.) Leni
6.) ( ICMS-MG/93) Notícias fapemig, ano 1 - nº 1,
junho/julho - 93, divulgou, na página 8, o seguinte gráfico,
relativo a 1992.
Distribuição de Recursos por Área
Com base no gráfico. conclui-se que as microempresas
consideradas com competitividade média representam:
a.) 50,4%
b.) 62,3%
c.) 68,1%
d.) 37,7%
e.) 49,6%
3.) ( ICMS-MG/93)
Cursos de Nível Superior no Brasil em 1991
ÁREA
N
%
Agrárias
145
Artes
112
Biológicas
708
Exatas
794
Humanas
2.883
TOTAL
4.642
Fonte Guia do Estudante/94 - Abril
Na área de Ciências Humanas estão _____ dos cursos de
nível superior do Brasil.
a.) 60,2%
b.) 60,0%
c.) 63,0%
d.) 62,5%
e.) 62,1%
Atualizada 05/02/2008
Estatística
Ciências
Biológicas e da
Saúde 12,82%
Ciências
Exatas e da
Terra 10,61%
Tecnologia
54,82%
Ciências
Socias,
Humanas e
Artes 8,45%
Ciências
Agrárias
13,30%
A área menos favorecida com recursos foi a de:
a.) Ciências Biológicas e da Saúde
b.) Ciências Exatas e da Terra
c.) Ciências Agrárias
d.) Ciências Socias, Humanas e Artes
e.) Tecnologia
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7.) ( ICMS-MG/93) A folha de São Paulo de 18/08/93,
caderno 2, página 4, divulgou, entre os Indicadores
Econômicos, os dados do quadro abaixo:
Contribuição à Previdência Competência agosto.
Autônomo, Empregador e Facultativo
Permanência em
Salário- Alíquotas Contribuição
cada classe
base
(%)
(CR$)
(em meses)
(CR$)
Até 12
5.534,00
10
553,40
Mais de 12 até 24
10.122,62
10
1.012,26
Mais de 24 até 36
15.183,93
10
1.518,39
Mais de 36 até 48
20.245,24
20
4.049,05
Mais de 48 até 72
25.306,55
20
5.061,31
Mais de 72 até 108 30.367,87
20
-----------Mais de 108 até 144 35.429,18
20
7.085,84
Mais de 144 até 204 40.490,18
20
8.098,10
Mais de 204 até 264 45.551,80
20
9.110,36
Mais de 264
50.613,12
20
10.122,62
O valor que completa o quadro acima é:
a.) 6.073,50
b.) 6.073,57
c.) 6.070,50
d.) 6.700,57
e.) 6.703,57
8.) (ICMS/MG-95) Numa pesquisa em que foram
entrevistados torcedores de futebol de Belo Horizonte,
obteve-se, para a distribuição de freqüências, o gráfico de
setores ao lado:
Atlético
135º
Cruzeiro
150º
América
75º
Se 54 das pessoas pesquisadas torciam para o Atlético,
então, entre as pessoas pesquisadas, o número de
torcedores do Cruzeiro era de:
a.) 56 b.) 57 c.) 58 d.) 59 e.) 60
9.) (AFC/94)A tabela abaixo apresenta a distribuição de um
grupo de 200 estudantes segundo o curso que fazem
(Estatística ou Matemática) e o sexo (Homem ou Mulher).
Estatística
Matemática
Homem
40
80
Mulher
20
60
A única afirmação errada é:
a.) Um em cada três homens faz o curso de Estatística.
b.) 75% das mulheres fazem o curso de Matemática.
c.) dois em cada três estudantes de Estatística são
homens.
d.) 40% dos homens estudam Matemática.
e.) 60% dos estudantes são homens.
10.) (FTF) O gráfico de colunas não é utilizado em séries
do tipo
a.) histórico
b.) geográfico
c.) especificativo
d.) do polígono de freqüência
e.) econômico
2
Atualizada 05/02/2008
Estatística
11.) (TTN/85) O tipo de diagrama de área que procura
demonstrar a proporção de partes em um todo
representado por um circulo é:
a.) Gráfico de setores
b.) Ogiva de Galton
c.) Gráfico Pictórico
d.) Cartograma
e.) Gráfico Polar
12.) (TCDF/95) Em relação aos tipos de gráficos, assinale
a opção correta.
a.) Uma série categórica é melhor representada por um
gráfico de linha.
b.) Uma série cronológica é melhor representada por um
gráfico de setores.
c.) Se uma distribuição de freqüências apresenta
intervalos de tamanhos desiguais, o melhor gráfico para
representá-la e um polígono de freqüências.
d.) O gráfico de barras é usado somente para séries
geográficas.
e.) O gráficos de setores é usado para comparar
proporções.
13.) (TCU/93) Gráficos são instrumentos úteis na análise
estatística. Assinale a afirmação incorreta:
a.) Um histograma representa uma distribuição de
freqüências para variáveis do tipo contínuo
b.) O gráfico de barras representa, por meio de uma série
de barras, quantidades ou freqüências para variáveis
categóricas
c.) O gráfico de setores é apropriado, quando se quer
representar as divisões de um montante total
d.) Um histograma pode ser construído utilizando-se,
indistintamente as freqüências absolutas ou relativas de
um intervalo de classe
e.) Uma Ogiva pode ser obtida ligando-se os pontos
médios dos topos dos retângulos de um histograma.
14.) (TCDF/95) Assinale a opção correta.
a.) Em Estatística, entende-se por população um conjunto
de pessoas
b.) A variável é discreta quando pode assumir qualquer
valor dentro de determinado intervalo.
c.) Freqüência relativa de uma variável aleatória e o
numero de repetições dessa variável.
d.) A serie estatística é cronológica quando o elemento
variável é o tempo.
e.) Amplitude total é a diferença entre dois valores
quaisquer do atributo.
15.) Assinale a errada:
a) A freqüência absoluta é mais representativa que a
freqüência percentual.
b) Pode-se calcular as freqüências relativa, acumulada e
percentual simplesmente a partir das freqüências
absolutas para uma determinada distribuição.
c) A seqüência de pontos obtidos através do lançamento
de um dado é um rol de dados: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,
4, 5, 6.
d) Um histograma só pode ser construído para uma
distribuição de freqüência em classes intervalares.
e) Um gráfico de barras ou de colunas é utilizado para
representar graficamente as séries temporais.
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16.) (TTN/85) Os intervalos de classe podem ser
apresentados de varias maneiras. Dentre as situações
abaixo, a correta:
a.) 2 — 6 compreende todos os valores entre 2 e 6,
inclusive os extremos
b.) 2 ⏐—⏐ 6 compreende todos os valores ente 2 e 6,
exclusive os extremos
c.) 2 ⏐— 6 compreende todos os valores entre 2 e 6,
exclusive o 2 e inclusive o 6
d.) 2 —⏐ 6 compreende todos os valores entre 2 e 6,
inclusive o 2 e exclusive o 6
e.) 2 — 6 compreende todos os. valores entre 2 e 6,
exclusive os extremos.
17.) (ICMS/MG-95) A amplitude do conjunto de dados 2, 5,
9, 8, 7, 3, 10 é
a.) 5
b.) 6
c.) 7
d.) 8
e.) 9
18. ) ( TTN/94-manhã) Marque a opção correta:
a.) Um experimento aleatório pode ser repetido
indefinidamente, mantidas as condições iniciais
b.) Um evento tem, no mínimo, dois elementos do espaçoamostra de um experimento aleatório
c.) Em um experimento aleatório uniforme todos os
elementos do espaço-amostra são iguais
d.)
Dois
experimentos
aleatórios
distintos
têm
necessariamente espaços-amostra distintos.
e.) Uma parte não nula do espaço-amostra de um
experimento aleatório define um evento
19.) (TTN/94-tarde) Assinale a opção correta.
a.) Em um experimento aleatório cada elemento do espaçoamostra tem a mesma probabilidade de ser selecionado em
uma realização do experimento
b.) Em um experimento aleatório é impossível garantir a
ocorrência de um evento em uma particular realização do
experimento, se ele não é um evento certo
c.) Um plano de amostragem corretamente elaborado
garante a fidedignidade dos dados da população.
d.) A Opção pela amostragem em relação ao censo,
garante a redução de tempo, mas conduz sempre ao
incremento de custo e à perda de precisão
e.) Uma amostra aleatória extraída de população deve
superar, no tamanho a 5% do numero de elementos
populacionais
Responda às questões 20 e 23 dada pela tabela abaixo:
Nº de salários mínimos
Nº de operários
40
0 ⏐⎯ 2
30
2 ⏐⎯ 4
10
4 ⏐⎯ 6
15
6 ⏐⎯ 8
5
8 ⏐⎯ 10
Total
100
20.) O nº de operários que ganham até quase dois salários
mínimos.
a.) 70 b.) 40 c.) 30 d.) 0
e.) 2
21.) O nº de operários que ganham até quase seis salários
mínimos.
a.) 70 b.) 4
c.) 10 d.) 67 e.) 80
22.) A porcentagem de operários com salários de 6 até
quase 8.
a.) 95%
b.) 10%
c.) 42%
d.) 57%
e.) 15%
23.) A porcentagem de operários com salários inferiores a 4
salários mínimos
a.) 70%
b.) 40%
c.) 30%
d.) 80%
e.) 75%
Atualizada 05/02/2008
Estatística
24.) Ache os valores de X e Y são , respectivamente:
Classes
Fi
Fac
3
3
0 ⎯⏐2
X
8
2 ⎯⏐4
8
16
4 ⎯⏐6
10
26
6 ⎯⏐8
Y
28
8 ⎯⏐10
a.) 8 e 18
d.) 8 e 2
b.) 5 e 18
e.) 8 e 5
c.) 5 e 2
O depósito de poupança do mês de março de 1990 de
600 clientes de um determinado banco, encontra-se na
tabela abaixo, responda às questões 27 e 28 dada pela
tabela abaixo:
Depósito R$ 100,00
Nº de clientes
100
0 ⏐⎯ 10
120
10 ⏐⎯ 20
80
20 ⏐⎯ 30
70
30 ⏐⎯ 40
60
40 ⏐⎯ 50
50
50 ⏐⎯ 60
40
60 ⏐⎯ 70
80
70 ⏐⎯ 80
25.) A porcentagem dos que depositaram R$ 3000,00 ou
mais é:
a.) 50%
b.) 70%
c.) 60%
d.) 30%
e.) 80%
26.) A amplitude de classe da distribuição acima é:
a.) 10 b.) 20 c.) 70 d.) 100 e.) 1000
27.) (ICMS-MG/96) Ouvindo-se 300 pessoas sobre o
tema “Reforma da Previdência, contra ou a favor?“ foram
obtidas 123 repostas a favor, 72 contra, 51 pessoas não
quiseram opinar e o restante não tinha opinião formada
sobre o assunto. Distribuindo-se esses dados numa
tabela, obtém-se:
Opinião
Favorável
Contra
Omissos
Sem opinião
TOTAL
Freqüência
123
72
51
54
300
Freqüência Relativa
X
Y
0,17
0,18
1,00
Na coluna Freqüência relativa, os valores de X e Y são ,
respectivamente:
a.) 0,41 e 0,24 b.) 0,38 e 0,27 c.) 0,37 e 0,28
d.) 0,35 e 0,30 e.) 0,30 e 0,35
Responda às questões 28 e 29 com base na seguinte
situação:
A distribuição a seguir indica o número de acidentes
ocorridos com 40 motoristas de uma empresa de ônibus.
Nº de acidentes
Nº de motoristas
0
13
1
7
2
10
3
4
4
3
5
2
6
1
28.) (ICMS-MG/96) O número de motoristas que sofreram
pelo menos 4 acidentes é:
a.) 3
b.) 6
c.) 10 d.) 27 e.) 30
29.) (ICMS-MG/96) A porcentagem de motoristas que
sofreram no máximo 2 acidentes é:
a.) 25%
b.) 32,5%
c.) 42,5%
d.) 57,5% e.)75%
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Responda às questões 30 e 31 considerando a distribuição
de freqüências por intervalos, dada pela tabela abaixo:
Número de pontos
Freqüência
14
0 ⏐⎯ 20
20
20 ⏐⎯ 40
32
40 ⏐⎯ 60
20
60 ⏐⎯ 80
14
80 ⏐⎯ 100
TOTAL
100
30.) (ICMS-MG/96) Nessa distribuição, os pontos médios
dos intervalos são:
a.) 20, 40, 60, 80, 100
b.) 0, 20, 40, 60, 80
c.) 0, 10, 20, 30, 40
d.) 10, 20, 30, 40, 50
e.) 10, 30, 50, 70, 90
31.) (ICMS-MG/96) A amplitude dos intervalos de classe é:
a.) 14 b.) 20 c.) 32 d.) 34
e.) 60
Considere a distribuição de freqüência transcrita a seguir
para responder a questão abaixo
Peso (Kg)
2 ⏐⎯ 4
4 ⏐⎯ 6
6 ⏐⎯ 8
8 ⏐⎯ 10
10 ⏐⎯ 12
Freqüências simples absoluta
9
12
6
2
1
32.) ( TTN/94-manhã) Assinale a opção correta
a.) 65% das observações tem peso não inferior a 4 Kg e
inferior a 10 Kg
b.) Mais de 65% das observações tem peso maior ou igual
a 4 Kg
c.) Menos de 20 observações tem peso igual ou superior. a
4 Kg
d.) A soma dos pontos médios dos intervalos de classe e
inferior ao tamanho da população
e.) 8% das observações tem peso no intervalo de classe 8
I--10
Considere a distribuição de freqüência transcrita a seguir
para responder a questão abaixo
Diâmetro (cm)
4 ⏐⎯ 6
6 ⏐⎯ 8
8 ⏐⎯ 10
10 ⏐⎯ 12
12 ⏐⎯ 14
Freqüências simples absoluta
6
8
12
10
4
33.) ( TTN/94-tarde) Assinale a afirmação correta
a.) A soma dos pontos médios dos intervalos de classe é
inferior a soma das freqüências absolutas simples
b.) 28 % das observações estão. no quarto intervalo de
classe
c.) Menos de 25 observações tem diâmetro abaixo de 10
cm
d) Mais de 85% das observações tem diâmetro não inferior
a 6 cm
e) 75% das observações estão no intervalo 6 ⏐—12
4
Atualizada 05/02/2008
Estatística
34.) (FT/94) O levantamento de dados sobre o salário de
100 funcionários de uma determinada empresa forneceu
os seguintes resultados:
Quant. de salários
mínimos
2 --- 4
4 --- 6
6 --- 8
8 --- 10
10 --- 12
TOTAL
Quant. de funcionários
25
35
20
15
05
100
É correto afirmar que
a) 20% dos funcionários recebem acima de 6 salários
mínimos.
b) 5% dos funcionários recebem menos do que 3 salários
mínimos.
c) 60% dos funcionários recebem menos do que 6
salários mínimos.
d) O salário médio é de 7 salários mínimos.
e) 80% dos funcionários recebem de 6 a 8 salários
mínimos.
35.) (AFTN/94) Assinale a opção correta.
a.) O histograma é um gráfico construído com
freqüências de uma distribuição de freqüência ou de uma
série temporal.
b.) O polígono de freqüência é um indicador gráfico da
distribuição de probabilidade que se ajusta à distribuição
empírica a que ele se refere.
c.) O histograma pode ser construído para a distribuição
variável discreta ou contínua.
d.) O polígono de freqüência é construído unindo-se
pontos correspondentes aos limites inferiores dos
intervalos de classe da distribuição de freqüência.
e.) A utilização de gráficos de barras ou de colunas exige
amplitude de classe constante na distribuição de
freqüência.
36.) (AFTN/98) Para duas variáveis aleatórias do tipo
discreto, X e Y, sabe-se que P(X=x) = 0,2; P(Y=y) = 0,1 e
P(X=x,Y=y)=0,03. Pode-se afirmar com certeza que:
a.) as variáveis aleatórias X e Y são independentes
b.) as variáveis aleatórias X e Y são dependentes
c.) a correlação entre as variáveis aleatórias X e Y é
negativa
d.) a correlação entre as variáveis aleatórias X e Y é
positiva
e.) numa amostra de 1000 observações da população
definida pelo par (X,Y), espera-se que aproximadamente
20 observações sejam iguais a (x, y)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
C
B
E
D
D
D
B
E
D
D
A
E
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13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
Estatística
E
D
A
E
D
A
B
B
E
E
A
C
A
E
A
B
E
E
B
B
E
C
B
B
Atualizada 05/02/2008
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Estatística
MEDIDAS DE POSIÇÃO (MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL)
DADOS NÃO AGRUPADOS
Calcule a moda dos dados abaixo: 2, 4, 6, 5, 6, 5, 7, 8, 5
Calcule a mediana dos dados abaixo: 7, 14, 16, 10, 12
Calcule a mediana dos dados abaixo: 10, 12, 14, 16, 7, 18
Calcule as médias aritmética, geométrica e harmônicas para os dados abaixo: 1, 2, 4, 1, 2, 4, 2, 2:
DADOS AGRUPADOS
Calcule a media para a tabela abaixo
Xi
3
4
5
6
7
Fi
2
4
3
7
4
Calcule a media para a tabela abaixo
CLASSE
0 |⎯ 2
2 |⎯ 4
4 |⎯ 6
6 |⎯ 8
8 |⎯ 10
Freqüências
2
6
5
4
3
Calcule a mediana para a tabela abaixo
Xi
3
4
5
6
6
Atualizada 05/02/2008
Fi
2
4
6
4
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Estatística
Calcule a mediana para a tabela abaixo
Xi
1
2
3
4
Fi
5
6
7
3
Calcule a mediana para a tabela abaixo
CLASSE
0 |⎯ 2
2 |⎯ 4
4 |⎯ 6
6 |⎯ 8
8 |⎯ 10
Freqüências
2
6
5
4
3
Calcule a moda para a tabela abaixo
Variável
1
9
10
11
12
Freqüências
10
20
5
35
10
Calcule a moda bruta para a tabela abaixo
CLASSE
0 |⎯ 2
2 |⎯ 4
4 |⎯ 6
6 |⎯ 8
8 |⎯ 10
Freqüências
2
6
5
4
3
Calcule a moda de King para a tabela abaixo
CLASSE
0 |⎯ 2
2 |⎯ 4
4 |⎯ 6
6 |⎯ 8
8 |⎯ 10
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Freqüências
2
6
5
4
3
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Calcule a moda de Czuber para a tabela abaixo
CLASSE
0 |⎯ 2
2 |⎯ 4
4 |⎯ 6
6 |⎯ 8
8 |⎯ 10
Freqüências
2
6
5
4
3
Calcule a moda de Pearson para a tabela abaixo
CLASSE
0 |⎯ 2
2 |⎯ 4
4 |⎯ 6
6 |⎯ 8
8 |⎯ 10
8
Atualizada 05/02/2008
Freqüências
2
6
5
4
3
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Propriedades
a.) da Moda (Moda é o valor mais freqüente numa série)
•
Pode ou não depender dos extremos de uma série
•
Se somarmos ou subtrairmos um valor constante K a cada um dos elementos de um série, a moda ficará somada ou
subtraída por essa constante.
•
Se multiplicarmos ou dividirmos um valor constante K a cada um dos elementos de um série, a moda ficará multiplicada
ou dividida por essa constante.
b.) da Mediana (Mediana é o valor que ocupa a posição central num rol)
•
Não depende dos extremos de uma série
•
Se somarmos ou subtrairmos um valor constante K a cada um dos elementos de um série, a mediana ficará somada ou
subtraída por essa constante.
•
Se multiplicarmos ou dividirmos um valor constante K a cada um dos elementos de um série, a mediana ficará
multiplicada ou dividida por essa constante.
c.) das Médias (Média é o valor mais representativo de uma série)
•
Depende dos extremos de uma série
•
Se somarmos ou subtrairmos um valor constante K a cada um dos elementos de um série, a média aritmética ficará
somada ou subtraída por essa constante.
•
Se multiplicarmos ou dividirmos um valor constante K a cada um dos elementos de um série, a média aritmética ficará
multiplicada ou dividida por essa constante.
•
Média Geométrica usada em situações onde os elementos de uma série formam uma PG.
•
Média Harmônica usada em situações onde os elementos de uma série são inversamente proporcionais
•
Média Aritmética usada nas demais situações.
•
•
•
•
•
•
X
≥
Xg
≥
Xh
Média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos
Média Geométrica é a raiz enésima do produtório das variáveis.
Valores próximos entre os elementos de uma série geram os valores das três médias próximos e valores afastados
geram os valores das três médias afastados.
A soma algébrica dos desvios tomados em relação á média aritmética é igual a zero.
A soma dos quadrados dos desvios tomados em relação á média aritmética é um mínimo.
Válido para todas as medidas de posição
•
•
Todas medidas de posição apresentam a mesma unidade das variáveis a que elas se referem
Gráficos Unimodais
Curva Simétrica
~
X = X = Xˆ
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Curva Assimétrica à direita
Curva Assimétrica Positiva
~
X > X > Xˆ
Curva Assimétrica à esquerda
Curva Assimétrica Negativa
~
Xˆ > X > X
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Estatística
1.) (ICMS/MG/95) As alturas dos jogadores de basquete
da Seleção Brasileira são 1,98 m; 2,04 m; 2,06 m; 2,02 m
e 2,05 m. A média de altura dessa seleção, em m, é de:
a.) 2,01
b.) 2,02
c.) 2,03
d.) 2, 04
e.) 2,05
Com base na situação descrita a seguir, responda às
questões de 10 a 13.
A Empresa Cerrado distribui seus empregados nas faixas
salariais abaixo, em SM = salário mínimos:
2.) (GDF/95) Os preços do m2 das últimas cinco obras
realizadas
por
uma
instituição
pública
forma
respectivamente: 800, 810, 810, 750 e 780 URV’s. Pode2
se afirmar que a média dos preços do m obtido é
a.) 780
b.) 790
c.) 800
d.) 810
1 — 5 SM
15 empregados
5 — 9 SM
40 empregados
9 — 13 SM
10 empregados
13 — 17 SM
5 empregados
Aproxime os resultados para duas casas decimais.
3.) (TTN/85) Assinale a alternativa correta, considerando
a serie: 8, 5,14,10, 8 e 15
a.) A média aritmética é 10 e a mediana é 12
b.) A amplitude total é 7 e a moda é 8
c.) A mediana é 9 e a amplitude total é 10
d.) A média aritmética é 1 e a amplitude total é 7
e.) A mediana é 12 e a amplitude total é 7
10.) (GDF-SEA-IDR/93 ) O salário médio é:
a.) 7,00 b.) 7,20 c.) 7,29 d.) 8,00
4.) (GDF/95) os valores (em 1000 URV’s) de quinze
imóveis situados em uma determinada quadra são
apresentados a seguir em ordem crescente: 30, 32, 35,
38, 50, 58, 64, 78, 78, 80, 90, 112, 180, 240 e 333. Então,
a mediana dos valores destes imóveis é:
a.) 78 b.) 79 c.) 80 d.) 100
5.) (ICMS/MG/95) A mediana dos dados 1,5,2,11,9,3,7,6
é:
a.) 3
b.) 4,5
c.) 5
d.) 5,5
e.) 6
6.) (ICMS/MG/95) Na série composta de nota de
Estatística: 4, 5, 7, 8, 5, 5, 6, 8, 6, .A média aritmética
simples, a mediana e a moda são, respectivamente:
a.) 6, 5 e 4
b.) 6, 6 e 5
c.) 6, 6 e 6
d.) 6, 5 e 5
e.) 7, 6 e 5
7.) (ICMS-MG/96) Dados os conjuntos de valores:
A = {1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 8, 8, 8, 9, 10}
B = {6, 7, 8, 9, 10, 11 12}
C = {1, 2, 4, 4, 4, 4, 5, 8. 9, 9, 9, 9, 10}
Em relação a moda, afirmamos que:
I - A é unimodal, e a moda é 8.
II - B é unimodal, e a moda é 9.
III - C é bimodal, e as modas são 4 e 9.
Então, em relação as afirmativas, é correto dizer que:
a.) todas são verdadeiras.
b.) todas são falsas.
c.) somente I e II são verdadeiras.
d.) somente I e III são verdadeiras.
e.) somente II e III sã0 verdadeiras.
11.) (GDF-SEA-IDR/93 ) O salário mediano é:
a.) 7,00 b.) 6,71 c.) 7,50 d.) 8,00
12.) (GDF-SEA-IDR/93 ) O salário modal é:
a.) 6,71 b.) 6,82 c.) 7,00 d.) 8,00
13.) (GDF-SEA-IDR/93 ) A distribuição de salário é:
a.) irregular
b.) simétrica
c.) assimétrica à direita
d.) assimétrica à esquerda
Considere a distribuição de freqüência transcrita a seguir
para responder as questões 14 a 16
Peso (kg)
2| -- 4
4| -- 6
6| -- 8
8| -- 10
10| -- 12
Freqüências Simples Absolutas
9
12
6
2
1
14.) (TTN/94-manhã) A media aritmética da distribuição e
igual a
a.) 5,27 kg
b.) 5,24 kg
c.) 5,21 kg
d.) 5,19 kg
e.) 5,30 kg
15.) ( TTN/94-manhã) A mediana da distribuição e igual a
a.) 5,30 kg
b.) 5,00 kg
c.) um valor inferior a 5 kg
d.) 5,10 kg
e.) 5;20 kg
16.) ( TTN/94-manhã) A moda da distribuição
a.) coincide com o limite superior de um intervalo de
classe
b.) coincide com o ponta médio de um intervalo de classe
c.) é maior do que a mediana e do que a media
geométrica
d.) é um valor inferior a média aritmética e a mediana
e.) pertence a um intervalo de classe distinto. do da
média aritmética
8.) (ICMS/MG/95) Um supermercado tem 200
empregados, sendo 150 mulheres e 50 homens. A média
salarial das mulheres é de 3 salários mínimos e a dos
homens é de 5 salários mínimos. A média salarial dos
empregados desse supermercado, em salários mínimos,
é:
a.) 3,1 b.) 3,2 c.) 3,3 d.) 3,4 e.) 3,5
9.) (ICMS-MG/96) A estatura média dos sócios de um
clube e 165 cm, sendo a dos homens 172 cm é a das
mulheres 162 cm. A porcentagem de mulheres no clube é
de:
a.) 62 % b.) 65 % c.) 68 % d.) 70%
e.) 72 %
10
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Considere a distribuição de freqüência transcrita a seguir
para responder as questões de 17 a 19
Diâmetro (cm)
4 | -- 6
6 | -- 8
8 | -- 10
10 | -- 12
12 | -- 14
Freqüências simples absolutas
6
8
12
10
4
17.) ( TTN/94-tarde) A média aritmética da distribuição e
igual a
a.) 9,00 cm
b.) 8,80 cm
c.) 8,70 cm
d.) 8,90 cm
e.) 9,15 cm
18.) ( TTN/94-tarde) A moda da distribuição e igual a
a.) 9,7 cm
b.) 9,3 cm
c.) 9,6 cm
d.) 9,4 cm
e.) 9,5 cm
19.) ( TTN/94-tarde) A mediana da distribuição
a.) é igual a média aritmética
b.) e inferior a media aritmética
c.) coincide com o ponto médio de um intervalo de classe
d.) pertence a um intervalo de classe distinto do que
contem a. media aritmética
e.)é eqüidistante da media aritmética e da moda
A distribuição abaixo refere-se a coeficientes de liquidez
obtidos da analise de balanço de 500 industrias.
As questões nºs. 20 e 21 são relacionadas a essa
distribuição.
Liquidez
Fi
0,0 — 2,0
110
2,0 — 4,0
100
4,0 — 6,0
90
6,0 — 8,0
75
8,0 — 10,0
65
10,0 — 12,0
45
12,0 — 14,0
15
20.) (FT-Campinas/93) Analisando essa distribuição
encontramos a liquidez média:
a.) 5,32
b.) 6,50
c.) 7,00
d.) 7,14
e.) 8,00
21.) (FT-Campinas/93) O estudo dessa distribuição
fornece a liquidez modal de aproximadamente:
a.) 0,18
b.) 1,83
c.) 2,86
d.) 3,00
e.) 12,00
Para a solução das questões de nº 22
estatística abaixo
2
5
7
3
6
9
3
6
11
4
6
11
4
7
12
e 23 utilize a série
13
13
13
13
15
22.) (AFC/94) Os valores da mediana e da moda da série
são, respectivamente:
a.) 4 e 15
b.) 6 e 13
c.) 7 e 12
d.) 7 e 13
e.) 9 e 13
23.) (AFC/94) Os valores da primeiro quartil e terceiro
quartil da série são, respectivamente:
a.) 4 e 12
b.) 4,5 e 12,5
c.) 5 e 12
d.) 4 e 13
e.) 5 e 13
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Estatística
Analise o quadro abaixo e responda a questão 24
Distribuição de freqüências ( simples e acumulada) da
variável idade (em anos completos) dos empregados das
empresas alfa, beta e gama.
Freq simples
Freq acumulada
Classes de
Alfa Beta Gama Alfa Beta Gama
idade
18 a 22
1
—
—
1
—
—
23 a 27
6
—
1
7
—
1
28 a 32
13
1
1
20
1
2
33 a 37
12
4
2
32
5
4
38 a 42
6
10
3
38
15
7
43 a 47
4
4
5
42
19
12
48 a 52
3
1
8
45
20
20
53 a 57
2
—
13
47
20
33
58 a 62
2
—
6
49
20
39
63 a 67
1
—
1
50
20
40
TOTAL
50
20
40
—
—
—
24.) (TCU-DF/93) É correto afirmar-se:
a.) As modas da variável idade nas três empresas, são
tais que: moda em BETA < moda em ALFA < moda em
GAMA.
b.) As medianas da variável idade, nas três empresas,
são tais que: mediana em BETA < C mediana em GAMA
< mediana em ALFA.
c.) Na empresa GAMA, a variável idade apresenta moda
> média > mediana.
d.) Na empresa BETA a variável idade apresenta média,
mediana e moda iguais.
e.). Na empresa ALFA, a variável idade apresenta moda
< média < mediana.
25.) (ICMS-MG/96) Um candidato obteve, nas diversas
provas de um concurso, as seguintes notas com os
respectivos pesos:
Matéria
Português
Contabilidade
Estatística
Direito
nota
66
63
X
79
peso
3
3
2
2
A média aritmética ponderada, obtida pelo candidato, foi
de 69,3. A nota que o candidato obteve em Estatística foi:
a.) 66
b.) 68
c.) 70
d.) 72
e.) 74
26.) (ICMS-MG/96) AS distâncias, em milhares de
quilômetros, percorridas em uma ano pelos 20 táxis de
uma empresa, estão representadas no quadro seguinte
Distâncias
45 I—55
55 I—65
65 |-- 75
75 I—85
85 I--- 95
Número de táxis
3
7
4
5
1
Nessas condições, é correto afirmar que a mediana
dessa distribuição, em milhares de quilômetros, e:
a.) 57 b.) 61 c.) 65 d.) 69 e.) 73
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A tabela apresenta a distribuição de freqüências das
notas em uma prova de estatística aplicada em três
turmas de 100 alunos cada. Utilize- a para responder as
questões 27 e 28.
Classes de notas
0 — 2
2 — 4
4 — 6
6 — 8
8 — 10
Total
Freqüências das notas na prova de
Estatística
Turma 1
Turma 2
Turma 3
20
10
5
40
15
10
30
50
70
6
15
10
4
10
5
100
100
100
28.) (AFC/94) A distribuição de notas é simétrica em
relação a média aritmética
a.) nas turmas 2 e 3
b.) nas turmas 1 e 2
c.) nas turmas 1 e 3
d.) somente na turma 1
e.) nas três turmas
29.) (TCDF/95) A tabela a seguir apresenta a distribuição
da renda familiar anual, em uma determinada cidade.
freqüência relativa
0,20
0,18
0,14
0,12
0,14
0,14
0,08
Analisando os dados apresentados, e correto afirmar que
a.) A distribuição é assimétrica negativa.
b.) A renda familiar anual mediana encontra-se na classe
de R$ 15.000,00 a R$ 20.000,00.
c.) 64% da população ganham abaixo de R$ 30.000,00.
d.) É impossível calcular a renda familiar anual média,
pois se desconhece o numero total de famílias
entrevistadas.
e.) O intervalo de R$ 40.000,00 a R$ 50.000,00 inclui
todas as famílias entrevistadas que ganham entre R$
40.000,00 e R$ 50.000,00, inclusive.
30.) (TCU/93) Considere a distribuição de freqüências
dos tempos de auditoria:
Tempo de auditoria (min)
10 I—19
20 I—29
30 I—39
40 I—49
50 I-- 59
Fi
10
20
40
20
10
Assinale a afirmação incorreta
a.) O intervalo de classe modal é dado por [ 30 39[
b.) O tempo médio de auditoria é dado por 34,5 min
c.) A mediana, a moda e a média da distribuição são
coincidentes
d.) a distribuição acima é assimétrica
e.) 30% das auditorias demorem menos de 30 min
12
Atualizada 05/02/2008
31.) Seja a tabela abaixo
Idade
Freqüência acumulada
1
10
2
15
3
25
4
40
5
50
Calcule a média aritmética
a.) 3,20 b.) 3,75 c.) 4,00 d.) 4,20 e.) 5,20
32.) (TCDF/95) dados os conjuntos
A = { 100, 101, 102, 103, 104, 105 } e
B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, podemos afirmar que:
a.) a media de A é igual à de B multiplicada por 100
b.) a media de A é igual à de B
c.) a media de A é igual à de B dividida por 100
d.) a media de A é igual à de B mais a constante 100
e.) a media de A é igual à de B menos a constante 100
27.) (AFC/94) Assinale a afirmação correta
a.) moda (turma 2) < moda (turma 3)
b.) média (turma 1) > média (turma 2)
c.) mediana (turma 1) < mediana (turma 2)
d.) média (turma 2) < média (turma 3)
e.) mediana (turma 2) > mediana (turma 3)
Renda Familiar Anual (R$)
10.000 — 15.000
15.000 — 20.000
20.000 — 25.000
25.000 — 30.000
30.000 — 40.000
40.000 — 50.000
50.000 — 60.000
Estatística
Em certa empresa, o salário médio era de CR$ 90.000,00
e o desvio-padrão dos salários era de CR$ 10.000,00.
Todos os salários receberam um aumento de 10%.
33.) (BACEN/94) O salário médio passou a ser de:
a.) CR$ 90.000,00
b.) CR$ 91.000,00
c.) CR$ 95.000,00
d.) CR$ 99.000,00
e.) CR$ 100.000,00
34.) ( TTN/94-manhã) Marque a assertiva correta:
a.) O intervalo de classe que contem a moda é o de maior
freqüência relativa acumulada (crescentemente)
b.) A freqüência acumulada denominada "abaixo de"
resulta da soma das freqüências simples em ordem
decrescente
c.) Em uma distribuição de freqüência, existe uma
freqüência relativa acumulada unitária, ou no primeiro, ou
no último intervalo de classe.
d.) O intervalo de classe que contem a mediana é o de
maior freqüência absoluta simples
e.) Os intervalos de classe de uma distribuição de
freqüência tem o ponto médio eqüidistante dos limites
inferior e superior de cada classe e sua amplitude ou é
constante ou guarda uma relação de multiplicidade com a
freqüência absoluta simples da mesma classe
35.) ( TTN/94-tarde) Assinale a opção correta
a.) A media harmônica é a media geométrica dos
inversos das determinações da variável
b.) A media aritmética não é. influenciada pelos valores
extremos da distribuição
c.) A moda e a mediana são influenciadas pelos valores
extremos da distribuição
d) a moda, a mediana e a media aritmética são expressas
na mesma unidade de medida da variável a que se
referem
e) A moda é uma medida de posição que permite dividir a
distribuição em duas partes de igual freqüência
36.) (GDF-SEA-IDR/93 )
sobre uma distribuição
esquerda.
a.) média < moda
c.) moda < mediana
Assinale a alternativa incorreta
de freqüência assimétrica à
b.) mediana > média
d.) moda > mediana
37.) Em uma distribuição de freqüência assimétricas
negativa temos:
~
~
a.) X < X̂ < X
b.) X < X < X̂
~
c.) X < X < X̂
~
d.) X
= X̂ = X
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38.) Em uma distribuição de freqüência assimétrica
positiva, temos:
~
a.) X = X = X̂
b.)
~
~
X > X > X̂
Estatística
42.) A figura a seguir representa uma distribuição de
variável contínua
~
c.) X < X = X̂
d.) X < X̂ > X
39.) (TTN/85) Analisando-se corretamente a figura
abaixo, conclui-se que em uma distribuição de freqüência
deste tipo:
a.) simétrica positiva
b.) assimétrica negativa
c.) assimétrica positiva
d.) simétrica à esquerda
e.) assimétrica isomérica
43.) A figura a seguir representa uma distribuição de
variável contínua
a.) a moda é. maior que a mediana
b.) a mediana é maior que a moda
c.) a mediana é maior que a média
d.) a média é menor que a moda
e.) média, moda e mediana são iguais
40.) (BACEN/94)Considere a variável aleatória x, cuja
função de densidade tem gráfico:
a.) média = moda
c.) moda > mediana
e.) a assimetria é nula
b.) média > moda
d.) a assimetria é negativa
a.) a moda é maior do que a mediana e menor que a
média
b.) a moda é menor do que a mediana e maior que e
média
c.) a moda é menor do que a mediana e esta é maior que
a média
d.) a mediana é maior do que a média e menor que a
moda
6
44.) (AFTN/94) Assinale a alternativa correta
a.) A média aritmética é uma medida de posição, cuja
representatividade independe da variação da variável,
mas depende da assimetria da distribuição de freqüência.
b.) Em qualquer distribuição de freqüência, a média
aritmética é mais representativa do que a média
harmônica.
c.) A soma dos quadrados dos resíduos em relação a
média aritmética é nula.
d.) A moda, a mediana, e a média aritmética são medidas
de posição com valores expressos em reais tais que
pertencem ao domínio da variável a que se referem.
e.) Toda medida de posição, ou de assimetria, é um
momento de uma variável aleatória.
4
Considere a distribuição de freqüência transcrita a seguir
para responder a questão 45.
41.) (TTN/85) Dado o gráfico abaixo, onde f é a
freqüência simples ou absoluta da i-ésima classe então
Fi
12
10
8
2
2
4
6
8
10
12
14
16 classe
a.) A moda se encontra na 4a classe e é igual a 9
b.) O número de observações é igual a 42
c.) Como a distribuição é assimétrica, moda é igual média
e é igual a mediana.
d.) A freqüência acumulada crescente da 3a classe é 20
e.) Σ f = 48
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Peso (kg)
2 |- 4
4 |- 6
6 |- 8
8 |- 10
10 |- 12
Freqüências absolutas simples
7
9
18
10
6
45.) (AFTN/94) A mediana e a moda da distribuição
a.) têm valor superior ao da média aritmética.
b.) têm valor inferior ao da média aritmética.
c.) têm o mesmo valor.
d.) diferem por um valor igual a 10% da média aritmética.
e.) diferem por um valor superior a 10% da média
aritmética.
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Para efeito das questões n° 46 a 50, considere os
seguintes dados:
Distribuição das idades dos funcionários da empresa Alfa,
em 01/01/90
di.Fi
di2.Fi
di3.Fi
di4.Fi
-3,00
-6,00
18,00
-54,00
162,00
-2,00
-18,00
36,00
-72,00
144,00
23,00
-1,00
-23,00
23,00
-23,00
23,00
34,5 |----- 39,5
29,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
39,5 |----- 44,5
18,00
1,00
18,00
18,00
18,00
18,00
44,5 |----- 49,5
12,00
2,00
24,00
48,00
96,00
192,00
49,5 |----- 54,5
7,00
3,00
21,00
63,00
189,00
567,00
Total
100,00
16,00
206,00
154,00 1.106,00
Classe
Fi
di = xi - 37
5
19,5 |----- 24,5
2,00
24,5 |----- 29,5
9,00
29,5 |----- 34,5
46.) (AFTN/96) Marque a opção que representa a média
das idades dos funcionários em 01/01/90:
a.) 37,4 anos
b.) 37,8 anos
c.) 38,2 anos
d.) 38,6 anos
e.) 39,0 anos
47.) (AFTN/96) Marque a opção que representa a
mediana das idades dos funcionários em 01/01/90:
a.) 35,49 anos b.) 35,73 anos c.) 35,91 anos
d.) 37,26 anos e.) 38,01 anos
48.) (AFTN/96) Marque a opção que representa a moda
das idades dos funcionários em 01/01/90:
a.) 35,97 anos b.) 36,26 anos c.) 36,76 anos
d.) 37,03 anos e.) 37,31 anos
Para efeito das questões de n° 49 e 50, sabe-se que o
quadro de pessoal da empresa continua o mesmo em
01/01/96
49.) (AFTN/96) Marque a opção que representa a média
das idades dos funcionários, em 01/01/96:
a.) 37,4 anos
b.) 39,0 anos
c.) 43,4 anos
d.) 43,8 anos
e.) 44,6 anos
50.) (AFTN/96) Marque a opção que representa a
mediana das idades dos funcionários, em 01/01/96:
a.) 35,49 anos b.) 36,44 anos c.) 41,49 anos
d.) 41,91 anos e.) 43,26 anos
51.) (AFTN/98) Pede-se a um conjunto de pessoas que
executem uma tarefa manual específica que exige
alguma habilidade. Mede-se o tempo T que cada uma
leva para executar a tarefa. Assinale a opção que, em
geral, mais se aproxima da distribuição amostral de tais
observações.
a.) Espera-se que a distribuição amostral seja assimétrica
à esquerda.
b.) Espera-se que a distribuição amostral seja em forma
de sino.
c.) Espera-se que a distribuição amostral de T seja em
forma de U, simétrica e com duas modas nos extremos.
d.) Na maioria das vezes a distribuição de T será
retangular.
e.) Quase sempre a distribuição será simétrica e
triangular.
14
Atualizada 05/02/2008
Estatística
52.) (AFTN/98) Os dados seguintes, ordenados do menor
para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de
50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores
internacional. A unidade monetária é o dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9,
9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12,
13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23
Os valores seguintes foram calculados para a amostra:
2
Σxi = 490 e Σxi2 – (Σxi ) = 668
50
Assinale a opção que corresponde à mediana e à
variância amostral, respectivamente (com aproximação
de uma casa decimal)
a.) (9,0 ; 14,0)
b.) (9,5 ; 14,0)
c.) (9,0 ; 13,6)
d.) (8,0 ; 13,6)
e.) (8,0 ; 15,0)
53.) (AFTN/98) Com base nos dados da questão 52,
pode-se afirmar que:
a.) a distribuição amostral dos preços indica a existência
de duas sub-populações com assimetria negativa
b.) a distribuição amostral dos preços tem assimetria
negativa
c.) a distribuição amostral dos preços é simétrica
d.) a distribuição amostral dos preços tem assimetria
positiva
e.) nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição
amostral dos preços
54.) (AFTN/98) Com base nos dados da questão 2,
assinale a opção que corresponde ao preço modal.
a.) 8
b.) 23 c.) 7
d.) 10 e.) 9
Para efeito das questões de números 55, 56 e 57 faça
uso da tabela de freqüências abaixo.
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em
Milhares de Reais, da Cia. Alfa
Classes de Salário
Freqüências Acumuladas
( 3 ; 6]
12
( 6 ; 9]
30
( 9 ; 12]
50
(12 ; 15]
60
(15 ; 18]
65
(18 ; 21]
68
55.) (AFRF/01) Quer-se estimar o salário médio anual
para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que
representa a aproximação desta estatística calculada
com base na distribuição de freqüências.
a.) 9,93
b.) 15,00 c.) 13,50 d.) 10,00 e.) 12,50
56.) (AFRF/01) Quer-se estimar o salário mediano anual
da Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde ao valor
aproximado desta estatística, com base na distribuição de
freqüências.
a.) 12,50 b.) 9,60
c.) 9,00
d.) 12,00 e.) 12,10
57.) (AFRF/01) Suponha que a tabela de freqüências
acumuladas tenha sido construída a partir de uma
amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se
estimar, utilizando interpolação linear da ogiva, a
freqüência populacional de salários anuais iguais ou
inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção
que corresponde a este número.
a.) 150 b.) 120 c.) 130 d.) 160 e.) 180
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58.) (AFRF/02 - abril) Em um ensaio para o estudo da
distribuição de um atributo financeiro (X) foram
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de
uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de
freqüências abaixo. A coluna Classes representa
intervalos de valores de X em reais e a coluna P
representa a freqüência relativa acumulada. Não existem
observações coincidentes com os extremos das classes.
As questões de 58 a 60 referem-se a esses ensaios.
Classes
70 -- 90
90 -- 110
110 -- 130
130 -- 150
150 -- 170
170 -- 190
190 -- 210
P (%)
5
15
40
70
85
95
100
Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X.
a.) 140,10
b.) 115,50
c.) 120,00
d.) 140,00
e.) 138,00
59.) (AFRF/02 - abril) Assinale a opção que corresponde
à estimativa do quinto decil da distribuição de X.
a.) 138,00
b.) 140,00
c.) 136,67
d.) 139,01
e.) 140,66
60.) (AFRF/02 - abril) Assinale a opção que corresponde
à estimativa da freqüência relativa de observações de X
menores ou iguais a 145.
a.) 62,5%
b.) 70,0%
c.) 50,0%
d.) 45,0%
e.) 53,4%
Para a solução das questões de números 61 a 63 utilize o
enunciado que segue.
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro,
numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população
de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências
seguinte:
Classes
Freqüência ( f )
29,5 --- 39,5
4
39,5 --- 49,5
8
49,5 --- 59,5
14
59,5 --- 69,5
20
69,5 --- 79,5
26
79,5 --- 89,5
18
89,5 --- 99,5
10
61.) (AFRF/02
corresponde à
atributo X.
a.) 71,04
d.) 68,08
Estatística
A questão 64 dizem respeito ao enunciado seguinte:
Considere
a
tabela
de
freqüências
seguinte
correspondente a uma amostra da variável X. Não
existem observações coincidentes com os extremos das
classes.
Classes
2.000 – 4.000
4.000 – 6.000
6.000 – 8.000
8.000 – 10.000
10.000 – 12.000
12.000 – 14.000
Freqüências Acumuladas (%)
5
16
42
77
89
100
64.) (AFRF/03) Assinale a opção que corresponde à
estimativa do valor x da distribuição amostral de X que
não é superado por cerca de 80% das observações.
a) 10.000
b) 12.000
c) 12.500
d) 11.000
e) 10.500
65.) (AFRF/05) Para dados agrupados representados por
uma curva de freqüências, as diferenças entre os valores
da média, da mediana e da moda são indicadores da
assimetria da curva. Indique a relação entre essas
medidas de posição para uma distribuição negativamente
assimétrica.
a) A média apresenta o maior valor e a mediana se
encontra abaixo da moda.
b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra
abaixo da mediana.
c) A média apresenta o menor valor e a mediana se
encontra abaixo da moda.
d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em
valor.
e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se
encontra abaixo da média.
66.) (AFRF/05) Assinale a opção que expresse a relação
entre as médias aritmética ( ), geométrica (G) e
harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos
(X1 , X2 , ..., Xn):
- setembro) Assinale a opção que
estimativa da mediana amostral do
b.) 65,02
e.) 70,02
c.) 75,03
62.) (AFRF/02 - setembro) Assinale a opção que
corresponde à estimativa do número de indivíduos na
população com valores do atributo X menores ou iguais a
95,5 e maiores do que 50,5.
a.) 700 b.) 638 c.) 826 d.) 995 e.) 900
63.) (AFRF/02
corresponde ao
Czuber.
a.) 69,50
d.) 74,53
- setembro) Assinale a opção que
valor modal do atributo X no conceito de
b.) 73,79
e.) 80,10
Atualizada 05/02/2008
c.) 71,20
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Estatística
67.) (TRF/06) No gráfico abaixo, as colunas representam
as freqüências relativas do número de aparelhos de rádio
por domicílio em uma certa área da cidade:
71.) (TRF/06) Considere a seguinte distribuição das
freqüências absolutas dos salários mensais, em R$,
referentes a 200 trabalhadores de uma indústria (os
intervalos são fechados à esquerda e abertos à direita).
O exame da forma da distribuição das freqüências
relativas permite concluir corretamente que, nesse caso,
e para essa variável:
a) A moda é maior do que a mediana, e a mediana maior
do que a média.
b) A média é maior do que a moda, e a moda maior do
que a mediana.
c) A média é maior do que a mediana, e a mediana maior
do que a moda.
d) d) A moda é maior do que a média, e a média maior
do que a mediana.
e) A mediana é maior do que a moda, e a moda maior do
que média.
Sobre essa distribuição de salários é correto afirmar que:
a) O salário modal encontra-se na classe de R$ 800 até
R$ 900.
b) O salário mediano encontra-se na classe de R$ 600
até R$ 700.
c) O salário modal encontra-se na classe de R$ 600 até
R$ 700.
d) O salário modal encontra-se na classe de R$ 700 até
R$ 800.
e) O salário mediano encontra-se na classe de R$ 500
até R$ 600.
68.) (TRF/06) Paulo e Helena jogam, cada um, uma
moeda. Se do lançamento dessas duas moedas resultar
duas caras, Paulo paga a Helena R$ 5,00. Dando
qualquer outro resultado, Helena paga a Paulo R$ 2,00.
Supondo que ambas as moedas sejam estatisticamente
honestas, o valor esperado dos ganhos de Helena
(considerando-se como ganhos negativos os valores que
ela paga a Paulo) é igual a
a) – R$ 0,25
b) + R$ 0,25
c) + R$ 3,00
d) – R$ 1,50
e) + R$ 1,25
69.) (TRF/06) Sobre a moda de uma variável, é correto
afirmar que
a) para toda variável existe uma e apenas uma moda.
b) a moda é uma medida de dispersão relativa.
c) a moda é uma medida não afetada por valores
extremos.
d) em distribuições assimétricas, o valor da moda
encontra-se entre o valor da média e o da mediana.
e) sendo o valor mais provável da distribuição, a moda,
tal como a probabilidade, pode assumir valores somente
no intervalo entre zero e a unidade.
70.) (TRF/06) Um motorista de táxi faz 10 viagens ida-evolta do aeroporto Santos Dumont ao aeroporto do
Galeão, no Rio de Janeiro. Ele calcula e anota a
velocidade média, em quilômetros por hora, em cada
uma dessas viagens. O motorista quer, agora, saber qual
a velocidade média do táxi para aquele percurso, em
quilômetros por hora, considerando todas as 10 viagens
ida-e-volta. Para tanto, ele deve calcular a média
a) aritmética dos inversos das velocidades médias
observadas.
b) geométrica das velocidades médias observadas.
c) aritmética das velocidades médias observadas.
d) harmônica das velocidades médias observadas.
e) harmônica dos inversos das velocidades médias
observadas.
16
Atualizada 05/02/2008
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
C
B
C
A
D
B
D
E
D
C
A
B
C
A
B
D
D
B
C
A
B
D
B
D
E
C
C
A
C
D
A
D
D
C
D
C
C
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38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
Estatística
B
B
B
E
B
D
D
A
B
D
B
D
E
A
C
D
A
A
B
E
E
C
A
A
C
B
E
B e C (anulada)
D
C
A
C
D
E
Atualizada 05/02/2008
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Estatística
MEDIDAS DE VARIABILIDADE (MEDIDAS DE VARIABILIDADE)
DADOS NÃO AGRUPADOS
A = {4, 6, 7, 8, 10}
DADOS AGRUPADOS
Calcular o desvio médio, desvio-padrão e a variância
Nº de erros (Xi)
2 |— 4
4 |— 6
6 |— 8
8 | — 10
10 | — 12
Nº de alunos (Fi)
2
6
5
4
3
Calcular o desvio médio, desvio-padrão e a variância
Peso (kg)
2 |— 4
4 |— 6
6 |— 8
8 | — 10
10 | — 12
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Freqüências absolutas simples
11
10
11
4
4
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Propriedades
Se somarmos ou subtrairmos um valor constante K a cada um dos elementos de um série, o desvio-padrão, desvio
médio absoluto e a variância não se alterarão.
Se multiplicarmos ou dividirmos um valor constante K, a cada um dos elementos de um série, o desvio padrão e o
desvio médio absoluto ficará multiplicado ou dividido pelo módulo dessa constante.
Se multiplicarmos ou dividirmos um valor constante K, a cada um dos elementos de um série, a variância ficará
multiplicada ou dividida pelo quadrado dessa constante.
A unidade do desvio padrão e desvio médio absoluto é a mesma das variáveis a que eles são calculados.
A unidade da variância é o quadrado das variáveis a que ela é calculada.
O coeficiente de variação e a variância relativa são medidas adimensionais.
•
•
•
•
•
•
1.) (ICMS-MG/95) Os tempos gastos por cinco operários
para fazer um trabalho foram: 4 min, 6 min, 7 min, 8 min,
10 min. A variância dessa distribuição é:
a.) 4,0 b.) 3,5 c.) 3,0 d.) 2,0 e.) 1,0
2.) (ICMS-MG/95) O desvio padrão do conjunto de dados
A = {6, 10, 4, 8, 7} é igual a:
a.) 1,25 b.) 1,5 c.) 2,0 d.) 3,0 e.) 4,0
3.) (ICMS/95) No conjunto de dados A = {3,5,7,9,11), o
valor do desvio médio é:
a.) 2,1 b.) 2,4 c.) 2,6 d.) 2,8 e.) 3,1
4.) (ICMS/95) O desvio padrão do conjunto de dados A=
{2,4,6,8,10} é, aproximadamente igual a:
a.) 2,1 b.) 2,4 c.) 2,8 d.) 3,2 e.) 3,6
5.) GDF/94) Entre os funcionários de um órgão do
governo, foi retirada uma amostra de 10 indivíduos. Os
números representam as ausências ao trabalho
registradas para cada um deles, no último ano: 0, 0, 0, 2,
2, 2, 4 ,4, 6 e 10. Sendo assim, o valor do desvio padrão
desta amostra é:
a.)
3
b.)
9
c.)
10
d.)
30
6.) (GDF/94) Uma empresa que possui 5 máquinas
copiadoras registrou em cada uma delas no último mês (
em 1.000 unidades): 20, 23, 25, 27 e 30 cópias,
respectivamente. O valor da variância desta população é:
a.) 5
b.) 11,6
c.) 14,5
d.) 25
7.) (GDF-SEA-IDR/93 ) Observe as porcentagens do
lucro gastas com a pesquisa e desenvolvimento (P&D) de
50 empresas brasileiras que atuam em setores de alta
tecnologia, apresentadas abaixo.
13,5
7,2
9,7
11,3
8,0
Estatística
9,5 8,2 6,5
7,1 9,0 9,9
7,5 7,2 5,9
5,6 10,1 8,0
7,4 10,5 7,8
8,4 8,1 6,9 7,5 10,5
8,2 13,2 9,2 6,9 9,6
6,6 11,1 8,8 5,2 10,6
8,5 11,7 7,1 7,7 9,4
7,9 6,5 6,9 6,5 6,8
13,5
7,7
8,2
6,0
9,5
A média e o desvio padrão amostrais para essas medidas
são respectivamente:
a.) 8,49 e 1,96
c.) 8,69 e 1,96
Atualizada 05/02/2008
b.) 8,49 e 1,98
d.) 8,69 e 1,98
8.) (TCU/93) Os montantes de vendas a um grupo de
clientes de um supermercado fornecem os seguintes
sumários: media = $1,20; mediana = $0,53; moda = $0,25
Com base nestas afirmações, assinale a opção correta.
a.) A distribuição é assimétrica à direita.
b.) A distribuição é assimétrica à esquerda.
c.) A distribuição é simétrica.
d.) entre os 3 indicadores de posição apresentados, a
média aritmética é a melhor medida de tendência central.
e.) a variância da distribuição é igual a $ 0,13.
9.) ( ICMS-MG/93) Em um concurso público realizado
pelo IEDRHU, os resultados dos 1363 aprovados,
divulgados em 1990, foram:
Prova
Média
Desvio Padrão
Escrita
Títulos
60,3
36,9
7,0
13,3
Variabilidade Relativa
(Cv)
----------------------36,0
O coeficiente de variação da prova escrita foi:
a.) 13,1
b.) 11,6
c.) 10,6
d.) 11,4
e.) 14,0
10.) (FT/94) Do estudo do tempo de permanência no
mesmo emprego de dois grupos de trabalhadores (A e
B), obtiveram-se os seguintes resultados para as médias
xa e xb
grupo A: xa = 120 meses ; Sa = 24 meses
grupo B: xb = 60 meses ; Sb = 15 meses
É correto afirmar que
a.) a dispersão relativa no grupo A é maior que no grupo
B.
b.) a média do grupo B é 5/8 da média do grupo A.
c.) a dispersão absoluta do grupo A é o dobro da
dispersão absoluta do grupo B.
d.) a dispersão relativa do grupo A é 4/5 da dispersão
relativa do grupo B.
e.) a média entre os dois grupos é de 180 meses.
Enunciado para responder 11Em certa empresa, o salário
médio era de CR$ 90.000,00 e o desvio-padrão dos
salários era de CR$ 10.000,00. Todos os salários
receberam um aumento de 10%.
11.) (BACEN/94) O desvio-padrão dos salários passou a
ser de:
a.) CR$ 10.000,00
b.) CR$ 10.100,00
c.) CR$ 10.500,00
d.) CR$ 10.900,00
e.) CR$ 11.000,00
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12.) (TCDF/95) Uma pesquisa de preços de determinado
produto, realizada em dois mercados, produziu os
resultados mostrados na tabela abaixo.
Mercado
I
II
Preço médio (R$/kg) Desvio padrão (R$/kg)
5,00
2,50
4 00
2 00
Com base nesses resultados, e correto afirmar
a.) que, no mercado I, a dispersão absoluta dos preços e
menor do que no mercado II
b.) que o mercado I apresenta uma dispersão relativa (de
preços) maior que a do mercado
c.) que, no mercado l., a dispersão relativa e igual a
dispersão absoluta
d.) que, no mercado I, a dispersão relativa dos preços é
igual a do mercado II.
e.) que, considerando os mercados I e II como se fossem
um único mercado, a dispersão absoluta da distribuição
resultante e igual a 4,5.
13.) (AFC/96) Assinale a única afirmação errada.
a.) Em uma série de observações a soma dos desvios em
relação à média aritmética é sempre nula. (Denomina-se
desvio a diferença entre um valor qualquer da série e a
média aritmética).
b.) Somando-se ( ou subtraindo-se) uma constante a
todos valores de uma série de observações, a média
aritmética da série ficará somado ( ou subtraído) do valor
dessa constante.
c.) Somando-se ( ou subtraindo-se) uma constante a
todos valores de uma série de observações, o desviopadrão da série ficará somado ( ou subtraído) do valor
dessa constante.
d.) Multiplicando-se ( ou dividindo-se) cada termo de uma
série de observações por uma constante, a média
aritmética da série ficará multiplicada ( ou dividida) por
essa constante.
e.) Multiplicando-se ( ou dividindo-se) cada termo de uma
série de observações por uma constante, o desviopadrão da série ficará multiplicada ( ou dividida) pelo
valor absoluto dessa constante.
14.) (TCDF/95) Dadas duas amostras A = { 1, 2, 3, 4, 5} e
B = {3, 4, 5, 6, 7}, : considere C a amostra constituída
pela soma aleatória de A e B e considere D a amostra
formada pelo produto aleatório de A e B. É correto afirmar
que
a.) a média da amostra C é igual a M(A) + M(B) / 2, em
que M(A) é média da amostra A, e M(B) é a média da
amostra B.
b.) a média da amostra B é igual a média da amostra A.
c.) a variância da amostra A é igual a variância da
amostra B.
d.) a variância da amostra D é igual ao produto das
variâncias individuais das amostras A e B.
e.) a média da amostra D é igual ao produto das médias
individuais das amostras A e B.
15.) (TCU/95) Os preços do pacote de café (500 g)
obtidos em diferentes supermercados locais são: R$
3,50, R$ 2,00, R$ 1,50 e R$ 1,00.
Dadas essas informações, julgue os itens que seguem.
a.) O preço médio do pacote de 500 g de café é R$ 2,00.
b.) Se todos os preços tiverem uma redução de 50%, o
novo preço médio será de R$ 1,50.
c.) A variância dos preços é igual a 0 625.
d.) Se todos os preços tiverem um aumento de R$ 1,00, o
coeficiente de variação dos preços não se alterará
20
Atualizada 05/02/2008
Estatística
e.) Se todos os pregos tiverem um aumento de 50%, a
nova variância será exatamente igual à anterior, pois a
dispersão não será afetada.
A tabela apresenta a distribuição de freqüências das
notas em uma prova de estatística aplicada em três
turmas de 100 alunos cada.
Classes de
notas
0 — 2
2 — 4
4 — 6
6 — 8
8 — 10
Total
Freqüências das notas na prova de
Estatística
Turma 1
Turma 2
Turma 3
20
10
5
40
15
10
30
50
70
6
15
10
4
10
5
100
100
100
16.) A única opção errada é, utilize a tabela acima:
a.) na turma 3: média = mediana = moda
b.) desvio-padrão (turma 2) > desvio-padrão (turma 3)
c.) média (turma 2) = média (turma 3)
d.) coeficiente de variação (turma 2) > coeficiente de
variação (turma 3)
e.) na turma 1: média = mediana = moda
17.) (ICMS-MG/95) O quadro ao lado nos mostra a
distribuição dos erros cometidos por 20 alunos numa
prova de Português. O valor do desvio médio dessa
distribuição é:
Nº de erros (Xi)
1
2
3
4
5
a.) 1,0
b.) 1,5
Nº de alunos (Fi)
2
6
5
4
3
c.) 2,0
d.) 2,5
e.) 3,0
18.) (AFRF/01) Numa amostra de tamanho 20 de uma
população de contas a receber, representadas
genericamente por X, foram determinadas a média
amostral M = 100 e o desvio-padrão S =13 da variável
transformada (X-200)/5. Assinale a opção que dá o
coeficiente de variação amostral de X.
a.) 3,0 %
b.) 9,3 %
c.) 17,0 %
d.) 17,3 %
e.) 10,0 %
19.) (AFRF/01) Tem-se um conjunto de n mensurações
2
X1, ... , Xn com média aritmética M e variância S , onde M
2
2
= (X1 + ... + Xn )/ n e S = (1/ n) Σ ( Xi – M ) . Seja θ a
proporção dessas mensurações que diferem de M, em
valor absoluto, por pelo menos 2S. Assinale a opção
correta.
a.) Apenas com o conhecimento de M e S não podemos
determinar θ exatamente, mas sabe-se que 0,25 ≥ θ
b.) O conhecimento de M e S é suficiente para
determinar θ exatamente, na realidade tem-se θ = 5%
para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.
c.) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar
θ exatamente, na realidade tem-se θ = 95% para
qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.
d.) O conhecimento de
M e S é suficiente para
determinar θ exatamente, na realidade tem-se θ = 30%
para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.
e.) O conhecimento de M e S é suficiente para
determinar θ exatamente, na realidade tem-se θ = 15%
para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.
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Estatística
(AFRF/02 - abril) Em um ensaio para o estudo da
distribuição de um atributo financeiro (X) foram
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de
uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de
freqüências abaixo. A coluna Classes representa
intervalos de valores de X em reais e a coluna P
representa a freqüência relativa acumulada. Não existem
observações coincidentes com os extremos das classes.
23.) (AFRF/02 - setembro) Uma variável contábil Y,
medida em milhares de reais, foi observada em dois
grupos de empresas apresentando os resultados
seguintes:
A questão 20 refere-se a esses ensaios.
Assinale a opção correta.
a.) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta.
b.) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à
dispersão relativa.
c.) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a
dispersão relativa do Grupo A.
d.) A dispersão relativa de Y entre os Grupos A e B é
medida pelo quociente da diferença de desvios padrão
pela diferença de médias.
e.) Sem o conhecimento dos quartis não é possível
calcular a dispersão relativa nos grupos.
Classes
70 -- 90
90 -- 110
110 -- 130
130 -- 150
150 -- 170
170 -- 190
190 -- 210
P (%)
5
15
40
70
85
95
100
20.) (AFRF/02 - abril) Considere a transformação Z=(X140)/10. Para o atributo Z encontrou-se
∑
7
i =1
Z i2 Fi = 1680
, onde fi é a freqüência simples da
classe i e Zi o ponto médio de classe transformado.
Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo
X.
a.) 720,00
b.) 840,20
c.) 900,10
d.) 1200,15
e.) 560,30
21.) (AFRF/02 - abril) Um atributo W tem média amostral
a ≠ 0‚ e desvio padrão positivo b ≠ 1‚ . Considere a
transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção correta.
a.) A média amostral de Z coincide com a de W.
b.) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário.
c.) O coeficiente de variação amostral de Z não está
definido.
d.) A média de Z é a/b.
e.) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z
coincidem.
Para a solução da questão de número 22, utilize o
enunciado que segue.
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro,
numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população
de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências
seguinte:
Classes
29,5 --- 39,5
39,5 --- 49,5
49,5 --- 59,5
59,5 --- 69,5
69,5 --- 79,5
79,5 --- 89,5
89,5 --- 99,5
Grupo
A
B
Média
20
10
Desvio padrão
4
3
24.) (AFRF/03) As realizações anuais Xi dos salários
anuais de uma firma com N empregados produziram as
estatísticas
Seja P a proporção de empregados com salários fora do
intervalo [R$ 12.500,00; R$ 16.100,00]. Assinale a opção
correta.
a) P é no máximo 1/2
b) P é no máximo 1/1,5
c) P é no mínimo 1/2
d) P é no máximo 1/2,25
e) P é no máximo 1/20
25.) (AFRF/03) O atributo Z= (X-2)/3 tem média amostral
20 e variância amostral 2,56. Assinale a opção que
corresponde ao coeficiente de variação amostral de X.
a) 12,9%
b) 50,1%
c) 7,7%
d) 31,2%
e) 10,0%
Freqüência ( f )
4
8
14
20
26
18
10
22.) (AFRF/02 - setembro) Assinale a opção que
corresponde ao desvio absoluto médio do atributo X.
a.) 16,0 b.) 17,0 c.) 16,6 d.) 18,1 e.) 13,0
Atualizada 05/02/2008
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26.)
(AFRF/05)
Uma
empresa
verificou
que,
historicamente, a idade média dos consumidores de seu
principal produto é de 25 anos, considerada baixa por
seus dirigentes. Com o objetivo de ampliar sua
participação no mercado, a empresa realizou uma
campanha de divulgação voltada para consumidores com
idades mais avançadas. Um levantamento realizado para
medir o impacto da campanha indicou que as idades dos
consumidores apresentaram a seguinte distribuição:
Idades
18 |-- 25
25 |-- 30
30 |-- 35
35 |-- 40
Total
Freqüência Porcentagem
20
40
15
30
10
20
5
10
50
100
Assinale a opção que corresponde ao resultado da
campanha considerando o seguinte critério de decisão:
- 25 for maior que o valor , 2.σ x então a
n
campanha de divulgação surtiu efeito, isto é, a idade
média aumentou; caso contrário, a campanha de
divulgação não alcançou o resultado desejado.
Se a diferença
x
a) A campanha surtiu efeito, pois
que 2.σ x =1,53.
x
- 25 =2,1 é maior
n
b) A campanha não surtiu efeito, pois
que 2.σ x =1,64.
n
c) A campanha surtiu efeito, pois
que 2.σ x =1,41.
x
x
- 25 =0 é menor
- 25 = 2,1 é maior
n
d) A campanha não surtiu efeito, pois
2.σ x que =1,53.
n
e) A campanha surtiu efeito, pois
que 2.σ x =1,41.
x
x
- 25 =0 é menor
- 25 = 2,5 é maior
n
27.) (AFRF/05) De posse dos resultados de produtividade
alcançados por funcionários de determinada área da
empresa em que trabalha, o Gerente de Recursos
Humanos decidiu empregar a seguinte estratégia:
aqueles funcionários com rendimento Inferior a dois
desvios padrões abaixo da média (Limite Inferior - LI)
deverão passar por treinamento específico para melhorar
seus
desempenhos;
aqueles
funcionários
com
rendimento superior a dois desvios padrões acima de
média (Limite Superior - LS) serão promovidos a líderes
de equipe.
Indicador
0 |--- 2
2 |--- 4
4 |--- 6
6 |--- 8
8 |--- 10
TOTAL
Freqüência
10
20
240
410
120
800
Assinale a opção que apresenta os limites LI e LS a serem
utilizados pelo Gerente de Recursos Humanos.
a.) LI = 4,0 e LS = 9,0
b.) LI = 3,6 e LS = 9,4
c.) LI = 3,0 e LS = 9,8
d.) LI = 3,2 e LS = 9,4
e.) LI = 3,4 e LS = 9,6
22
Atualizada 05/02/2008
Estatística
28.) (AFRF/05) Em uma determinada semana uma
empresa recebeu as seguintes quantidades de pedidos
para os produtos A e B:
Produto A
39
33
25
30
41
36
37
Produto B
50
52
47
49
54
40
43
Assinale a opção que apresente os coeficientes de
variação dos dois produtos:
a.) CVA = 15,1% e CVB = 12,3%
b.) CVA = 16,1% e CVB = 10,3%
c.) CVA = 16,1% e CVB = 12,3%
d.) CVA = 15,1% e CVB = 10,3%
e.) CVA = 16,1% e CVB = 15,1%
29.) (TRF/06) Considere os seguintes conjuntos de
observações referentes a cinco diferentes variáveis:
T: 10; 10; 10; 10; 10; 8
V: 10; 10; 10; 10; 8; 8
X: 10; 10; 10; 8; 8; 8
Y: 10; 10; 8; 8; 8; 8
Z: 10; 8; 8; 8; 8; 8
O conjunto de observações que apresenta a maior
variabilidade, medida pelo desvio padrão, é o referente à
variável
a) Y
b) T
c) V
d) X
e) Z
30.) (TRF/06) A tabela mostra a distribuição de
freqüências relativas populacionais (f’) de uma variável X.
X
-1
0
+1
f´
3k
K
6k
Sabendo que “k” é um número real, a média e o desvio
padrão de X são, respectivamente,
a) 0,3; 0,9.
b) 0,0; 0,3.
c) 0,3; 0,3.
d) k; 3k.
e) 0,3k; 0,9k.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
A
C
B
C
C
B
B
A
B
D
E
D
C
C
A
E
A
B
A
B
C
E
C
D
C
A
E (anulada)
B
D
A
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EXERCÍCIOS PARA O ALUNO PRATICAR O MÉTODO
SIMPLIFICADO DA MÉDIA E VARIÂNCIA
1.)
Classes
Fi
4 ---- 6
6 ---- 8
8 ---- 10
10 ---- 12
12 ---- 14
6,00
8,00
12,00
10,00
4,00
Total
40,00
di = Xi – 9
2
-2,00
-1,00
0,00
1,00
2,00
di.Fi
di2.Fi
-12,00
-8,00
0,00
10,00
8,00
24,00
8,00
0,00
10,00
16,00
-2,00
58,00
6.)
Classes
Fi
50 ---- 60
60 ---- 70
70 ---- 80
80 ---- 90
90 ---- 100
15,00
20,00
30,00
20,00
15,00
Total
100,00
Classes
Fi
4 ---- 6
6 ---- 8
8 ---- 10
10 ---- 12
12 ---- 14
Total
6,00
8,00
12,00
10,00
4,00
40,00
di = Xi – 5
2
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
di = Xi – 75
10
-2,00
-1,00
0,00
1,00
2,00
di.Fi
2
di .Fi
-30,00
-20,00
0,00
20,00
30,00
60,00
20,00
0,00
20,00
60,00
0,00
160,00
di.Fi
di2.Fi
-18,00
-8,00
-5,00
0,00
1,00
54,00
16,00
5,00
0,00
1,00
-30,00
76,00
7.)
Classes
2.)
Estatística
Fi
2 ---- 4
4 ---- 6
6 ---- 8
8 ---- 10
10 ---- 12
6,00
4,00
5,00
4,00
1,00
Total
20,00
di = Xi – 9
2
-3,00
-2,00
-1,00
0,00
1,00
di.Fi
di2.Fi
0,00
8,00
24,00
30,00
16,00
78,00
0,00
8,00
48,00
90,00
64,00
210,00
di.Fi
2
di .Fi
-9,00
-4,00
6,00
15,00
10,00
13,50
2,00
3,00
22,50
25,00
1 .) X = 8 , 90
; S 2 = 5 , 79
18,00
66,00
2 .) X = 8 , 90
; S 2 = 5 , 79
3 .) X = 8 , 90
; S 2 = 5 , 79
4 .) X = 8 , 90
; S 2 = 5 , 79
5 .) X = 8 , 90
; S 2 = 5 , 79
6 .) X = 75
; S 2 = 160
7 .) X = 6 , 00
; S 2 = 15 , 20
3.)
Classes
Fi
4 ---- 6
6 ---- 8
8 ---- 10
10 ---- 12
12 ---- 14
6,00
8,00
12,00
10,00
4,00
Total
40,00
di = Xi – 8
2
-1,50
-0,50
0,50
1,50
2,50
4.)
Classes
Fi
4 ---- 6
6 ---- 8
8 ---- 10
10 ---- 12
12 ---- 14
6,00
8,00
12,00
10,00
4,00
Total
40,00
Classes
Fi
4 ---- 6
6 ---- 8
8 ---- 10
10 ---- 12
12 ---- 14
6,00
8,00
12,00
10,00
4,00
Total
40,00
di = Xi – 9
10
-0,40
-0,20
0,00
0,20
0,40
2
di.Fi
di .Fi
-2,40
-1,60
0,00
2,00
1,60
0,96
0,32
0,00
0,40
0,64
-0,40
2,32
di.Fi
2
di .Fi
-0,60
0,80
3,60
5,00
2,80
0,06
0,08
1,08
2,50
1,96
11,60
5,68
GABARITO
5.)
Atualizada 05/02/2008
di = Xi – 6
10
-0,10
0,10
0,30
0,50
0,70
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23
Turma AFRF 2008
Prof. Sérgio Altenfelder
Exercícios para o aluno calcular, média, moda, mediana,
quartil 1 e 3, decil 1 e 9, variância, desvio padrão, desvio
médio absoluto, coeficiente de variação, variância relativa
e método simplificado da média e variância.
1.)
Classe
Fi
2
2 |— 4
6
4 |— 6
5
6 |— 8
4
8 | — 10
3
10 | — 12
8.)
Classe
10 I-- 19
20 I-- 29
30 I-- 39
40 I-- 49
50 I-- 59
Fi
11
10
11
4
4
Classe
4 |— 6
6 |— 8
8 | — 10
10 | — 12
12 | — 14
Fi
8
10
20
30
20
Classe
2 |— 4
4 |— 6
6 |— 8
8 | — 10
10 | — 12
Fi
7
9
18
10
6
Classe
2| -- 4
4| -- 6
6| -- 8
8| -- 10
10| -- 12
Fi
9
12
6
2
1
Classe
4 | -- 6
6 | -- 8
8 | -- 10
10 | -- 12
12 | -- 14
Fi
6
8
12
10
4
Atualizada 05/02/2008
Fi
10
20
25
20
10
Classe
50 | — 58
58 | — 66
66 | — 74
74 | — 82
82 | — 90
90 | — 98
Fi
10
15
25
24
16
10
Classe
2 |— 4
4 |— 6
6 |— 8
8 | — 10
10 | — 12
Fi
6
10
14
6
4
Classe
2 |— 4
4 |— 6
6 |— 8
8 | — 10
10 | — 12
Fi
20
15
35
20
10
Classe
2 |— 4
4 |— 6
6 |— 8
8 | — 10
10 | — 12
12 | — 14
14 | — 16
Fi
5
5
10
30
20
25
5
13.)
6.)
24
Classe
20 | — 30
30 | — 40
40 | — 50
50 | — 60
60 | — 70
12.)
5.)
Fi
3
7
4
5
1
Fi
15
20
30
20
15
11.)
4.)
Classe
45 I—55
55 I—65
65 |-- 75
75 I—85
85 I--- 95
Classe
50 | — 60
60 | — 70
70 | — 80
80 | — 90
90 | — 100
10.)
3.)
7.)
Fi
10
20
40
20
10
9.)
2.)
Classe
2 |— 4
4 |— 6
6 |— 8
8 | — 10
10 | — 12
Estatística
14.)
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Estatística
GABARITO
TABELA 1
TABELA 2
X = 7
~
X = 6,8
X = 6
~
X = 5,8
X̂ czuber = 5,6
X̂ czuber = 3,83 e 6, 25
X̂ bruta = 5
X̂ bruta = 3 e 7
X̂ king = 5, 42
X̂ king = 4 e 6,57
X̂ pearson = 6, 4
X̂ pearson = 5,4
Q1 = 5
Q 1 = 3,82
Q 3 = 7,63
Q3 = 9
D1 = 4
D 9 = 10 ,66
D 1 = 2,72
D 9 = 10
S = 6
S = 6, 40
S = 2, 45
Dma = 2
S = 2,53
Dma = 2,15
Cv = 0,3499
Cv = 0,4216
Vr = 0,1778
2
Vr = 0,1224
2
TABELA 5
TABELA 3
TABELA 4
X = 10
~
X = 10 , 4
X = 6,96
~
X = 7
X̂ czuber = 11
X̂ czuber = 7 ,06
X̂ bruta = 11
X̂ bruta = 7
X̂ king = 11
X̂ king = 7 ,05
X̂ pearson = 11,2
X̂ pearson = 7 ,08
Q 1 = 5,22
Q 3 = 8,70
Q 1 = 8, 4
Q 3 = 11,87
D 1 = 6,16
D 9 = 13,12
D 1 = 3,42
D 9 = 10 ,33
S 2 = 5,91
S = 2,43
S 2 = 5,68
S = 2,38
Dma = 2,05
Dma = 1,81
Cv = 0,3424
Vr = 0,1172
Cv = 0, 2431
Vr = 0,0591
TABELA 6
TABELA 7
TABELA 8
X = 5,27
~
X = 5
X = 8,9
~
X = 9
X = 67
~
X = 65
X = 34 ,5
~
X = 34 ,5
X̂ czuber = 4,67
X̂ czuber = 9,33
X̂ czuber = 60 ,71
X̂ czuber = 34 ,5
X̂ bruta = 5
X̂ bruta = 9
X̂ bruta = 60
X̂ bruta = 34 ,5
X̂ king = 4,8
X̂ king = 9,11
X̂ king = 60 ,71
X̂ king = 34 ,5
X̂ pearson = 4, 46
Q 1 = 3,64
Q 3 = 6 ,5
D 1 = 2,66
X̂ pearson = 61
Q 1 = 57 ,85
Q 3 = 77
D 1 = 51,66
D 9 = 83
X̂ pearson = 34 ,5
D9 = 8
X̂ pearson = 9, 2
Q1 = 7
Q 3 = 10 ,8
D 1 = 5,33
D 9 = 12
S = 4, 2
S = 2,05
Dma = 1,57
Cv = 0,3889
S = 5,79
S = 2, 41
Dma = 1,93
Cv = 0, 2704
S = 131
S = 11, 45
Dma = 10
Cv = 0,1708
Vr = 0,1513
Vr = 0,0731
Vr = 0,0292
2
Atualizada 05/02/2008
2
2
Q 1 = 27
Q 3 = 42
D 1 = 19 ,5
D 9 = 49 ,5
S 2 = 120
S = 10 ,95
Dma = 8
Cv = 0,3175
Vr = 0,1008
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TABELA 9
TABELA 10
TABELA 11
Estatística
TABELA 12
X = 75
~
X = 75
X = 45
~
X = 45
X = 74 , 08
~
X = 74
X = 6,6
~
X = 6,57
X̂ czuber = 75
X̂ czuber = 45
X̂ czuber = 73 , 27
X̂ czuber = 6,66
X̂ bruta = 75
X̂ bruta = 45
X̂ bruta = 70
X̂ bruta = 7
X̂ king = 75
X̂ king = 45
X̂ king = 70 , 92
X̂ king = 6,75
X̂ pearson = 75
Q 1 = 65
Q 3 = 85
D 1 = 56 ,66
X̂ pearson = 45
Q 1 = 35 ,625
Q 3 = 54 ,375
D 1 = 28 ,5
X̂ pearson = 73 ,84
Q 1 = 66
X̂ pearson = 6,51
D 9 = 93,33
S 2 = 160
S = 12 ,65
Dma = 10
Cv = 0,1680
Vr = 0,0284
TABELA 13
D 9 = 61,5
S 2 = 141,18
S = 11,88
Dma = 9, 41
Cv = 0, 2640
Vr = 0,0697
X = 10
~
X = 10
X̂ czuber = 7 ,14
X̂ czuber = 9,33
X̂ bruta = 7
X̂ bruta = 9
X̂ king = 7 ,14
X̂ king = 9,33
X̂ pearson = 7 ,15
X̂ pearson = 10
Q 1 = 8,33
Q 3 = 12 , 4
D1 = 6
S 2 = 6,11
S = 2, 47
Dma = 1,99
Cv = 0,3689
Vr = 0,1361
26
Atualizada 05/02/2008
D 9 = 90
S 2 = 132 , 47
S = 11 , 51
Dma = 9 , 68
Cv = 0 ,1554
Vr
= 0 , 0241
Q 1 = 4,8
Q3 = 8
D 1 = 3,33
D 9 = 10
S 2 = 5, 44
S = 2,33
Dma = 1,88
Cv = 0,3534
Vr = 0,1249
TABELA 14
X = 6,70
~
X = 6,85
Q 1 = 4,66
Q 3 = 8,5
D1 = 3
D 9 = 10
Q 3 = 82 , 5
D 1 = 58
D 9 = 13,6
S 2 = 8,60
S = 2,93
Dma = 2, 40
Cv = 0, 2933
Vr = 0,0860
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Estatística
CORRELAÇÃO
r=
Define-se o coeficiente de correlação entre duas variáveis x e y como sendo:
onde:
S xy =
∑ (x
i
− x)( y i − y )
ou
n
S xy
SxSy
S xy = XY − X . Y
Sxy é chamado de covariância.
Sx é o desvio padrão da variável X
Sy é o desvio padrão da variável Y
Correlação: Expressa um número que irá identificar o grau de relacionamento entre duas variáveis
Este número pode variar de -1 ≤ r ≤ 1
a.) Correlação linear perfeita positiva
b.) Correlação linear perfeita negativa
Y
Y
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
X
R=1
X
R = -1
d.) Correlação linear positiva
c.) Correlação linear nula
Y
Y
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
X
R=0
e.) Correlação linear negativa
0<R<1
Informações sobre uma equação da reta
Y = a.X +b
a = coeficiente angular
b = coeficiente linear
Y
•
X
Coeficiente linear indica o ponto de intersecção da reta
com o eixo Y.
•
• •
•
•
X
-1 < R < 0
•
•
Coeficiente angular é responsável pelo grau de
inclinação da reta
Se o coeficiente angular for positivo, a correlação será
positiva.
Se o coeficiente angular for negativo, a correlação será
negativa.
Propriedades da Correlação
•
Se somarmos ou subtrairmos uma constante as variáveis X e Y, o valor da correlação permanecerá inalterado.
•
Se multiplicarmos ou dividirmos uma constante as variáveis X e Y, o valor da correlação poderá ter seu sinal
alterado pelo sinal da constante usada na multiplicação.
Atualizada 05/02/2008
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1.) O coeficiente de correlação linear entre x e y é r.
Se y = 2x - 3
a.) r = 1
b.) 0 < r < 1
c.) r = 0
d.) –1 < r < 0
e.) r = -1
12.) (AFC-94) A tabela abaixo apresenta o número de
unidades produzidas (P) por 10 operadores de uma
fábrica e o número de unidades produzidas com defeito
(D).
2.) O coeficiente de correlação linear entre x e y é r.
Se y = -2x + 3
a.) r = 1
b.) 0 < r < 1
c.) r = 0
d.) –1 < r < 0
e.) r = -1
Operador (i) Produção (Pi) Defeituosa (Di)
1
94
4
2
98
5
3
106
6
4
114
7
5
107
6
6
93
5
7
98
6
8
88
4
9
103
7
10
95
5
Da tabela obtiveram-se os seguintes dados:
3.) O coeficiente de correlação linear entre x e y é r.
Calcule o coeficiente de correlação para a reta ajustada
pela equação y = -3 + 5x
a.) r = 1
b.) 0 < r < 1
c.) r = 0
d.) –1 < r < 0
e.) r = -1
4.) O coeficiente de correlação linear entre x e y é r.
Calcule o coeficiente de correlação para a reta ajustada
pela equação y = 2 - 8x
a.) r = 1
b.) 0 < r < 1
c.) r = 0
d.) –1 < r < 0
e.) r = -1
10
∑P
i =1
i
= 996
10
; ∑ D i = 55
6.) O coeficiente de correlação linear entre x e y é r.
Se y = -3 + 5x
a.) r = 1
b.) 0 < r < 1
c.) r = 0
d.) –1 < r < 0
e.) r = -1
10
; ∑ Pi D i = 5 . 543
i =1
11.) (BACEN/98) Duas variáveis aleatórias X e Y têm
coeficiente de correlação linear igual a 0,8. O coeficiente
de correlação linear entre as variáveis 2X e 3Y é
a.) 0,8
b.) 0,53
c.) 0,27
d.) 0,32
e.) 0,4
28
Atualizada 05/02/2008
2
i
10
i
i =1
10
∑ (D
= 313
i =1
∑ (P
i
i
− P ) 2 = 550 , 4
− D ) 2 = 10 ,5 ;
− P )( D i − D ) = 65
Para efeito da questão de nº 13, utilize a tabela abaixo
que apresenta o número de unidades produzidas (P) por
10 operadores de uma fábrica e o número de unidades
produzidas com defeito (D).
Produção (P)
112
84
106
134
127
93
130
138
143
125
8.) (BACEN/94) O coeficiente de correlação linear entre x
e y é r. Se y =4 - 2x
a.) r = 1
b.) 0 < r < 1
c.) r = 0
d.) –1 < r < 0
e.) r = -1
10.) (BACEN/98) Duas variáveis X e Y têm coeficiente de
correlação linear igual a 0,9. Obtendo-se a reta de
regressão linear de Y sobre X, pode-se dizer que seu
coeficiente angular
a.) será menor que 0,9
b.) será maior que 0,9
c.) poderá ser negativo
d.) poderá ser nulo
e.) será positivo
i =1
i =1
O coeficiente de correlação linear entre P e D é:
a.) -0,855
b.) -0,731
c.) 0,000
d.) 0,731
e.) 0,855
7.) O coeficiente de correlação linear entre x e y é r.
Se y = 2 - 8x
a.) r = 1
b.) 0 < r < 1
c.) r = 0
d.) –1 < r < 0
e.) r = -1
9.) (Controladoria/99) Duas variáveis aleatórias X e Y têm
coeficiente de correlação 0,80. O coeficiente de
correlação entre as variáveis (3+X) e 4Y é
a.) 0,80
b.) 0,70
c.) 0,50
d.) 0,30
e.) 0,20
10
∑D
10
∑ (P
= 99 . 752
2
i
i =1
i =1
5.) O coeficiente de correlação linear entre x e y é r.
Calcule o coeficiente de correlação para a reta ajustada
pela equação y = 4 - 2x
a.) r = 1
b.) 0 < r < 1
c.) r = 0
d.) –1 < r < 0
e.) r = -1
10
∑P
10
∑ P = 1.192
i =1
i
10
; ∑ Di = 55
i =1
10
; ∑ Pi .Di = 6.745
i =1
Defeituosa (D)
5
4
6
7
6
3
6
6
7
5
10
∑P
i =1
2
i
10
∑D
i =1
= 145.588
10
∑ (P − P )
i =1
2
i
= 3.501,6
2
i
10
∑ (D − D )
= 317
i =1
2
i
10
∑ ( P − P ).( D − D ) = 189
i =1
i
i
13.) O coeficiente de correlação linear é:
a.) 0,839
b.) - 0,731
c.) 0,000
d.) 0,731
e.) - 0,855
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
= 14,5
Turma AFRF 2008
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Para efeito da questão de nº 14, utilize a tabela abaixo
apresenta o número de unidades produzidas (X) e o
custo destas unidades produzidas com defeito (Y).
Quantidade (X)
10
11
12
13
14
15
6
6
∑ X i = 955
i =1
∑ ( X i − X )2 = 17,5
2
i =1
6
6
; ∑ Yi = 742
∑Y
i =1
i =1
6
i =1
6
∑ (Y − Y )
= 93.090
2
i
i =1
i
2
= 1.329,33
6
; ∑ X i .Yi = 9.124
∑ ( X i − X ).(Yi − Y ) = −151
i =1
Para efeito da questão 17, considere a seguinte tabela
que apresenta valores referentes às variáveis x e y,
porventura relacionadas:
Custo (Y)
142
139
130
119
112
100
6
∑ X i = 75
X
Y
X2
-3
0
-1
-2
3
4
5
Total
9
X
Y
X2
Y2
X.Y
1
2
1
2
1
4
1
4
1
4
3
4
4
5
9
16
16
25
12
20
5
8
25
64
40
20
55
110
77
∑X
i =1
9
16
16
25
12
-20
8
25
64
40
4
59
110
35
10
i =1
Y
1
X
4
2
Y2
1
X.Y
-2
-1
3
1
9
-3
0
4
0
16
0
1
5
1
25
5
2
6
4
36
12
19
10
87
12
i
10
∑Y
i =1
2
= 200
= 40
i
10
∑X
i =1
10
∑ X .Y
i
i =1
i
2
i
= 20
= 35
18.) Marque a opção que representa a correlação dos
dados acima:
a.) 0,998
b.) 0,567
c.) 0
d.) 0,378
e.) 0,884
Para efeito da questão 19, considere a seguinte tabela
que apresenta valores referentes às variáveis x e y,
porventura relacionadas:
Para efeito da questão 16, considere a seguinte tabela
que apresenta valores referentes às variáveis x e y,
porventura relacionadas:
X
-2
= 5
i
∑Y
15.) Marque a opção que representa o coeficiente de
correlação entre as variáveis x e y:
a.) 0,981
b.) 0,567
c.) 0
d.) - 0,567
e.) - 0,981
0
4
-5
Para efeito da questão 18, considere a seguinte tabela
que apresenta valores referentes às variáveis x e y,
porventura relacionadas:
Para efeito da questão 15, considere a seguinte tabela
que apresenta valores referentes às variáveis x e y,
porventura relacionadas:
Total
X.Y
3
0
17.) Marque a opção que representa o coeficiente de
correlação entre as variáveis x e y:
a.) 0,984
b.) 0,411
c.) 0
d.) -0,411
e.) -0,984
10
15
9
0
Y2
1
4
i =1
14.) O coeficiente de correlação linear é:
a.) 0,046
b.) - 0,145
c.) 0,234
d.) - 0,990
e.) - 0,456
Total
Estatística
Total
X
Y
X
Y2
X.Y
1
5
1
25
5
2
7
4
49
14
3
12
9
144
36
4
13
16
169
52
5
18
25
324
90
6
20
36
400
120
75
91
1111
317
21
2
19.) (AFTN/96) Marque a opção que representa o
coeficiente de correlação entre as variáveis x e y:
a.) 0,903
b.) 0,926
c.) 0,947
d.) 0,962
e.) 0,989
16.) Marque a opção que representa o coeficiente de
correlação entre as variáveis x e y:
a.) - 0,986
b.) - 0,345
c.) 0
d.) 0,345
e.) 0,986
Atualizada 05/02/2008
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29
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20.) (AFRF/05) Para uma amostra de dez casais
residentes em um mesmo bairro, registraram-se os
seguintes salários mensais (em salários mínimos):
Identificação
do casal
Salário do
marido (Y)
Salário da
esposa (X)
21.
22.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
30
25
18
15
20
20
21
20
25
27
20
25
12
10
10
20
18
15
18
23
Estatística
A
E
Sabe-se que:
10
∑X
i =1
i
10
∑Y
i =1
i
2
= 171
10
∑Y
i =1
= 5069
i
= 221
i =1
10
∑ X .Y
i =1
i
10
∑X
2
i
= 3171
= 3940
i
Assinale a opção cujo valor corresponda à correlação
entre os salários dos homens e os salários das mulheres.
a.) 0,72
b.) 0,75
c.) 0,68
d.) 0,81
e.) 0,78
21.) (TRF/06) O coeficiente de correlação entre duas
variáveis Y e X é igual a +0,8. Considere, agora, a
variável Z definida como: Z = 0,2 − 0,5 X O coeficiente de
correlação entre as variáveis Z e X, e o coeficiente de
correlação entre as variáveis Z e Y serão iguais,
respectivamente, a:
a) – 1,0; – 0,8
b) + 1,0; + 0,8
c) – 0,5; – 0,8
d) – 0,5; + 0,8
e) – 0,2; – 0,4
22.) (TRF/06) Para 5 pares de observações das variáveis
X e Y obteve-se os seguintes resultados:
∑X = ∑
Y = 15 ;
∑X
2
=
∑
Y 2 = 55 ;
∑ XY
= 39
Sabendo-se que esses 5 pares de observações
constituem a totalidade da distribuição conjunta
populacional dessas duas variáveis, o valor do coeficiente
de correlação entre X e Y é igual a
a) + 1,000
b) + 0,709
c) + 0,390
d) – 0,975
e) – 0,600
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
30
A
E
B
D
D
A
E
E
A
E
A
E
A
D
A
E
B
B
E
B
Atualizada 05/02/2008
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Estatística
NÚMEROS ÍNDICES
Dada a série temporal abaixo:
ANOS
Bens
B1
B2
B3
B4
Ano 0 (base)
Quant.
PREÇOS
10
10
15
10
5
2
5
5
Ano 1
Preços
15
20
10
10
Ano 2
Quant.
15
16
8
10
Preços
18
20
15
15
Quant.
12
22
10
15
Ano 3
Preços
Quant.
20
20
25
18
10
12
18
12
a.) Números índices simples
•
•
•
de preço do Ano 2
B1
B2
B3
B4
de quantidade do Ano 2
B1
B2
B3
B4
de valor do Ano 2
B1
B2
B3
B4
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b.) Números índices médios
•
de preço do Ano 2
Índice médio aritmético de preço
Índice médio geométrico de preço
Índice médio harmônico de preço
•
de quantidade do Ano 2
Índice médio aritmético de quantidade
Índice médio geométrico de quantidade
Índice médio harmônico de quantidade
Índice médio geométrico de valor
Índice médio harmônico de valor
•
32
de valor do Ano 2
Índice médio aritmético de valor
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c.) números índices ponderados ou números índices complexos
Laspeyres: é a média aritmética ponderada dos relativos, onde a ponderação é feita utilizando os valores da época base.
•
•
Laspeyres Preço Ano2
Laspeyres Quantidade Ano2
Paasche: é a média harmônica ponderada dos relativos, sendo que esta ponderação é feita utilizando os valores da época
atual.
•
•
Paasche Preço Ano2
Paasche Quantidade Ano2
Propriedades dos Números Índices Simples
Estas propriedades só podem ser usadas para índices simples. Caso sejam usadas para outros índices, o resultado que
iremos obter será aproximadamente igual ao calculado.
•
Decomposição das Causas: Esta propriedade será usada para calcular o índice de faturamento de uma empresa, bem
como as variáveis que fazem parte do faturamento (preço e quantidade)
Ivo ,t = Ipo ,t . Iq o ,t
•
Reversão dos Fatores: Esta propriedade será usada para calcular o índice de desvalorização ou valorização de uma
moeda. Também usamos esta propriedade para calcular o índice de perda ou ganho de poder aquisitivo.
I o ,t =
1
I t ,o
•
Relativo em Cadeia ou Circular em Cadeia ou Base Móvel: Esta propriedade será usada para calcular índices de
aumentos ou reduções sucessivos (inflação ou deflação acumulada).
Ip0,1 . Ip1, 2 . Ip 2,3 . Ip3, 4 = Ip0, 4
ƒ
Mudança de Base: Esta propriedade será usada para comparar índices.
A mudança de base de uma série de números índice obtém-se através da divisão de cada índice da série original pelo
número índice correspondente à nova base. Os resultados devem ser expressos em porcentagem, isto é, multiplicados por
100.
Exemplo: a evolução do índice de preços de um determinado produto é dada pela tabela abaixo no período de 1999 a 2004,
sendo 1999 o ano-base. Obter uma nova tabela utilizando 2001 como ano-base.
ANO
Índice de Preços
1999
100
2000
110
2001
125
2002
140
2003
180
2004
220
Solução: basta dividirmos os índices de cada ano por 125 (índice de 2001) e multiplicarmos o resultado por 100. O valor
referente a 2002, por exemplo, será igual a (140/125).100 = 112. A nova tabela será:
ANO
Índice de Preços
Atualizada 05/02/2008
1999
80
2000
88
2001
100
2002
112
2003
144
2004
176
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Dada a série temporal abaixo, tomando 1960 como ano
base, responda as questões 1 a 3
Anos
1960
1961
1962
1963
1964
1965
Preço da
tonelada
do açúcar
1000
1020
1050
1080
1150
1400
Produção
(em
toneladas)
100.000
150.000
280.000
450.000
600.000
800.000
1.) Os índices de preço, quantidade, valor, relativos
simples em 1963 são, respectivamente:
a.) 118%, 450%, 500%
b.) 108%, 450%, 486%
c.) 118%, 225%, 500%
d.) 108%, 225%, 486%
e.) 108%, 450%, 500%
2.) Os índices de preço, quantidade, valor, relativos
simples em 1961 são, respectivamente:
a.) 102%, 150%, 153%
b.) 108%, 450%, 486%
c.) 102%,102%, 153%
d.) 110%, 125%, 138%
e.) 102%, 150%, 203%
3.) Trocando-se o ano base agora para 1961, os índices
de preço, quantidade e valor relativos simples em 1963
são, respectivamente:
a.) 100%, 250%, 250%
b.) 140%, 200%, 280%
c.) 106%, 250%, 112%
d.) 108%, 200%, 116%
e.) 106%, 300%, 318%
Utilize a tabela abaixo para responder as questões de 4 a
11. A tabela abaixo contém os preços e quantidades
vendidas por um supermercado, de alguns itens da cesta
básica. Assume-se que o ano base seja 1985.
Anos
Bens
1985
1986
1987
1988
Preço Qtde Preço Qtde Preço Qtde Preço Qtde
Arroz
10
10
20
20
15
10
20
10
Feijão
15
10
20
20
20
20
20
10
Sal
5
2
10
5
5
15
10
5
Açúcar
5
5
10
10
10
5
10
5
4.) O número índice aritmético simples de preço vale em
1988:
a.) 183%
b.) 195%
c.) 158%
d.) 175%
e.) 116%
5.) O número índice aritmético simples de quantidade
vale em 1986:
a.) 183%
b.) 212,5%
c.) 158%
d.) 275%
e.) 116%
6.) O índice de preços de Laspeyres em 1988 é:
a.) 210,5%
b.) 220,8%
c.) 164,9%
d.) 175,4%
e.) 88,6%
7.) O índice de quantidade de Laspeyres em 1986 é:
a.) 132,2%
b.) 201,7%
c.) 164,9%
d.) 275,4%
e.) 148,8%
8.) O índice de preços de Paasche em 1988 é:
a.) 200,5%
b.) 188,6%
c.) 166,7%
d.) 118,7%
e.) 215,4%
34
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Estatística
9.) O índice de quantidade de Paasche em 1987 é:
a.) 166,7%
b.) 188,6%
c.) 164,6%
d.) 128,6%
e.) 180,1%
10.) Se em 1980, uma empresa vende uma quantidade
de mercadorias 60% superior a 1979, em quanto
porcento a quantidade de mercadorias vendidas em 1979
foi inferior à de 1980.
a.) 35,50%
b.) 36,50%
c.) 37,50%
d.) 38,50%
e.) 40,00%
11.) (BACEN/94) A quantidade relativa de 1988, referida
ao ano de 1980 como ano-base, e 120, enquanto que a
de 1988, referida ao ano de 1984 como ano-base, é 160.
A quantidade relativa de 1984, referida ao ano de 1980
como ano-base, é igual a:
a.) 75 b.) 60 c.) 55 d.) 50 e.) 40
Considere a estrutura de preços e de quantidades relativa
a um conjunto de quatro bens, transcrita a seguir, para
responder as questões de 12 a 15
Anos
1985
1986
1987
1988
Bens
Preço
Qtde
Preço
Qtde
Preço
Qtde
Preço
Arroz
10
10
20
20
15
10
20
Qtde
10
Feijão
15
10
20
20
20
20
20
10
Sal
5
2
10
5
5
15
10
5
Açúcar
5
5
10
10
10
5
10
5
12.) Os índices de preço de Laspeyres correspondentes
aos quatro anos são iguais, respectivamente, a
a.) 100,0; 111,4; 144,9; 210,5
b.) 100,0; 124,8; 134,9;·220,8
c.) 100;0; 164,9; 143,9; 164,9
d.) 100,0; 174,8; 113,9; 175,4
e.) 100,0; 184,9; 113,9; 88,6
13.) Os índices de quantidade de Laspeyres
correspondentes aos quatro anos são iguais,
respectivamente, a
a.) 100,0; 212,8; 185,4; 124,3
b.) 100,0; 201,8; 175,4;·135,3
c.) 100;0; 201,8; 175,4; 105,3
d.) 100,0; 201,8; 185,4; 124,3
e.) 100,0; 212,8; 175,4; 105,3
14.) Os índices de preço de Paasche, correspondentes
aos quatro anos, são iguais respectivamente, a
a.) 100,0; 155,8; 125,0; 166,7
b.) 100,0; 165,2; 135,0;·117,9
c.) 100;0; 165,2; 135,0; 166,7
d.) 100,0; 165,2; 135,0; 126,3
e.) 100,0; 155,8; 115,0; 136,7
15.) Os índices de quantidade de Paasche,
correspondentes aos quatro anos, são iguais
respectivamente, a
a.) 100,0; 208,1; 125,6; 106,4
b.) 100,0; 208,1; 125,6;·110,4
c.) 100;0; 208,1; 125,6; 117,8
d.) 100,0; 202,1; 164,6; 106,4
e.) 100,0; 208,1; 164,6; 110,4
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Considere a estrutura de preços e de quantidades relativa
a um conjunto de quatro bens, transcrita a seguir, para
responder as questões de 16 a 19
anos
Bens
Ano0 (base)
Ano1
Ano2
Ano3
Preço
Quant
Preço
Quant
Preço
Quant
Preço
Quant
B1
10
10
15
15
18
12
20
20
B2
15
10
20
16
20
22
25
18
B3
5
2
10
8
15
10
10
12
B4
5
5
10
10
15
15
18
12
16.) Os índices de preços de Laspeyres correspondentes
aos quatro anos são iguais, respectivamente, a
a.) 100,0; 135,8; 121,2; 189,3
b.) 100,0; 135,8; 170,2; 189,3
c.) 100;0; 147,4; 121,2; 196,5
d.) 100,0; 147,4; 170,2; 189,3
e.) 100,0; 147,4; 170,2; 196,5
17.) Os índices de quantidade de Laspeyres
correspondentes aos quatro anos são iguais,
respectivamente, a
a.) 100,0; 168,4; 201,8; 207,0
b.) 100,0; 168,4; 201,8;·217,5
c.) 100;0; 168,4; 201,8; 276,8
d.) 100,0; 168,4; 194,8; 207,0
e.) 100,0; 168,4; 194,8; 276,8
18.) Os índices de preço de Paasche, correspondentes
aos quatro anos, são iguais respectivamente, a
a.) 100,0; 112,6; 128,7; 142,0
b.) 100,0; 112,6; 128,7;·155,3
c.) 100;0; 151,0; 179,3; 201,0
d.) 100,0; 151,0; 179,3; 155,3
e.) 100,0; 151,0; 135,3; 201,0
19.) Os índices de quantidades de Paasche,
correspondentes aos quatro anos, são iguais
respectivamente, a
a.) 100,0; 172,6; 212,6; 210,4
b.) 100,0; 172,6; 212,6;·211,8
c.) 100;0; 122,6; 212,6; 210,4
d.) 100,0; 122,6; 212,6; 211,8
e.) 100,0; 122,6; 171,6; 235,0
Considere a estrutura de preços e de quantidades relativa
a um conjunto de quatro bens, transcrita a seguir, para
responder as questões de 20 a 22.
Anos
Ano 0 (Base)
Ano 1
Ano 2
Ano 3
Bens
Preço
Quant
Preço
Quant
Preço
Quant
Preço
Quant
B1
5
5
8
5
10
10
12
10
B2
10
5
12
10
15
5
20
10
B3
15
10
18
10
20
5
20
5
B4
20
10
22
5
25
10
30
5
20.) (AFTN/94) Os índices de preços de Laspeyres
correspondentes aos quatro anos são iguais,
respectivamente a
a.) 100,0 ; 112,6 ; 128,7 ; 142,0
b.) 100,0 ; 112,6 ; 132,5 ; 146,1
c.) 100,0 ; 117,7 ; 132,5 ; 146,1
d.) 100,0 ; 117,7 ; 133,3 ; 155,3
e.) 100,0 ; 117,7 ; 135,3 ; 155,3
Atualizada 05/02/2008
Estatística
21.) (AFTN/94) Os índices de quantidades de Laspeyres
correspondentes ao quatro anos
a.) decrescem nos dois anos que se seguem à base e
crescem no último ano.
b.) decrescem nos três anos que se seguem à base.
c.) decrescem no ano que se segue à base e crescem
nos dois anos restantes
d.) permanecem constantes nos dois primeiros anos que
se seguem à base.
e.) permanecem constantes nos três anos que se
seguem à base.
22.) (AFTN/94) Os índices de quantidades de Paasche,
correspondentes aos quatro anos, são iguais,
respectivamente a
a.) 100,0 ; 90,0 ; 91,3 ; 86,4
b.) 100,0 ; 90,0 ; 91,3 ; 83,4
c.) 100,0 ; 90,0 ; 90,6 ; 91,3
d.) 100,0 ; 90,6 ; 91,3 ; 86,4
e.) 100,0 ; 90,8 ; 92,3 ; 86,4
Para efeito das questões de nº 23 e 24, considere os
seguintes dados:
QUANTIDADES E PREÇOS PRATICADOS DE DOIS
ARTIGOS NO PERÍODO 1993 A 1995
ANOS
Quantidades (1000t)
Preços (R$/t)
Artigos 1993 1994 1995 1993 1994 1995
A1
12
13
14
58
81
109
A2
20
25
27
84
120
164
23.) (AFTN/96) Marque a opção que representa os
índices de Laspeyres de preços, no período de 1993 a
1995 tomando por base o ano de 1993:
a.) 100,0; 141,2; 192,5
b.) 100,0; 141,4; 192,8
c.) 100;0; 141,9; 193,1
d.) 100,0; 142,3; 193,3
e.) 100,0; 142,8; 193,7
24.) (AFTN/96) Marque a opção que representa os
índices de Paasche de preços, no período de 1993 a
1995 tomando por base o ano de 1993:
a.) 100,0; 141,3; 192,3
b.) 100,0; 141,6; 192,5
c.) 100;0; 141,8; 192.7
d.) 100,0; 142,0; 193,3
e.) 100,0; 142,4; 193,6
25.) (AFTN/98) A tabela abaixo apresenta a evolução de
preços e quantidades de cinco produtos
Ano
1960 (ano base)
1970
1979
Preço (po) . Quant. (qo)
Preço (p1)
Preço (p2)
Produto A
6,5.53
11,2
29,3
Produto B
12,2.169
15,3
47,2
Produto C
7,9.27
22,7
42,6
Produto D
4,0.55
4,9
21,0
Produto E
Totais
15,7.393
26,2
64,7
Σ(po.qo) = 9009,7
Σ(p1.qo) = 14358,3
Σ(p2.qo) = 37262,0
Assinale a opção que corresponde aproximadamente ao
índice de Laspeyres para 1979 com base em 1960.
a.) 415,1
b.) 413,6
c.) 398,6
d.) 414,4
e.) 416,6
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26.) (AFTN/98) A tabela seguinte dá a evolução de um
índice de preço calculado com base no ano de 1984.
Ano
Índice
1981
75
1982
88
1983
92
1984
100
1985
110
1986
122
No contexto da mudança de base do índice para 1981
assinale a opção correta.
a.) Basta dividir a série de preços pela média entre 0,75 e
1,00.
b.) Basta a divisão por 0,75 para se obter a série de
preços na nova base.
c.) Basta multiplicar a série por 0,75 para se obter a série
de preços na nova base.
d.) O ajuste da base depende do método utilizado na
construção da série de preços, mas a divisão por 0,75
produz uma aproximação satisfatória.
e.) Basta multiplicar a série de preços pela média entre
0,75 e 1,00.
27.) (AFTN/94) Assinale a alternativa correta.
a.) Nos índices de preços de Laspeyres, as quantidades
dos bens, e os seus respectivos preços, variam a cada
período de tempo.
b.) Os índices de Paasche satisfazem à prova de
reversão de fatores, isto é, o produto dos índices e de
quantidades coincide com os índices de valor, em cada
período de tempo.
c.) Os índices de preços e de quantidades de Laspeyres
são índices relativos ponderados, mas os de Paasche
não o são.
d.) Não se pode proceder à junção de duas séries de
índices de base fixa quando eles são referenciados a
bases distintas.
e.) O índice de preços de Paasche referencia o valor da
produção, em cada período de tempo, ao valor que esta
produção teria na base.
28.) (AFRF/01) Uma empresa produz e comercializa
um determinado bem X. A empresa quer aumentar em
60% seu faturamento com X. Pretende atingir este
objetivo aumentando o preço do produto e a quantidade
produzida em 20%. Supondo que o mercado absorva o
aumento de oferta e eventuais acréscimos de preço, qual
seria o aumento de preço necessário para que a firma
obtenha o aumento de faturamento desejado?
a.) 25,3 %
b.) 20,5 %
c.) 33,3 %
d.) 40,0 %
e.) 35,6 %
29.) (AFRF/01) Um índice de preços com a propriedade
circular, calculado anualmente, apresenta a seqüência de
acréscimos δ1 = 3 %, δ2 = 2% e δ3 = 2 %, medidos
relativamente ao ano anterior, a partir do ano to . Assinale
a opção que corresponde ao aumento de preço do
período to+2 em relação ao período to–1.
a.) 7,00 %
b.) 6,08 %
c.) 7,16 %
d.) 9,00 %
e.) 6,11 %
Estatística
31.) (AFRF/02 - setembro) No tempo t0+2 o preço médio
de um bem é 30% maior do que em t0+1, 20% menor do
que em t0 e 40% maior do que em t0+3. Assinale a opção
que dá o relativo de preços do bem em t0+3 com base em
t0+1.
a.) 162,5%
b.) 130,0%
c.) 120,0%
d.) 092,9%
e.) 156,0%
32.) (AFRF/03) Dadas as três séries de índices de preços
abaixo, assinale a opção correta.
Ano
1999
2000
2001
2002
S1
50
75
100
150
S2
75
100
125
175
S3
100
150
200
300
a) As três séries mostram a mesma evolução de preços.
b) A série S2 mostra evolução de preços distinta das
séries S1 e S3.
c) A série S3 mostra evolução de preços distinta das
séries S1 e S2.
d) A série S1 mostra evolução de preços distinta das
séries S2 e S3.
e) As três séries não podem ser comparadas pois têm
períodos-base distintos.
33.) (AFRF/05) Considerando-se os dados sobre os
preços e as quantidades vendidas de dois produtos em
dois anos consecutivos, assinale a opção correta.
Ano
1
2
Produto 1
P11
Q11
40
6
60
2
Produto 2
P21
Q21
40
2
20
6
a) O índice de Laspeyres indica um aumento de 50% no
nível de preços dos dois produtos, enquanto o índice de
Paasche indica uma redução de 50%.
b) Os fatores de ponderação no cálculo do índice de
Laspeyres são 80 para o preço relativo do produto 1 e
240 para o preço relativo do produto 2.
c) O índice de Laspeyres indica um aumento de 25% no
nível de preços dos dois produtos, enquanto o índice de
Paasche indica uma redução de 75%.
d) Os fatores de ponderação no cálculo do índice de
Paasche são 240 para o preço relativo do produto 1 e 80
para o preço relativo do produto 2.
e) O índice de Laspeyres indica um aumento de 25% no
nível de preços dos dois produtos, enquanto o índice de
Paasche indica uma redução de 25%.
30.) (AFRF/02 - abril) A inflação de uma economia, em
um período de tempo t, medida por um índice geral de
preços, foi de 30%. Assinale a opção que dá a
desvalorização da moeda dessa economia no mesmo
período.
a.) 30,00%
b.) 23,08%
c.) 40,10%
d.) 35,30%
e.) 25,00%
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Turma AFRF 2008
Prof. Sérgio Altenfelder
Estatística
34.) (TRF/06) A tabela apresenta os preços (P) e
quantidades (Q) referentes a três diferentes bens para os
anos 2003 e 2004:
2003
Ano
A
B
C
P
4
2
6
2004
Q
a
b
c
P
6
3
9
Q
3a
3b
3c
onde “a”, “b” e “c” são números diferentes de zero,
positivos e não necessariamente diferentes entre si. O
cálculo dos índices de preços de Laspeyres e de
Paasche para o ano de 2004, tendo o ano de 2003 como
base, indica que a taxa média percentual de variação dos
preços de 2003 para 2004, para o conjunto dos três bens,
é igual a
a) 50% segundo Laspeyres; 100% segundo Paasche.
b) 50% segundo Laspeyres; 50% segundo Paasche.
c) 150/(a+b+c)% segundo Laspeyres;
300/(3a+3b+3c)%segundo Paasche.
d) 300% segundo Laspeyres; 150% segundo Paasche.
e) 150/(3a+3b+3c)% segundo Laspeyres;
300/(3a+3b+3c)% segundo Paasche.
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B
A
E
A
B
C
B
C
C
C
A
C
C
C
D
E
A
C
B
E
D
A
C
D
B
D
E
C
C
B
D
B
E
B
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