CENTRO EDUCACIONAL UNIÃO DOS PROFESSORES
NOÇÕES DE
ESTATÍSTICA
PARA O ENEM
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
(MÉDIA – MEDIANA – MODA)
PROFESSOR MARCELO RENATO M. BAPTISTA
AGOSTO/2012
CENTRO EDUCACIONAL UNIÃO DOS PROFESSORES
Observação-2:
ESTATÍSTICA PARA O ENEM
Medidas de Tendência Central
A principal desvantagem da Média Aritmética é que ela é
afetada por valores extremamente grandes ou
extremamente pequenos (em relação aos demais
elementos do conjunto). Por isso, a média nem sempre é
a medida de localização central mais significativa. Essa
desvantagem pode tornar-se séria, se estivermos
lidando com pequenos conjuntos de números.
Exemplo: A Média Aritmética Simples dos elementos do
conjunto X  { 1;1; 2; 2; 2; 3 ; 3 ; 50 } .
Professor Marcelo Renato M Baptista
1. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
As medidas de tendência central são assim chamadas
por indicarem um ponto em torno do qual se concentram
os dados. Este ponto tende a ser o centro da distribuição
dos dados, ou o “centro de gravidade” dos dados.
Para resumir a quantidade de informação contida em um
conjunto de dados, os estatísticos definem medidas que
descrevem, através de um só número, as características
dos mesmos. Algumas dessas medidas descrevem a
tendência central, isto é, a tendência que os dados têm
de se agrupar em torno de certos valores. Dentre as
Medidas de Tendência Central, destacamos:
Média
Mediana
x
1 ( 2 )  2  ( 3 )  3  ( 2 )  50  ( 1)

232 1
x 8
b) MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA ( x p )
Na Estatística surgem muitas situações em que se
deseja levar em conta a importância relativa de
diferentes quantidades ao se calcular uma média.
Moda
Seja x1 ,x2 ,... xn um conjunto de números e p1,p2, ... pn
um segundo conjunto de números denominados pesos.
Define-se a média ponderada como:
1.1. MÉDIAS
Para um conjunto de dados numéricos, a Média é o
número capaz de representar todo o conjunto em
operações matemáticas e possibilitar a obtenção de
resultados satisfatórios. Estudaremos, em nossas aulas
de Noções de Estatística o ENEM, a Média Aritmética
Simples e a Média Aritmética Ponderada.
x  ( p1)  x 2  ( p 2 )    x n  ( pn )
xp  1
p1  p 2    pn
Exemplo: As notas, em Cálculo II, obtidas pelo aluno
Raiworld Feyssibuki (RAI-MUNDO, quando estudante
do Curso de Arquitetura na UFES) encontram-se
apresentadas no quadro abaixo, no qual também são
informados os pesos das provas I e II:
a) MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ( x )
A média aritmética simples é a idéia que ocorre à
maioria das pessoas quando se fala em “média”. E como
ela
possui
certas
propriedades
matemáticas
convenientes, é a mais importante das três medidas de
tendência central (de posição) que estudaremos.
Avaliação
Nota
Peso
Prova I
8
4
Prova II
6
6
A média aritmética simples ( x ) de um conjunto de
A média final “MF” alcançada por Raiworld Feyssibucki
8( 4)  6 (6)
68
 MF 
 MF  6,8 .
foi: MF 
46
10
Observação-3: A Média Aritmética Simples para dados
agrupados (exemplo apresentado na Observação-1 no
índice “a” anterior) é um caso especial da Média
Aritmética Ponderada, em que todos os pesos são iguais
a 1 (um).
dados X  { x1; x 2 ; x 3 ;  ; xn } é a soma dos mesmos
dividida pela respectiva quantidade.
x  x 2  x 3    xn
x 1
n
Exemplo: Calcule a média dos dados: A = { 0; 2; 4; 6; 8 }.
02468
 x 4
5
Observação-1: É comum, no cálculo da média aritmética
simples, depararmos com casos em que os dados
apresentam repetições (frequências diferentes de 1).
Exemplo: Seja o conjunto “X” de dados abaixo.
x
Exemplos Resolvidos (Cálculo de Médias):
1) (Vunesp adaptada) Numa certa empresa, os
funcionários desenvolvem uma jornada de trabalho, em
termos de horas diárias trabalhadas, de acordo com o
gráfico. Em média, quantas horas eles trabalham por dia
durante uma semana?
X  { 1;1;1;1; 2; 2; 2; 6 } , determine a média aritmética dos
seus elementos.
1 ( 4 )  2  ( 3 )  6  ( 1)
 x 2
Resolução: x 
4  3 1
Percebe-se claramente que se trata de um cálculo
envolvendo Média Aritmética Simples, entretanto,
otimizada com a utilização das frequências dos
respectivos dados, ou seja:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
x  ( f )  x 2  ( f 2 )  x 3  ( f3 )
x 1 1
f1  f2  f3
Resolução:
Maneira específica para o cálculo da Média Aritmética
Simples envolvendo dados agrupados (em frequências).
x
Alternativa E.
1
8  7  10  11 4

5
x  8h
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2) (PUC-SP) A média aritmética de 100 números é igual
a 40,19. Retirando-se um desses números, a média
aritmética dos 99 números restantes passará a ser
40,5. O número retirado equivale a.
Logo, MS 
MS 
a) 9,5 % b) 75 % c) 95 % d) 765 % e) 950 %
Resolução:
( x1  x 2  x 3    x 99 )  x100
 40,19 ... ( 1 )
100
Retirando-se o número " x100 " , teremos:
8  (3)  9  (3)  9,6  ( 4)
33  4
89,4
 MS  8,94 (Resposta)
10
Observação-4:
MÉDIA ARITMÉTICA ENVOLVENDO CLASSES
(intervalos) de VALORES (como calculá-la?)
5) (UFPI 2003–USPI-III) O histograma abaixo apresenta
as alturas de 30 atletas de uma equipe de futebol.
( x1  x 2  x 3    x 99 )
 40,5 ................ ( 2 )
99
Em ( 2 ): ( x1  x 2  x 3    x 99 )  4.009,5  ( 1 )
( 4 009,5)  x100
 40,19
100
9,5  100 950
x100 

 x100  950%
1  100 100
Alternativa E
3) (UFCG–PB 2007) Um jogador de basquete participou
de 60 partidas e obteve uma média de 8 pontos por
partida. Sabendo-se que tais partidas foram
realizadas durante duas temporadas e que na
primeira temporada a média de pontos foi de 10
pontos e na segunda foi de 4 pontos, a quantidade de
partidas jogadas na primeira temporada foi:
a) 15
b) 40
c) 20
d) 10
e) 8
Em ( 1 ):
Com estes dados, podemos concluir que a média das
alturas dos atletas é aproximadamente:
a) 1,58
P1
n1
P2
n2
60
d) 1,81
e) 1,92
No histograma apresentado no enunciado verificamos os
intervalos (classes) e calculamos os Pontos Médios:
Ponto
Médio da
Alturas (m)
Frequência
Classe
3
1,55
1,50  1,60
n1 = nº de partidas da 1ª temporada
n2 = nº de partidas da 2ª temporada
P1 = nº de pontos da 1ª temporada
P2 = nº de pontos da 2ª temporada
P1  P2
c) 1,74
Resolução:
Resolução:
n1  n 2  60 ...... ( 1) e
b) 1,65
 8 ...... ( 2 )
 10  P1  10 n1 .....( 3 )
 4  P2  4 n 2 .....( 4 )
1,60  1,70
1,65
8
1,70  1,80
1,75
10
1,80  1,90
1,85
6
1,90  2,00
1,95
3
Os Pontos Médios de cada Classe serão utilizados no
cálculo da média (Dados Agrupados em Classes):
Substituindo (3) e (4) em (2), temos:

 10 n1  4 n 2  480
 n1  40 Alternativa B.


 n1  n 2  60
4) (UNIVILA-W.Torezani) Em uma faculdade a média
semestral de cada disciplina é calculada considerando
as duas médias bimestrais com peso 3 cada uma é um
exame final com peso 4. Se um aluno obtém 8,0 no 1º
bimestre; 9,0 no 2º bimestre e 9,6 no exame final de
Estatística, qual será a sua média semestral (MS) em
Estatística?
Resolução: O cálculo da média aritmética deve levar
em conta os pesos desiguais das notas. Assim, para
esse aluno temos:
x 
1,55  (3)  1,65  (8)  1,75  (10)  1,85  (3)  155  (3)
3  8  10  3  3
x  1,74 Alternativa C.
2
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4) (ESPM–SP 2009) O gráfico de barras mostra a
distribuição das notas de uma classe na prova de
Matemática.
TESTES
1) (UERJ adaptada) O gráfico a seguir representa o
número de pacientes atendidos mês a mês, em um
ambulatório, durante o período de 6 meses de
determinado ano.
Podemos afirmar que a média aritmética dessas notas
foi:
a) 7,5. b) 7,6. c) 7,7. d) 7,8. e) 7,9.
5) (FGV-RJ 2011) O gráfico abaixo apresenta os lucros
anuais (em milhões de reais) em 2008 e 2009 de três
empresas A, B e C de um mesmo setor.
O número total de pacientes atendidos durante o
semestre e a média mensal de pacientes atendidos no
período considerado são, respectivamente:
a) 250 e 50 b) 300 e 60 c) 300 e 50 d) 350 e 50
e) 350 e 60
2) (PUCCamp–SP) “Nas principais concentrações
urbanas do país, trabalhadores de baixa renda
percorrem grandes distâncias a pé. Outros pedalam
muitos quilômetros para usar uma condução a menos,
deixando a bicicleta em estacionamentos próprios.”
A tabela abaixo mostra os resultados de uma pesquisa
sobre a faixa salarial dos funcionários de uma empresa
que usam a bicicleta para ir ao trabalho.
Faixa Salarial em Reais
350  450
450  550
550  650
650  750
750  850
850  950
TOTAL
A média aritmética dos crescimentos percentuais dos
lucros entre 2008 e 2009 das três empresas foi de
aproximadamente:
Número de
Funcionários
380
260
200
180
120
60
1200
a) 8,1%
b) 8,5%
c) 8,9%
d) 9,3%
e) 9,7%
6) (Mack–SP 2006) A média aritmética de n números
positivos é 7. Retirando-se do conjunto desses números
o número 5, a média aritmética dos números que restam
passa a ser 8. O valor de n é
O salário médio desses trabalhadores é:
a) 2
b) 3
c) 5
d) 6
e) 9
a) R$ 400,00
b) R$ 425,00
c) R$ 480,00
d) R$ 521,00
e) R$ 565,00
7) (UFMG 2006) Os 40 alunos de uma turma fizeram
uma prova de Matemática valendo 100 pontos. A nota
média da turma foi de 70 pontos e apenas 15 dos alunos
conseguiram a nota máxima. Seja M a nota média dos
alunos que não obtiveram a nota máxima. Então, é
CORRETO afirmar que o valor de M é:
3) (Mack-SP 2003) A média das notas de todos os
alunos de uma turma é 5,8. Se a média dos rapazes é
6,3 e a das moças é 4,3, a porcentagem de rapazes na
turma é:
a) 60 % b) 65 % c) 70 % d) 75 % e) 80 %
a) 53.
3
b) 50.
c) 51.
d) 52.
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8) (FGV-SP adaptada) Numa pequena ilha, há 100
pessoas que trabalham na única empresa ali existente.
Seus salários (em moeda local) têm a seguinte
distribuição de frequências (vide tabela):
11) (UEG-GO 2006 adaptada) A média de idade dos 11
jogadores titulares da atual seleção brasileira é de 29
anos. Se um dos jogadores que tem 36 anos de idade se
contundir e for substituído por outro de 24, a média será
alterada. No caso de ocorrer essa hipótese, qual seria a
nova média de idade dos jogadores da seleção
brasileira?
A média dos salários das 100 pessoas é igual a:
a) $ 75,00
b) $ 80,00
c) $ 85.00
d) $ 90,00
e) $ 95,00
Salários
$ 50,00
$ 100,00
$ 150,00
Frequência
30
60
10
a) 26,7 anos
b) 27,9 anos
c) 28,5 anos
d) 28,0 anos
e) 29,7 anos
9) (ENEM 2010 Cancelado) Considere que as médias
finais dos alunos de um curso foram representadas no
gráfico a seguir.
12) (UFMG) No início de uma partida de futebol, a altura
média dos 11 jogadores de um dos times era 1,72 m.
Ainda no primeiro tempo, um desses jogadores, com
1,77 m de altura, foi substituído. Em seu lugar, entrou
um outro que media 1,68 m de altura. No segundo
tempo, outro jogador do mesmo time, com 1,73 m de
altura, foi expulso. Ao terminar a partida, a altura média
dos 10 jogadores desse time era:
a) 1,69 m
b) 1,70 m
c) 1,71 m
d) 1,72 m
13) (UP 2012) Numa avaliação de Geometria, aplicada
numa turma da 2ª série do Ensino Médio do Centro
Educacional UP-JC (Jardim Camburi), 60% dos alunos
eram do sexo feminino e obtiveram, em média, 70
pontos na prova. Sabe-se que a média geral dos
candidatos (meninos e meninas) naquela prova foi de 64
pontos. Qual foi a média de pontos dos meninos na
mesma prova?
Sabendo que a média para aprovação nesse curso era
maior ou igual a 6,0, qual foi a porcentagem de alunos
aprovados?
a) 18%
b) 21%
c) 36%
d) 50%
e) 72%
a) 55
b) 35
c) 64
d) 60
e) 68
10) (UFG GO/2008) De acordo com diagnóstico do
Banco Central a respeito de meios de pagamento de
varejo no Brasil, no ano de 2006, constata-se que 24%
dos pagamentos foram feitos com cheque e 46%, com
cartão. O valor médio desses pagamentos foi de
R$ 623,00 para os cheques e de R$ 65,00 para os
cartões. O valor médio, quando se consideram todos
os pagamentos efetuados com cheque e cartão, é,
aproximadamente,
14) (UFCG–PB 2008) Em um concurso, dois candidatos
participaram de duas etapas, consistindo de uma prova
escrita e de uma prova didática. Pelas normas do
concurso, os candidatos foram identificados pelas letras
A e B. Suas notas, em cada etapa do concurso,
aparecem na tabela abaixo:
NOTA DA
NOTA DA
NOTA
CANDIDATO
PROVA
PROVA
FINAL
ESCRITA
DIDÁTICA
a) R$ 179,00.
b) R$ 240,00.
c) R$ 256,00.
d) R$ 302,00.
e) R$ 344,00.
A
8,0
6,0
7,6
B
7,0
7,0
7,0
Sabendo-se que a nota final é a média ponderada das
notas em cada uma das duas etapas e que a soma dos
pesos das duas é 10, os pesos das provas escrita e
didática são, respectivamente:
a) 6 e 4
4
b) 5 e 5
c) 7 e 3
d) 8 e 2
e) 4 e 8
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1.2. MODA e MEDIANA
15) (Vunesp 2009) Durante o ano letivo, um professor de
matemática aplicou cinco provas para seus alunos. A
tabela apresenta as notas obtidas por um determinado
aluno em quatro das cinco provas realizadas e os pesos
estabelecidos pelo professor para cada prova.
PROVA
I
II
III
IV
V
NOTA
6,5
7,3
7,5
?
6,2
PESO
1
2
3
2
2
a) MODA (Mo)
A moda é o valor que ocorre com maior frequência num
conjunto de dados. Uma distribuição de frequências
pode ser AMODAL (não há moda), UNIMODAL ou
MODAL (uma única moda), BIMODAL (duas modas) ou
MULTIMODAL (três ou mais modas).
Exemplos:
Se o aluno foi aprovado com média final ponderada igual
a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota obtida por
esse aluno na prova IV foi:
a) 9,0
b) 8,5
c) 8,3
d) 8,0
ROL
2 / 3 / 4 / 5 / 6 / 7 / 8 / 9 (*)
2/3/3/3/3/5/5/6
2/3/3/3/4/5/5/5
e) 7,5
Mo
–
3
3e5
A moda funciona como medida descritiva quando se
trata de contar dados. Essa medida não se presta a
manipulações matemáticas.
16) (PUC-SP) O histograma a seguir apresenta a
distribuição de frequência das faixas salariais numa
pequena empresa:
De um ponto de vista puramente descritivo, a moda
indica o valor “típico” em termos de maior ocorrência.
Além disso, se as frequências são razoavelmente
uniformes, a moda perde muito de sua importância como
medida descritiva. Por outro lado, a utilidade da moda se
acentua quando um ou dois valores, ou um grupo de
valores, ocorre com muito mais frequência que os
outros. Quando há perda de informação, a moda se
refere a uma “classe modal”, e não a um valor único. Ela
mostra a tendência central dos dados identificando a
área em que os dados estão mais concentrados.
Finalmente, a moda também pode ser usada para
descrever dados qualitativos. Como, nesse caso, a
moda é a categoria que ocorre com maior frequência,
ela mostra a categoria que mais concentra dados.
Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a
média desses salários é, aproximadamente:
Exemplo:
a) R$ 420,00.
b) R$ 536,00.
c) R$ 562,00.
d) R$ 640,00.
e) R$ 708,00.
O site de Veja na
Internet perguntou
que gastos as
pessoas cortam
devido à crise
econômica. Qual é
a moda?
A moda foi não cortar gastos, o que não significa que
seja esse o comportamento da população em geral.
17) (UFCG–PB 2006) Após corrigir uma prova de
Álgebra, o professor constatou que todas as notas foram
superiores a 4,0 e apresentaram a seguinte distribuição:
Notas
 5,0
 6,0
 7,0
 8,0
 9,0
 10,0
%
16%
48%
56%
72%
94%
100%
TESTES
18) (UFU-MG 2006) As 10 medidas colhidas por um
cientista num determinado experimento, todas na
mesma unidade, foram as seguintes:
1,2 – 1,2 – 1,4 – 1,5 – 1,5 – 2,0 – 2,0 – 2,0 – 2,0 – 2,2
Analisando a distribuição acima, pode-se afirmar que a
média das notas foi
Ao trabalhar na análise estatística dos dados, o cientista
esqueceu-se, por descuido, de considerar uma dessas
medidas. Dessa forma, comparando os resultados
obtidos pelo cientista em sua análise estatística com os
resultados corretos para esta amostra, podemos afirmar
que:
a) 6,26
b) 6,58
c) 6,62
d) 6,70
e) 6,64
a) a moda e a média foram afetadas.
b) a moda não foi afetada, mas a média foi.
c) a moda foi afetada, mas a média não foi.
d) a moda e a média não foram afetadas.
5
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b) MEDIANA (Md)
19) (CESP 2006) No livro de registros de visitação de
uma exposição, o expositor observou que 87 pessoas
assinaram no primeiro dia, 120, no segundo dia, 96, no
terceiro dia, 143, no quarto dia, 100, no quinto dia, 96,
no sexto dia e 135, no sétimo dia. O gráfico de barras
abaixo mostra essa distribuição.
Outra medida de tendência central de um conjunto de
números é a Mediana. Ela é o valor que ocupa a posição
central do conjunto dos dados ordenados (no ROL).
Da definição de mediana, segue-se que sua
característica principal é dividir um conjunto ordenado de
dados em dois grupos iguais; a metade terá valores
inferiores à mediana, a outra metade terá valores
superiores à mediana.
I. MEDIANA para uma quantidade ímpar de dados
Exemplo: ROL: 3 / 3 / 4 / 5 / 6 / 6 / 7 / 7 /8 
Md  6
Exemplo: (ENEM - 2009) Na tabela, são apresentados
dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido
no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30
dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e
2008.
Mês
Cotação
Ano
Outubro
R$ 83,00
2007
Novembro
R$ 73,10
2007
Dezembro
R$ 81,60
2007
Janeiro
R$ 82,00
2008
Fevereiro
R$ 85,30
2008
Março
R$ 84,00
2008
Abril
R$ 84,60
2008
No período considerado, a média aritmética e a moda
dos números de registros das assinaturas são,
respectivamente, iguais a
a) 110 e 143.
b) 111 e 96.
c) 112 e 87.
d) 113 e 96.
e) 114 e 98.
De acordo com esses dados, o valor da mediana das
cotações mensais do ovo extra branco nesse período
era igual a
20) (UP 2012) Numa das turmas de 2º ano do Ensino
Médio do UP, o professor Favalessa registrou as notas
obtidas em uma das avaliações, conforme apresentado
no gráfico abaixo.
a) R$ 73,10. b) R$ 81,50. c) R$ 82,00. d) R$ 83,00.
e) R$ 85,30.
Considerando:
Resolução: Primeiramente temos que organizar o
“n” o número de alunos da turma em questão;
" x " a média das notas da turma e
Como a quantidade de dados é ímpar, Md  83
ROL
ROL: 73 / 81,6 / 82 / 83 / 84 / 84,6 / 85,3
" Mo " a respectiva moda das notas.
II. MEDIANA para uma quantidade par de dados
Qual o valor encontrado para a soma ( n  x  Mo ) ?
Exemplo:
56
 Md  5,5
2
Exemplo: (FGV–SP 2007) Quatro amigos calcularam a
média e a mediana de suas alturas, tendo encontrado
como resultado 1,72 m e 1,70 m, respectivamente. A
média entre as alturas do mais alto e do mais baixo, em
metros, é igual a
ROL: 3 / 4 / 5 / 6 / 6 / 7  Md 
a) 1,70.
b) 1,71.
Resolução:
c) 1,72.
e) 1,74.
alturas, em
A D
?
crescente, por A, B, C e D, teremos:
2
Média: x 
Considerando
d) 1,73.
as
ordem
A BCD
A BCD

 1,72
4
4
Assim: A + ( B + C ) + D = 6,88 ...... ( 1 )
a) 79
b) 78
c) 77
d) 76
e) 75
Mediana:
BC
 1,70 
2
B + C = 3,40 ...... ( 2 )
( 2 )  ( 1 ) : A + ( 3,40 ) + D = 6,88  A  D  3,48
Por conseguinte:
6
A D
 1,74 Alternativa E.
2
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22) (IBEMEC – SP) Chama-se mediana de um conjunto
de 50 dados ordenados em ordem crescente o número x
dado pela média aritmética entre os 25º e o 26º dado.
Observe no gráfico a seguir uma representação para as
notas de 50 alunos do primeiro semestre de Ciências
Econômicas numa determinada prova.
III. MEDIANA para dados agrupados
Exemplo:
Uma equipe de futebol
realizou um levantamento
das massas dos seus 40
atletas
e
chegou
à
distribuição de frequências
dada pela tabela a seguir:
Com base nesses dados,
pode-se afirmar que o valor
da MEDIANA das massas
é igual a:
a) 75
d) 73
b) 72
e) 70
c) 74
Massa
(Kg)
Frequência
60  64
2
64  68
5
68  72
10
72  76
12
76  80
6
80  84
3
84  88
2
Total
40
Resolução:
1º passo: encontrar a “Classe” que contenha o “Valor
Central” da variável analisada (Massa).
A mediana das notas dos 50 alunos de Ciências
Econômicas nesta prova é igual a
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
e) 7.
Como, neste exemplo, há 40 dados (total de atletas),
precisamos verificar em qual “intervalo de massas”
encontra-se o “Valor Central” (MEDIANA), ou seja,
23) (ENEM 2010) O quadro seguinte mostra o
desempenho de um time de futebol no último
campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de
gols marcados e a coluna da direita informa em quantos
jogos o time marcou aquele número de gols.
Se X, Y e Z são,
Gols
Quantidade
respectivamente, a média,
marcados
de partidas
a mediana e a moda desta
0
5
distribuição, então
1
3
a) X = Y < Z.
2
4
b) Z < X = Y.
3
3
c) Y < Z < X.
4
2
d) Z < X < Y.
5
2
e) Z < Y < X.
7
1
2º passo: encontrada a “Classe” que contenha o “Valor
Central” (MEDIANA): 72  76, com frequência 12,
devemos proceder com os cálculos da seguinte forma:
Md  72 76  72

3
12
Md  72  1
Md  73
TESTES
21) (UNEB) Em um curso de inglês, as notas atribuídas
variam de 0 a 5. A tabela abaixo mostra a distribuição
das notas da avaliação de uma turma de 20 alunos.
Notas
0
1
2
3
4
5
Frequência
1
2
2
8
3
4
24) (ENEM 2010 CANCELADO) Depois de jogar um
dado em forma de cubo e de faces numeradas de 1 a 6,
por 10 vezes consecutivas, e anotar o número obtido em
cada jogada, construía-se a seguinte tabela de
distribuição de frequências. A média, mediana e moda
dessa distribuição de frequências são respectivamente:
a) 3, 2 e 1
Número
Frequência
b) 3, 3 e 1
obtido
c) 3, 4 e 2
1
4
d) 5, 4 e 2
2
1
e) 6, 2 e 4
4
2
5
2
6
1
Com base nessas informações, pode-se afirmar:
a) A média aritmética das notas é menor que a mediana.
b) A média aritmética das notas é igual à moda.
c) A média aritmética das notas é maior que a moda.
d) A média das notas é maior que a mediana.
e) A mediana das notas é igual à média aritmética.
7
CENTRO EDUCACIONAL UNIÃO DOS PROFESSORES
25) (ENEM 2010) O gráfico apresenta a quantidade de
gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo
desde a Copa de 1930 até a de 2006.
Aracaju
Fernando de Noronha
Fortaleza
João Pessoa
Maceió
Natal
Recife
Salvador
São Luís
Teresina
27 ºC
30 ºC
31 ºC
30 ºC
27 ºC
30 ºC
30 ºC
26 ºC
32 ºC
32 ºC
A partir dos dados apresentados, qual a mediana das
quantidades de gols marcados pelos artilheiros das
Copas do Mundo?
a) 6 gols
b) 6,5 gols
c) 7 gols
d) 7,3 gols
e) 8,5 gols
Com base nessas informações, pode-se afirmar:
a) A média aritmética das temperaturas indicadas no
quadro corresponde a 30 ºC.
b) A frequência relativa da temperatura de 31 ºC é igual
a 20%.
c) A mediana das temperaturas registradas é igual à
temperatura modal.
d) A temperatura modal é 32 ºC.
e) Representando-se a frequência relativa por meio de
um gráfico de setores, a região correspondente à
temperatura de 27 ºC tem ângulo de 36º.
26) (UFU) Uma empresa seleciona 16 funcionários
fumantes e promove um ciclo de palestras com os
mesmos para esclarecimentos sobre os efeitos
prejudiciais do cigarro à saúde. Após essas palestras,
são coletados dados sobre a quantidade de cigarros que
cada um desses fumantes está consumindo diariamente.
Tais dados são expressos da seguinte maneira:
10
1
10
11
13
10
34
13
13
12
12
11
13
11
12
12
28) (FGV-SP 2011) A tabela indica a frequência de
distribuição das correspondências, por apartamento,
entregues em um edifício na segunda-feira.
NÚMERO DE
QUANTIDADE DE
CORRESPONDÊNCIAS
APARTAMENTOS
Os dados 1 e 34 são chamados discrepantes, pois são
dados muito menores ou muito maiores que a maioria
dos dados obtidos. Segundo esta coleta de dados, podese afirmar que
0
1
3
4
5
6
7
a) os cálculos da média, da mediana e da moda não
sofrem influência dos dados discrepantes.
b) o cálculo da mediana sofre influência dos dados
discrepantes que surgiram.
c) o cálculo da moda sofre influência dos dados
discrepantes que surgiram.
d) o cálculo da média sofre influência dos dados
discrepantes que surgiram.
4
6
5
6
1
2
1
A mediana dos dados apresentados supera a média de
correspondências por apartamento em
27) (UFBA modificada) De acordo com o Boletim do
Serviço de Meteorologia de 07 de junho de 2000, o
quadro abaixo apresenta a temperatura máxima, em
graus Celsius, registrada em Fernando de Noronha e
nas capitais da Região Nordeste do Brasil e respectivo
histograma.
a) 0,20.
b) 0,24.
c) 0,36.
d) 0,72.
e) 1,24.
8
CENTRO EDUCACIONAL UNIÃO DOS PROFESSORES
29) (UFJF) Um professor de matemática elaborou,
através do computador, um histograma das notas
obtidas pela turma em uma prova cujo valor era 5
pontos. Entretanto, o histograma ficou incompleto, pois
este professor esqueceu-se de fornecer o número de
alunos que obtiveram notas iguais a 2, 4 ou 5. Veja a
ilustração a seguir.
INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES
Total de alunos que fizeram a prova: 40
Média aritmética das notas: 2,6
Mediana das notas: 2,5
A moda dessas notas é:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
GABARITO: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
30) (UP 2012) O professor Favalessa efetuou um
levantamento das alturas (em cm) dos 100 alunos da
escolinha de basquete-UP, cujo resultado está
apresentado na tabela de frequências abaixo.
1. C
2. E
3. D
4D
5. A
6. B
7. D
8. D
9. E
10. C
Podemos afirmar que (em cm), respectivamente, a
média e a mediana dos valores das alturas são iguais a:
(considerar valores inteiros mais próximos)
11. B
12. C
13. A
14. D
15. B
16. E
17. E
18. B
19. B
20. E
a) 175 e 170
b) 170 e 175
c) 175 e 185
d) 180 e 178
e) 185 e 180
21. C
22. D
23. E
24. B
25. B
26. D
27. C
28. B
29. D
30. D
Altura (cm)
Frequência
165
175
40
175
185
30
Bibliografia:
185
195
20
195
205
10
CURY, Marcus Vinicius Quintella, Estatística,1ª, Rio de
Janeiro: FGV Management – Cursos de Educação
Continuada, 2007.
Total de
alunos
DOWNING, D. e JEFFREY, C., Estatística Aplicada,
Rio de Janeiro, Saraiva, 1998.
100
TOREZANI, Walquiria, Estatística I, 2004. 59p. Notas
de Aula. Apostila.
9