Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Estatística
Aula 24
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Aula 24

Teste de Hipóteses para 3 ou mais médias:
ANOVA dois fatores
Inferência sobre 3 ou mais médias
Objetivo: dadas 3 ou mais amostras, verificar a
hipótese de igualdade de 3 ou mais médias
populacionais  mesmo objetivo de antes
Mas agora vamos verificar a influência não somente
de um fator, mas de 2 fatores  ANOVA de 2
fatores ou 2 critérios
Além de ser analisado se o nível de um determinado
fator (tratamento) afeta a igualdade ou não das
médias, será analisado se um dos fatores interfere
no outro ou interage com o outro  interação de
fatores
Inferência sobre 3 ou mais médias
O que significa interação entre fatores?
Um exemplo simples ...
Suponhamos que a tabela abaixo mostre um os
resultados de experimento com 2 fatores A e B, cada
um com 2 níveis (Aalto, Abaixo, Balto e Bbaixo). Vamos
analisar o que ocorre por causa da mudança de nível
do fator
Fator B
Fator A
Bbaixo Balto
Abaixo
10
20
Aalto
30
40
A variação na resposta por causa
dessa mudança chamaremos de
efeito principal do fator
Inferência sobre 3 ou mais médias
O que significa interação entre fatores?
Um exemplo simples ...
O efeito principal do fator A é a diferença entre a
resposta média no nível alto de A e resposta média
no nível baixo de A
A variação no fator A do
30  40 10  20
nível baixo para o nível
efeito A 

 20
alto faz a resposta média
2
2
aumentar de 20 unidades
Fator B
Fator A
Bbaixo Balto
Abaixo
10
20
Aalto
30
40
Fazendo o mesmo para B, a
resposta média tem um aumento
de 10 unidades
Inferência sobre 3 ou mais médias
O que significa interação entre fatores?
Um exemplo simples ...
Imaginemos agora que, no lugar do resultado 40 na
tabela, tenhamos obtido o resultado 0
Fator B
Fator A
Bbaixo Balto
Abaixo
10
20
Aalto
30
40
Fator B
Fator A
Bbaixo Balto
Abaixo
10
20
Aalto
30
0
Que tipo de interferência no resultado ocorre?
30  0 10  20
efeito A 

0
2
2
O efeito de A depende do
nível escolhido de B !
Inferência sobre 3 ou mais médias
O que significa interação entre fatores?
Um exemplo simples ...
O efeito que chamamos principal de A depende do
nível de B  ele é mascarado pela interação AB
Fator B
Fator A
Bbaixo Balto
Abaixo
10
20
Aalto
30
40
Fator B
Fator A
Bbaixo Balto
Abaixo
10
20
Aalto
30
0
Podemos estimar ou verificar a interação neste caso
simples de 2 formas: calculando o efeito AB ou por gráficos
Inferência sobre 3 ou mais médias
O que significa interação entre fatores?
Fator B
Fator A
Bbaixo Balto
Abaixo
10
20
Aalto
30
40
interação AB 
20  30 10  40

0
2
2
Fator B
Fator A
Bbaixo Balto
Abaixo
10
20
Aalto
30
0
interação AB 
20  30 10  0

 20
2
2
ANOVA de 2 fatores
Exemplo: Um engenheiro suspeita que o acabamento
de uma superfície de peças metálicas seja
influenciado pelo tipo de tinta usada e pelo tempo de
secagem. Ele selecionou três tempos de secagem (20,
25 e 30 minutos) e usou dois tipos de tinta. Três
peças são testadas com cada combinação de tipo de
tinta e tempo de secagem. Os dados são
apresentados a seguir:
ANOVA de 2 fatores
Fator B
Fator A
Quais são os fatores?
Usaremos a tabela ANOVA de 2 fatores,
verificando se há interação significativa e efeitos
médios dos fatores significativos
ANOVA de 2 fatores
Como é construída a tabela ANOVA?
ANOVA de 2 fatores
Como calcular as somas quadráticas?
Supondo 2 fatores: fator A com 2 (a = 2)
tratamentos e fator B com 3 tratamentos (b = 3)
Fator B
1
x111
x112
x211
x212
2
x121
x122
x221
x222
médias
xmc1
xmc2
3 médias totais
x131
xml1
xtl1
x132
x231
xml2
xtl2
x232
=
x
x
totais
xtc1
xtc2
xtc3
Fator A
1
2
mc3
xt
ANOVA de 2 fatores
Nomenclatura:
Célula  intersecção entre fatores (em nosso exemplo há uma
célula com os valores x111 e x112)
No de níveis do fator A  a = 2 (nosso exemplo)
No de níveis do fator B  b = 3 (nosso exemplo)
No de réplicas  n = 2 (nosso exemplo)
Observação da ij-ésima célula para a k-ésima réplica  xijk
ANOVA de 2 fatores
Nomenclatura:
SQA  SQ devido às linhas ou fator A
SQB  SQ devido às colunas ou fator B
SQAB  SQ devido à interação entre A e B
SQE  SQ devido ao erro
SQT = SQA + SQB + SQAB + SQE  SQ total
E então, como calcular as somas quadráticas?
Primeiro SQT
Depois SQA, SQB e SQAB
Depois
SQE = SQT - SQA - SQB – SQAB
E as fórmulas?
ANOVA de 2 fatores
Como calcular as somas quadráticas?
2
x
2
2
2
2
2
2
2
SQT  x111
 x112
 x121
 ...  x222
 x231
 x232
 x111
 t
abn
2
2
xtl1
 xtl2
xt2
SQA 

bn
abn
2
2
2
xtc1
 xtc2
 xtc3
xt2
SQB 

an
abn
SQE = SQT - SQA - SQB – SQAB
2
2
2
2
2
2
xtcel11
 xtcel12
 xtcel13
 xtcel21
 xtcel22
 xtcel23
xt2
SQAB 

 SQA  SQB
n
abn
xtcelij  total na célulaij
ANOVA de 2 fatores
ANOVA de 2 fatores
Quais os passos no teste de hipótese?
1) Testar a hipótese nula de que não há qualquer
interação entre os fatores
2) Se rejeitarmos H0 do passo 1  parar. Senão,
prosseguir e testar outras hipóteses  passo 3
3) Testar as hipóteses:
H0: não há qualquer efeito do fator linha (isto é, as
médias das linhas são iguais)
H0: não há qualquer efeito do fator coluna (isto é, as
médias das colunas são iguais)
Verificar primeiro isto
MQAB
MQE
MQAB 
SQAB
(a - 1)(b - 1)
SQE
MQE 
ab(n - 1)
ANOVA de 2 fatores
Quais os passos no teste de hipótese?
1
1
Aplicações
Exemplo: Um engenheiro suspeita que o acabamento
de uma superfície de peças metálicas seja
influenciado pelo tipo de tinta usada e pelo tempo de
secagem. Ele selecionou três tempos de secagem (20,
25 e 30 minutos) e usou dois tipos de tinta. Três
peças são testadas com cada combinação de tipo de
tinta e tempo de secagem. Os dados são
apresentados a seguir:
Aplicações
Tinta (A)
1
2
Total
Média
Tempo de Secagem (min) (B)
20
25
30
74
73
78
64 188 61 178 85 255
50
44
92
92
98
66
86 246 73 259 45 196
68
88
85
434
437
451
72,33
72,83
75,17
Tinta (A)
T. Sec. (B)
a=
b=
n=
N=
Total Média
621
69,00
701
77,89
1322
73,44
2
3
3
18
SQT  742  612  442  782  852  922  922  862  682  662 
2
1.322
 452  852 
 4.504,44
2 33
Aplicações
6212  7012 1.3222
SQA 

 355,56
33
2 33
4342  4372  4512 1.3222
SQB 

 27,44
2 3
2 33
1882  2462  1782  2592  2552  1962
SQAB 

3
1.3222

 355,56 27,44  1.878,78
2 33
SQE = 4.504,44 – 355,56 – 27,44 – 1.878,78 = 2.242,67
Aplicações
355,56
27,44
2-1 = 1
355,56/1 = 355,56
3-1 = 2
27,44/2 = 13,72
1,90
0,07
1.878,78
(2-1).(3-1) = 2
2.242,67
2.3.(3-1) = 12
4.504,44
2.3.3-1 = 17
1.878,78/2 =
=939,39
5,03
2.242,67/12 =
=186,89
Fc para AB = F0,05;2;12 = 4,7472  rejeita H0 passo 1  Parar,
pois há interação entre os fatores
Aplicações
Interação detectada graficamente
Tipo de Tinta
Tipo 1
Tipo 2
Tempo de secagem
20 min 25 min 30 min
62,67 59,33 85,00
82,00 86,33 65,33
Médias nas células
Aplicações
Uso do Statdisk
Aplicações
Uso do Statdisk
Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Estatística
Aula 24
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves