RM ANOVA
RM ANOVA é:
uma extensão do teste t(Student) de amostras
emparelhadas: paired t-test
Prof. Ivan Balducci
FOSJC / Unesp
A RM ANOVA é diferente da ANOVA
1 fator devido à unidade
experimental
Antes, na ANOVA 1 fator:
a unidade experimental recebia apenas um nível do fator
Agora, a unidade experimental recebe todos
os níveis do fator
RM ANOVA é:
uma extensão do teste t(Student) de amostras emparelhadas: paired t-test
A unidade experimental que recebe
todos os níveis do fator é
considerada um bloco
ANOVA de Medidas Repetidas
Um modo de controlar as diferenças entre sujeitos
é observando cada sujeito sob cada condição
experimental.
Quando medidas repetidas são obtidas de cada
respondente, esse delineamento é conhecido como
within-subjects design ou repeated measures
analysis of variance.
Decomposição da Variação Total
Independent Variable
Subject
Categories
No.
Between
People
Variation
=SSbetween
Total
Sample
…
X1
X2
X3
1
Y11
Y12
Y13
Y1c
Y1
2
Y21
:
:
Y22
Y23
Y2c
Y2
:
:
n
Yn1
Yn2
Yn3
Ync
YN
Y1
Y2
Y3
Yc
Y
people
Category
Mean
X
Xc
Within People Category Variation = SSwithin people
Total
Variation
=SSy
Exemplo Resolvido
• 8 sujeitos, cada sujeito é exposto a 3 tipos
de palavras: neutra, positiva, negativa.
• a variável resposta é o nº de palavras
memorizadas
• os tipos de palavras são mixed randomly
Três condições estão sendo comparadas
Exemplo numérico
Três condições estão sendo comparadas
O mesmo sujeito submetido às três condições que estão sendo comparadas
A RM ANOVA é diferente da ANOVA
1 fator devido à unidade
experimental
Antes, no experimento inteiramente casualizado (CRD),
- no usual método ANOVA 1 fatora unidade experimental recebia apenas um nível do fator
Agora, a unidade experimental recebe todos
os níveis do fator
A unidade experimental que recebe
todos os níveis do fator é
considerada um bloco
No modelo ANOVA 1 fator consideramos:
apenas o fator Tratamento ( e o resíduo evidentemente)
No modelo RM ANOVA consideramos o
fator bloco (ou sujeitos) além do fator
Tratamento ( e o resíduo evidentemente)
São modelos diferentes.
O RM ANOVA é mais preciso.
Porque a variância residual é menor no RM ANOVA, daí o valor de F é maior.
É maior o poder do teste no modelo RM ANOVA.
Portanto: a análise de variância 1 fator é uma análise
errada
Tabela ANOVA 1 fator
gl SQ
QM
F value
Pr(>F)
Condições
2
112.00
56.00
2.0206
0.1575 não significante
Resíduos
21
582.00
27.71
Para o modelo RM ANOVA vamos até o modelo ANOVA 1 fator.
Daí, vamos considerar o SQ resíduo da ANOVA 1 fator
que deve ser decomposto
O valor 582 = SQ resíduo da ANOVA 1 fator deve ser decomposto
582 = ....???...... + .....????.......
AVISO IMPORTANTE: Não se preocupe com esses números.
Veremos adiante como eles são calculados
O truque:
O termo SQWithin da ANOVA 1 fator é decomposto em duas
partes:
1ª) SQsujeito: aquela variação que é devido ao fato de ser
Sujeito i e não ser o Sujeito j ; variabilidade dentro do
sujeito
2ª) SQinter-sujeito: aquela variação que não é atribuída a ser
Sujeito i no lugar de Sujeito j. A este termo corresponderá a função
de MSW no teste F. É a variabilidade residual.
AVISO IMPORTANTE: Não se preocupe com esses números.
Veremos adiante como eles são calculados
582 = ....???...... + .....????.......
582 =
548 +
34
582 = SQ sujeito + SQ inter-sujeito
análise RM ANOVA (correta !)
Tabela ANOVA 1 fator de Medidas Repetidas
1ª Parte: ao fato de ser aquele sujeito determinado e não outro
gl SQ QM
F value Pr(>F)
Resíduos
7 548 78.29
2ª Parte: Inter-Sujeitos
gl
F value
Pr(>F)
Condições
2
112.000
23.059
3.714e-05 ***
SQ
56.000
QM
1ª Parte: ao fato de ser aquele sujeito determinado e não outro
gl
Residuals
SQ
7
QM
548
F
Pr(>F)
78.29
variabilidade dentro
do sujeito
2ª Parte: Inter-Sujeitos
F
cond
23.059
Residuals
gl
SQ
Pr(>F)
2
112
3.714e-05 ***
14
34.000
2.429
QM
5 6. 000
variabilidade residual
AVISO IMPORTANTE:
Não se preocupe com esses números.
Veremos adiante como eles são calculados
Análise dos dados segundo o modelo RM ANOVA
no programa MINITAB 14.12
Temos de saber:
1º) Como entrar com os dados;
2º) Como especificar o modelo RM ANOVA nesse programa.
Exemplo numérico
Três condições estão sendo comparadas
O mesmo sujeito submetido às três condições que estão sendo comparadas
Para quem gosta de cálculos à mão
Blocos N
Dados 1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
3
7
3
8
3
Média
18.67
9.67
17.00
7.33
13.333
16.67
8.33
21.00
A unidade experimental que recebe
Condições
Neutral
Positive
Negative
N
8
8
8
Médias
12.00
13.00
17.00
Média geral = 14
todos os níveis do fator é considerada um bloco
SQ condições = 8 [(12-14)2 +(13-14)2 + (17-14)2] = 112
SQ blocos = 3 [(18.67-14)2 +(9.67-14)2 + (17-14)2+ (7.33-14)2+ ...(21-14)2]
SQ blocos = 548
SQTotal = Σx2 – (Σx)2 = 5398 – (336) 2/24 = 694
Para quem gosta de cálculos à mão
SQ condições = 8 [(12-14)2 +(13-14)2 + (17-14)2] = 112
SQ blocos = 3 [(18.67-14)2 +(9.67-14)2 + (17-14)2+ (7.33-14)2+ ...(21-14)2] = 548
SQ blocos = 548
SQTotal = Σx2 – (Σx)2/N = 5398 – (336) 2/24 = 694
SQ Total = SQ condições + SQ Blocos + SQ Residual
694
=
112
+
548
+
SQ Residual
SQ Residual = 694 - (112 + 548) = 694 – 660 = 34
Entrada dos dados no MINITAB
Dados
Condições
Blocos
18
Neutral
1
6
Neutral
2
14
Neutral
3
5
Neutral
4
12
Neutral
5
15
Neutral
6
6
Neutral
7
20
Neutral
8
16
Positiva
1
11
Positiva
2
17
Positiva
3
4
Positiva
4
13
Positiva
5
16
Positiva
6
7
Positiva
7
20
Positiva
8
continua
Entrada dos dados no MINITAB continuação
Dados
Condições
Blocos
22
Negative
1
12
Negative
2
20
Negative
3
13
Negative
4
15
Negative
5
19
Negative
6
12
Negative
7
23
Negative
8
Especificação do Modelo no MINITAB:
Model: Condições Blocos
Random Factors: .....pode deixar vazio (não importa, nesse nosso caso)
Edit>> Command Line Editor ( ou Ctrl+L) e digitamos ANOVA c1 = c2 c3
Análise RM ANOVA no programa MINITAB
(versão 14.12, 2004)
Stat >> ANOVA >> Balanced ANOVA ou
Stat>> ANOVA >> General Linear Model (dá o mesmo resultado)
Especificação do Modelo no MINITAB:
Model: Condições Blocos
Random Factors: .....pode deixar vazio (não importa, nesse nosso caso)
Entrada dos dados no MINITAB
Dados
Condições
Blocos
18
Neutral
1
6
Neutral
2
14
Neutral
3
5
Neutral
4
12
Neutral
5
15
Neutral
6
6
Neutral
7
20
Neutral
8
16
Positiva
1
11
Positiva
2
17
Positiva
3
4
Positiva
4
13
Positiva
5
16
Positiva
6
7
Positiva
7
20
Positiva
8
continua
Entrada dos dados no MINITAB continuação
Dados
Condições
Blocos
22
Negative
1
12
Negative
2
20
Negative
3
13
Negative
4
15
Negative
5
19
Negative
6
12
Negative
7
23
Negative
8
Especificação do Modelo no MINITAB:
Stat >> ANOVA >> Balanced ANOVA
Model: Condições Blocos
Random Factors: .....pode deixar vazio (não importa, nesse nosso caso)
Resultado da Análise RM no MINITAB
F.V.
gl
SQ
QM
F
p
Condições
2
112
56
23.06
0.000
Blocos
7
548
78.286
32.24
0.000
Resíduo
14
34
2.249
Total
23
694
gl condições = k-1 = 3 – 1 = 2
gl blocos = b-1 = 8 – 1 = 7
gl Total = N-1 = 24 – 1 = 23
Resultado da Análise RM no MINITAB
F.V.
gl
SQ
QM
F
p
Condições
2
112
56
23.06
0.000*
Blocos
7
548
78.286
32.24
0.000
Resíduo
14
34
2.249
Total
23
694
* p<0.05 então rejeitamos H0 as médias diferem estatisticamente
Para quem gosta de cálculos à mão
Blocos N
Dados 1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
3
7
3
8
3
Média
18.67
9.67
17.00
7.33
13.333
16.67
8.33
21.00
Condições N Médias
Neutral 8 12.00
Positive 8 13.00
Negative 8 17.00
Média geral = 14
SQ condições = 8 [(12-14)2 +(13-14)2 + (17-14)2] = 112
SQ blocos = 3 [(18.67-14)2 +(9.67-14)2 + (17-14)2+ (7.33-14)2+ ...(21-14)2]
SQ blocos = 548
SQTotal = Σx2 – (Σx)2/N = 5398 – (336) 2/24 = 694
Para quem gosta de cálculos à mão
SQ condições = 8 [(12-14)2 +(13-14)2 + (17-14)2] = 112
SQ blocos = 3 [(18.67-14)2 +(9.67-14)2 + (17-14)2+ (7.33-14)2+ ...(21-14)2]
SQ blocos = 548
SQTotal = Σx2 – (Σx)2/N = 5398 – (336) 2/24 = 694
SQ Total = SQ condições + SQ Blocos + SQ Residual
694 = 112 + 548 + SQ Residual
SQ Residual = 694 - (112 + 548) = 694 – 660 = 34
Termos que devem ser familiares
Anova de medidas repetidas
Experimento em Blocos

within-subjects design