AULA 09 : GEOMETRIA PLANA


Ângulo: É a abertura formada por duas semirretas de mesma
origem

Tipos de ângulos
a) Ângulo reto: o que mede 90º
b) Ângulo raso: o que mede 180º
c) Ângulo agudo: menor que 90º
d) Ângulo obtuso: maior que 90º e menor que 180º
e) Ângulo reentrante: maior que 180º e menor que 360º
f)
Ângulos complementares ( e ):  +  = 90°
g) Ângulos suplementares ( e ):  +  = 180º
h) Ângulos explementares ( e ):  –  = 180º
i)
Ângulos replementares ( e ):  +  = 360º
j)
Ângulos consecutivos: possuem o mesmo vértice e um
lado comum
k) Ângulos adjacentes: possuem o mesmo vértice e um lado
comum entre eles

r//s//t
r
a
c
s
b
a c

b d
d
t
ANOTAÇÕES
Ângulos opostos pelo mesmo vértice:
 

Teorema de Tales
Se duas retas são transversais a um feixe de retas paralelas,
os
segmentos
determinados
nas
transversais
são
proporcionais.
=

Ângulos formados por duas paralelas cortadas por uma
transversal





s
r
t
u
b
a
c
d
Ângulos correspondentes: a e r; b e s; c e t; d e u.
Ângulos alternos internos: a e t; u e b.
Ângulos alternos externos: c e r; d e s.
Ângulos colaterais internos: a e u; b e t.
Ângulos colaterais externos: c e s; d e r.
Observação importante: Nesses oito ângulos, temos:
agudo = agudo
obtuso = obtuso
agudo + obtuso = 180º

Bissetriz de um ângulo
É uma semirreta com origem no vértice do ângulo e que o
divide em dois ângulos de mesma medida
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
133
MATEMÁTICA II
Exercícios de sala
Exercícios de casa
01 - (FUVEST) Na figura adiante, as retas r e s são paralelas, o
ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida, em graus, do
ângulo 3 é:
a) 50
b) 55
c) 60
d) 80
e) 100
02 - (UEL) Na figura a seguir, as medidas x, y e z são diretamente
proporcionais aos números 5, 20 e
25, respectivamente.
O suplemento do ângulo de
medida x tem medida
igual a
a) 144°
b) 128°
c) 116°
d) 82°
e) 54°
(QUESÃO_CASA – 01) Na figura seguinte identifique os pares de
ângulos:
a) correspondentes
b) alternos internos
c) alternos externos
d) colaterais internos
e) colaterais externos
f) o.p.v.
g) adjacentes
(QUESÃO_CASA – 02) Sejam A, B e C respectivamente as
medidas do complemento, suplemento e replemento do ângulo de
40°, têm-se
a) A = 30°; B = 60°; C = 90°
b) A = 30°; B = 45°; C = 60°
c) A = 320°; B= 50°; C = 140°
d) A = 50°; B = 140°; C = 320°
e) A = 140°; B = 50°; C = 320°
(QUESÃO_CASA – 03) Duas retas paralelas cortadas por uma
transversal formam ângulos alternos-externos expressos em graus
por
13x-8° e 6x+13°. A medida desses ângulos vale:
a) 31°
b) 3° ou 177°
c) 30° e 150°
d) 62°
e) 93°
03 - (UNIRIO) As retas r1 e r2‚ são paralelas. O valor do ângulo ,
apresentado na figura a seguir, é:
a) 40°
b) 45°
c) 50°
d) 65°
e) 130°
(QUESÃO_CASA – 04) Na figura abaixo, está ilustrado o desenho
de um portão em forma retangular, onde foram colocadas diagonais
AC e BD , a fim de obter-se maior rigidez para o mesmo.
04 - (UNAERP) As retas r e s são interceptadas pela transversal "t",
conforme a figura. O valor de x para que r e s seja, paralelas é:
a) 20°
b) 26°
c) 28°
d) 30°
e) 35°
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
134
Sabendo-se que  = 20°, o valor de  é:
a)70°
b)50°
c)30°
d)60°
e)40°
MATEMÁTICA II

AULA 10 : GEOMETRIA PLANA
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são congruentes se, e somente se, seus lados
e seus ângulos são ordenadamente congruentes.

TRIÂNGULOS: Polígonos que possuem três ângulos

Classificação:
a) Quanto aos lados

Eqüilátero (três lados de medidas congruentes)

Isósceles (dois lados de medidas congruentes)

Escaleno (três lados de medidas diferentes)
b)
LAL

a

b
ELEMENTOS IMPORTANTES NUM TRIÂNGULO

Altura: é um segmento perpendicular que vai do
vértice até a reta suporte do lado oposto.

Mediana: é um segmento que vai do vértice até o
meio do lado oposto.

Bissetriz: é um segmento que vai do vértice,
dividindo-o ao meio, até o lado oposto.

Mediatriz: é a reta perpendicular a um lado do
triângulo, traçada pelo seu ponto médio.

s


c

t
a b c
  k
r s t

r
a

k  razão de semelhança
CASOS DE SEMELHANÇA
a
B
AA


LAL

BASE MÉDIA
A base média de um triângulo é o segmento da reta que liga os
pontos médios de dois lados de um triângulo.

PROPRIEDADE
A base média de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e
mede a metade deste lado
>>  a>b>c
Relação entre os ângulos
LLL
e
c

L A Ao
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS


LLL
a é o maior lado
c

ALA
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem
os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados
homólogos proporcionais
Quanto aos ângulos

Obtusângulo (um ângulo obtuso) a² > b² + c²

Acutângulo (três ângulos agudos) a² < b² + c²

Retângulo (um ângulo reto)
a² = b² + c²
b
CASOS DE CONGRUÊNCIAS
Relação entre os lados
 +  +  = 180º
|b – c| < a < b + c
e =  +  (T.A.E)
|a – c| < b < a + c
PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO (BICO)
a) Baricentro: encontro das medianas
Circuncentro: encontro das mediatrizes
b) Incentro: encontro das bissetrizes
Ortocentro: encontro das alturas
c)
d)
OBSERVAÇÕES:
a) O INCENTRO é o centro da circunferência inscrita ao
triângulo
b) O CIRCUNCENTRO é o centro da circunferência
circunscrita ao triângulo
c) O BARICENTRO está a 1/3 do lado e 2/3 do vértice
d) O ORTOCENTRO do triângulo retângulo coincide com o
vértice do ângulo reto
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
135
MATEMÁTICA II
Exercícios de sala
Exercícios de casa
01 - Um triângulo tem lados iguais a 10 cm e 17 cm. O maior valor
que o terceiro lado poderá assumir, expresso por um número
natural, em cm, é:
a) 26
b) 14
c) 28
d) 32
e) 14
1)(QUESTÃO_CASA – 01) Calcule o valor dos ângulos agudos de
um triângulo retângulo em que a área mede 4 m 2 e a hipotenusa
4m:
a) 30° e 60°
b) 45°e 45°
c) 15º e 75°
d) 15° e 60°
e) 17º e 73º
02 - O perímetro de um triângulo é 100 cm e um dos lados vale 36
cm. Um triângulo semelhante, cujo lado homólogo ao lado
conhecido é de 27 cm, tem por perímetro:
a) 63cm
b) 72 cm
c) 72cm
d)
2)(QUESTÃO_CASA – 02) Na figura abaixo BC = 60 cm e AH =
40 cm. O lado do quadrado MNPQ inscrito no triângulo ABC é
igual a:
400
cm
3
e) 75 cm
03 - Na figura abaixo a 100° e b = 110°. Quanto mede o ângulo x?
3)(QUESTÃO_CASA – 03) O ângulo x, na figura a seguir, mede:
a) 60°
b) 80°
c) 90°
d) 100°
e) 120°
04 -(Cesgranrio) Na figura a seguir, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AD
= 4 cm e o ponto O é o centro da circunferência. O perímetro do
triângulo AOC mede, em cm:
a) 36
b) 45
c) 48
d) 50
e) 54
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
4)(QUESTÃO_CASA – 04) A medida do ângulo ADC inscrito na
circunferência de centro O é:
a) 125°
b) 110°
c) 120°
d) 100°
e) 135°
136
MATEMÁTICA II
AULA 11 : GEOMETRIA PLANA

C

QUADRILÁTEROS: Polígonos que possuem quatro lados

QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
a) Trapézio: dois lados paralelos
b) Paralelogramo: lados opostos paralelos
c) Losango: quatro lados congruentes
d) Retângulo: quatro ângulos internos congruentes
e) Quadrado: quatro ângulos internos congruentes e quatro
lados congruentes


ALGUMAS PROPRIEDADES:
a) Em todo paralelogramo os ângulos e os lados opostos
são congruentes
b) Em todo paralelogramo as diagonais se encontram nos
respectivos pontos médios
c) Em todo losango as diagonais são perpendiculares e
bissetrizes dos ângulos internos
d) Em todo retângulo as diagonais são congruentes
a
B
b
R
A
Lei dos senos
c
a
b
c


 2R
sen A sen B sen C
Lei dos cossenos



a² = b² + c² – 2bc . cos A
b² = a² + c² – 2ac . cos B
c² = a² + b² – 2ab . cos C
BASE MÉDIA DE UM TRAPÉZIO
É o segmento de reta que liga os pontos médios dos lados não
paralelos

LEI DOS SENOS E DOS COSSENOS
ANOTAÇÕES
Propriedade
A base média de um trapézio é paralela às bases e tem
medida igual a média aritmética das medidas das bases do
trapézio

POLÍGONOS
É a união de n (n ≥ 3) segmentos de retas consecutivos
O polígono recebe o nome de acordo com o número de lados
Alguns exemplos:
Triângulo (3 lados), quadrilátero (4 lados), pentágono (5 lados),
hexágono (6 lados), heptágono
(7 lados), octógono (8
lados), eneágono (9 lados), decágono (10 lados), icoságono
(20 lados) .

CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS
a) Convexo: quando dados dois pontos interiores, o
segmento formado por eles está totalmente contido no
polígono.
b) Côncavo: quando dados dois pontos interiores, o
segmento formado por eles não está totalmente contido
no polígono.
c) Regular: quando for eqüilátero e eqüiângulo
OBSERVAÇÃO:
Destaca-se num polígono regular o segmento que vai do centro
ao meio do lado chamado de APÓTEMA.
Em qualquer polígono de n lados, tem-se
a) Soma dos ângulos internos:
Si = (n – 2).180º
b) Soma dos ângulos externos: Se = 360º
n . (n  3)
d
c) Número de diagonais:
2
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
137
MATEMÁTICA II
Exercícios de sala
Exercícios de casa
01-(QUESTÃO_CASA – 01) No retângulo abaixo, determine as
medidas de x e y indicadas:
01 - Determine a medida dos ângulos indicados:
a)
02-(QUESTÃO_CASA – 02) A figura abaixo é um losango.
b)
Determine o valor de x e y, a medida da diagonal
diagonal
, da
e o perímetro do triângulo BMC.
02 – No paralelogramo abaixo, determine as medidas de x e y.
03-(QUESTÃO_CASA – 03) Determine a medida de cada ângulo
indicado
03 – Determine as medidas dos quatro ângulos do trapézio da
figura abaixo:
04-(QUESTÃO_CASA – 04) As medidas dos ângulos internos de
um quadrilátero são: x + 17° ; x + 37° ; x + 45° e x + 13°.
Determine as medidas desses ângulos.
04 – Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da
base menor, 5,5 cm é a medida da base média de um trapézio e
que x - y = 5 cm, determine as medidas de x e y.
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
138
MATEMÁTICA II
AULA 12 : GEOMETRIA PLANA

ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
A
A
Ângulo central
Ângulo inscrito
A
Ângulo de segmento
P
A

C

B

B

 = AB
Ângulo excêntrico interior
C
B
A
B
P
AB
2

PA  PB
2
B
PA  PC . PB
AB
2
ANOTAÇÕES
Ângulo excêntrico exterior
A

C

A
D
D
B
C


AB  CD
2

AB  CD
2
RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
A
D
B
P
A
P
C
B
D
PA . PB  PC . PD
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
C
PB . PA  PD . PC
139
MATEMÁTICA II
Exercícios de sala
Exercícios de casa
01 - (USP) No triângulo da figura a seguir, a circunferência
inscrita tem raio 1 e T é o ponto de tangência.Então o menor lado
do triângulo mede:
01-(QUESTÃO_CASA – 01) Na figura,
a) 3.
b) 20/7.
c) 7/2.
d) 9/2.
e) 30/7.
AB  7m, AD  6m e DE  4m . Então, BC é igual a:
D
a)
24
7
b)
5 m.
c)
12 m.
02 - (PUC) O ângulo x, na figura a seguir, mede:
d)
11 m.
a) 60°
b) 80°
c) 90°
d) 100°
e) 120°
e)
11
7
m.
D
B
E
C
cm.
02-(QUESTÃO_CASA – 02) Dada a figura abaixo, calcule x.
03 - (UFES) Nessa figura, BD é um diâmetro da circunferência
circunscrita ao triângulo ABC, e os ângulos ABD e AÊD medem,
respectivamente, 20° e 85°.
Assim sendo, o ângulo CBD mede
a) 25°
b) 35°
c) 30°
d) 40°
x
x+2
1
11
03-(QUESTÃO_CASA – 03) Determine o valor de x indicado na
figura.
x
4
04 - (Fuvest) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de
centro O é:
a) 125°
b) 110°
c) 120°
d) 100°
e) 135°
45
04-(QUESTÃO_CASA – 04) (Fuvest-SP) O valor de x na figura é:
a)
20
.
3
x
b)
3
.
5
3
05- Na figura,
C
B
E
D
A
AE
1
 , BE  8 cm e ED  6 cm. O comprimento de AC,
EC 3
c)
1.
d)
4.
e)
5.
2
10
em cm, é:
a)10.
d) 18
b)12.
e) 19
c)16.
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
140
MATEMÁTICA II
AULA 13 : GEOMETRIA PLANA
RETÂNGULO
ÀREAS DE FIGURAS PLANAS
ÁREA DOS QUADRILÁTEROS
ÁREA DO TRIÂNGULO
Perímetro (2p)
Figura
e a área (A)
Figura
Perímetro e Área
,
2p = 2(a + b)
2p = a + b + c
b
A = ab
A
abc
a
p
2
PARALELOGRAMO
h
TRIÂNGULO
c
2p = 2(a + b)
b
h
A = ah
a
R
O

r
B
ah
A
2
b
A  p(p  a)(p  b)(p  c )
a
C
A=
2p = 4a
A=p.r
A = a²
a
QUADRADO
1
bc senÂ
2
A=
Apótema
a
ap 
a
2
ab c
4R
ÁREA DO CÍRCULO
A =  R²
R
LOSANGO
a
d
2p = 4a
A
D
Dd
2
R
b
2p = b + c + d + B
TRAPÉZIO
c
hd
B
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
2p = 2R
C
C
B  bh
A
l

A=
 R 2
360º
 em graus
A=
2
R
2
l = R
 em radianos
141
MATEMÁTICA II
Exercícios de sala
Exercícios de casa
01 - Um cavalo se encontra preso num cercado de pastagem, cuja
forma é um quadrado, com lado medindo 50m. Ele está amarrado a
uma corda de 40m que está fixada num dos cantos do quadrado.
Considerando  = 3,14, calcule a área, em metros quadrados, da
região do cercado que o cavalo não conseguirá alcançar, porque
está amarrado.
a) 1244.
b) 1256.
c) 1422.
d) 1424.
e) 1444.
02 - Na figura, ABCD é um quadrado cujo lado mede a. Um dos
arcos está contido na circunferência de centro C e raio a, e o outro é
uma semicircunferência de centro no ponto médio de BC e de
diâmetro a. A área da região hachurada é:
a) Um quarto da área do círculo de raio a.
b) Um oitavo da área do círculo de raio a.
c) O dobro da área do círculo de raio a/2.
d) Igual à área do círculo de raio a/2.
e) A metade da área do quadrado.
01-(QUESTÃO_CASA – 01) Na figura seguinte, estão
representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e
uma semicircunferência de raio 2. Então a área da região hachurada
é:
a) (  /2) + 2
b)  + 2
c)  + 3
d)  + 4
e) 2  + 1
02-(QUESTÃO_CASA – 02) Na figura ao lado, se o diâmetro do
círculo mede 8 cm e os raios dos semicírculos medem
2 cm, a área e o perímetro da região hachurada valem,
respectivamente,
 cm2 e 8 cm
2
16  cm e 8  cm
2
8  cm e 8  cm
2
16 cm e 8  cm
2
16  cm e 8 cm
a) 8
2
b)
2
c)
d)
e)
03 - (CESGRANRIO) OPQ é um quadrante de círculo, no qual
foram traçados semicírculos de diâmetros OP e OQ. Determine o
valor da razão das áreas hachuradas, a/b.
a) 1/ 2
b) ½
c)  /4
d) 1
e)  /3
2
2
(QUESTÃO_CASA – 03) Considere C1 e C2 dois círculos de raios
iguais a r , de acordo com a figura ao lado. Sabe-se que A e C
são os centros de C1 e C2 respectivamente. A área do
quadrilátero ABCD é
2
a) r
B
3
C1
2
2r 2 3
b)
r2
3
4
d) r 2 2
c)
r2
3
e)
C
A
D
C2
2
(QUESTÃO_CASA – 04) Sabendo-se que o triângulo A B C , ao
lado, é equilátero de lado 1 cm e que os pontos A , D e E
são colineares, onde D é o centro do círculo inscrito neste
triângulo, a área da figura hachurada, em cm2, é
04 - (PUC_MG) Na figura, o lado do quadrado ABCD mede uma
unidade. O arco BED pertence à circunferência de centro em A e
raio unitário; o arco BFD pertence à circunferência de centro em C e
raio unitário. A medida da área da região sombreada é:
a)  - 2
b) (  - 2)/2
c) (  - 2)/3
d) (  - 2)/4
e) 2 

a)
12
12
c)

12


4
e)
142
3
16

b)
d)
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO

3
16

3
16
3
16
MATEMÁTICA II
AULA 14 : GEOMETRIA PLANA
ANOTAÇÕES

POLIEDROS
São sólidos limitados por polígonos planos que tem dois a dois,
um lado em comum. As regiões planas que limitam estes
sólidos são as faces do poliedro.
As intersecções das faces são as suas arestas e as
intersecções das arestas são os seus vértices.

POLIEDROS CONVEXOS
Um poliedro é dito convexo quando dados quaisquer dois
pontos dele, o segmento que tem como extremidades esses
pontos, está contido inteiramente no poliedro. Caso contrário o
poliedro é dito não convexo (ou côncavo).

NOMENCLATURA
De acordo com o número de faces os poliedros recebem seus
nomes.

EXEMPLOS: 4 faces(tetraedro), 5 faces(pentaedro), 6
faces(hexaedro), 7 faces(heptaedro), 8 faces(octaedro) e
assim por diante.

POLIEDROS REGULARES
Um poliedro é dito regular quando todas as suas faces são
polígonos regulares congruentes e todos os seus ângulos
poliédricos também são congruentes.
Existem apenas 5 poliedros regulares (os de Platão)

TETRAEDRO (4 faces triangulares)

HEXAEDRO (6 faces quadrangulares)

OCTAEDRO (8 faces triangulares)

DODECAEDRO (12 faces pentagonais)

ICOSAEDRO (20 faces triangulares)
Nos poliedros convexos convém destacar duas importantes
relações:
I.
Relação de EULER: V + F = A + 2
Soma dos ângulos das faces: S = (V – 2).360º, onde V é o número
de vértices, F é o número de faces, A é o número de arestas e S é a
soma dos ângulos das faces
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
143
MATEMÁTICA II
Exercícios de sala
Exercícios de casa
01 - (UFPB) A característica de Euler-Poincaré (P) de um poliedro
P é definida por (P) = V – A + F, onde V, A e F são,
respectivamente, os números de vértices, arestas e faces de P.
Sendo assim, a característica de Euler-Poincaré de uma pirâmide
de base triangular é:
a) –2
b) 0
c) 2
d) –1
e) 1
01-(QUESTÃO_CASA – 01) Um poliedro convexo de onze faces
tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número
de arestas e de vértices do poliedro é, respectivamente,
a) 34 e 10
b) 19 e 10
c) 34 e 20
d) 12 e 10
e) 19 e 12
02 - (PUC – PR)Um poliedro convexo é formado por faces
quadrangulares e 4 faces triangulares. A soma dos ângulos de
todas as faces é igual a 12 retos.
Qual o número de arestas desse poliedro?
a) 8
b) 6
c) 4
d) 2
e) 1
02-(QUESTÃO_CASA – 02) Um geólogo encontrou, numa de suas
explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que
satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de
vértices deste cristal é igual a:
a) 35
b) 34
c) 33
d) 32
e) 31
03-(QUESTÃO_CASA – 03) Considere o cubo da figura adiante.
Das alternativas a seguir, aquela correspondente a pares de
vértices que determinam três retas, duas a duas reversas, é:
03 - (UFC) Um poliedro convexo só tem faces triangulares e
quadrangulares. Se ele tem 20 arestas e 10 vértices, então, o
número de faces triangulares é:
a) 12
b) 11
c) 10
d) 9
e) 8
04 - (Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11.
Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui
a) 33 vértices e 22 arestas.
b) 12 vértices e 11 arestas.
c) 22 vértices e 11 arestas.
d) 11 vértices e 22 arestas.
e) 12 vértices e 22 arestas.
a) (A,D); (C,G); (E,H).
b) (A,E); (H,G); (B,F).
c) (A,H); (C,F); (F,H).
d) (A,E); (B,C); (D,H).
e) (A,D); (C,G); (E,F).
04-(QUESTÃO_CASA – 04) Entre todas as retas suportes das
arestas de um certo cubo, considere duas, r e s, reversas. Seja t a
perpendicular comum a r e a s. Então:
a) t é a reta suporte de uma das diagonais de uma das faces do
cubo.
b) t é a reta suporte de uma das diagonais do cubo.
c) t é a reta suporte de uma das arestas do cubo.
d) t é a reta que passa pelos pontos médios das arestas contidas
em r e s.
e) t é a reta perpendicular a duas faces do cubo, por seus pontos
médios.
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144
MATEMÁTICA II

AULA 15 : PRISMA

PRISMA
Sejam  e  dois planos paralelos e distintos e ABCDE uma
região poligonal contida em . Considere todos os segmentos
de reta MN paralelos com M um ponto da superfície poligonal
ABCDE e N um ponto de . A reunião de todos os segmentos
MN forma um sólido chamado de PRISMA.

CASOS PARTICULARES DE PRISMAS
a) paralelepípedo – É um prisma quadrangular cujas bases
são paralelogramos.
b) paralelepípedo reto – É um prisma reto cujas bases são
paralelogramos.
c) paralelepípedo reto-retângulo (ortoedro) – É um prisma
reto cujas bases são retângulos.
d) romboedro – é um paralelepípedo que possui as doze
arestas congruentes entre si.
cubo – é um paralelepípedo reto-retângulo que possui todas as
arestas congruentes.

ELEMENTOS DE UM PRISMA
DIAGONAL, ÁREA E VOLUME DE UM PARALELEPÍPEDO
A diagonal (D), a área total (AT), e o volume (V), de um
paralelepípedo reto-retângulo de dimensões a, b e c são dados
por:
a2  b2  c 2

D=


AT = 2(ab + ac + bc)
V = a . b. c
No caso em que a = b = c, temos um CUBO. Portanto, as
fórmulas da diagonal, da área total e do volume são dadas por:
D=a 3
Considerando o prisma ao lado, temos:
 bases – são os polígonos ABCDE e A’B’C’D’E’ (polígonos
congruentes).
 arestas da base – são os segmentos AB, BC, CD, DE, EA,
A’B’, B’C’, C’D’, D’E’, E’A’.
 vértices – A, B, C, D, E, A’, B’, C’, D’, E’.
 faces laterais (paralelogramos) – são os quadriláteros
ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DEE’D’, EAA’E’.
 arestas laterais – são os segmentos AA’, BB’, CC’, DD’,
EE’.
 altura do prisma – é a distância entre as bases.
 área lateral – é a soma das áreas das faces laterais.
 área total – é a área lateral mais a soma das áreas das
bases.
 volume – é a quantidade de espaço que o prisma ocupa.
 Observe que os prismas são poliedros que têm duas faces
paralelas e congruentes. Essas faces são chamadas de
bases, e as demais faces com formato de paralelogramo são
chamadas de faces laterais.

V = a³
VOLUME DE UM PRISMA
PRINCÍPIO DE CAVALIERE
Dados dois sólidos e um plano, se todo plano paralelo ao plano
dado interceptar esses sólidos formando secções de mesma
área, então os sólidos têm mesmo volume.
Usando o princípio de Cavaliere com a equivalência de um
paralelepípedo reto-retângulo, temos que o volume de um
prisma é dado pelo produto da área da base pela altura.
V = Ab.H
ANOTAÇÕES
CLASSIFICAÇÃO
a) De acordo com o número de arestas das bases os
prismas são denominados triangulares (bases triângulos),
quadrangulares (bases quadriláteros), pentagonais (bases
pentágonos) e assim por diante.
b) Prisma reto é aquele em que as arestas laterais são
perpendiculares às bases.
c) Prisma oblíquo é aquele em que as arestas laterais são
oblíquas às bases.
d) Prisma regular é aquele em que as bases são polígonos
regulares e é reto.



AT = 6a²
OBSERVAÇÃO:
Se um prisma é reto, as faces laterais são retangulares e
se é oblíquo, as faces laterais são paralelogramos.
SECÇÃO DE UM PRISMA
A secção de um prisma é a intersecção do prisma com um
plano que intersecta todas as arestas laterais.
SECÇÃO TRANSVERSAL - É a região poligonal obtida pela
intersecção do prisma com um plano paralelo às bases.
SECÇÃO RETA – É a região poligonal obtida pela interseção do
prisma com um plano perpendicular às arestas laterais.
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145
MATEMÁTICA II
Exercícios de sala
Exercícios de casa
01 - No cubo da figura a seguir, as arestas medem 4cm. Quanto
mede a diagonal AB ?
a) 4
3
cm
b) 2
3
cm
c) 4
2 cm
2 cm
01-(QUESTÃO_CASA – 01) Considere uma cruz formada por 6
cubos idênticos e justapostos, como na figura abaixo. Sabendo-se
que a área total da cruz é de 416cm 2, pode-se afirmar que o volume
de cada cubo é igual a:
a) 16 cm3
b) 64 cm3
c) 69 cm3
d) 26 cm3
d) 2
e) 2 cm
02 - (UFPB – 2001) A figura ao lado mostra a planificação de um
cubo. Sabendo-se que
A B  68 cm , pode-se concluir que o
02-(QUESTÃO_CASA – 02) Se a soma das medidas de todas as
arestas de um cubo é 60cm, então o volume desse cubo, em
centímetros cúbicos, é:
a) 125.
b) 100.
c) 75.
d) 60.
e) 25.
volume do cubo em cm3 é
a) 8
b) 36
c) 64
d) 27
e) 48
03 - (UFPB – 99) Os algarismos “1” e “9” que compõem o número
1999, desenhado abaixo, foram confeccionados emendandose pequenos cubos de madeira de aresta 0,10 m.
Determine o volume total, em m 3 , da madeira utilizada na
confecção do número 1999.
03-(QUESTÃO_CASA – 03) Se a diagonal de uma face de um cubo
2 , então o volume desse cubo é:
mede 5
a) 600
b) 625.
c) 225.
d) 125.
3.
e) 100
3.
04-(QUESTÃO_CASA – 04) O volume de uma caixa cúbica é 216
litros.
A medida de sua diagonal, em centímetros, é
04 - (UFPB – 97) A diagonal de um cubo mede 12 cm. Qual o
volume desse cubo?
ANOTAÇÕES
a) 0,8
b) 6
c) 60
3
d) 60
3
e) 900
B
3
A
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146
MATEMÁTICA II
Área total – é a soma das áreas das bases com a área lateral
AT = AL + 2.Ab
AULA 16 : CILINDRO


CILINDRO
Sejam dois planos paralelos  e , e um segmento de reta MN,
com M   e N  . Considere, também, um círculo C de
centro 0 e raio r, C  . A reunião de todos os segmentos de
reta, paralelos e congruentes ao segmento MN, tendo uma
extremidade em C e outra em , formam um sólido chamado
CILINDRO CIRCULAR.
Volume – pelo princípio de CAVALIERE, temos que o volume é
dado pelo produto da área da base pela altura.
V = Ab.h = r
ANOTAÇÕES
ELEMENTOS DO CILINDRO
N
r
O’

g
h
r
M
O
C

Na figura, temos:

base  círculo de centro O e raio r e círculo de centro O’ e
raio r.

eixo  é a reta que contém os centros das bases.

altura (h)  é a distância entre os planos  e .

geratriz (g)  são os segmentos paralelos aos eixos e cujas
extremidades são pontos das circunferências das bases.

CLASSIFICAÇÃO
( I ) CILINDRO RETO: é aquele em que as geratrizes são
perpendiculares às bases. Neste caso, a altura tem a
mesma medida da geratriz.
( II ) CILINDRO OBLÍQUO: é aquele em que as geratrizes não
são perpendiculares às bases.
( III ) CILINDRO TRUNCADO: é aquele em que as bases não são
paralelas

SECÇÃO MERIDIANA
É a figura geométrica formada pela intersecção do cilindro com
o plano que contém seu eixo.
A área da secção meridiana é a área do retângulo de base 2r
e altura h.
A = 2rh

SECÇÃO TRANVERSAL
É a figura geométrica formada pela intersecção do cilindro com
o plano paralelo as bases. A secção transversal é um círculo
congruente às bases.

CILINDRO EQUILÁTERO
É o cilindro cuja secção meridiana é um quadrado.

ÁREAS E VOLUME
Área da base – é a área do círculo de raio r
Ab = r²
Área lateral – é a área do paralelogramo de base 2r e
altura h
AL = 2rh
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147
MATEMÁTICA II
Exercícios de sala
01 - (Cesgranrio) Um recipiente com a forma de um cilindro reto,
cujo diâmetro da base mede 40 cm e altura 100/ cm, armazena um
certo líquido, que ocupa 40% de sua capacidade. O volume do
líquido contido nesse recipiente é, em litros, aproximadamente, igual
a:
a) 16
b) 18
c) 20
d) 30
e) 40
02 - (UFRS) Um pedaço de cano de 30 cm de comprimento e 10cm
de diâmetro interno encontra-se na posição vertical e possui a base
inferior vedada. Colocando-se dois litros de água em seu interior, e
água.
a) ultrapassa o meio do cano.
b) transborda.
c) não chega ao meio do cano.
d) enche o cano até a borda.
e) atinge exatamente o meio do cano.
03 - (UFPB – 2003) Depois de desistir de retirar a pipa do
poste, João foi jogar futebol no quintal da casa. Ao chutar a
bola com muita força, fez com que a mesma caísse num
reservatório de água com a forma de um cilindro circular reto,
cujo diâmetro é de 96 cm. Maria percebeu que exatamente a
metade da bola ficou submersa, o que elevou o nível da água
do reservatório em 0,5 cm (ver desenho). O raio dessa bola é:
a)10 cm
b) 12 cm
c) 14 cm
d)11 cm
e) 13 cm
Exercícios de casa
01-(QUESTÃO_CASA – 01) Um líquido que ocupa uma altura de
10cm num determinado recipiente cilíndrico será transferido para
outro recipiente, também cilíndrico, com diâmetro 2 vezes maior que
o primeiro. Qual será a altura ocupada pelo líquido nesse segundo
recipiente?
a) 1,5 cm
b) 2 cm
c) 2,5 cm
d) 4,5 cm
e) 5 cm
02-(QUESTÃO_CASA – 02) Qual das propostas a seguir pode ser
utilizada para duplicar o volume de um cilindro modificando seu raio
da base e sua altura?
a) Duplicar o raio e manter a altura.
b) Aumentar a altura em 50% e manter o raio.
c) Aumentar o raio em 50% e manter a altura.
d) Duplicar o raio e reduzir a altura à metade.
e) Duplicar a altura e reduzir o raio à metade.
03-(QUESTÃO_CASA – 03) Um tanque para depósito de
combustível tem a forma cilíndrica de dimensões: 10m de altura e
12m de diâmetro. Periodicamente é feita a conservação do mesmo,
pintando-se sua superfície lateral externa. Sabe-se que com uma
lata de tinta pintam-se 14m2 da superfície. Nessas condições, é
verdade que a menor quantidade de latas que será necessária para
a pintura da superfície lateral do tanque é:
a) 14
b) 23
c) 27
d) 34
e) 54
04-(QUESTÃO_CASA – 04) Um contêiner, na forma de um cilindro
circular reto, tem altura igual a 3m e área total (área da superfície
lateral mais áreas da base e da tampa) igual a 20m2. Calcule, em
metros, o raio da base deste contêiner.
ANOTAÇÕES
04 - (UFPB – 2002) O Sr. Martins foi encarregado de pintar a lateral
de uma caixa d’água cilíndrica, com 6 m de raio e altura de 10 m.
Devido ao mau tempo, conseguiu, apenas, pintar a parte sombreada
mostrada na figura ao lado. Assim sendo, desse trabalho ele
executou somente:
a)
5%
b) 15%
c)
25%
d) 10%
e)
20%
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