Módulo de Elementos básicos de geometria plana
Triângulos
Oitavo Ano
Triângulos
1
Exercı́cios Introdutórios
Exercı́cio 1. Classifique cada sentença como verdadeira
(V) ou falsa (F):
a) Todo triângulo retângulo é isósceles.
b) Os três ângulos de um triângulo equilátero são congruentes.
c) Um triângulo é isósceles se possui os três lados congruentes.
d) Não existe triângulo
retângulo e equilátero.
que
seja
simultaneamente
e) Não existe triângulo
retângulo e isósceles.
que
seja
simultaneamente
Exercı́cio 2. No desenho abaixo, o triângulo 4ABC é
isósceles com base BC. Determine os valores de x e y.
Exercı́cio 4. Determine os valores de x e y nos itens
abaixo:
Exercı́cio 3. O teorema do ângulo externo afirma que a
medida de um ângulo externo de triângulo é a soma das
medidas dos outros dois ângulos internos não adjacentes
a ele. Podemos verificar tal afirmação lembrando que a
soma dos ângulos de um triângulo sempre é 180◦ . Assim,
no desenho abaixo, o ângulo ∠BCA mede 180◦ − α − β e
o ângulo externo correspondente é o seu suplementar, ou
seja, vale α + β.
Exercı́cio 5. Dizemos que um triângulo é acutângulo
quando todos os seus ângulos são menores que um ângulo
reto. Dizemos que um triângulo é retângulo quando um de
seus ângulos for igual a um ângulo reto. Por fim, dizemos que um triângulo é obtusângulo quando um dos seus
ângulos for maior que um ângulo reto. Sabendo que a soma
dos ângulos de um triângulo é sempre 180◦ , determine
em cada um dos itens abaixo se o triângulo é acutângulo,
obtusângulo ou retângulo conhecendo apenas dois de seus
ângulos.
a) ∠ABC = 70◦ e ∠BCA = 10◦ .
b) ∠ABC = 80◦ e ∠BCA = 15◦ .
c) ∠ABC = 30◦ e ∠BCA = 60◦ .
Em cada um dos itens abaixo, determine o valor do ângulo
x.
d) ∠ABC = 60◦ e ∠BCA = 60◦ .
Exercı́cio 6. Determine o valor de x no desenho abaixo.
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Exercı́cio 11. Diga o nome de cada um dos seguintes pontos notáveis de um triângulo:
Exercı́cio 7. Determine o valor de x no desenho abaixo.
a) Ponto de encontro das bissetrizes.
b) Ponto de encontro das retas suportes das alturas.
c) Ponto de encontro das medianas.
d) Ponto de encontro das mediatrizes dos lados.
Exercı́cio 12. No desenho abaixo, O triângulo 4ABD é
congruente ao triângulo 4BDC com AD = DC. Se AC =
x + y, DC = 4x, AB = 5x e BC = 3x + 2, determine os
valores de x e y.
Exercı́cio 8. Na figura abaixo, o triângulo 4ABC é
equilátero. Determine os valores de x e y.
Exercı́cio 13. Determine no desenho abaixo os seguintes
objetos geométricos: uma mediana, uma altura, uma bissetriz e uma mediatriz.
Exercı́cio 9. No desenho abaixo, existem dois pares de
triângulos congruentes. A partir do desenho, determine
que pares são esses e justifique em quais casos de congruências eles se enquadram.
Exercı́cio 14. No desenho abaixo, BD é uma altura relativa ao lado AC e BC = AC. Se ∠ACB = 40◦ , determine
o valor do ângulo ∠ABD.
Exercı́cio 10. No desenho abaixo, os triângulos 4AED
e 4CEB são congruentes com CE = ED e ∠ECB =
∠EDA. Determine os valores de x e y.
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Exercı́cio 15. No desenho abaixo, sabendo que ∠BCA =
30◦ , encontre o valor de ∠ABD.
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Exercı́cio 20. No desenho abaixo, os triângulos 4ABD e
4BDC são congruentes. Determine as medidas de α e β.
Exercı́cios de Fixação
Exercı́cio 16. No desenho abaixo, BE é bissetriz de
∠ABC. Se ∠ACB = 30◦ , determine o ângulo ∠DBE.
Exercı́cio 21. Na figura abaixo, ∠ODC = ∠OBE e
∠OEB = ∠DCO. Se DC = EB, ∠DOB = 60◦ e
OB = 5cm, determine o comprimento de BD.
Exercı́cio 17. No desenho abaixo, o ponto D é o incentro do triângulo 4ABC. Sabendo que ∠ADB = 110◦ ,
∠ADC = 130◦ e ∠BDC = 120◦ , determine os ângulos do
triângulo.
Exercı́cio 22. No desenho abaixo, GC e BE são as bissetrizes dos ângulos ∠ACB e ∠ABC, respectivamente. Se
∠BAC = 60◦ e ∠ABC = 80◦ , determine:
Exercı́cio 18. O triângulo abaixo é isósceles de base AB.
Determine o valor do ângulo x.
a) o ângulo ∠ACB;
b) os ângulos ∠DCB e ∠DBC;
c) o ângulo ∠BDC.
Exercı́cio 19. No desenho abaixo, os triângulos 4ABC
e 4BED são equiláteros de mesmo lado. Determine o
ângulo ∠AEB.
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Exercı́cio 23. No desenho abaixo, BD é uma mediana do
triângulo 4ABC e AE uma mediana do triângulo 4BAD.
Além disso, AD = DE. Se DC = 8cm, determine a medida do segmento BE.
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Exercı́cio 27. No triângulo ABC, os pontos D e E pertencem ao lado BC e são tais que BD = BA e CE = CA.
Dado que ∠DAE = 40◦ , determine a medida do ângulo
∠BAC.
Exercı́cio 24. Indique para cada par de triângulos dos itens
abaixo qual caso de congruência pode ser aplicado.
Exercı́cio 28. Em um triângulo ABC, ∠BAC = 20◦ e
∠ABC = 110◦ . Se I é o incentro (centro da circunferência
inscrita) e O o circuncentro (centro da circunferência circunscrita) do triângulo 4ABC, determine a medida do
ângulo ∠IAO.
Exercı́cio 29. Na figura, AB = AC, AE = AD e o ângulo
∠BAD mede 30◦ . Determine a medida do ângulo x.
Exercı́cio 25. Na figura, temos AE = BE = CE = CD.
Além disso, α e β são medidas de ângulos. Determine o
valor da razão α
β.
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Exercı́cios de Aprofundamento e
de Exames
Exercı́cio 30. Na figura, o triângulo 4ABC é isósceles de
base BC e o ângulo ∠BAC mede 30◦ . O triângulo 4BCD
é isósceles de base BD. Determine a medida do ângulo
∠DCA.
Exercı́cio 26. Na figura, os dois triângulos são equiláteros
e os ângulos dados em graus. Determine o valor de x.
Exercı́cio 31. Na figura abaixo, o ângulo ∠ADC mede 48◦
e os triângulos 4ACD, 4DBE e 4EAF são isósceles
de bases AD, DE e EF , respectivamente. Determine a
medida do ângulo ∠DEF .
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convexo de n lados com 1, 2, . . . , n de forma consecutiva.
As pontas das estrelas são formadas pelas interseções das
retas que passam por lados que diferem por duas unidades.
Nessa ordem, estamos considerando que os lados n e n − 1
vão formar pontas com os lados 2 e 1, respectivamente. A
figura abaixo mostra um exemplo com n = 5. Determine
o valor da soma dos ângulos interiores das n pontas da
estrela.
Exercı́cio 32. Em um triângulo 4ABC, com ∠ABC −
∠BAC = 50◦ , a bissetriz do ângulo ∠ACB intersecta
o lado AB em D. Seja E o ponto do lado AC tal que
∠CDE = 90◦ . Determine a medida do ângulo ∠ADE.
Exercı́cio 33. Os pontos M e N são escolhidos na hipotenusa AB do triângulo retângulo 4ABC de modo que
BC = BM e AC = AN . Prove que o ângulo ∠M CN
mede 45◦ .
Exercı́cio 40. Pinóquio afirma que é possı́vel formar um
retângulo usando alguns triângulos, sem sobreposição, todos com os mesmos ângulos e nenhum dos quais possuindo
um ângulo reto. Isso é realmente possı́vel ou Pinóquio está
mentindo?
Exercı́cio 34. Se a soma das medidas em graus dos ângulos
A, B, C, D, E e F da figura abaixo é 90n, qual o valor de
n?
Exercı́cio 41. No triângulo 4ABC abaixo, BP é bissetriz
do ângulo B, M é o ponto médio do lado AC e AP é
perpendicular a BP . Se AB = 6 e BC = 10, determine
PM.
Exercı́cio 35. A altura CH e a mediana BK são desenhadas em um triângulo acutângulo 4ABC. Sabemos que
BK = CH e que ∠KBC = ∠HCB. Prove que o triângulo
4ABC é equilátero.
Exercı́cio 42. Em um triângulo 4ABC, AB = AC e
∠BAC = 30◦ , marca-se um ponto Q sobre o lado AB e um
ponto P na mediana AD, de modo que P C = P Q(Q 6= B).
Determine ∠P QC.
Exercı́cio 36. Demonstre que a soma dos ângulos internos
de um triângulo é 180◦ .
Exercı́cio 37. A mediana BM , a altura AH e a bissetriz
CK de um triângulo 4ABC são desenhadas. Sabemos que
AH intersecta BM em L, AH intersecta CK em N e BM
intersecta CK em P . Os pontos L, N e P são distintos.
Prove que o triângulo LN P não pode ser equilátero.
Exercı́cio 38. No triângulo 4ABC com ∠BAC = 30◦ ,
BB1 e CC1 são alturas. Sejam B2 e C2 os pontos médios
de AC e AB, respectivamente. Prove que os segmentos
B1 C2 e B2 C1 são perpendiculares.
Exercı́cio 39. Uma estrela de “n pontas” é formada como
segue. Começamos numerando os lados de um polı́gono
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Respostas e Soluções
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1.
12. Como AB = BC, temos 5x = 3x + 2, ou seja, x = 1.
De AC = 2AD, segue que x + y = 8x e consequentemente
y = 7.
Exercı́cios Introdutórios
a)F
b)V
c)F
d)V
13. Temos: BM é mediana, AE é altura, CD é bissetriz
e HM é mediatriz.
e)F
14. Se ∠ACB = 40◦ e AC = BC, então ∠CAB =
∠CBA = 70◦ . Assim, ∠ABD = 180◦ − 70◦ − 90◦ = 20◦ .
2. Como 2x + 3 = x + 11, temos x = 8. Além disso,
y + 40◦ = 3y + 20◦ implica que y = 10◦ .
3.
a)x = 80◦ .
b)x = 45◦ .
c)x = 50◦ .
15. Se ∠BCA = 30◦ , então ∠BAC = 180◦ − 90◦ − 30◦ =
60◦ . Assim, ∠ABD = 180◦ − 90◦ − 60◦ = 30◦ .
d)x = 60◦ .
4.
a) Como y + 70◦ + 30◦ = 180◦ , temos y = 80◦ . Além disso,
x + 80◦ + 60◦ = 180◦ implica que x = 40◦ .
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Exercı́cios de Fixação
16. Como ∠ACB = 30◦ , então ∠CAB = 60◦ e, por
consequência, ∠ABD = 30◦ . Assim, ∠DBE = 45◦ −
∠ABD = 15◦ .
b) Como x + x + 30◦ = 180◦ , temos x = 75◦ . Além disso,
pelo teorema do ângulo externo, x = 75◦ = 20◦ + y.
Daı́, y = 55◦ .
17. Dividindo os ângulos internos do triângulo em dois
ângulos congruentes a α no vértice A, dois congruentes a
β no vértice B e dois congruentes a γ no vértice C, tem-se
α + β = 70◦ , α + γ = 50◦ , e β + γ = 60◦ . Daı́, resolvendo
o sistema formado por essas equações, α = 30◦ , β = 40◦
e γ = 20◦ . Assim, temos ∠BAC = 60◦ , ∠CBA = 80◦ e
∠ACB = 40◦ .
5.
a) obtusângulo, pois ∠BAC = 100◦ .
b) acutângulo, pois ∠BAC = 85◦ .
c) retângulo, pois ∠BAC = 90◦ .
18. Como 2x + 6◦ = 36◦ + x, temos x = 30◦ .
d) acutângulo (e também equilátero), pois ∠BAC = 60◦ .
19. O triângulo 4ABE é isósceles pois AB = BE. Seja
α o seu ângulo da base. Pelo teorema do ângulo externo
aplicado ao triângulo 4ABE com respeito ao ângulo externo ∠EBD, temos α + α = ∠EBD = 60◦ . Portanto,
α = 30◦ .
6. Pelo teorema do ângulo externo, ∠BOA = 130◦ −30◦ =
100◦ . Além disso, ∠COD = ∠BOA = 100◦ , pois são
ângulos opostos pelo vértice. Assim, x+100◦ +40◦ = 180◦ ,
ou seja, x = 40◦ .
7. Analisando a soma dos ângulos do triângulo 4ABD,
temos ∠ADB + 20◦ + 90◦ = 180◦ , ou seja, ∠ADB = 70◦ .
Como AD é paralelo a BC, segue que ∠EBC = 70◦ .
Finalmente, analisando a soma dos ângulos do triângulo
4BEC, temos 70◦ + 60◦ + x = 180◦ . Assim, x = 50◦ .
20. Temos 7β = 70◦ e 2α = 50◦ , ou seja, β = 10◦ e
α = 25◦ .
21. Pelo caso ALA, 4ODC ≡ 4OBE e daı́ OD = OB =
5cm. Como o triângulo 4DOB é isósceles com ângulo
do vértice medindo 60◦ , temos ∠ODB = ∠DBO = 60◦
e consequentemente 4ODB é equilátero. Assim, DB =
OB = 5cm.
8. Temos:
i) 2x − 1 = 7, então x = 4.
22. a) ∠ACB = 180◦ − 60◦ − 80◦ = 40◦ ;
ii) x + y = 7, então y = 3.
b) Como BE e GD são bissetrizes, ∠DCB = 20◦ e
∠DBC = 40◦ ;
9.
i) Os triângulos 4ABC e 4EF D, pelo caso LLL;
c) Analisando a soma dos ângulos do triângulo 4DBC,
temos ∠BDC = 180◦ − 40◦ − 20◦ = 120◦ .
ii) Os triângulos 4GHI e 4JKL, pelo caso LAL.
23. Como BD e AE são medianas e AD = DE, tem-se
BE = ED = AD = DC = 8cm.
10. Como os triângulos 4AED e 4CEB são congruentes
com CE = ED e ∠ECB = ∠EDA, então EB = AE e
CB = AD, ou seja, y = 7 e 2x + 5 = 13. A última
igualdade produz x = 4.
11. Temos: a) Incentro; b) Ortocentro; c) Baricentro e d)
Circuncentro.
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24. a) LAL;
32. (Extraı́do da OBM - 2011) Sejam ∠BAC = α e
∠BCA = 2β, tem-se ∠ABC = α + 50◦ . Pelo teorema do
ângulo externo no triângulo 4DEC, ∠AED = 90◦ + β.
Analisando a soma dos ângulos dos triângulos 4ABC, temos α + (α + 50◦ ) + 2β = 180◦ , ou seja, α + β = 65◦ .
Finalmente, analisando a soma dos ângulos do triângulo
4EAD, temos x+α+(90+β) = 180◦ e consequentemente
x = 90◦ − (α + β) = 25◦ .
b) LAAo ;
c) LLL;
d) ALA.
25. Como 4CDE é isósceles, ∠DEC = 80◦ = ∠AEB,
pois são ângulos da base. Assim, como ∠ABE é isósceles,
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α = 50◦ . De forma análoga, β = 40◦ . Portanto, α
β = 4.
33. (Extraı́do do Torneio das Cidades) Seja ∠CAB = 2α.
Assim, ∠CBA = 90◦ − 2α. Os ângulos da base dos
triângulos isósceles 4ACN e 4CM B valem 90◦ − α e
45◦ + α, respectivamente. Assim, ∠M CN = 180◦ −
∠CM N − ∠CN M = α + (45◦ − α) = 45◦ .
26. Como 4CEF é equiláterio, ∠F CD = 180◦ = 75◦ −
60◦ = 45◦ . De forma análoga, ∠M DC = 55◦ . Assim, o
ângulo determinado pela intersecção das retas M D e CF
é 80◦ . Portanto, x = 180◦ − 60◦ − 80◦ = 40◦ .
34. (Extraı́do da AIME) Chamando a intersecção entre
AF e ED de G e a intersecção de AF e BC de H, temos pelo teorema do ângulo externo que ∠DGH = E + F
e ∠CHG = A + B. Analisando a soma dos ângulos do
quadrilátero DCHG, temos A + B + C + D + E + F = 360,
ou seja, n = 4.
27. (Extraı́do da OBM 2011) Como 4BAD e 4AEC são
isósceles, segue que ∠BAD = ∠BDA e ∠CAE = ∠CEA.
Tem-se ainda que ∠BAC = ∠BAD + ∠CAE − 40◦ =
∠BDA + ∠CEA − 40◦ = (180◦ − 40◦ ) − 40◦ = 100◦ .
28. (Extraı́do da OBM 2008)
Como ∠ABC = 110◦ , então ∠AOC = 140◦ e com isso
∠OAC = 20◦ . Por outro lado, ∠IAC = 10◦ . Portanto,
∠IAO = 30◦ .
35. (Extraı́do da Olimpı́ada de Leningrado) As igualdades fornecidas implicam que os triângulos 4BKC e
4CHB são congruentes pelo caso LAL. Assim, temos
CK = HB e BK ⊥ KC. Consequentemente BK é uma
altura e 4ABC é isósceles com AB = BC. Além disso,
∠HBC = ∠KCB implicando que AB = AC. Como os
três lados são iguais a AB, o triângulo é equilátero.
29. (Extraı́do da OBM 2006) Pelo teorema do ângulo externo, ∠ADE + x = 30◦ + ∠ABD, portanto ∠ADE =
∠AED = 30◦ + ∠ABD − x. Além disso, ∠AED =
x + ∠ACD. Igualando as duas equações e usando que
∠ABC = ∠ACB, temos 30◦ + ∠ABD − x = x + ∠ACD,
ou seja, x = 15◦ .
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36. Pelo vértice B, trace uma reta paralela ao lado AC.
Tal reta forma dois pares de ângulos alternos internos de
valores α e β. Como a soma dos três ângulos incidentes
no vértice B é um ângulo raso, temos:
∠BAC + ∠ACB + ∠CBA = α + β + γ = 180◦ .
Exercı́cios de Aprofundamento e
de Exames
30. (Extraı́do da OBMEP - 2005) Como 4ABC é
isósceles, temos ∠ABC = ∠ACB = α. Como 4BCD
é isósceles, também temos ∠BDC = ∠DBC = α. Se
∠DCA = β, tem-se, pelo teorema do ângulo externo, que
α = 30◦ + β. Analisando a soma dos ângulos do 4BCD,
α + α + α − β = 180◦ . Assim, pelas duas equações tem-se
2β + 90◦ = 180◦ , ou seja, β = 45◦ .
31. (Extraı́do da OBMEP 2008) Pelo teorema do ângulo
externo e usando que o triângulo 4CAD é isósceles,
∠ACB = ∠CAD + ∠CDA = 2 · ∠CDA = 96◦ . Do mesmo
modo obtém-se ∠CBA = 2 · ∠DEA e ∠BAC = 2 · F EA.
Somando as três igualdades,
180◦
37. Suponha, por absurdo, que o triângulo 4LN P é
equilátero. Teremos:
∠BCA
= 90◦ − ∠HN C = 30◦ .
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Além disso,
= ∠ABC + ∠BCA + ∠CAB
=
96◦ + 2 · ∠DEA + 2 · ∠F EA
=
96◦ + 2∠DEF.
∠BM C = ∠LP N −
Como BM é altura e mediana, concluı́mos que 4ABC
é isósceles. Sendo ∠BCA = 60◦ , podemos concluir que
Ou seja, ∠DEF = 42◦ .
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∠BCA
= 90◦ .
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4ABC é de fato equilátero. Nesse caso, BM , CK e AH
seriam concorrentes em um mesmo ponto e isso produziria um absurdo pois estamos supondo que L, M e P são
distintos.
38. Como B1 C2 é mediana do triângulo retângulo
4BB1 A, então B1 C2 ≡ C2 A e, por consequência,
∠AB1 C2 = ∠B1 AC2 = 30◦ e ∠B1 C2 A = 120◦ . De forma
análoga, tem-se ∠AB2 C1 = 120◦ e ∠B2 C1 B = 120◦ . Seja
P a intersecção entre C1 B2 e B1 C2 . Analisando a soma
dos ângulos do quadrilátero AB2 P C2 , temos ∠C2 P B2 =
360◦ − 30◦ − 120◦ − 120◦ = 90◦ , ou seja, B1 C2 é perpendicular a C1 B2 .
39. (Extraı́do da AIME) Sejam S a soma dos ângulos
nas n ”pontas”e R a soma dos outros 2n ângulos internos dos triângulos que contêm estas ”pontas”. O polı́gono
desenhado tem soma dos ângulos externos dado por 360◦ .
Como os ângulos que compõem R são os ângulos externos do polı́gono contados exatamente duas vezes, temos
R = 2·360◦ . A soma dos ângulos internos dos n triângulos
que contém as pontas vale 180◦ n. Assim, 180◦ n = S +R =
S + 720◦ implica que R = 180◦ (n − 4).
40. (Extraı́do do Torneio das Cidades) Dessa vez
Pinóquio não está mentindo. Abaixo é exibido um exemplo
com 8 triângulos possuindo os ângulos 30◦ e 120◦ .
41. Seja Z o ponto de interseção do prolongamento de AP
e BC. O triângulo 4ABZ é isósceles, pois o segmento AP
é altura e bissetriz. Logo, BZ = AB = 6 e consequentemente ZC = BC − BZ = 10 − 6 = 4. Como o triângulo
4ABZ é isósceles, BP é altura, bissetriz e mediana. Logo
P é o ponto médio de AZ. Como M já é o ponto médio
de AC, P M é a base média no triângulo 4AZC, ou seja,
P M = 2.
42. Como 4ABC é isósceles e ∠BAC = 30◦ , ∠ABC =
∠ACB = 75◦ . Sejam ∠P BQ = β, ∠P BC = θ e E a interseção de BP com QC. Como P D é mediana e altura do
4BP C, temos P C = P B. Assim, os triângulos 4P QB
e 4P BC são isósceles com ângulos das bases β e θ. Pelo
teorema do ângulo externo, segue que ∠EP Q = 2β e
∠EP C = 2θ. Assim, ∠QP C = 2β+2θ = 2∠QBC = 150◦ .
Finalmente, como 4QP C também é isósceles de base P Q,
segue que ∠P QC = 15◦ .
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