TRIGONOMETRIA
Trigonometria no triangulo retângulo
As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno, cosseno
e tangente.
Vamos determinar as relações de acordo com o triângulo BAC com lados medindo a, b e c.
A trigonometria possui diversas aplicações no cotidiano, abrange áreas relacionadas à
Astronomia, Física, Geometria, Navegação entre outras.
Construa a tabela do seno, cosseno e tangente dos ângulos mais usados 30º, 45º e 60º:
30º
45º
60º
Seno
Cosseno
Tangente
Exemplos:
1) Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos mede 60º.
2) (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x:
AD = x
DC = x - 38
BD = y
3) De um ponto A, um agrimensor enxerga o topo T de um morro, conforme um ângulo de 45º. Ao se
aproximar 50 metros do morro, ele passa a ver o topo T conforme um ângulo de 60º. Determine a altura
do morro.
4) Um observador está em um ponto A do aterro do Flamengo, no Rio de Janeiro, e vê o topo do Pão de
Açúcar segundo um ângulo de 10o com o plano horizontal. Ele anda em direção ao Pão de Açúcar até um
ponto B distante 650 m de A e agora vê o seu topo segundo um ângulo de 14o de B. Qual é a altura do
Pão de Açúcar em relação ao plano de observação? (Use tg 14o=0,2493).
Exercícios
1) Uma escada encostada em um edifício tem seus pés afastados a 50 m do edifício, formando assim, com
o plano horizontal, um ângulo de 32º. A altura do edifício é aproximadamente: (sen 32º = 05299, cos
32′ = 0,8480 e tg 32º = 0,6249)
a) 28,41m
b) 29,87m
c) 31,24 m
d) 34,65 m
2) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30º. Depois de percorrer 8 km, o avião se encontra a uma
altura de:
a)2 km
b)3 km
c)4 km
d)5 km
3) Um foguete é lançado sob um ângulo de 30 º. A que altura se encontra depois de percorrer 12 km em
linha reta?
4) Se cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60 º, calcule a medida da altura de um triângulo
equilátero de lado 20 cm.
5) (UFSM-RS) Um estudante de engenharia vê um prédio do campus da UFSM construído em um terreno
plano, sob um ângulo de 30º. Aproximando-se do prédio mais 40 m, passa a vê-lo sob um ângulo de 60º.
Considerando que a base do prédio está no mesmo nível dos olhos do estudante, então a altura h do prédio
é igual a (2,0 pontos)?
6) (CEFET-PR)Patrik, um jovem curioso, observada janela do seu quarto (A) uma banca de revistas (R),
bem em frente ao seu prédio, segundo um ângulo de 60º com a vertical.Desejando avaliar a distância do
prédio à banca, Patrik sobe seis andares (aproximadamente 16 metros) até o apartamento de um amigo
seu, e passa a avistar a banca (do ponto B) segundo um ângulo de 30º com a vertical. Calculando a
distância “d”, Patrik deve encontrar, aproximadamente, o valor? (Use
2 =1,4 e 3 = 1,7) (2,0 pontos).
7) (UEPA) O mastro CD de um navio é preso verticalmente por cabos de aço fixo na proa (A) e na popa
(B),conforme mostra a figura a seguir. Se o cabo BC mede 10
pontos)
3 m então, a altura do mastro é? (2,0
Trigonometria num triangulo qualquer
As relações vistas até aqui, somente são válidas se aplicadas no triângulo retângulo, aquele que
possui um ângulo reto (90º) e outros dois ângulos agudos.
Nos casos envolvendo triângulos quaisquer, utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos no
intuito de calcular medidas e ângulos desconhecidos.
Lei dos senos
Na lei dos senos utilizamos relações envolvendo o seno do ângulo e a medida oposta ao ângulo.
Exemplos
1- Determine o valor de x no triângulo a seguir.
2- No triângulo a seguir temos dois ângulos, um medindo 45º, outro medindo 105º, e um dos lados
medindo 90 metros. Com base nesses valores determine a medida de x.
Exercícios
1) Dado o triângulo abaixo, e sabendo que dois de seus ângulos são de 15º e 45º, respectivamente e que
o lado em comum mede 18 cm , quais são os valores dos elementos desconhecidos?
2) Determine os lados de um triângulo ∆ ABC no qual se tem o lado BC= 3 cm, o ângulo em A= 30º e o
ângulo em B= 45º.
3) Num triângulo ABC, o ângulo  mede 60º e o lado oposto mede 7 cm. Se um dos lados adjacentes ao
ângulo  mede 3 cm, qual a medida do outro lado do triângulo?
Lei dos cossenos
Utilizamos a lei dos cossenos nas situações envolvendo triângulos não retângulos, isto é,
triângulos quaisquer. Esses triângulos não possuem ângulo reto, portanto as relações trigonométricas do
seno, cosseno e tangente não são válidas. Para determinarmos valores de medidas de ângulos e medidas
de lados utilizamos a lei dos cossenos, que é expressa pela seguinte lei de formação:
Exemplos
1) Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:
2) Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine
a medida do ângulo A.
3) Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir, utilizando a lei dos cossenos.
Exercícios
1) Uma ponte deve ligar os pontos A e B indicados na figura abaixo. Para executar esse projeto, o
engenheiro responsável levantou as medidas marcadas na figura. Qual deve ser a extensão da ponte?
2) Determine o valor de x no triângulo abaixo:
x
6 cm
60º
8 cm
3) Utilizando a lei dos cossenos no triângulo ABC, determine o valor de x:
x
3 cm
60º
4 cm
Trigonometria no ciclo
Ciclo trigonométrico:
Unidades para medir arcos de circunferência
Exemplos:
1- Converta 30º em radianos.
2- Escreva
3π
rad em graus.
4
Exercícios:
1- Converta em radianos.
a) 60º
b) 45º
c) 120º
d) 210º
e) 300º
f) 100º
2- Expresse em graus:
π
a)
d)
rad
6
5π
rad
6
rad
c)
2π
rad
3
11π
rad
6
f)
3π
rad
8
π
b)
e)
4
Redução ao primeiro quadrante
•
Quando o ângulo está no segundo quadrante: 180º- ângulo.
•
Quando o ângulo está no terceiro quadrante: ângulo – 180o.
•
Quando o ângulo está no quarto quadrante: 360º –ângulo.
Exemplo
1- Determine:
a) sen 120º, cos 120º e tg 120º.
b) sen 240º, cos 240º e tg 240º.
c) sen 315º, cos 315º e tg 315º.
4π
4π
4π
, cos
e tg
.
3
3
3
5π
5π
5π
e) sen
, cos
e tg
.
6
6
6
d) sen
f)
sen 2190º e cos -750º.
Exercícios:
1)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Calcule:
sen 1845º e cos -1020º
sen 5π/4 e cos 5π/4
sen -1830º e cos 240º
sen 150º e cos 150º
sen 37π/6 e cos 25 π/6
sen – π/3 e cos -15 π/4
2) Com base nos estudos feitos em sala, justifique porque quando calculo a tangente de 90º na
calculadora aparece erro na tela.
3) Em que quadrante temos simultaneamente (0,25 cada):
a) sen x<0 e cos x<0
c) sen x>0 e cos x>0
e) sen x<0 e cos x>0
g) sen x>0 e tg x>0
b) sen x>0 e cos x<0
d) sen x<0 e cos x<0 e tg x>0
f) tg x<0 e cos x>0
h) sen x>0, cos x>0 e tgx>0