TRIGONOMETRIA
ESFÉRICA
NOTAS DE AULAS
DEFINIÇÕES
A interseção de um plano que contém o centro da esfera chama-se
círculo máximo. Se este plano não contém o centro da esfera, tem-se o
círculo menor.
DEFINIÇÕES
Quando
dois
círculos
máximos se interceptam em
um ponto, formam entre si
um ângulo esférico.
A medida de um
ângulo esférico é igual
á medida do ângulo
plano entre as
tangentes dos dois
arcos que o formam.
DEFINIÇÕES
Chamamos de triângulo
esférico à parte da superfície
da esfera limitada por 3
círculos máximos que se
cortam dois a dois.
Denotamos os ângulos de
um triângulo esférico por
letras maiúsculas (A,B,C), e
os seus lados por letras
minúsculas (a,b,c).
Um triângulo esférico não é qualquer figura de três vértices
desenhada sobre uma esfera. Para ser um triângulo esférico
esta figura tem que ter lados que sejam arcos de círculos
máximos.
DEFINIÇÕES
Tanto os seus ângulos quanto
os seus lados são medidos
em unidades angulares.
Os lados de um triângulo esférico são arcos de círculo
máximos que, divididos pelo raio da esfera nos dão o ângulo
entre os pontos que ligam.
Já os ângulos em cada vértice do triângulo esférico
representam a separação angular entre os pontos dos círculos
máximos que se interceptam naquele vértice.
DEFINIÇÕES
Os lados do triângulo são medidos pelo ângulo central de cada
face do triedro .
Os ângulos do triângulo são medidos pelos diedros correspondentes
DEFINIÇÕES
As interseções da superfície esférica com a perpendicular a um
círculo máximo que passe pelo centro da esfera (diâmetro) são
denominados polos desse círculo máximo. Os polos distam 90°
de cada ponto da circunferência do círculo máximo
correspondente.
Triângulo polar é o triângulo construído com vértices que são
os polos dos lados do triângulo dado e no mesmo hemisfério
em que se encontram esses lados.
A + a’ = 180°
B + b’ = 180 °
C + c’ = 180°
A’ + a = 180°
B’ + b = 180 °
C’ + c = 180 °
DEFINIÇÕES
TRIÂNGULO ESFÉRICO RETÂNGULO é aquele que tem
um ângulo igual a 90º.
TRIÂNGULO ESFÉRICO RETILÁTERO é aquele que tem um
lado igual a 90º.
PROPRIEDADES
Cada lado de um triângulo esférico é menor que a soma dos
outros dois e maior que a diferença.
b-c<a<b+c
A soma dos lados de um triângulo esférico é menor que 360°.
a + b + c < 360°
A soma dos ângulos de um triângulo esférico está
compreendida entre 180°e 540°.
180°< A + B + C < 540°
Cada ângulo de um triângulo esférico aumentado de 180° é
maior que a soma dos outros dois.
A + 180°> B + C
Em um triângulo esférico, ângulos iguais opõe-se lados
iguais, sendo que o maior ângulo se opõe o maior lado.
DEFINIÇÕES
A soma dos ângulos internos de um triângulo esférico é maior
que 180°. Esta diferença é chamada de Excesso Esférico (σ).
σ = A+B+C – 180°
Perímetro é a soma dos seus lados.
2p = a+ b+ c
DEFINIÇÕES
Denomina-se triângulo
de posição o triângulo
situado na esfera celeste
cujos vértices são o pólo
elevado, o astro e o
zênite.
O triângulo de posição é usado para derivar as
coordenadas do astro quando conhecida a posição
geográfica do lugar, ou determinar as coordenadas
geográficas do lugar quando conhecidas as coordenadas
do astro, Também permite fazer as transformações de um
sistemas de coordenada para outro.
DEFINIÇÕES
Os lados e ângulos do triângulo de posição são:
• Arco entre o zênite e o pólo = 90 - |φ|
• Arco entre o zênite e astro = z
• Arco entre o pólo e o astro = 90 - |δ|
• Ângulo com vértice no zênite = A (no hemisfério norte) ou A 180°(no hemisfério sul)
• Ângulo com vértice no pólo = H
• Ângulo com vértice na estrela
SOLUÇÕES EM TRIÂNGULO
ESFÉRICO
Ao contrário da trigonometria plana, não é suficiente conhecer
dois ângulos para resolver o triângulo. É sempre necessário
conhecer no mínimo três elementos: ou três ângulos, ou três
lados, ou dois lados e um ângulo, ou um ângulo e dois lados.
FÓRMULAS
AP é a perpendicular ao plano
OBC e que passa pelo vértice A.
PN e PM são as
perpendiculares aos
segmentos OB e OC.
Triângulos planos:
ANP
AMP
ONP
OMP
OAP
OAN
OAM
FÓRMULAS
∆OAN:
cos b = ON/OA
sen b = AN/OA
∆OAM:
cos c = OM/OA
sen c = AM/OA
Hipotenusa em ∆OAN e ∆OAM é OA.
α+β = a
∆ONP:
∆OMP:
cos α =
cos β =
OM/OP
ON/OP
sen α =
sen β = NP/OP
MP/OP
Hipotenusa
em ∆ONP e ∆OMP é OP.
∆ANP:
cos N = NP/AN
FÓRMULAS DOS 4
ELEMENTOS
Lei dos cossenos na trigonometria esférica
3 lados do triângulo são associados a um de seus ângulos:
cos a = cos b cos c + sen b sen c
cos A
cos b = cos a cos c + sen a sen c
cos B
cos c = cos a cos b + sen a sen b
3 ângulos do triângulo são associados a um de seus lados:
cos C
cos A = - cos B cos C + sen B sen C cos
a
cos B = - cos A cos C + sen A sen C cos
b
cos C = - cos A cos B + sen A sen B cos
c
FÓRMULAS DOS 4
ELEMENTOS
Lei dos senos na trigonometria esférica
Relacionando dos 2 lados com 2 ângulos :
sena senb senc
=
=
senA senB senC
FÓRMULAS DOS 5
ELEMENTOS
sen c. cosB = cosb. sen a - cosa.
senb. cosC
sen c. cos A = cosa. sen b - cosb.
sena. cosC
sen b. cos A = cosa. sen c - cosc.
sena. cosB
sen b. cosC = cosc. sen a - cosa.
senc. cosB
senc.
ctgb
= senA.
ctgB +sen
cosc.
A
sen a.
cosB
= cosb.
c cos
- cosc.
senc.
senb.ctga
cos =
A senB. ctgA + cosc. cosB
senb.
ctga
= senC.
ctgA sen
+ cosb.
sen a.
cosC
= cosc.
b -cosC
cosb.
senb
senc.ctgc
cos =AsenA. ctgC + cosb. cos A
sena. ctgb = senC. ctgB + cosa. cosC
sena. ctgc = senB. ctgC + cos a. cosB
3 lados e 2
ângulos
2 lados, 1 ângulo e 1
ângulo
compreendido
FÓRMULAS DE BORDA
Calcular os ângulos do triângulo esférico em função somente
dos 3 lados do triângulo.
A
tan =
2
cos(b − c) − cos a
cos a − cos(b + c)
B
=
2
cos( a − c) − cos b
cos b − cos( a + c)
C
tan =
2
cos( a − b) − cos c
cos c − cos( a + b)
tan
Relações entre distância zenital (z),
azimute (A), ângulo horário (H), e
declinação (δ)
Pela fórmula dos cossenos:
1. cos z = cos(90°-φ) cos (90°-δ)+sen(90°-φ) sen(90°-δ)cos H
Temos
cos z = senφsenδ+cosφ cosδcos H
cos H = cosz secφsecδ- tanφ tanδ
2. cos (90°-δ) = cos(90°-φ) cos z + sen(90°-φ) sen z cos A
Temos
sen δ = senφcosz+cosφ senz cos A
cos A = senδ csc z secφ - tanφ cotg z
DETERMINAÇÃO DO ÂNGULO
ENTRE DOIS ASTROS
Determinar o
ângulo CA entre
dois astros