Matemática 2
Pedro Paulo
GEOMETRIA PLANA IV
1 – CLASSIFICAÇÃO
De acordo com o gênero (número de lados),
os
polígonos
podem
receber
as
seguintes
denominações:
Gênero
Na figura 2, o quadrilátero
foi dividido em
triângulos. Como a soma dos ângulos de
cada triângulo é
, a soma dos ângulos do
quadrilátero
é
.
Nome
Triângulo
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
Undecágono
Dodecágono
Pentadecágono
Icoságono
Figura 3: soma dos ângulos internos de um pentágono
Para outros valores de , diz-se “polígono de
Na figura 3, o pentágono
foi dividido
em
triângulos. Como a soma dos ângulos de
cada triângulo é
, a soma dos ângulos do
pentágono
é
.
lados”.
2 –SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
Se
são os ângulos internos de um
triângulo, já sabemos que
, como está
ilustrado na figura abaixo, em que foi traçada por
uma reta paralela a
.
Figura 1: soma dos ângulos internos de um triângulo
Para calcular a soma dos ângulos internos de
um polígono com mais que três lados, basta dividí-lo
em vários triângulos, como está ilustrado nas figuras
abaixo:
Figura 4: soma dos ângulos internos de um hexágono
Na figura 4, o hexágono
foi dividido
em
triângulos. Como a soma dos ângulos de
cada triângulo é
, a soma dos ângulos do
hexágono
é
.
De maneira geral, um polígono de
lados
pode ser dividido em
triângulos. Como a soma
dos ângulos de cada triângulo é
, a soma dos
ângulos internos de um polígono de lados é
Figura 2: soma dos ângulos internos de um quadrilátero
CASD Vestibulares
Geometria
1
3 –SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS
4 – NÚMERO DE DIAGONAIS
Um ângulo externo de um polígono é o
suplemento de um ângulo interno correspondente. Isso
pode ser visualizado na figura abaixo:
Em um triângulo (que é um polígono com
lados), o número de diagonais é , pois cada vértice é
adjacente aos outros dois vértices.
Em um polígono com mais lados, para calcular
o número toral de diagonais, deve-se primeiro calcular
o número de diagonais que sai de cada vértice, como
está ilustrado na figura abaixo:
Figura 6: diagonais de um quadrilátero
Figura 5: ângulos externos de um triângulo
No triângulo
Note que:
,
são ângulos externos.
Sejam
internos e
Então
a soma dos ângulos
a soma dos ângulos externos.
Somando as três equações, tem-se que:
De maneira geral, se
é um ângulo externo a
um ângulo interno , tem-se que
.
Em um polígono de lados, sejam a
soma dos ângulos internos e
a soma dos ângulos
externos. Então
.
forma
Cada vértice do polígono tem uma equação da
. Somando as equações:
Logo, em qualquer polígono, independentemente do
número de lados, a soma dos ângulos externos é
2
Tomando o vértice
do quadrilátero
,
temos que ele possui e como vértices adjacentes,
isto é, ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅ são lados. Além disso, para traçar uma
diagonal, não podemos ligar o ponto
a ele mesmo.
Logo, para traçar uma diagonal partindo do ponto ,
não podemos ligá-lo a
pontos
): sobram
ponto para ser ligado ao ponto , que é o
ponto . Então
é diagonal!
Tomando o vértice , sobram
ponto
para ser ligado, que é o ponto . Então
é diagonal!
Tomando o vértice , sobram
ponto
para ser ligado, que é o ponto . Então
é diagonal!
Tomando o vértice , sobram
ponto
para ser ligado, que é o ponto . Então
é diagonal!
Como são
vértices, e de cada vértice sai
diagonal, alguém pode pensar que o
número total de diagonais é
.
No entanto, note que a diagonal
foi contada
2 vezes (1 vez saindo do vértice e 1 vez saindo do
vértice ) e a diagonal
foi contada 2 vezes (1 vez
saindo do vértice e 1 vez saindo do vértice ). Cada
diagonal então é contada vezes. Portanto, para fazer
a contagem correta, deve-se dividir o número total por
. Portanto, o número de diagonais do quadrilátero
é
Fazendo a conta, tem-se que:
De fato, na figura 6 pode-se ver que as únicas
diagonais do quadrilátero
são
e
.
Pode-se repetir o mesmo raciocício com um
pentágono, como está ilustrado na figura a seguir:
Geometria
CASD Vestibulares
5 – POLÍGONOS REGULARES
Diz-se que um polígono é equilátero quando
todos os seus lados são congruentes.
Diz-se que um polígono é equiângulo quando
todos os seus ângulos internos são congruentes.
Diz-se que um polígono é regular quando é
equilátero e equiângulo, isto é, todos os seus lados e
ângulos internos são congruentes.
Figura 7: diagonais de um pentágono
Tomando o vértice
do pentágono
,
temos que ele possui
,
e
como vértices
adjacentes, isto é, ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅ são lados. Além disso, para
traçar uma diagonal, não podemos ligar o ponto a ele
mesmo. Logo, para traçar uma diagonal partindo do
ponto , não podemos ligá-lo a
pontos
):
sobram
pontos para serem ligados ao ponto
, que são os pontos
e . Então
e
são
diagonais!
Tomando o vértice , sobram
pontos
para serem ligados, que são os ponto e . Então
e
são diagonais!
Tomando o vértice , sobram
pontos
para serem ligados, que são os ponto e . Então
e
são diagonais!
Tomando o vértice , sobram
pontos
para serem ligados, que são os ponto e . Então
e
são diagonais!
Tomando o vértice , sobram
pontos
para serem ligados, que são os ponto e . Então
e
são diagonais!
Como são vértices, e de cada vértice saem
diagonais, alguém pode pensar que o
número total de diagonais é
.
No entanto, note que a diagonal
foi contada
2 vezes (1 vez saindo do vértice e 1 vez saindo do
vértice ) e a diagonal
foi contada 2 vezes (1 vez
saindo do vértice e 1 vez saindo do vértice ). Cada
diagonal então é contada vezes. Portanto, para fazer
a contagem correta, deve-se dividir o número total por
. Portanto, o número de diagonais do pentágono
é
Fazendo a conta, tem-se que:
5.1 – Ângulo interno
Em um polígono regular de lados, todos os
seus ângulos internos são iguais. Seja
a medida
de cada ângulo interno. Como a soma dos ângulos
internos é
, tem-se que:
5.2 – Ângulo externo
Em um polígono regular de lados, todos os
seus ângulos externos são iguais. Seja
a medida
de cada ângulo externo. Como a soma dos ângulos
internos é
, tem-se que:
5.3 – Diagonais que passam pelo centro
Em um polígono regular de lados, seja
o
número de diagonais que passam pelo seu centro. Há
duas possibilidades: é par ou é ímpar
Caso 1:
é par; nesse caso, existem
pares de
vértices opostos (por exemplo, em um quadrado
com
lados, há
pares de vértices
opostos: e , e ). Cada par de vértices opostos
pode ser ligado por uma diagonal, que passa pelo
centro (no caso do quadrado, as diagonais que
passam pelo centro são
e
).
Logo, no caso 1,
De fato, na figura 7 pode-se ver que as únicas
diagonais do pentágono
são
,
,
e
.
De maneira geral, em um polígono de lados,
de cada um dos
vértices saem
diagonais.
alguém pode pensar que o número total de diagonais é
, mas como cada diagonal é contada vezes,
deve-se dividir o produto por para fazer a contagem
correta. Portanto, o número de diagonais do polígono
de lados é
CASD Vestibulares
Caso 2:
é ímpar; nesse caso, simplesmente
nenhuma diagonal passa pelo centro
Logo, no caso 2,
Observação: naturalmente, se de um total de
diagonais,
diagonais passam pelo centro, o número
de diagonais que não passam pelo centro é
,
nos dois casos acima.
Geometria
3
Exercício Resolvido 1:
Exercício Resolvido 3:
A soma dos ângulos internos com a dos
ângulos externos de um polígono regular vale
.
Determine o número de diagonais do polígono.
Aumentando o número de lados de um
polígono em , seu número de diagonais aumenta em
. Determine o número de diagonais desse polígono.
Resolução:
Resolução:
Seja o número de lados do polígono original.
Então o seu número de diagonais é:
Usando as fórmulas para a soma dos ângulos
internos e a soma dos ângulos externos:
Para o polígono de
(
lados, tem-se:
)
Calculando o número de diagonais:
O número de diagonais aumentou em
Resposta: O polígono tem
, logo:
diagonais.
Exercício Resolvido 2:
Calculando o número de diagonais do polígono
original, tem-se:
A soma dos ângulos internos de um polígono
regular é
. Qual é o número de diagonais deste
polígono, que não passam pelo seu centro?
Resolução:
Resposta: O polígono tem
Da fórmula da soma dos ângulos internos:
diagonais.
Exercício Resolvido 4:
Atividade Proposta nº 5, Geometria Plana IV
Resolução:
Como o polígono tem
lados, a soma dos
seus ângulos internos é
, isto é, a
soma de todos os
ângulos é um múltiplo de
.
Seja
a soma dos
ângulos internos e
o
ésimo ângulo interno que falta. Então:
O número total de diagonais é:
Como
é par,
diagonais passam
pelo centro do polígono. Logo o número de diagonais
que não passam pelo centro é
diagonais.
Resposta:
seu centro.
diagonais do polígono não passam pelo
Assim,
é um múltiplo de
maior do que
. Além disso, como
é um ângulo interno, é
menor do que
. Então:
Logo, é um múltiplo de
e menor do que
. Logo
maior do que
só pode ser
Resposta: Alternativa D
4
Geometria
CASD Vestibulares
11. (UECE - 10) Sejam e polígonos regulares. Se
é um hexágono e se o número de diagonais do ,
partindo de um vértice, é igual ao número total de
diagonais de
então a medida de cada um dos
ângulos internos de é
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I
1. Atividade Proposta nº 4, Geometria Plana IV
a)
c)
2. Atividade Proposta nº 6, Geometria Plana IV
3. (UNITAU - 95) O polígono regular convexo em que
o
o
o n . de lados é igual ao n . de diagonais é o:
a) dodecágono.
d) hexágono.
b) pentágono.
e) heptágono.
c) decágono.
4. (UECE - 14) Se, em um polígono convexo, o
número de lados é um terço do número de diagonais,
então o valor de é
a)
b)
c)
d)
5. (UNESP - 01) O número de diagonais de um
polígono convexo de lados é dado por
. Se o polígono possui diagonais,
seu número de lados é
a)
b)
c)
d)
graus.
graus.
b)
d)
graus.
graus.
12. (ITA - 01) De dois polígonos convexos, um tem a
mais que o outro
lados e
diagonais. Então, a
soma total dos números de vértices e de diagonais dos
dois polígonos é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
13. (UEPG - 14) O polígono regular
tem lados e o
polígono regular
tem
lados. Se o ângulo
externo de
excede o ângulo externo de
em
,
assinale o que for correto.
01) O polígono
é um octógono.
02) Cada ângulo interno de
vale
04) O número de diagonais de
é
08) O número de diagonais de
é
16) A soma dos ângulos internos de
é
e)
14. Atividade Proposta nº 7, Geometria Plana IV
6. (MACKENZIE - 98). Os ângulos externos de um
polígono regular medem
. Então, o número de
diagonais desse polígono é:
15. Atividade Proposta nº 10, Geometria Plana IV
a)
16. (ITA - 98)
Considere as afirmações sobre
polígonos convexos:
b)
c)
d)
e)
7. (UFSCAR - 00)
Um polígono regular com
exatamente
diagonais tem
a)
d)
lados.
lados.
b)
e)
lados.
lados.
c)
lados.
8. O ângulo interno de um polígono regular mede
Quantas diagonais passam pelo centro?
.
Nível II
9. Atividade Proposta nº 9, Geometria Plana IV
10. (UNIFESP - 08) A soma de
ângulos internos
de um polígono convexo de lados é
. O ângulo
remanescente mede
a)
b)
c)
d)
e)
I) Existe apenas um polígono cujo número de
diagonais coincide com o número de lados.
II) Não existe polígono cujo número de diagonais seja
o quádruplo do número de lados.
III) Se a razão entre o número de diagonais e o de
lados de um polígono é um número natural, então o
número de lados do polígono é ímpar.
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.
c) Apenas (I) é verdadeira.
d) Apenas (III) é verdadeira.
e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.
17. (FUVEST – 98) Dois ângulos internos de um
polígono convexo medem
cada um e os demais
ângulos internos medem
cada um. O numero de
lados do polígono é:
a)
b)
c)
d)
e)
18. Atividade para Sala nº 1, Geometria Plana IV
19. Atividade para Sala nº 4, Geometria Plana IV
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Geometria
5
8. Determine o número de lados
do seu ângulo interno:
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
do polígono a partir
1. Como o heptágono é regular, cada ângulo externo
vale
2. Para formar o primeiro hexágono, Rafael precisará
de
palitos. Para formar cada um dos hexágonos
seguintes, Rafael precisará de palitos. Como o total
de hexágonos é , Rafael usa palitos em hexágono
e
palitos em
hexágonos. Portanto, o total d
palitos de que Rafael precisará é
3. Resolva a equação
é ímpar!
9. Como o ângulo interno é o dobro do ângulo externo, temse que
. Além disso:
:
Não se esqueça de que
10. Como o polígono tem
lados, a soma dos seus
ângulos internos é
, isto é, a soma de
todos os
ângulos é um múltiplo de
. Seja
a soma dos
ângulos internos e
o
ésimo ângulo interno que falta. Então:
, logo:
4. Resolva a equação
:
Assim,
é um múltiplo de
maior do que
. Além disso, como
é um ângulo interno, é
menor do que
. Então:
Não se esqueça de que
5. Do enunciado,
Lembre-se de que
, logo:
Logo, é um múltiplo de
maior do que
e menor do que
. Logo, só pode ser
. Então, tem-se:
11. De cada vértice de um polígono de lados, partem
diagonais. Então
(pois
o polígono tem lados). Então, tem-se:
deve ser um inteiro positivo
6. Determine o número de lados
do seu ângulo externo:
do polígono a partir
No polígono
A partir do número de lados , determine o número de
diagonais :
7. Resolva a equação
Lembre-se de que
6
, tem-se:
(
)
:
deve ser um inteiro positivo
Geometria
CASD Vestibulares
12. Seja o número de lados do polígono com menos
lados. Então o seu número de diagonais é:
Para o outro polígono (que tem
(
lados):
)
O número de diagonais aumentou em
, logo:
14. Nesta questão, é mais simples olha para o ângulo
externo
. Como o ângulo interno
é um número
inteiro e
, tem-se que o ângulo externo
também é um número inteiro. Além disso, sabe-se
que
, logo
é um divisor de
. Sabese que o número
possui
divisores. No entanto,
os valores de
(correspondente a
)e
(correspondente a
)
devem ser desprezados, pois
15. A princípio, há três casos para o arranjo dos
ladrilhos de forma a completar
: são utilizados
ou mais octógonos (caso 1), é utilizado
octógono
(caso 2) ou são utilizados octógonos (caso 3)
Note na tabela que o ângulo interno do octógono é
Caso 1: São utilizados
completar
Isso é um absurdo, pois
esse caso é impossível.
de
Calculando o número de diagonais do polígono
lados, tem-se:
O outro polígono tem
lados e
diagonais. Então, a
soma total dos números de vértices e de diagonais dos
dois polígonos é
13. Como
tem
lados, o seu ângulo externo
é
. Como
tem
lados, o seu ângulo externo
é
. Como
excede
em
, tem-se:
Multiplicando por
ou mais octógonos para
. Logo
Caso 2: É utilizado octógono para completar
Nesse caso, restam
para serem
preenchidos apenas por ângulos internos de outro
polígono. Mas isso é um absurdo, pois
não é
múltiplo de nenhum ângulo interno de polígono. Logo
esse caso é impossível.
Caso 3: São utilizados
octógonos para completar
Nesse caso, restam
para serem
preenchidos apenas por ângulos internos de outro
polígono. Logo o espaço que falta deve ser preenchido
por um quadrado.
16. Compare a expressão de
com
No item I), resolva a equação
:
:
, tem-se:
No item II), resolva a equação
:
01) Note que
02)
No item III), note que
Assim:
04)
08)
17. Seja o número de lados do polígono. Então ele
tem
ângulos. Logo
ângulos valem
e
ângulos valem
. A soma deles é
.
Então:
16)
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Geometria
7
18. A figura do problema é a seguinte:
GABARITO
1. E
2. B
3. B
4. E
5. D
6. C
7. B
Na figura, o ângulo interno de cada placa (que ´um
pentágono regular) é , enquanto o ângulo interno do
polígono de lados (
ágono) formado pela placa é
Como é o ângulo interno de um polígono regular:
8. Nenhuma diagonal passa pelo centro
9. B
10. B
Da figura, tem-se que
11. B
. Então:
12. B
13. B
Como
é o ângulo interno do
ágono regular:
14. V F V F V
15. D
16. B
17. D
18. C
19. A figura da questão é a seguinte:
19. C
é o número de triângulos formados: então, como em
cada triângulo a soma dos ângulos internos é
,a
soma total dos ângulos internos seria
Na figura acima, pode-se notar que ao redor de cada
bolha tem-se
; então, como são bolhas, a soma
dos ângulos internos ao redor de todas as bolhas é
Finalmente, como o vidro é pentagonal,a soma dos
ângulos internos do pentágono é
.
Da figura acima, tem-se que:
8
Geometria
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