Aula 1_3
Campo Elétrico
Carga Distribuída
Física Geral e Experimental III
Prof. Cláudio Graça
Capítulo 2
Campos Elétricos de distribuições
contínuas de carga elétrica
•
Fundamentos:
(Lei de Coulomb + Princípio da Superposição)
Campos Elétricos de distribuições
contínuas de carga elétrica
•
Fundamentos:
(Lei de Coulomb + Princípio da Superposição)
Tipos de distribuição contínua de carga:
Campos Elétricos de distribuições
contínuas de carga elétrica
•
Fundamentos:
(Lei de Coulomb + Princípio da Superposição)
•
Exemplos:
carga volumétrica; superficial; linear
• Linha de carga infinita
E(r) = ?
r
++++++++++++++++++++++++++
Campos Elétricos de distribuições
contínuas de carga elétrica
•
Fundamentos: (Lei de Coulomb + Princípio da Superposição)
permanecem os mesmos.
•
Mudanças:
∑
⇒
∫
• Outro Exemplo: Anel de carga
Densidade de Carga
• Como representar uma carga “q” distríbuida em um objeto?
Carga total
q
Elementos de carga
dq
• Linha de carga:
λ
= carga/m
• Superfície de carga:
σ
= carga/m2
dq = λ dx
dq = σ dA
• Volume de carga:
ρ
= carga/m3
dq = ρ dV
Geometria para o cálculo do campo
dq = ρ( r )dv
r
r̂
dE = ρ( r ) r 2 dv
r
r
r̂
E = ∫∫∫ k ρ( r ) r 2 dv
r
v
r r r
r = r ' − r ''
r r
r ' − r ''
r̂ = r ' r ''
r −r
1
1
=
r 2 rr ' − rr ''
2
r
r
r
r ' − r"
E = ∫∫∫ k ρ ( r ) r r 3 dv
r ' − r"
v
Geometria para o cálculo do campo
r
r̂
E = ∫∫∫ k ρ( r ) r 2 dv
r
v
r r
r ' − r ''
r r ' r ''
r = r − r ; r̂ = r ' r ''
r −r
1
1
=
r 2 r ' r ''
r
r −r
2
Substituindo teremos:
1
r ' r ''
r −r
2
r ' r ''
r ' r ''
r −r
r −r
=
r ' r ''
r ' r '' 3
r −r
r −r
r ' r ''
r
r −r
E = ∫∫∫ k ρ( r ) r' r'' 3 dv
v
r −r
Exemplos: Distribuição contínua de carga
Fundamentos:
E(r) = ?
principio da superposição
r
“somar o campo elétrico produzido
++++++++++++++++++++++++++
por cada elemento de carga,
utilizando o principio a superposição
para obter o campo final”
Aplicar:
• Utilizar a Lei de Coulomb para calcular o campo dE produzido por
cada elemento de carga
• Planeje a integracão ao longo da linha usando os limites…
•
x: {de
-∞ a +∞}
ou
θ: {de - π/2 a
+π/2}
dE
θ
-∞
dq
++++++++++++++++++++++++++++
x
+∞
• Procure as simetrias ? Isto pode ajudar com simplificações.
Linha de carga
y
Densidade de carga = λ
r r
r
r '− r "
dE = k λ r r 3 dx
r '− r "
r
r" = xî
r ˆ
r ' = Yj
dE
r ˆ
r ' = Yj
r k λdx( Yˆj − xî )
dE =
3
2
2 2
x +Y
θ
r
++++++++++++++++ x
r
r" = xî dx
Devemos somar todas as
contribuições dE de cada
segmento dx para o campo
total.
Linha de carga
y
Densidade de carga = λ
dE
r k λdx( Yˆj − xî )
θ
r
r ˆ
dE =
3
r ' = Yj
2
2 2
x +Y
++++++++++++++++
r
r
r" = xî dx
k λxdx
dEx = −
x +Y
2
3
2 2
r
k λYdx ˆ
dE y =
j
3
2
2 2
x +Y
x
î
Devemos somar todas as
contribuições dE de cada
segmento dx para o campo
total.
Linha de carga
r
k λxdx
dEx = −
î
3
x2 + Y 2 2
r
k λYdx ˆ
dE y =
j
3
x2 + Y 2 2
Ex = −kλ ∫
x
E y = kλY ∫
x
xdx
(x
2
(x
2
+Y
dx
+Y
)
3
2 2
)
3
2 2
r
k λxdx
Ex = ∫ dEx = ∫ −
3
2
2
x
x
x +Y 2
r
k λYdx
E y = ∫ dE y = ∫
3
x
x
x2 + Y 2 2
Linha de carga
u = x 2 + Y 2 , du = 2 xdx
Fazendo
∫
x
xdx
(x
2
+Y
)
3
2 2
1
2 xdx
1 du 1 ⎡− 2 ⎤ ⎡ 1 ⎤
= ∫
= ∫ 3 = ⎢ 1 ⎥ = ⎢− 1 ⎥ =
3
2 x ( x 2 + Y 2 )2 2 u u 2 2 ⎣ u 2 ⎦ u ⎣ u 2 ⎦ u
⎡
⎤ cosθ
−1
=⎢
=
1 ⎥
2
2 2
Y
⎢⎣ (x + Y ) ⎥⎦ x
Fazendo
∫
x
dx
(x
2
+Y
θ
x
d
Ydθ
= tanθ ; dx = Y
tanθdθ = Y ( 1 + tan 2 θ )dθ =
Y
dθ
cos 2 θ
)
3
2 2
Como senθ =
Ydθ
1
1
senθ
= 3∫
= 2 ∫ dθ cos θ = 2
3
−
2
2
2
Y θ cos θ (cos θ )
Y θ
Y
x
x2 + Y 2
∫
x
dx
(x
2
+Y
)
3
2 2
=
x
Y (x +Y )
2
2
2
1
2
x
Linha de carga
⎡ kλY ⎤ kλ
= senθ θ
Ex = ⎢
1 ⎥
⎢⎣ (x 2 + Y 2 ) 2 ⎥⎦ x Y
Ey x =
kλx
Y( x + Y )
2
2
1
2
x
kλ
= cosθ θ
Y
Linha de carga
kλ
θ
Ex = senθ θ
Y
kλ
θ
E y = cosθ θ
Y
2
Linha Infinita:
1
Semi-infinita
2
1
Linha Infinita:
Semi-infinita
finita
finita
⎧ π π⎫
θ ⎨− ; ⎬
⎩ 2 2⎭
⎧ π⎫
θ ⎨0; ⎬
⎩ 2⎭
θ {θ1 ;θ 2 }
2kλ
E x = 0; E y =
Y
kλ
kλ
Ex = − ; E y =
Y
Y
kλ
kλ
Ex = (senθ 2 − senθ1 ); E y = (cosθ 2 − cosθ1 )
Y
Y
Linha de carga
2kλ
E x = 0; E y =
Y
kλ
kλ
Ex = − ; E y =
Y
Y
Linha infinita:
Semi-infinita
y
y
E
θ
+++++++++++++++++++++++++
x
r
++++++++++++++++ x
dx
Linha de carga infinita
dE
y
Usamos a Lei de Coulomb para obter
dE:
1
dq
dE =
4 πε 0 x 2 + Y 2
Y
θ
r
Carga dq em função de dx?
dq = λ dx
Posição r em função de x e Y?
r = ( x 2 + Y 2 )1 / 2 =
Y
cos θ
Portanto,
dE =
1
λdx
4πε0 (Y / cos θ)2
1 λcos2 θdx
dE=
4πε0
Y2
++++++++++++++++ x
x
dx
Mas x e θ não são independentes!
x = Y tanθ
dx = Ysec2θ dθ
dE =
1 λdθ
4πε0 Y
Linha de carga Infinita
• Componentes:
Ey
y
dE
θ E
x
1 λdθ
sinθ
dEx = −
4πε0 Y
Y
dE y = +
1 λdθ
cos θ
4πε0 Y
θ
r
++++++++++++++++ x
dx
• Integração:
1 λdθ
1 λ cos θ
E x = ∫ dE x = − ∫
senθ =
4πε o Y
Y
− π/ 2 4πε o
+ π/ 2
1 λdθ
1 λ
E y = ∫ dE y = ∫
cos θ =
senθ
4πε o Y
Y
− π/ 2 4πε o
+ π/ 2
+π
2
−π
2
+π
2
−π
2
Linha de carga infinita
y
• Solução:
dE
+π / 2
∫sinθ dθ = 0
−π / 2
+π / 2
∫cosθ dθ = 2
Ex = 0
1 2λ
Ey =
4πε0 Y
−π / 2
• Conclusão:
Y
θ
r
++++++++++++++++++x
dx
O campo elétrico produzido por uma
linha infinita de carga:
– é perpendicular a todos os pontos da linha
– é proporcional à densidade de carga
– diminui com 1/r.
Linha de carga infinita
r
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
x
• Conclusão:
O campo elétrico produzido por uma
linha infinita de carga:
– é perpendicular a todos os pontos da linha
– é proporcional à densidade de carga
– diminui com 1/r.
Campo de um plano infinito de carga
¾ O campo elétrico devido a uma linha
Infinita de carga vale:
dE =
2kλ 2kσdy
=
r
r
• λ é a densidade linear [C/m] e
• σ é a densidade superficial [C/m2]
r=
Z
= Z secθ ;
cosθ
y = Z tanθ ; dy = Z sec 2 θdθ
2kσZ sec 2 θdθ
= 2kσ secθdθ
¾ Portanto: dE =
Z secθ
Utilizando os argumentos de simetria conclui-se que : Ex=0; Ey=0
dE z = dE cosθ = 2kσ secθdθ cosθ = 2kσdθ
π 2
E z = 2kσ
∫
π
−
dθ = 2πkσ =
2
σ
2ε o
Portanto o campo é constante e
Independente de Z.
Distribuição esférica de carga
DISTRIBUIÇÃO ESFERICAMENTE SIMÉTRICA
• Condutor
• Isolante
Modelo de Dalton
Modelo de Thomson
Modelo atômico de
Rutherford
Campo de uma distribuição casca esférica de carga
q
q
=
; dq = σdA = σ ( 2πRsenθ )Rdθ
A 4πR 2
= σ 2πR 2 senθdθ
σ=
kdq
kσ 2πR 2 senθdθ
dE x = 2 cos α =
cos α
2
r
r
r 2 = x 2 + R 2 − 2 xR cos θ ∴ 2rdr = 2 xRsenθdθ
rdr
senθen =
xR
x2 + r 2 − R2
2
2
2
R = x + r − 2 xr cos α ∴ cos α =
2 xr
x2 − R2
kσ 2πR 2 rdr x 2 + r 2 − R 2 kσπR
)dr
= 2 (1 +
dE x =
2 xr
r2
r2
xR
x
kσπR x + R
x2 − R2
E x = 2 ∫x − R ( 1 +
)dr
x
r2
x+ R
kσπR ⎡
x2 − R2 ⎤
= 2 ⎢r −
x ⎣
r ⎥⎦ x − R
=
kσπR ⎡
(x + R ) − (x − R ) − (x 2 − R 2 )⎛⎜ 1 − 1 ⎞⎟⎤⎥
2
⎢
x ⎣
⎝ x + R x − R ⎠⎦
Campo de uma distribuição esférica de carga
kσπR x + R
x2 − R2
E x = 2 ∫x − R ( 1 +
)dr
2
x
r
x+ R
kσπR ⎡
x2 − R2 ⎤
= 2 ⎢r −
x ⎣
r ⎥⎦ x − R
kσπR ⎡
1
1 ⎞⎤
2
2 ⎛
(
)
(
)
(
)
= 2 ⎢ x+R − x−R − x −R ⎜
−
⎟⎥
x ⎣
x
R
x
R
+
−
⎠⎦
⎝
=
kσπR ⎡
2
2 ( r − R ) − ( r + R )⎤
(
)
R
x
R
−
−
2
2
⎢
(x + R )(x − R ) ⎥⎦
x ⎣
kσπR
= 2 (2 R + 2 R )
x
kσ 4πR 2
q
;
E
k
=
=
x
x2
x2
Consequentemente o campo de uma casca
é idêntico ao de uma carga pontual no
centro da caca.
Para o campo no interior da casca, deve-se alterar os limites
de integração:
x+ R
x2 − R2 ⎤
kσπR ⎡
=0
E x = 2 ⎢r −
x ⎣
r ⎥⎦ R − x
Blindagem eletrostática
Campo por uma esfera maciça de carga
O campo de uma esfera, pode ser calculado pela soma dos campos de n
cascas de espessura infinitesimal, portanto
k
kq
Er = ∫ dq = 2
rn
r
Para campos no interior da esfera, a carga que entra no cálculo, é devida
às cascas no interior do ponto:
q 4 3 qr 3
4πr 3
qr = ρ
r = 3
=
4 33
R
3
πR
3
kq
kq
E r < R = 2r = 3 r
R
r
Resumo:Distribuições de campo elétrico
1/ r4
Quadrupolo
~ 1 / r3
Dipolo
Carga pontual ou esférica
Linha infinita
de carga
Plano infinito de carga
~ 1 / r2
~1/r
1 / r0
constante
Problema
• Considere um anel circular com densidade
uniforme de carga (λ C/m) . A carga total do
anel é +Q.
• Qual é o valor do campo elétrico na origem?
(a)
zero
(b)
1 2πλ
4πε 0 R
1 πRλ
(c)
4πε 0 R 2
+ +++
+
+
+
+
+
+
+
++
R
++ +
+
+
+
+
+
+
• Relembre que o campo total, na origem, é SOMA VETORIAL de todas
as contribuições dos elementos de carga.
• Se a soma fosse ALGÉBRICA o resultado correto seria a opção (b)
faça esse exercício.
• Cada contribuição de um elemento de carga é anulada pela
contribuição do elemento oposto!!
• Portanto, a SOMA VETORIAL, de todas as contribuições será ZERO!
Campo criado por um anel de carga
No ponto : P(0,0, z), por um anel de raio r" = a.
r r
r
dq
r '− r "
E = k ∫ r r 2 dr̂ = kλ ∫ r r 3 dl
c r '− r "
c r '− r "
r
r ' = zk̂
r
r " = x î + yĵ = a cos θî + asenθĵ
r r
r '− r " = (z 2 + a 2 )1/ 2
2π
r
zk̂ − a cos θî − asenθĵ
E = kλ ∫
adθ
2
2 3/ 2
z +a
0
(
)
Ex = 0
Por simetria
Ey = 0
r
kqz
k̂
Ez = 2
2 3/ 2
(z + a )
Campo criado por um anel de carga
Ex = 0
Ey = 0
r
kqz
Ez =
z2 + a 2
(
)
3/ 2
k̂ =
kqz
⎡ ⎛a⎞
z ⎢1 + ⎜ ⎟
⎢⎣ ⎝ z ⎠
3
2 3/ 2
⎤
⎥
⎥⎦
k̂
3/ 2
⎡ ⎛ a ⎞2 ⎤
3
como, ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ≅ 1 − (a / z) 2 + ...
2
⎢⎣ ⎝ z ⎠ ⎥⎦
kq
,
Ez ≅
2
⎤
⎡
3⎛a⎞
z 2 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ 2 ⎝ z ⎠ ⎥⎦
kq
para z >> a; E z ≅ 2 .
z
O anel se comporta como
um monopolo de carga
Campo criado por um disco de carga
Disco de carga com raio “a”
dq = σdA
onde dA = db.bdθ onde r" = b e dl = bdθ
σdA
σr" dθdb z
dE z = k 2 cos α = k
r
r2
b
θ = {0;2π }; b = {0; a}
2π
bdb
=
2
2 3/ 2
0 (z + b )
a
E z = kσz ∫ dθ ∫
0
⎡
⎤
z
2bdb
= kπσa ∫ 2
= 2πσ k ⎢1 − 2
2 3/ 2
2 1/ 2 ⎥
0 (z + b )
⎣ (z + a ) ⎦
a
para z = 0, E = 0; só pelos argumentos de simetria
e para a → ∞, mantendo z finito,
E → 2kπσ =
O campo se torna constante
σ
2ε o
Limitações da Lei de Coulomb
Ou seja o cálculo do campo
não pode incluir o domínio da
carga!!! Como se enfrenta
este problema?
Q
E = k 2 ⇒ ∞ quando r → 0
r
Exemplos:
2π
• Campo no
centro do disco:
a
E z = kσz ∫ dθ ∫
r ≠0
0
(z
rdr
2
+r
)
2 3/ 2
=
⎧⎪⎡
⎤ ⎡
z
z
= kπσa ∫
=
πσ
−
−
−
2
k
1
1
⎢
⎥
⎢
⎨
1/ 2
2
2 3/ 2
z 2 + a 2 ⎥⎦ ⎢⎣
z2 + r2
⎪⎩⎢⎣
r z +r
cujo limite para r → o, agora é realmente zero! !!
a
(
2rdr
)
(
)
(
⎤ ⎫⎪
1/ 2 ⎥ ⎬
⎥⎦ ⎪⎭
)
• Campo devido a uma linha de carga infinita:
Ex = 0
Ey =
1 2λ
4πε0 Y
As duas componentes para um ponto no infinito, tenderiam a
zero, o que é uma incoerência pois existe carga lá, lembre-se a
linha é infinita.... A lei de Coulomb não se aplica a pontos onde
exista carga, pois E ⇒ ∞
Campo criado por um plano de carga
para z = 0, E → 0
e para a → ∞, E → 2kπσ =
σ
2ε o
O campo se torna constante
++++++++++++++++++++++++++
E=
σ
2ε o
Campo criado por dois planos de carga
para z = 0, E → 0
e para a → ∞, E → 2kπσ =
σ
2ε o
O campo se torna constante
E=0
++++++++++++++++++++++++++
σ
E=
εo
-------------------------E=0
•
Movimento de cargas elétricas
em campos elétricos
r
r
Relembre a definição do campo elétrico F = qE
• Relembre da Física I
r
r
F = ma
r q r
⇒ a= E
m
• Considere partículas com carga e massa movendose no campo elétrico.
Observe que uma partícula movendo-se num campo elétrico, é
semelhante ao movimento de projéteis…
ax = 0
vx = vox
x = xo + voxt
ay = constante
vy = voy + at
y = yo + voyt + 1/2 at2
Movimento de cargas elétricas
em campos elétricos
• Considere o seguinte campo elétrico, com um
elétron colocado na posição indicada.
++++++++++++++++++++++++++
d
e-------------------------Qual será a velocidade do elétron quando ele atingir a placa positiva?
d = 10 cm, E = 100 N/C, e = 1.6 x 10-19 C, m = 9.1 x 10-31 kg
Movimento de cargas elétricas
em campos elétricos
++++++++++++++++++++++++++
vo = 0, yo = 0
vf2 – vo2 = 2aΔx
ou,
⎛ qE ⎞
v 2f = 2⎜ ⎟Δx
⎝m⎠
e--------------------------
⎡ (1.6 x10 −19 C )(100 N / C )⎤
(0.1m )
v = 2⎢
⎥
−31
9.1x10 kg
⎦
⎣
2
f
v f = 1.9 x10 6 m / s
Movimento de cargas elétricas
em campos elétricos
++++++++++++++++++++++++++
e+
Vox
e+
e+
x
Vox
Vy
-------------------------v ox = v o ; y o = 0; x 0 = 0
v y = at =
eE + mg
eE
t = ( + g)t
m
m
x = vo t
at 2
eE
t2
y=
= −( + g )
2
m
2
1 eE
y=−
( + g)x 2
2
2vo m
eE
m
1 eE 2 eE 2
y=−
x =
x
2
4K
2v o m
para g <<
y
Aplicações Tecnológicas
Precipitação Eletrostática
Aplicações Tecnológicas: Jato de tinta
Aplicações Tecnológicas: Máquina Copiadora Xerox
1. Carga: Material fotocondutor, é um semicondutor que fica condutor quando exposto à
luz.
2. Exposição à luz; partes expostas à luz
perdem a carga, e as não expostas
permanecem com a carga.’
3. Revelação da imagem: o toner positivo é
atraído para as partes com carga do tambor.
4. Transferência de imagem: O toner é
transferido para o papel com a carga negativa
do tambor.
Aplicações Tecnológicas: Motor Iônico
O propulsor se ioniza na
fonte de íons S e é
expulso como feixe de
íons positivos com uma
velocidade que depende
da diferença de potencial
V existente entre S e o
anel acelerador B. Para
evitar que o foguete se
carregue, são injetados
elétrons no feixe mediante
o filamento F. O feixe é
focado mediante o anel A.
A força de empuxo será dada por:
dm
dp
F=
=v
dt
dt