Unicamp - 2a Fase (17/01/2001)
Matemática
01. Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo:
Plano
Custo fixo mensal
Custo adicional por minuto
A
R$ 35,00
R$ 0,50
B
R$ 20,00
R$ 0,80
C
0
R$ 1,20
a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos por mês?
b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A é mais vantajoso que os outros dois?
Resolução:
De acordo com os textos, temos:
CA = 35 + 0,50 . x
CB = 20 + 0,80 . x
CC = 0 + 1,20 . x
onde x é o número de minutos de uso. Logo:
a) para x = 25:
CA = 47,50
CB = 40,00
CC = 30,00
O plano mais vantajoso é o C.
b) CA = CB
35 + 0,5 x = 20 + 0,8x
0,3x = 15
x = 50
CA = CC
35 + 0,5x = 1,20x
0,7x = 35
x = 50
∴ a partir de 50 minutos.
Graficamente:
CC
CB
CA
C (R$)
60
35
20
50
x (min)
1
2
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02. Um fio de 48cm de comprimento é cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que a área de um deles seja
quatro vezes a área do outro.
a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das partes do fio?
b) Qual será a área de cada um dos quadrados formados?
Resolução:
48 cm
64444444444
4744444444444
8
a)
1444444
424444444
3 144424443
 4x + 4y = 48

 x + y = 12
4y
4x
x
y
x
I
x
y
II
y
x < 12 e y < 12
y
x
SI = 4 SII ⇒ x2 = 4y2 ⇒ x2 = 4 (12 – x)2 ⇒ x2 = 4 (144 – 24x + x2) ⇒ 3x2 – 96x + 576 = 0 (÷ 3)
32 ± 16
x2 – 32x + 192 = 0 ⇒ ∆ = 256 ⇒ x =
⇒ x’ = 24 ou x” = 8
2
x=8
⇒
4x = 32 cm
y = 4
⇒
4y = 16 cm
b) SI = x2 = 82 = 64 cm2
SII = y2 = 42 = 16 cm2
03. A figura abaixo é a planificação de uma caixa sem tampa:
X/5
X
X/5
2X
a) Encontre o valor de x, em centímetros, de modo que a capacidade dessa caixa seja de 50 litros.
b) Se o material utilizado custa R$ 10,00 por metro quadrado, qual é o custo de uma dessas caixas de 50 litros considerando-se
apenas o custo da folha retangular plana?
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Resolução:
X/5
X
X/5
2X
a)
x/5
x
2x
V = SB . h = 2x . x .
2x 3
x
=
5
5
para V = 50 l = 50 dm3 = 50 . 103 cm3
2x
5
3
= 50 . 103
x3 = 125 . 103 → x = 5 . 10 ⇒ x = 50 cm




x
 x + 2 . 5 = 50 + 20 = 70




b)















2x + 2 .
x
= 100 + 20 = 120
5
S = 120 . 70 = 8400 cm2
1 m2
———
104 cm2
x
———
8400 cm2
⇒
x =
8400
10
4
= 0,84 m2
custo
1 m2
0,84
———
———
10,00
C
⇒
C = R$ 8,40
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3
4
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04. O teorema fundamental da aritmética garante que todo número natural n > 1 pode ser escrito como um produto de números
t
t
t
primos. Além disso, se n = p11 p 22 ... p rr , onde p1, p2, ..., pr são números primos distintos, então o número de divisores
positivos de n é d (n) = (t1 + 1) (t2 + 1) ... (tr + 1).
a) Calcule d (168), isto é, o número de divisores positivos de 168.
b) Encontre o menor número natural que tem exatamente 15 divisores positivos.
Resolução:
a) 168
84
42
21
7
1
168 = 23 . 31 . 71
2
2
2
3
7
Logo d (168) = (3 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 4 . 2 . 2 = 16 divisores positivos
b) para d (n) = 15 devemos ter 15 = 5 . 3 = (4 + 1) (2 + 1)
O menor n natural será obtido com as menores bases associadas aos maiores expoentes.
Assim: n = 24 . 32 = 16 . 9 = 144
05. Considere três circunferências em um plano, todas com o mesmo raio r = 2 cm e cada uma delas com centro em um vértice de um
triângulo eqüilátero cujo lado mede 6 cm. Seja C a curva fechada de comprimento mínimo que tangencia externamente as três
circunferências.
a) Calcule a área da parte do triângulo que está fora das três circunferências.
b) Calcule o comprimento da curva C.
Resolução:
AT (área do triângulo ABC)
A
AS (área do setor circular)
2
2
2
x
2
2
B
a) AT =
36 3
= 9 3
4
o
2
2
C
AS =
60
o
. 4π =
360
A1 = 9 3 –
2π
3
2π
π) cm2
. 3 ∴ A1 = (9 3 – 2π
3
b) C = 2πr
2 + r = 2 3 ∴ r = 2 3 –2
logo C = 2π (2 3 – 2) ∴ C = 4π
π ( 3 – 1) cm
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06. Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim
custa R$ 5,00, o quilo da castanha de caju, R$ 20,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00. Cada lata deve conter meio quilo da
mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada
lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas.
a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima.
b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.
Resolução:
Sendo,
amendoim
caju
castanha-do-pará
⇒
⇒
⇒
x
y
z
a)  x + y + z = 0,5 (I)
 5x + 20y + 16z = 5,75 (II)

x+z

 y= 3
⇒
x + z = 3y (III)
b) (III) em (I), temos:
4y = 0,5 ⇒ y = 0,125kg
.(–5)  x + z = 0,375

 5x + 16z = 3,25
11z = 1,375
⇒
z = 0,125kg
x = 0,25kg
∴ as quantidades são: 250 g de amendoim, 125 g de castanha-do-pará e 125 g de caju.
07. O sistema de numeração na base 10 utiliza, normalmente, os dígitos de 0 a 9 para representar os números naturais, sendo que o
zero não é aceito como o primeiro algarismo da esquerda. Pergunta-se:
a) Quantos são os números naturais de cinco algarismos formados por cinco dígitos diferentes?
b) Escolhendo-se ao acaso um desses números do item a, qual a probabilidade de que seus cinco algarismos estejam em ordem
crescente?
Resolução:
a)
Algarismos distintos
9 . 9 . 8 . 7 . 6 = 27.216 números
(regra do produto)
b) Algarismos crescentes → sob essa condição, é impossível considerar o algarismo zero em qualquer posição.
Portanto o total de números com algarismos em ordem crescente é: C9,5 = 126
Logo a probabilidade pedida é: P =
126
1
=
27 216
216
6
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08. Considere, no plano xy, as retas y = 1, y = 2x – 5 e x – 2y + 5 = 0.
a) Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo ABC formado por essas retas?
b) Qual é a área do triângulo ABC ?
Resolução:
(r) y = 1
(s) y = 2x – 5
(t) x – 2y + 5 = 0
a) A = (r) ∩ (s)
y = 1

 y = 2x – 5
⇒
x = 3; y = 1
∴
A = (3, 1)
B = (r) ∩ (t)
y = 1

 x – 2y + 5 = 0
⇒
x = – 3; y = 1
⇒
x = 5; y = 5
∴
B = (–3, 1)
C = (s) ∩ (t)
 y = 2x – 5

 x – 2y + 5 = 0
b) A =
D =
A =
∴
B = (5, 5)
D
, onde
2
3
1
1
–3
1
1 = – 24
5
5
1
– 24
2
= 12
⇒
A = 12
09. As populações de duas cidades, A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções A(t) = log 8 (1+t) 6 e
B(t) = log 2 (4t + 4) onde a variável t representa o tempo em anos.
a) Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t = 1 e t = 7 ?
b) Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior que a da outra. Determine o valor mínimo desse
instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir desse instante.
Resolução:
a) cidade A → A (1) = log8 26 = 2
A (7) = log8 86 = 6
cidade B → B (1) = log2 8 = 3
B (7) = log2 32 = 5
⇒
⇒
⇒
⇒
A (1) = 2000 habitantes
A (7) = 6000 habitantes
B (1) = 3000 habitantes
B (7) = 5000 habitantes
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1
. log2 (1 + t) ⇒ A (t) = 2 . log2 (1 + t)
3
B (t) = log2 4 . (1 + t)
⇒ B (t) = 2 + log2 (1 + t)
b) A (t) = 6 .
sendo, x = log2 (1 + t)
então, A (t) = 2 . log2 (1 + t) ⇒ A (x) = 2x
B (t) = 2 + log2 (1 + t) ⇒ B (x) = 2 + x
y
2
x
1
–2
B(x)
A(x)
O t da intersecção dos gráficos é:
2x = 2 + x ⇒ x = 2 ⇒ log2 (1 + t) = 2 ⇒ t = 3 anos
∴ o instante mínimo é t = 3 anos e a cidade cuja população é maior a partir desse instante é A, como mostra o gráfico.
10. Considere a equação trigonométrica sen2 θ – 2 cos2 θ +
1
sen 2θ = 0.
2
a) Mostre que não são soluções dessa equação os valores de θ para os quais cos θ = 0.
b) Encontre todos os valores de cos θ que são soluções da equação.
Resolução:
sen2θ – 2 cos2θ +
1
sen 2θ = 0
2
a) sen2θ – 2 cos2θ + senθ cosθ = 0
Se cosθ = 0 for solução, sen2θ – 2 . 0 + senθ . 0 = 0
sen2θ = 0, logo senθ = 0, o que é impossível, logo cosθ = 0 não é solução da equação.
b) sen2θ – 2 cos2θ + senθ cosθ = 0, como cosθ ≠ 0
sen 2θ
cos 2 θ
–
2 cos 2 θ
cos 2 θ
+
tg2θ – 2 + tgθ = 0
Seja tgθ = x (I)
x2 + x – 2 = 0
senθ cos θ
cos 2 θ
= 0
x’ = – 2 (II)
x” = 1
(III)
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Substituindo (II) em (I) em:
tgθ = – 2
senθ
= –2
cos θ
⇒
⇒
senθ = – 2 cosθ
sen2θ + cos2θ = 1
⇒
4 cos2θ + cos2θ = 1
⇒
5 cos2θ = 1
⇒
cosθ = ±
Substituindo (III) em (I) vem:
tgθ = 1
⇒
senθ = cosθ
senθ
= 1
cos θ
sen2θ + cos2θ = 1
⇒
Portanto os valores de cosθ são: ±
⇒
2 cos2θ = 1
⇒
cos2θ =
1
2
5
2
e ±
5
2
11. Considere o polinômio: p(x) = x3 – 2x2 + 5x + 26.
a) Verifique se o número complexo 2 + 3i é raiz desse polinômio.
b) Prove que p(x) > 0 para todo número real x > – 2.
Resolução:
a) p(x) = x3 – 2x2 + 5x + 26
Uma solução para este item é determinarmos as raízes inteiras.
Como p(–2) = 0, –2 é uma das raízes, logo:
1
–2
–2
5
26
1
–4
13
0
1444424444
3
x2 – 4x + 13 = 0 ⇒ x’ = 2 + 3i ou x” = 2 – 3i
Logo 2 + 3i é raiz
)
(
2
b) p(x) = ( x + 2 ) x – 4x + 13
1
424
3 1442443
f (x)
g(x)
Como g(x) > 0, ∀ x ∈ C então os sinais de p(x) serão os mesmos de f(x), isto é:
+
–
–2
∴ p(x) > 0, ∀ x ∈ C / x > – 2
x
⇒
cosθ = ±
2
2
5
5
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12. A base de uma pirâmide é um triângulo eqüilátero de lado L = 6 cm e arestas laterais das faces A = 4 cm.
a) Calcule a altura da pirâmide.
b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide?
V
Resolução:
Sejam AM = MC =
BM =
L
= 3 cm
2
A = 4 cm
L. 3
= 3 3 cm
2
H
A
BM
DM =
=
3
VM = m =
3 cm
7 cm (Pitágoras em VAM)
B
D
VD = H = ?
M
L = 6 cm
C
a) Aplicando o Teorema de Pitágoras no ∆ VDM, temos: m2 = H2 +
3
2
⇒
H = 2 cm
b) Pela simetria de figura, o centro O da esfera pertence à reta suporte da altura H, podendo estar contida nela ou não.
V
Supondo O ∈ H, temos:
R
R... é o raio da esfera (R < H)
A=4
H=2
R
O
AD = n = 2 3 cm (Pitágoras no ∆ ADM)
A
H–R
n
B
M
D
Aplicando o Teorema de Pitágroas no ∆ AOD, temos:
R2 = (H – R)2 + n2
⇒
( )
R2 = (2 – R)2 + 2 3
2
C
⇒ R = 4 cm
10
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Portanto O ∉ H e a figura correta é:
V
H
A
P
B
D
R
R–H
C
O
onde: BD = p = 2
3 cm
( )
2
Aplicando o Teorema de Pitágoras no ∆ BDO, temos: R2 = p2 + (R – H)2 ⇒ R2 = 2 3 + (R – 2)2 ⇒ R = 4 cm