P 22006G
1.a Série
Matemática − Geometria
Fábio Cáceres/Oliveira/Rosana Alves
01. (valor: 1,0) Calcule o valor das incógnitas nos casos (as medidas indicadas estão em cm):
a.
132 = 122 + x2
x 2  169  144
x  5
24
x
12
13
13
Resposta: x = 5.
b.
cos30 
12
30°
x
12
3
x

2 12
x6 3
x
Resposta: x  6 3 .
c.
A
x+9
10
B
x
x+2
D
C
10 x  9

x
x2
10x  20  x 2  9x
x 2  x  20  0
x  4 ou x  5
Resposta: x = 5.
d. determine o raio x da circunferência de centro O.
60°
O
22 3
a
 2R
senA
22 3
 2R
3
2
2
22 3.
 2R
3
R = 22
Resposta: R = 22.
02. (valor: 1,0)
a. (FAAP/SP) O proprietário de uma área quer dividi-la em três lotes, conforme a figura a seguir.
Sabendo-se que as laterais dos terrenos são paralelas e que a + b + c = 120 m. Quais os valores de
a, b e c?
Rua A
24
20
Aplicando o teorema de Tales:
ab  c
a
b
c



20  24  36 20 24 36
36
a
b
Rua B
(1)
120 a

 a  30 m
80 20
(2)
120 b

 b  36 m
80 24
(3)
120 c

 c  54 m
80 36
c
Resposta: a = 30 m; b = 36 m; c = 54 m.
b. Sabendo que o triângulo ABC é retângulo em A e que BS é bissetriz de AB̂C e mede 3 5 cm,
determine x e y:
B
(1) Teorema da bissetriz interna no ABC:
x 10

 x  2y
y 5
10
x
3 5
(2) Teorema de Pitágoras no ABS:
A
y
C
5
S
x 2  y 2  (3 5)2
4y 2  y 2  45
5y 2  45  y  3 cm
x  2.3  x  6 cm
Resposta: x = 6 cm; y = 3 cm.
03. (valor: 1,0)
a. As circunferências abaixo de centros A e B têm respectivamente, raios iguais a (x + 8) e (x – 2), sendo
P e Q pontos de tangência e PQ = (x + 14), determine x.
A
10
P’
P
2x + 6
B
x + 14
x + 14
Q
2
(1) AB = x + 8 + x – 2 = 2x + 6
AP’ = x + 8 – (x – 2) = 10
PQ = x + 14
(2) Teorema de Pitágoras no ABP’:
2x  62  102  x  142
4x 2  24x  36  100  x 2  28x  196
3x 2  4x  260  0
26
x  10 ou x  
3
Resposta: x = 10.
b. Calcule x na figura abaixo.
(1) Teorema de Pitágoras no ABC:
E
 
R 2  122  4 7
x
R
R 2  144  112  R = 16
C
(2) Teorema de Pitágoras no CDE:
D
R
12
18
x 2  R 2  R  18
R
2
x 2  1156  256  x  30
A
4 7
8 7
2
Resposta: x = 30.
B
04. (valor: 1,0) Determine a área do triângulo ABC abaixo, sendo AC = 10 3 m, AB = 2 31 m e ângulo
AĈB = 30°.
(1) No AHC:
A
sen30 
2 31
B
y
h
H
10 3
x
h
10 3
1
h

2 10 3
30°
h5 3 m
cos30 
x
10 3
x
3

2 10 3
x = 15 m
C
(2) Teorema de Pitágoras no ABH:
2 31
2
 h2  y 2  y 2  124  75  y  7 m
(BC).h
2
22.5 3
Área (ABC) =
 Área (ABC) = 55 3 cm²
2
(3) Área (ABC) =
Resposta: 55 3 cm² .
3
05. (valor: 1,0) Na figura abaixo, o triângulo ABC é isósceles, de base BC e área igual a 60 cm 2. Calcule
a área do círculo que circunscreve esse triângulo.
(1) Área (ABC) = 60 cm²
12.h
 60  h  10 cm
2
A
R
O
R
B
(2) Teorema de Pitágoras no OBH:
h
R 2  10  R  62
2
h–R
6
R 2  100  20R  R 2  36  R 
C
H
34
cm
5
2
1156
 34 
(3) A circ  .    A circ 
cm2
 5
25
12 cm
Resposta:
1156
cm2 .
25
06. (valor 1,0) (FGV-2005/Adaptada) Na figura, ABC é triângulo com AB = 15 cm, AC = 14 cm e BC =
BI
20 cm. Calcule , dado que AQ e BP são bissetrizes internas desse triângulo.
IP
(1) Teorema da bissetriz interna no ângulo B do
ABC:
A
x
15
I
14
P
14 – x
B
*
*
15
20

x 14  x
210  15x  20x  x  6 cm
(2) Teorema da bissetriz interna no ângulo A do
ABP:
C
Q
15 6
BI 5
  
BI IP IP 2
20
Resposta:
5
.
2
07. (valor: 1,0)
a. (UNIFAP/AP) Luiz fez uma viagem à cidade de Oiapoque numa pick-up. Num determinado trecho do
caminho existe uma ladeira com inclinação de 40° em relação ao plano horizontal. Se a ladeira tem
50 m de comprimento, quantos metros a pick-up se eleva, verticalmente, após percorrer toda a
ladeira? (Dados: sen40° = 0,64, cos40° = 0,76 e tg40° = 0,83).
H
50
H
0,64 
 H  32 m
50
sen40 
50 m
H
40°
Resposta: 32 m.
4
b. (UNICAMP/SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa
d’água à 50 m de distância. A casa está à 80 m de distância da caixa d’água, e o ângulo formado
pelas direções caixa d’água-bomba e caixa d’água-casa é de 60°. Se se pretende bombear água do
mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento serão necessários?
Aplicando a lei dos cossenos:
Rio (bomba)
d2  502  802  2.50.80.cos60
d2  8900  4000
d2  4900  d  70 m
50 m
d
Caixa d’água
Resposta: 70 m.
60°
80 m
Casa
08. (valor 1,0) (UNICAMP/SP) Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada na parede de sua
casa, de forma que o topo da escada ficou a altura de aproximadamente 14 m. Enquanto Roberto
subia os degraus, a base da escada escorregou por 1 m, tocando o muro paralelo à parede,
conforme a ilustração, a escada passou a fazer um ângulo de 45° com a horizontal.
Pergunta-se:
a. Qual a distância entre a parede da casa e o muro?
ANTES
(1) Teorema de Pitágoras no triângulo “ANTES”:
E2   x  1 
2
14
E
2
E2   x  1  14
2
x–1
(2) Teorema de Pitágoras no triângulo “DEPOIS”:
DEPOIS
x
 14 
E2  x 2  x 2
x  12  14  2x 2
E
x
45°
x 2  2x  1 14  2x 2
x 2  2x  15  0
x = 3 m ou x = −5 m
Resposta: 3 m.
5
b. Qual o comprimento da escada de Roberto?
No triângulo “DEPOIS”:
E2 = 2x2
E2  2.32  E  3 2 m
Resposta: 3 2 m .
09. (valor 1,0) (OBMEP-2012) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1 os arcos BD e AC têm centros
A e B, respectivamente. Os círculos tangenciam esses arcos e um lado do quadrado, como indicado.
Qual é a razão entre os raios do círculo maior e do círculo menor?
1
D
1
2
G
C
r
2
r
(1) Teorema de Pitágoras no EFB:
H
1
1 R2  R 2   2
1
4
1
3
2R  1  R 
4
8
1 2R  R 2  R 2 
1+r
R
1–r
E
(2) Teorema de Pitágoras no GBH:
1–R
R
1
1 r2  1 r2   2
F
1
A
2
1
2
2
1 2r  r 2  1 2r  r 2 
B
2
4r 
(3) Razão:
1
4
1
1
r 
4
16
3
R
3 16 R
 8  .  6
r 1
8 1
r
16
Resposta: 6.
10. (valor: 1,0) Na figura abaixo o triângulo ABC tem AB = 6 cm, BC = 8 cm e AC = 4 cm. CS é
bissetriz externa relativa ao vértice C e CH é a altura relativa ao lado AB. Calcule a distância entre os
pontos H e S.
C
8
h
S
x
4
H
y
A
6
B
6
(1) Teorema de Pitágoras no CHA:
42 = y2 + h2
y2 + h2 = 16
(2) Teorema de Pitágoras no CHB:
82 = h2 + (y + 6)2
64 = h2 + y2 + 12y + 36
64 = 16 + 12y + 36
12y = 12  y = 1 cm
(3) Teorema da bissetriz externa no ângulo externo C do ABC:
4
8

x 1 x  7
4x + 28 = 8x + 8
4x = 20  x = 5 cm
Resposta: 5 cm.
7