Disciplina de Matemática Financeira – 2012/1
Curso de Administração em Gestão Pública
Professora Ms. Valéria Espíndola Lessa
RENDAS OU ANUIDADES
2 AMORTIZAÇÃO COMPOSTA
Vamos calcular o valor de uma dívida (ou de um empréstimo, ou o valor à vista de uma mercadoria) que será paga em
prestações periódicas de quantias constantes, sobre as quais incide a mesma taxa.
2.1 Renda Imediata
Os pagamentos acontecem no final de cada período (dia, mês, ano,...).
Exemplo 1: Que dívida pode ser amortizada por 5 prestações mensais de R$ 100,00, sendo de 2% ao mês a taxa de juros?
Se multiplicarmos a prestação pelo prazo, (100,00 x 5 = 500,00) teremos um valor que contém juros, e a pergunta do problema
se refere ao valor inicial (na data zero), ou seja, o valor atual, ou o valor à vista. Assim, iremos usar a fórmula do Valor Atual do
desconto composto, para cada prestação:
A  N 1  i   T 1  i 
n
n
T  100

n  5meses
i  2%  0,02a.m.

1º mês, 100,00 ->
2º mês, 100,00 ->
3º mês, 100,00 ->
4º mês, 100,00 ->
5º mês, 100,00 ->
A1  1001  0,02  98,04
1
A2  1001  0,02  96,12
2
A3  1001  0,02  94,23
3
A4  1001  0,02  92,38
4
A5  1001  0,02  90,57
5
Valor Atual Total = soma dos valores atuais de cada prestação = A = 471,34
Atotal  471,34
Dedução da Fórmula:
Usaremos as notações abaixo:
Valor Atual = A
Prestação = T
taxa = i
prazo = n
Montante final = S
n 1
A1  T 1  i 
n2
A2  T 1  i 
n3
A3  T 1  i 
1
2
3
...
An  T 1  i 
n
n
Atotal  T 1  i   T 1  i   T 1  i   ...  T 1  i 
1

2
3
n


T 1  i   1  i   1  i   ...  1  i 

1
2
3
n
PG
Fórmula da Soma de uma PG Finita: S n 
Substituindo temos a Fórmula:
An  q  A1
q 1
 1  i n  1 

A  T  
n 
 i1  i  
Valor Atual de uma Renda Imediata
Simplificando esta fórmula temos uma equivalente:
 1  1  i 
A  T  
i

n




Fator de
Amortização
1
Isolando o T, temos
n
n
i1  i 

1  i 1
AT 
 T  A
n
1  i n  1
i1  i 
ou
T  A
i
n
1  1  i 
Valor das prestações
Exemplo 2: Que divida pode ser amortizada por 15 prestações mensais de R$ 8.000,00 cada uma, sendo de 2% ao mês a taxa de
juro?
T = 8000
i = 0,02 a.m.
n = 15 meses
A=?
A  8000 
1  0,0215  1  8000  0,345868  8000  12,8494
15
0,026917
0,021  0,02
A  102.795,41
ou
1  1,02
0,02
15
A  8.000 
 8000  12,8492635  102.794,11
Re sposta : R$ 102.795,00
Exemplo 3: Determine o valor da prestação mensal para amortizar, com 10 prestações, um empréstimo de R$ 15.000,00 a juros
de 2,5% ao mês.
T  ?
n  10meses


 A  15.000
i  25%  0,025a.m.
15.000  T 
1,02510  1
10
0,0251,025
0,2800845
0,0320021
15.000  T  8,750663
15.000  T 
0,025
10
1  1,025
T  15000  0,114259
T  15000 
ou
T  1.713,90
T  1.714,16
OBS 1: É com estas fórmulas que se calcula os financiamentos de empréstimos (casa própria, carros, ...).
OBS 2: Se o comprador dá uma entrada na compra de algo e financia o restante, o valor da entrada não entra no cálculo das
prestações, portanto deve-se subtrair Valor total - Valor da entrada = Valor financiado. E apenas o valor financiado entra na
fórmula.
2.2 Renda Antecipada
Neste caso, o primeiro pagamento ocorre na assinatura do contrato, ou seja, no período zero. Portanto, as n prestações
terminarão no período n-1.
Este primeiro pagamento não é uma entrada, pois, há juros.
Fórmula:
 1  i n 1  1 
A T 
 1 ou
n 1


i
1

i


1  1  i 1 n 
A T 
 1
i


Valor Atual de Renda Antecipada
Exemplo 4: Qual é o valor atual de uma anuidade antecipada de 12 termos mensais de R$ 250,00, à taxa de 3% ao mês.
T = 250
i = 0,03 a.m.
n = 12 meses
A=?
1  1  0,0311 
A  250  
 1  250  10,25262 
0
,
03


Re sposta : R$ 2.563,16
2
Exemplo 5: Qual o valor de uma prestação mensal antecipada para amortizar, com 6 prestações, uma compra de R$ 6.500,00,
com juro de 2,5% ao mês?
T=?
i = 0,025 a.m.
n = 6 meses
A = 6.500
1  1  0,0255 
6500  T  
 1  6500  T  5,64583
0
,
025


6500
T
 1.151,29
5,64583
Re sposta : R$ 1.151,30
2.3 Renda Diferida
Neste caso, há um período de carência antes que a primeira prestação seja paga. Assim, por exemplo, uma renda
imediata com 20 prestações mensais (n) e que apresenta um diferimento (período de carência) igual a 6 meses (m), só será
concluída após transcorrer os 6 meses mais 20 meses de prestações. Então são 26 meses (n+m) até encerrar o financiamento.
O cálculo é feito usando a fórmula da Renda Imediata para (n+m) meses, mas como nos m primeiros meses não houve
pagamento, iremos descontar a Renda imediata de m meses que não aconteceu.
Simbologia para Renda Diferida: m/An
An  m
 1  1  i  ( n  m) 

 T  

i


e
 1  1  i  m 

Am  T  

i


 1  1  i  ( n  m ) 
 1  1  i  m 
 T 

m / An  T  



i
i




 1  1  i  ( n  m )   1  1  i  m 


m / An  T  
 

i
i

 
 Valor Atual de Renda Diferida
Exemplo 6: Qual o valor de uma renda de 15 termos mensais de R$ 700,00, com 3 meses de carência, à taxa de 1,5% ao mês?
T = 700
i = 0,015 a.m.
n = 15 meses
m = 3 meses
A=?
 1  1  0,015 (18)   1  1  0,0153 


3 / A15  700  
 

0,015
0,015

 

3 / A15  700  15,67256  91220
3 / A15  700 12,76036
3 / A15  8.932,25
Você pode estar se perguntando:
Mas não daria para fazer o cálculo usando apenas n=15, e somente cobrar depois dos 3 meses?
NÃO, por que, na verdade, há um custo para ficar 3 meses sem pagar, e este custo está icluído nas prestações. Se fizéssemos o
cálculo com n=15, teríamos um valor atual maior, A = 9.340,26. Isso significa que:
i) Uma compra de R$ 8.932,25 com carência de 3 meses, gera 15 prestações de R$ 700,00.
ii) Uma compra de R$ 9.340,00, sem carência, gera 15 prestações de R$ 700,00 também.
3
2.4 Exercício de Amortização Composta
1. Calcule o valor de uma motocicleta comprada a prazo, com uma entrada de R$ 1.200,00 e o restante à taxa efetiva de 4% ao
mês. O prazo do financiamento é de 12 meses e o valor da prestação é de R$ 192,00. (R$ 3001,90)
2. O preço de um carro é de R$ 17.700. Um comprador dá 40% de entrada e o restante é financiado à taxa de 5% ao mês em 10
meses. Calcule o valor da prestação mensal. (R$ 1.375,34)
3. Comprei um carro semi-novo por R$ 32.000,00 e dei uma entrada de R$ 10.000,00. Na época da compra, os juros estavam
em 2,2% ao mês e resolvi pagar o carro em 60 prestações. Qual é o valor da prestação do meu carro? (R$ 663,90)
4. Vamos fazer um exercício pessoal: Você ou alguém da sua família já financiou um carro? Pegue os valores deste
financiamento como valor financiado, taxa de juros, prazo e prestação. (Resposta Pessoal)
a) Aplique a fórmula para encontrar o valor atual do seu financiamento, usando o valor da prestação, da taxa de juros e do
prazo. Verifique se confere com seu contrato.
b) Aplique a fórmula para encontrar a prestação do carro, usando o valor atual, o prazo e a taxa. Verifique com seu carnê.
5) Quero comprar um carro zero mas não tenho entrada. O carro custa R$ 48.000,00. Qual será o valor da prestação se eu
financiá-lo por 60 meses, à taxa de 1,7% ao mês? (R$ 1,282,40)
6) Uma loja vende um eletrodoméstico em 8 prestações mensais de R$ 28,00 e 12 prestações mensais de R$ 21,00. Em ambos
os casos o cliente não dará entrada. sabendo que a taxa de juros da loja é de 3% ao mês, diga qual é o aumento verificado na
segunda alternativa. (R$ 12,40)
7) Calcule o valor atual de uma renda mensal antecipada de 15 termos iguais a R$ 200,00 cada um, à taxa de 2,5% ao mês? (R$
2.538,18)
8) Qual o valor das 8 prestações mensais na compra a prazo de um objeto cujo valor à vista é de R$180,00, sabendo que o juro
cobrado foi de 3% ao mês e as prestações são antecipadas? (R$ 24,90)
9) Uma máquina foi comprada por R$ 2.500,00 de entrada e 15 prestações mensais de R$ 300,00, diferidas de um semestre.
Sendo o juro de 2,5% ao mês, qual o preço à vista da máquina? (R$ 5.702,93)
10) Qual o valor da prestação mensal referente a um financiamento de R$ 120.000,00 a ser liquidado em 18 meses, à taxa de 3%
ao mês, sendo que a primeira prestação vence a 90 dias da data do contrato? (R$ 9.534,00)
4