VETORES
INTRODUÇÃO
No módulo anterior vimos que as grandezas físicas podem ser escalares e
vetoriais. Escalares são aquelas que ficam perfeitamente definidas quando expressas por
um número e um significado físico: massa (2 kg), tempo (5 h), volume (6L). etc. Vetoriais
são aquelas que ficam perfeitamente definidas quando expressas através de um número,
um significado tísico e uma orientação: força (3 newtons de baixo para cima) velocidade
(4 km/h para leste), etc.
Para representar grandezas vetoriais utilizam-se vetores. O vetor é representado
peio sina! .
VETOR
Com as noções apresentadas, é possível, de maneira simplificada, conceituar-se o
que é vetor:
Vetor: ente matemático determinado por segmentos orientados,
caracterizando a direção, o sentido e o módulo.
Cada um destes vetores deve ser caracterizado por urna direção, um sentido e
um módulo.
Sejam os vetores V1 e V2 apresentados a seguir:
d
u
u
u
u
u
V1
u
u
u
r
Vetor d (deslocamento)
V2
a) Módulo do Vetor
O vetor V1 tem 3 unidades e o vetor V2
a
tem 5 unidades. Isso
significa que, se o vetor V1 representar força, serão 3 unidades
Vetor a (aceleração)
de força; se representar velocidade, serão 3 unidades de
velocidade; se representar outra grandeza vetorial, serão 3
unidades da grandeza representada. Ao número de unidades do
F
vetor chamamos módulo ou intensidade do vetor, que é a
primeira característica de um vetor.
Vetor f (força)
b) Direção do Vetor
Como segunda característica, observe que os vetores estão
sobre uma mesma reta horizontal r. Esta reta, chamada reta
N
suporte do vetor, determina a dIreção do vetor .
O
L
S
c) Sentido do Vetor
Finalmente, observemos que um dos vetores ( V1 ) aponta para a
esquerda e o outro ( V2 ) para a direita. Dizemos, então, que
sobre a mesma direção temos dois sentidos possíveis.
Observação
Diremos, que dois vetores são eqüipolentes quando têm o mesmo módulo, a
mesma direção e o mesmo sentido. Se, entretanto, os vetores tiverem a mesma direção e
o mesmo módulo, porém sentidos opostos, diremos que os vetores são simétricos.
u u u u
u u u
u u u u
u u u
Vetores simétricos
Vetores eqüipolentes
Exercícios
Dê as características dos vetores do quadro seguinte:
a)
c)
u
módulo
u
direção
direção
sentido
sentido
u
b)
u
módulo
direção
sentido
módulo
u
d)
módulo
u
u
u
direção
sentido
Segmento Orientado
Segmento de reta para o qual é escolhido um sentido de orientação.
A
AB
B
Origem
r
Extremidade
ou
A
BA
Extremidade
B
r
Origem
Processo gráfico da adição vetorial
Sejam os vetores V1 e V2 :
u
u
u
u
u
u
u
V2
V1
Para traçar o vetor soma, podemos utilizar dois processos, que podem ser
aplicados indistintamente, obtendo-se o mesmo resultado.
Processo do triângulo
Processo do paralelogramo
Traça-se um vetor eqüipolente a
Constrói-se um paralelogramo cujos
V2 . Na extremidade de V1 , traça-se
lados sejam vetores eqüipolentes aos
um vetor eqüipolente a V2 . O vetor
vetores apresentados. A diagonal do
soma liga a origem de V1 com a
extremidade de V2 .
( V1 - V2 )
paralelogramo, traçada a partir da
origem dos vetores, é o vetor soma.
V2
( V2 - V1 )
V2
V1
V1
SOMA DE VETORES
Sejam dois vetores-parcela a e b formando entre si um ângulo α com 0º ≤ α ≥
180º. O vetor-soma, também chamado de vetor-resultante, aqui representado por R, é
indicado por:
R = a + b
(indicação vetorial)
Aplicação Numérica:
Considerando os módulos dos vetores-parcela I a| = 4 e | b| = 3 (ou a = 4 e b = 3),
tem-se a seguir o módulo do vetor-soma para os seguintes casos particulares:
a) α = 0º
Os vetores a e b tem a mesma direção e o mesmo sentido.
R=a+b
Graficamente
a
a
b
b
R
O módulo resultante é igual a soma dos módulos das parcelas.
Ex.: R = a + b
R=4+3
R=7
b) α = 180º
Os vetores a e b tem a mesma direção, porém sentidos opostos.
R=a-b
Graficamente
a
a
b
R
b
O módulo resultante é igual à diferença dos módulos das parcelas.
Ex.: R = a - b
R=4-3
R=1
c) α = 90º
Os vetores a e b formam um ângulo reto..
R2 = a2 – b2
Graficamente
a
α = 90º
a
b
R
R
b
Regra do Paralelogramo
Consiste em juntar as origens dos vetoresparcela e fechar um paralelogramo.
O vetor-soma é a diagonal do paralelogramo
cuja origem é a mesma dos vetores parcela.
Nota: O retângulo é um caso
particular de paralelogramo
d) 0º < α <180º
Os vetores
a
eb
formam um ângulo qualquer, diferentes dos anteriores:
R2 = a2 + b2 + 2.a.b.cos α
Graficamente
b
b
a
a
Ex.: R2 = a2 + b2 + 2.a.b.cos α
R2 = 42 + 32 + 2.4.3.0,5
R = 6,1
Exercícios:
1. Complete as lacunas:
 As grandezas vetoriais são representadas por .......................................................
 Vetor é um .............................................................................................................
 As três características de um vetor são .................................................................
 Aplica-se num objeto uma força de 10 N na vertical, de baixo, para cima. As três
características dessa força são:
módulo = ..............................................................................................................
direção = ..............................................................................................................
sentido = ..............................................................................................................
 Adicionando-se um vetor de 6 unidades para norte, com um vetor de 4 unidades
para sul, obtém-se um vetor de ...........................................................................
unidades para .......................................................................................................
 Um deslocamento de 10 km para leste, seguido de um deslocamento de 6 km
para oeste, equivale a um único deslocamento de ...............................................
km para. ................................................................................................................
2. Os indivíduos da mesma figura que caminham na mesma calçada retilínea estão:
a) na mesma direção e no mesmo sentido.
b) na mesma direção e em sentidos opostos.
c) em direções opostas e no mesmo sentido.
d) em direções opostas e em sentidos opostos.
e) em direções e sentidos indefInidos.
3. Uma pessoa caminha em um passeio, num dia de Domingo, 180 m do sul para o
norte. A seguir, desloca-se 240 m do oeste para o leste. Qual o valor do
deslocamento final desta pessoa?
a) 420 m
b) 240 m.
c) 300 m.
d) 324 m.
e) NRC
4. Determine o módulo da resultante dos vetores
a) a = 12
a
b=7
b
a
b) a = 15
b=5
b
c) a = 12
b=5
a
b
d) a = 4
120º
b=8
a
b
a e b em cada caso a seguir:
e) a = b = 7
120º
b
a
b
f) a = 3
b=4
a
c
c=5
d=7
d
g) a = b = c = 8
a
b
120º
120º
120º
c
5. Ache o módulo da força resultante dos sistemas das figuras:
2N
3N
6N
60º
5N
8N
6N
5N
3N
7N
2N
4N
4N
6N
6. (Fuvest-SP) Num vagão ferroviário, que se move com velocidade V O = 3 m/s em
relação aos trilhos, estão dois meninos, A e B, que correm um em direção ao outro,
cada um com velocidade V = 3 m/s em relação ao vagão. As velocidades dos
meninos A e B em relação aos trilhos serão respectivamente:
a) 6 m/s e O m/s
b) O m/s e 9 m/s
c) O m/s e 6 m/s
d) 3 m/s e 3 m/s
e) 9 m/s e O m/s
7. Num dia sem vento, a chuva cai verticalmente em relação ao solo com velocidade
de 10 m/s.Um carro se desloca horizontalmente com 20 m/s em relação ao solo.
Determine o módulo da velocidade da chuva em relação ao carro.
8. Num bairro onde todos os quarteirões são quadrados e as ruas paralelas distam
100 m uma da outra, um transeunte faz o percurso de P a Q pela trajetória
representada no esquema abaixo. O deslocamento vetorial desse transeunte tem
módulo, em metros, é igual a:
P
100m
Q
100m
a) 300
b) 350
c) 400
d) 500
e) 700
9. Um barco está com o motor funcionando em regime constante; sua velocidade em
relação à água tem módulo igual a 5 m/s. A correnteza do rio movimenta-se em
relação às margens com 2 m/s, constante. Determine o módulo da velocidade do
barco em relação às margens em quatro situações distintas:
a) o barco navega paralelo à correnteza e no seu próprio sentido (rio abaixo);
b) o barco navega paralelo à correnteza e em sentido contrário (rio acima);
c) o barco movimenta-se mantendo seu eixo numa direção perpendicular à
margem;
d) o barco movimenta-se indo de um ponto a outro situado exatamente em
frente, na margem oposta (60º).
10. Um barco atravessa um rio perpendicularmente à correnteza. Sabendo que os
módulos das velocidades do barco e da correnteza do rio são, respectivamente,
VB = 4,0 m/s e VC= 3,0 m/s, determine o módulo da velocidade resultante.
VB
VC
11. Sobre o bloco da figura abaixo atuam as forças F1, F2, F3 e F4 de módulos F1 =
20 N, F2 = 30 N, F3 = 25 N e F4 = 35 N. Determine o módulo da força resultante
que atua sobre o bloco.
+
Θ F4
F1
F2
F3
12. Os sucessivos deslocamentos efetuados por um, veículo, quando se movimenta de
um ponto A para outro B, são: 40 km para o norte, 40 km para o leste e 10 km para
o sul. Determine a menor distância a ser percorrida para ele retomar de B até A.
COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS
INTRODUÇÃO
Se uma formiga caminhar no sentido oeste-leste sobre um tapete em repouso
sobre o piso, ela terá exatamente a mesma velocidade em relação ao piso.
N
O
L
F = formiga
T = tapete
P = piso
S
Mas, se o tapete for puxado e entrar em movimento no mesmo sentido (também
para leste), a formiga, em relação ao piso, terá outra velocidade, maior do que antes!
F  VFT = VTP
Numericamente, se a formiga anda a 1 cm/s sobre o tapete e este é arrastado a 2
cm/s (na mesma direção e no mesmo sentido), então a formiga desloca-se a 3 cm/s (1
cm/s + 2cm/s) em relação ao piso.
Isso é o que se denomina composição de movimentos.
Neste capítulo, movimentos de direções diferentes também serão compostos e
analisados numericamente.
É possível andar e, mesmo assim, permanecer parado?
Se você andar para cima, sobre
uma escada rolante que desce,
poderá acontecer um dos
seguintes casos:
Sua velocidade sobre a escala
(v)
Em relação à , velocidade da
escada rolante
(Ve)
V > Ve  você sobe
V = Ve  você fica em repouso em relação ao prédio
V < Ve  você desce
Esse exemplo, que acabamos de ver, é bastante fácil e auxilia a análise a
respeito da composição de movimentos.
Aproveitando: o que acontece se caminharmos no mesmo sentido do
movimento da escada? Isto é:

se andarmos para baixo numa escada rolante que desce,

ou se andarmos para cima numa escada que sobe?
Fácil responder, não é mesmo?
MOVIMENTO RESULTANTE
Considere o movimento de um corpo A em relação a um referencial B (com
velocidade VAB) e um segundo movimento, o do referencial B em relação a outro
referencial C (com velocidade VBC). Compondo os dois movimentos apresentados, resulta
o movimento do corpo A em relação ao referencial C, cuja a velocidade resultante V BC é
determinada pela soma vetorial:
Esquematicamente
Movimento resultante AC
VAC = VAB + VBC
A
B
Mov. AB
C
Mov. BC
Por exemplo, um barco que navega num rio apresenta a velocidade relativa VBA (do
barco em relação à água) e a velocidade resultante VBT (do barco em relação à Terra);
para relacioná-las é preciso que se considere também a velocidade de arrastamento V AT
(da água em relação à Terra ). Então:
VBT = VBA + VAT
ou
Vr = Vrel + Varr
Vr = velocidade resultante
Vrel = velocidade relativa
Varr = velocidade de arrastamento
A seguir, as principais situações de um barco num rio:
Neste exemplo, supõe-se : |VBA| = 12 m/s e |VAT| = 5 m/s.
Para relacionar os módulos dos vetores-velocidade, analisam-se também a direção
e o sentido desses vetores:
Situação 1: descendo o rio, com VBA // VAT.
|VBT| = |VBA| + |VBT|
|VBT| = (12+5) m/s = 17 m/s
Situação 2: subindo o rio, com VBA // VAT.
|VBT| = |VBA| - |VAT|
|VBT| = (12-5) m/s = 7 m/s
Situação 3: atravessando o rio, com VBA ┴ VAT.
|VBT|2 = |VBA|2 + |VAT|2
|VBT|2 = 122+52  |VBT|2 = 13 m/s
Situação 4: atravessando o rio, com VBT ┴ VAT.
|VBA|2 = |VBT|2 + |VAT|2
122 = |VBT|2 +52  |VBT|2  1,9 m/s
PRINCÍPIO DA INDEPENDÊNCIA DOS MOVIMENTOS SIMULTÂNEOS
Na composição de movimentos, o princípio da simultaneidade de Galileu afirma
que cada um dos movimentos componentes pode ser estudado independentemente, e
mais:  tAB =  tBC =  tAC, isto é, os intervalos de tempo medidos em cada um dos
movimentos (A em relação a B, B em relação a C e A em relação a C) são iguais entre si,
pois estes movimentos componentes e o resultante são simultâneos.
Num movimento composto, cada um dos movimentos componentes ocorre
simultaneamente com os demais e como se esses outros não existissem.
Exercícios
1. Um rio, de 50 m de largura constante, é atravessado por um barco, cuja máxima
velocidade própria (barco em relação a água) é de 0,8 m/s. A correnteza tem
velocidade constante de 0,6 m/s.
a) Determine o tempo mínimo de travessia.
b) Em quantos segundos o barco é arrastado rio abaixo durante a travessia em
tempo mínimo?
c) Calcule a velocidade resultante (barco em relação à Terra), nas condições
anteriores.
d) Determine o deslocamento percorrida pelo barco rio abaixo.
e) Determine a distância realmente percorrida pelo barco ao final da travessia.
2. Um barco atravessa um rio com velocidade própria de 10 m/s, perpendicular à
correnteza. Sabendo-se que a largura do rio é de 800 metros e a velocidade da
correnteza 5 m/s, determinar:
a) o tempo gasto na travessia;
b) o deslocamento do barco rio abaixo ao fim da travessia.
c) a distância realmente percorrida pelo barco na travessia;
d) a velocidade do barco em relação à terra.
3. Um barco navega em um rio cuja correnteza é constante e vale 5 km/h. Sabendo que
a velocidade do barco e de 12 km/h, determine a velocidade resultante quando o
barco:
a) Sobe o rio
B
VB
C
VC
b) Desce o rio
c) Sai de A e chega em B
A
Rio visto de cima
4. Um barco navega por um rio desde uma cidade A até uma cidade B com velocidade
de 36km/h e, em sentido contrário, com velocidade de 28,8 km/h. Determinar a
velocidade da correnteza.
Va
Vb
A
B
Va
Vb
5. A figura representa uma corrente das águas de um rio que fluem com a velocidade de
3 km/h. No rio estão fixadas três balizas, A, B e C.
B
Corrente
8 km
A
AC // corrente
C
8 km
Dois nadadores, capazes de desenvolver a velocidade constante de 5 km/h,
iniciam, respectiva e simultaneamente, os percursos de A a B e de A a C,
percorrendo-os em linha reta em ida e volta. Calcular a diferença entre os
intervalos de tempo necessários para os nadadores completarem os respectivos
percursos, dando a resposta em horas.
6. Um pássaro parte em vôo retilíneo e horizontal do seu ninho para uma árvore distante
75 m e volta, sem interromper o vôo, sobre a mesma trajetória. Sabendo-se que sopra
um vento de 5 m/s na direção e sentido da árvore para o ninho e que o pássaro
mantém, em relação à massa de ar, uma velocidade constante de 10 m/s, determine,
em segundos, o tempo gasto na trajetória de ida e volta.
7. O motor de um barco comunica-lhe uma velocidade de 18 km/h em águas paradas. O
barco navega num rio cuja correnteza tem velocidade de 3 m/s. Calcule a distância
percorrida pelo barco em 10 minutos, nos casos:
a) rio abaixo;
b) rio acima.