Universidade Comunitária da Região de Chapecó
Sistemas de Informação
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
(MATERIAL DE APOIO E EXERCÍCIOS)
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Beno Nicolau Bieger
“Juro é o prêmio pela espera”.
“Desconto é o preço da impaciência”.
(Prof. Rochadelli – PPGEF/UFPR)
2
UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA DA REGIÃO DE CHAPECÓ
Área:
Área de Ciências Exatas e Ambientais
Curso:
SISTEMAS DE INFORMAÇÃO - Matriz 346
Componente Curricular: MATEMÁTICA FINANCEIRA
Professor:
10245 - Beno Nicolau Bieger
Período: 5
Carga horária: 72 h/a
PLANO DE ENSINO
1. EMENTA
Regimes de capitalização de juros e descontos. Séries uniformes. Equivalência de
Capitais. Tópicos de Análise de Investimentos.
2. JUSTIFICATIVA
A disciplina justifica-se pela necessidade que o aluno tem em entender as relações financeiras que
envolvem a atividade profissional bem como no uso diário como cidadão, dos cálculos matemáticos e
financeiros.
Ainda justifica-se pela ênfase empreendedora que caracteriza este profissional egresso da
Universidade.
3. OBJETIVOS
3.1 OBJETIVO GERAL
Aprofundar o estudo da matemática nos conteúdos iniciais da matemática financeira, preparando o
aluno para as transações comerciais e financeiras. Preparar o futuro profissional no domínio dos
cálculos financeiros objetivando uma visão clara e sistêmica das relações financeiras do mundo do
trabalho.
3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Interpretar corretamente os problemas financeiros: juros, descontos, regimes de capitalização,
periodicidade.
- Identificar corretamente as variáveis que envolvem cálculos financeiros.
- Sistematizar as soluções para os problemas financeiros.
- Usar adequadamente os instrumentos disponibilizados para a solução de problemas financeiros.
- Utilizar adequadamente os equipamentos e ferramentas disponibilizadas para a solução de problemas
e cálculos financeiros.
- Ter conhecimento e capacidade de analisar ofertas comerciais sob o enfoque financeiro.
- Ter capacidade e competência para efetuar renegociações financeiras entre pessoas físicas e
jurídicas.
- Ter uma visão clara e sistêmica das relações financeiras do mundo comercial e do trabalho.
- Usar a lógica para a solução de problemas e situações inéditas nas relações comerciais e financeiras.
- Ter noções importantes sobre a viabilidade econômica e financeira de empreendimentos.
4. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
- Juros simples: Conceitos. Cálculo do juro simples. Cálculo do montante.
- Juros compostos: Conceitos. Cálculo do Montante. Tabelas
- Estudo de taxas: Nominal, proporcional, média, acumulada, efetiva, equivalente, real.
- Descontos simples: Conceito. Desconto comercial ou por fora ; cálculo do valor atual. Desconto
racional ou por dentro ; cálculo do valor atual. Comparação de desconto comercial e racional.
- Descontos compostos. Conceitos. Desconto composto Real. Cálculo do Valor Atual. Desconto composto
Bancário. Cálculo do Valor Atual.
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
3
- Séries Uniformes: Classificação. Cálculo do valor atal, do montante e da prestação de séries
antecipadas, postecipadas e diferidas. Séries perpétuas: Cálculo do valor atual, da prestação e da
taxa.
Equivalência de capitais diferidos: permuta de títulos, formação de fundos, alongamento de dívidas.
- Tópicos de Análise de Investimentos (conceitos, métodos, aplicações).
5. METODOLOGIA
5.1 Aulas expositivas
5.2 Solução individual e coletiva de problemas e exercícios. Estudos de Casos. Estudo e solução dos
aspectos financeiros de anúncios comerciais.
5.3 Pequenos grupos para trabalhos e solução de problemas.
6. CRONOGRAMA (proposto)
Aula
Conteúdo programado
1ª
Discussão do Plano de Ensino.
Exercício de verificação de conhecimentos.
Revisão dos conteúdos necessários à disciplina.
2ª
Juros simples: Conceitos. Cálculo do juro simples. Cálculo do
montante. Exercícios.
3ª
Juros compostos: Conceitos. Cálculo do Montante. Exercícios.
4ª
Estudo de taxas. Exercícios
5ª
Descontos simples: Conceito.Desconto comercial ou “por fora;
cálculo do valor atual. Desconto racional ou “por dentro; cálculo do
valor atual. Exercícios
Descontos compostos: Conceitos. Desconto composto Real. Cálculo
do Valor Atual. Exercícios.
Desconto composto Bancário. Cálculo do Valor Atual.
Exercícios.
Avaliação G1
6ª
7ª
8ª
9ª
10ª
11ª
12ª
Séries uniformes. Conceitos. Classificação. Séries postecipadas.
Cálculo do valor atual. Cálculo do Montante. Séries antecipadas.
Cálculo do valor atual. Cálculo do Montante. Exercícios.
Séries perpétuas. Cálculo do valor atual. Cálculo da prestação.
Séries diferidas. Cálculo do valor atual. Cálculo do Montante.
Exercícios.
Aula de Exercícios.
14ª
Equivalência de capitais com capitalização composta.
Exercícios.
Equivalência de capitais com capitalização composta.
Exercícios.
Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos
15ª
Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos
16ª
Avaliação G1.
17ª
Revisão. Exercícios.
18ª
Avaliação G2.
19ª
Avaliação G3.
13ª
Obs
19/02/2013
Dia da
Semana
Terça-Feira
Hora
Inicial
19:00
19/02/2013
26/02/2013
Terça-Feira
19:00
26/02/2013
05/03/2013
Terça-Feira
19:00
05/03/2013
12/03/2013
Terça-Feira
19:00
12/03/2013
Data da Aula
Hora Final
Obs
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
4
19/03/2013
Terça-Feira
19:00
19/03/2013
26/03/2013
Terça-Feira
19:00
26/03/2013
02/04/2013
Terça-Feira
19:00
02/04/2013
09/04/2013
Terça-Feira
19:00
09/04/2013
16/04/2013
Terça-Feira
19:00
16/04/2013
23/04/2013
Terça-Feira
19:00
23/04/2013
30/04/2013
Terça-Feira
19:00
30/04/2013
14/05/2013
Terça-Feira
19:00
14/05/2013
21/05/2013
Terça-Feira
19:00
21/05/2013
28/05/2013
Terça-Feira
19:00
28/05/2013
04/06/2013
Terça-Feira
19:00
04/06/2013
11/06/2013
Terça-Feira
19:00
11/06/2013
18/06/2013
Terça-Feira
19:00
18/06/2013
25/06/2013
Terça-Feira
19:00
25/06/2013
7. AVALIAÇÃO
7.1 Presença, participação e exercícios em sala de aula.
7.2 - G1: (três notas compõem a G1) Duas avaliações em sala de aula sobre os conteúdos parciais mais
uma G1 composta de mini avaliações de uma questão no final de cada aula (a soma destas mini
avaliações será a 3a. nota G1).
- G 2 - Uma, com conteúdo cumulativo, conforme as orientações/normas da Instituição.
7.3 Exames - G3 - para aqueles alunos que não alcançarem a pontuação normatizada pela Instituição .
7.4 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO
- Participação nas discussões, debates, e trabalhos individuais ou em grupo.
- Solução dos problemas e exercícios (intra e extra classe) propostos.
8. REFERÊNCIAS
8.1. Referência Básica
* CARVALHO, Thales Mello. Matemática comercial e financeira: complementos de matemática. 5. ed.
Rio de Janeiro: FENAME, 1980. 438 p.
* FRANCISCO, Walter de. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 1991-1993. 319 p. ISBN
85-224-0707-X.
* PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 6. ed. São Paulo: Saraiva,
1999. 440 p. ISBN 85-02-02719-0
8.2. Referência Complementar
* CASAROTTO FILHO, Nelson; KOPITTKE, Bruno Hartmut. Análise de investimentos. 9. ed. São
Paulo: Atlas, 2000. 458 p. : ISBN 8522425728
* MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 3. ed. São Paulo:
Atlas, 2002. 455 p. ISBN 8522431043
* SHINODA, Carlos. Matemática financeira para usuários do excel 5.0. São Paulo: Atlas, 1998. 167
p. ISBN 85-224-1837-3
* TOSI, Armando José. Matemática financeira com utilização do excel 2000: aplicável às versões
5.0, 7.0 e 97. São Paulo: Atlas, 2000. 218 p. ISBN 8522424373
* ZDANOWICZ, José Eduardo. Orçamento de capital: a decisão de impacto. Porto Alegre: Sagra
Luzzatto, 1990. 240 p.
9. OBS PROFESSOR
Seguindo a possibilidade prevista na Resolução CONSUN 144/08, poderá ser aplicado trabalho
acadêmico efetivo universitário extra classe, conforme carga horária prevista na legislação.
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
5
"Muitos pensam que sabem; poucos sabem que não sabem; quem sabe, sabe que sabe muito pouco".
Alexandre Canalini
AVALIAÇÃO DE CONHECIMENTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA
Questão
a. 12 + 7 x 2
b. 10 – 5 x 2
c. 2 x 4 – 1
d. 4 – 1 ÷ 2
e. 360 ÷ 12 x 0,5
f. 30 ÷ 12 – 2
g. 1 – 0,5 x 3
h. 5/8 – 4/5 x 23
i. 23 + 7 ÷ 21/3
j. log 1,75 – ln 1,75
k. log (32/16)
l. log 32 / log16
“Gabarito”
360
+ 52
30
m.
n.
Solução
Nota:
5
2
+
360
30
o. 52 + (360/30)1/2
p. 0,5 - 8,3333 . 0,52
q. (1 – 0,52 ) 2
r. (1 – 0,25.2) 2
s. Qual é o inverso de 54 ?
t. Qual é o valor da constante
"e" ?
3/ 5
3/ 5
3/5
v.
5/3
u.
Hipotenusa = 5m
x. Calcular a área do
m2
triângulo retângulo
Cateto base = 3m
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
6
JUROS SIMPLES
$ Quanto vale hoje um ativo ou passivo formado em uma data do passado?
$ Quanto valerá, em um futuro conhecido, uma aplicação realizada hoje?
$ Porque muitas dívidas contraídas na compra de bens acabam ficando maiores do que o valor do próprio bem?
Conceitos de juros
- Juro é a remuneração do capital.
- “Juro é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital financeiro, por determinado tempo, a uma
taxa previamente combinada”.
“Juro é o prêmio pela espera”.
(Prof. Rochadelli – PPGEF/UFPR)
Juro simples é um artifício matemático para simplificar o cálculo de juros compostos.
O juro é simples quando é produzido unicamente pelo capital inicial. Em todos os períodos considerados, o
valor será sempre igual.
Cálculo de juros simples ( j )
Calcula-se o juro (j) multiplicando-se o capital (C ou PV) com a taxa (i) e com o número de períodos (n)
considerado, ou seja:
j = C. i . n
ou
j = PV . i . n
É importante lembrar que sempre usaremos a taxa (i) já dividida por 100, ou seja, uma taxa de 15%
entra nesta fórmula como 0,15; uma taxa de 20% como 0,2 e assim sucessivamente. Este procedimento será adotado
em todas as fórmulas aqui abordadas.
Um procedimento imprescindível é trabalharmos sempre com as mesmas unidades em todos os
cálculos, ou seja: se a taxa for anual o número do período deve necessariamente ser em anos; se for mensal, os
períodos serão em meses; se a taxa for diária, os períodos serão em dias e assim por diante.
Exemplo :
Determinar os juros de um capital de R$ 2.000,0 aplicado durante oito meses a uma taxa de 18% a.a.
Temos:
C = 2.000
i = 18 / 12 meses/ 100 = 0,015
n = 8 meses
j = Cin
j = 2.000 x 0,015 x
j = 240,00
8
Nas calculadoras comuns ou científicas basta teclar:
2000 x 18 ÷ 12 ÷ 100 x 8 = (e no visor aparecerá 240,00)
Na HP 12C teclar:
2000
CHS
PV
18
i
8
↑
30
x
n
f
INT
Obs: Na HP a taxa utilizada sempre deverá ser anual e o período sempre em dias.
Cálculo do Montante (Cn)
Chama-se de Montante (Cn ou FV) o capital somado aos seus juros produzidos.
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
7
Se Cn = C + j
e
j = C.i.n
e colocando-se o “C” em evidência teremos
então
Cn = C
+ C.i.n
Cn = C . ( 1 + i . n )
ou
FV = PV .(1 + i.n)
Exemplo :
Calcular o Montante do exemplo anterior.
1ª Solução
2ª Solução
Cn = 2.000 + 240
Cn = 2.000 ( 1 + 0,015 x 8 )
Cn = 2.000 x 1,12
Cn = 2.240,00
Cn = 2.240,00
Nas calculadoras comuns ou científicas basta teclar:
(Dando seqüência ao cálculo do juro simples)
2000 x 18 ÷ 12 ÷ 100 x 8 = 240,00 + 2.000 = 2.240,00
Na HP 12C basta teclar +
(após o cálculo dos juros) e aparecerá no visor o Montante.
ou seja
2000
CHS
PV
18
i
240
n
f
INT
+
“Quando parecia que nada iria acontecer, uma novidade aparece; e o mundo se transforma.
Este é o momento propício para você aprender que sempre é possível ir além do que pensaria poder.” (Anônimo)
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
8
EXERCÍCIOS – JUROS SIMPLES
1. Calcular os juros de um capital de R$ 1.500,00, à taxa de 24% ao ano, durante um ano e três meses.
2. Um capital produziu juros de R$ 32,00 em cinco meses a 7,5% ao semestre. Qual foi o capital?
3. A que taxa mensal o capital de R$ 3.200,00 produzirá o montante de R$ 4.184,00 em trezentos dias?
4.
O capital de R$ 840,00 rendeu R$ 120,00 de juros, à taxa de 10% ao ano. Qual foi o tempo da
transação?
5. Você aplicou em uma instituição financeira um valor equivalente a R$ 13.200,00 que proporcionou um
montante de R$ 15.758,16 à uma taxa mensal 5,7%. Qual foi o tempo de aplicação?
6. O seu pai aplicou em sua conta um capital de R$ 1.200,00 que rendeu R$ 450,80 de juros aplicado à
uma taxa mensal 7%. Qual foi o tempo desta aplicação?
7. Você como gerente financeiro de sua empresa aplicou um capital de R$ 3.450,00 a uma taxa anual de
juros de 37% por um trimestre. Qual o montante produzido?
8. Qual será o montante de uma aplicação de R$ 735,00 à taxa de 0,5% ao mês durante 135 dias?
9. Um determinado capital produziu o montante de R$ 5.789,00 aplicado a uma taxa de 1,41% ao mês
durante sete trimestres. Qual foi o valor da aplicação?
10. Um capital aplicado no mercado financeiro triplicou de valor em dois anos três trimestres e meio mês.
Qual foi a taxa anual desta aplicação?
11. Um capital triplicou de valor aplicado a uma taxa de 5% ao mês. Qual foi o tempo desta aplicação?
12. Você aplica R$ 30.000,00 por quatro anos na poupança que rende 0,5% ao mês (liquido). Quanto terá
no fim deste período?
RESPOSTAS
1
R$ 450,00
7
R$ 3.769,13
2
R$ 512,00
8
R$ 751,54
3
3,075% a.m.
9
R$ 4.466,48
4
1 ano, 5 meses e 4 dias
10
71,64% a.a.
5
3 meses e 12 dias
11
3 anos e 4 meses
6
5 meses e 11 dias
12
R$ 37.200,00
A única segurança que o homem pode ter na sua vida é sua reserva de conhecimento. (Henry Ford)
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
9
JUROS COMPOSTOS
Relembrando:
$ Quanto vale hoje um ativo ou passivo formado em uma data do passado?
$ Quanto valerá, em um futuro conhecido, uma aplicação realizada hoje?
$ Porque muitas dívidas contraídas na compra de bens acabam ficando maiores do que o valor do próprio bem?
Conceitos de juros
- Juro é a remuneração do capital.
- “Juro é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital financeiro, por determinado tempo, a uma taxa previamente
combinada”.
Conceito de juros compostos
Juro composto é a transação financeira em que um capital é aplicado por diversos períodos, mas, a cada novo
período, os juros produzidos no período anterior são incorporados ao capital para o cálculo dos juros do novo período.
Pelo conceito acima se percebe que, no primeiro período, os juros simples e os compostos são os mesmos, pois não há
capitalização. Conclui-se também que a formação do montante com juros simples é linear apresentando o comportamento de uma
progressão aritmética (PA) ao passo que, com juros compostos é exponencial, apresentando o comportamento de um progressão
geométrica (PG).
Cálculo do Montante em juros compostos (Cn ou FV)
O Montante é a soma do juro (j) com o capital (C ou PV). Extrapolando este conceito para “n” períodos chega-se à seguinte
fórmula:
Cn = C . ( 1 + i )n
ou
FV = PV .(1 + i ) n
É extremamente importante estar atento para o regime de capitalização. Se a capitalização for anual, as variáveis “n”
(número de períodos) e “i” (taxa) devem necessariamente estar expressas em anos. Se a capitalização for mensal, devem estar
expressas em meses, e assim por diante.
Também é importante lembrar que sempre usaremos a taxa (i) já dividida por 100, ou seja, uma taxa de 15% entra na
fórmula como 0,15; uma taxa de 20% como 0,2, etc, como visto em juros e descontos simples.
Exemplo:
Determinar os juros de um capital de R$ 2.000,0 aplicado durante dois anos a uma taxa de 18%a.a., capitalizado
trimestralmente.
Temos:
C = 2.000
k = trimestral
n = 2 anos x 4 = 8 trimestres
i = 18 / 4 trimestres/ 100 = 0,045
Cn
Cn
Cn
Cn
=
=
=
=
C . ( 1 + i )n
2000 (1+ 0,045)8
2000(1,422100613)
2.844,20
Como:
j = Cn - C
Teremos:
j = 2.844,20 – 2.000,00
j = 844,20
Nas calculadoras comuns ou científicas basta teclar:
2000 x (1 +0,045)8 y x
= (no visor aparecerá) 2.844,20 – 2000 = 844,20
Na HP 12C teclar:
2000
CHS
PV
18 ↑ 4 ÷ i
2 ↑ 4x
n
FV 2000 ̶ (no visor aparecerá) 844,20
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
10
Capitalização contínua
Matematicamente pode-se imaginar uma capitalização ainda mais intensa do que a diária. A essa capitalização chamamos de
contínua. A fórmula desenvolvida para calcular o montante é:
Cn = C.(e)i.n
onde “e” é uma constante matemática de valor igual a 2,718281828.
Obs: Neste caso específico as variáreis “i” e “n” também devem estar expressas na mesma periodicidade (não importando qual).
ESTUDO DE TAXAS
1. Taxa Nominal – é a taxa de juros expressa nos contratos ou documentos. Normalmente é anual. Não significa que
a capitalização deva ser desta periodicidade. Ex.; 10% a.a., 18% a.a.
2. Taxas proporcionais – é a mesma taxa de juros expressa em períodos diferentes, mas guardando a
proporcionalidade entre si. Por ex.: 24% ao ano é proporcional a: 12% ao semestre, que é proporcional a 6% ao
trimestre, que é proporcional a 4% ao bimestre, que é proporcional a 2% ao mês e vice e versa.
3. Taxa Acumulada de juros – Quando se tem um determinado capital aplicado por diversos períodos a taxas (i1, i2
...in) diferentes (ou não) em cada período, a taxa capitalizada resultante pode ser expressa com a seguinte fórmula:
iac = [(1 + i1 ) n .(1 + i2 ) n ...(1 + in ) n − 1].100
Por ex: Um capital permaneceu aplicado por períodos iguais às seguintes taxas: 2,1%, 1,9%, 3,4% e 2,6%. Qual foi a
taxa acumulada?
i ac = [(1 + 0,021) 1 .(1 + 0,019 ) 1 .(1 + 0,034 ) .1 .(1 + 0,026 ) 1 − 1].100
i ac = [(1,021).(1,019 ).(1,034 ).(1,026 ) − 1].100
i ac = [(1,103742653 ) − 1]. 100
i ac = 10 ,3743 %
∴
4. Taxa média de juros – Para saber a taxa média de juros de um determinado período torna-se necessário calcular
primeiro a taxa acumulado (item anterior) e depois extrair a raíz “n” desta taxa encontrada. É expressa com a seguinte
fórmula:
i = [
n
(1 + i
ac
) − 1 ]. 100
Para o mesmo exemplo do item anterior, teremos:
i = [4 (1 + 0,103742653) − 1].100
i = [ 4 (1,103742653 ) − 1]. 100
i = (1,024983694 − 1). 100
∴
i = 2 , 4984
%
5. Taxas equivalentes – Quando se tem a necessidade de saber qual foi a taxa que produziu determinada taxa
capitalizada, extrai-se a raíz “n” desta taxa (expressa em um período maior). O procedimento e a fórmula são similares
aos da taxa média.
Por ex: Qual é a taxa mensal equivalente a 30% ao ano?
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
11
i eq . = [ n (1 + i ) − 1].100
i eq . = [12 (1 + 0,30 ) − 1].100
i eq . = [ 12 (1, 30 ) − 1 ]. 100
i eq . = 2,2104 %.a.m.
∴
ieq . = (1,022104451 − 1).100
6. Taxa efetiva – Quando se quer saber a taxa capitalizada de um contrato ou documento, o cálculo a efetuar é
semelhante ao das taxas acumuladas, ou seja, capitaliza-se “(1+i)” tantas vezes quantas forem os períodos de
capitalização contidos no período maior que se quer saber.
Por ex: Qual é a taxa anual efetiva de 3% ao mês?
i ef . = [(1 + i ) n − 1].100
i ef . = [(1 + 0,03) 12 − 1].100
i ef . = [(1,425760887 ) − 1].100
i ef . = 42 , 5761 %. a .a .
7. Taxa real de juros – Normalmente nos valores resultantes das aplicações estão embutidas as taxas da inflação do
período. Para se expurgar a inflação, ou saber qual a taxa que efetivamente remunerou o capital procedemos da
seguinte maneira aplicada ao exemplo.
Ex: Uma aplicação rendeu em um determinado período 7,3%. Qual foi a taxa real de juros, sabendo que a inflação do
mesmo período foi de 4%?
Da fórmula :
(1 + i ) = (1 + i real ).(1 + i inf lação )
pode-se deduzir:
 (1 + i )

i real = 
− 1.100
1 + iinf lação ) 
 (1 + 0,073) 
i real = 
− 1.100
 1 + 0,04)

i real = (1,031730769 − 1).100
i real = 3,1731 %
“Essa crise não passa de uma marolinha”.
(Presidente Lula, em outubro/08, desdenhando o vendaval financeiro que se aproximava.)
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
12
EXERCÍCIOS – JUROS COMPOSTOS E TAXAS
1. Você empresta para seu colega R$ 1.000,00. Quanto ele lhe devolverá no fim de três anos, à taxa de 16% a ano,
sendo que vocês combinaram que a capitalização seria semestral?
2. Qual será o rendimento de R$ 2.000,00 no fim de dois anos e meio, a 20% ao ano capitalizados trimestralmente?
3. Você aplicou o capital de R$ 1.500,00 a 12%a.a. durante quatro anos. Qual foi o montante produzido?
4. Uma aplicação de R$ 1.000,00 produziu um montante de R$ 1.695,88 em três anos. Qual foi a taxa trimestral de
juros desta aplicação?
5. Em quanto tempo um capital dobrará de valor se for aplicado a 18% a.a., capitalizado trimestralmente?
6. Determinar o montante de R$ 1.200,00 no fim de quatro anos, a 12% a.a., capitalizado mensalmente.
7. Qual é a taxa anual de juros que, capitalizada semestralmente, faz com que o capital de R$ 2.500,00 produza R$
2.000,00 de juros em três anos e seis meses?
8. Durante quanto tempo um capital de R$ 2.500,00 produzirá R$ 1.484,62 de juros, a 24% a.a. capitalizado
trimestralmente?
9. Dois capitais que somam R$ 11.000 foram aplicados em instituições financeiras diferentes. O primeiro capital foi
colocado a 20% a.a., capitalizado trimestralmente e o outro foi colocado a 18% a.a. capitalizado mensalmente. No fim
de três anos e nove meses produziram juros iguais. Quais foram esses capitais?
10. Uma pessoa colocou 2/5 de seu capital a 16% a.a. capitalizado trimestralmente e o restante, a 20% a.a.
capitalizado semestralmente. No fim de dois anos e seis meses retirou o montante de R$ 2.061,88. Qual foi o capital
aplicado?
11. Uma instituição financeira paga juros de 24% a.a. capitalizados trimestralmente. Qual é a taxa efetiva?
12. Qual é a taxa trimestral de juros equivalente a 22% a.a.?
13. Um capital é aplicado a 1,5% a.m. Qual é a taxa anual efetiva?
14. Qual é a taxa mensal de juros equivalente a 20% a.a.?
15. O capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante um ano e três meses a uma taxa trimestral de juros. Se a taxa fosse
de 2% ao mês, os juros produzidos seriam R$ 69,58 maiores. Qual foi a taxa da aplicação?
16. Você empresta para seu colega um capital equivalente a R$ 1.235,00. Se a taxa desta transação for de 35% a.a. e
a capitalização mensal, qual será o rendimento (juros) após quinhentos e dez dias?
17. Você aplicou em uma instituição financeira um determinado valor. Após nove meses e quinze dias você retirou um
montante igual a R$ 5.321,00. Qual foi o capital aplicado se a taxa que a instituição paga é de 22,80% a.a. e a
capitalização foi contínua?
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
13
18. Você aplica o seu dinheiro a 7% ao mês. Qual é a taxa anual efetiva de juros?
19. Você aplicou um determinado valor por vários períodos iguais e com taxas diferentes de juros. No primeiro período
a taxa foi de 1,88%. No período seguinte você obteve uma taxa 20% menor que aquela. Num terceiro período a taxa
foi apenas 10% menor do que a primeira e, no último período a taxa foi 15% maior do que a primeira. Considerando
que os períodos foram iguais, qual foi a taxa acumulada de juros?
20. Você aplicou em uma instituição financeira um capital equivalente a R$ 5.235,00. Após duzentos e setenta dias
você retirou um montante 35% maior do que este capital. Qual foi a taxa anual proporcional que a instituição pagou se
a capitalização foi mensal?
21. Você fez uma aplicação financeira por sete meses e obteve um rendimento de 15%. O Banco Central divulga que,
neste mesmo período, a inflação alcançou 6,43%. Qual foi o seu rendimento real nesta aplicação?
22. você fez uma aplicação financeira para dez meses. A taxa mensal da transação foi de 1,47%. Qual foi a taxa efetiva
desta aplicação?
23. Você fez uma aplicação financeira por nove meses e obteve um rendimento de 9,34%. O Banco Central divulga
que, neste mesmo período, a inflação alcançou 6,43%. Qual foi o seu rendimento real nesta aplicação?
24. Você está exercendo a função de caixa de uma loja de eletroeletrônicos. À sua frente está um cliente renegociando
um carnê de compras que está atrasado em quatro meses e a quinta prestação vence hoje. O valor de cada prestação
é de R$ 93,75. A taxa anual que a loja pratica é igual sessenta porcento. Para prestações atrasadas há uma multa de
3% sobre o valor da prestação mais 1,5% a.m. de juros. Qual será o valor que cliente deve pagar para deixar o seu
carnê em dia?
25. Uma pessoa colocou 2/5 de seu capital a 19,37% a.a. capitalizado trimestralmente, 1/3 deste mesmo capital à taxa
taxa anual igual a 19% mas, capitalizado mensalmente, e o restante, a 21,33% a.a. capitalizado semestralmente. No
fim de dois anos e meio retirou o montante equivalente R$ 9.152,00. Qual foi o capital aplicado?
RESPOSTAS
1
R$ 1.586,87
7
17,52% a.a.
14
1,5309% a.m.
20
40,69% a.a
2
3
4
5
6
R$ 1.257,79
R$ 2.360,28
4,5% ao trimestre
Três anos, 11 meses e 7 dias.
R$ 1.934,67
8
9
10
11
12
13
2 anos
C1= 5.162,62 e C2= 5.837,38 R$ 1.323,07
26,24% a.a.
5,097% ao trimestre 19,56% a.a.
15
16
17
18
19
5% ao trimestre
R$ 778,37
R$ 4.442,25
125,22% a.a.
7,4356 %
21
22
23
24
25
8,0522%
15,7115%
2,7342%
494,28
5.654,71
transformam-se em oportunidades”.
“A vida está cheia de desafios que, se aproveitados de forma criativa, transformam
(Maxwell Maltz)
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14
DESCONTOS SIMPLES
Conceito
- Desconto é o abatimento (em dinheiro) que um determinado título sofre quando é resgatado
antes do seu vencimento.
“Desconto é o preço da impaciência”.
(Prof. Rochadelli – PPGEF/UFPR)
Desconto Comercial ou “por fora” (d)
- equivale aos juros simples, onde na fórmula substituímos o capital (C) pelo valor nominal do título
(N ou FV). Assim teremos:
d = N.i.n
d = FV . i . n
Exemplo :
Uma Nota Promissória de valor nominal equivalente a R$ 1.800,00 foi resgatada dois meses antes do seu vencimento à taxa
de 24% a.a. Qual foi o desconto ?
Dados : N = 1.800
d = N.i.n
i = 24 / 12 meses / 100 = 0,02
d = 1.800 x 0,02 x 2
n = 2
d = 72,00
Nas calculadoras comuns ou científicas basta teclar:
1.800
x
24 ÷ 12 ÷ 100
Na HP 12C teclar: 1800 CHS PV 24
x
i
2
60
= 72,00
n
f
INT
Obs.: A taxa utilizada sempre deverá ser anual e o período em dias. (Mesmo procedimento dos juros simples).
Valor Atual ou Valor Presente (An ou PV)
- O valor atual de um título é o seu valor nominal menos o desconto.
Se An = N - d
e
d=Nin
Colocando “N” em evidência teremos então
então
An = N - N i n
An = N ( 1 - i n )
Exemplo :
Calcular o Valor Atual do exemplo anterior.
1ª solução
An = N - d
An = 1.800 - 72
An = 1.728,00
2ª solução
An = N ( 1 - i n )
An = 1.800 ( 1 - 0,02 x 2 )
1.800 x 0,96
An =
An = 1.728,00
Nas calculadoras comuns ou científicas basta teclar:
(Dando seqüência ao cálculo do desconto simples basta diminuir o valor do título)
1.800 x 24 ÷ 12 ÷ 100 x 2 = 72,00 - 1.800 = -1.728,00
Na HP 12C basta teclar
−
(após o cálculo dos descontos) e aparecerá no visor o Valor Atual.
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15
Desconto Racional ou “por dentro” (d’)
- O desconto racional é equivalente ao juro simples calculado sobre o valor atual de um
título. Por esta definição teríamos: d’ = An . i . n
Substituindo e isolando as incógnitas teremos:
d'=
N .i.n
1 + i.n
Exemplo :
Calcular o desconto racional do exemplo anterior.
Temos : N = 1.800
i = 0,02
n = 2
d’ = 1.800 . 0,02 . 2
1 + 0,02 . 2
d’ =
72 .
=
69,23
1,04
Obs.: Concluímos facilmente que o desconto racional será sempre menor do que o desconto comercial.
Nas
teclando :
calculadores científicas, após o cálculo do desconto comercial ou “por fora” continuamos
÷
( 1 + 24 ÷ 12 ÷ 100 x 2 ) = 69,23
Valor Atual ou Valor Presente
Novamente temos o mesmo raciocínio : O valor atual é o valor do título menos o desconto.
An = N - d’
Substituindo d’ pelo seu valor e transformando a fórmula chegaremos a :
An =
N
1 + i.n
Exemplo :
Calcular o Valor Atual do exemplo anterior.
1ª solução
An = N - d’
An = 1.800 - 69,23
An =
2ª solução
An = . 1.800
.
1 + 0,02 . 2
An = 1.800
=
1,04
1.730,77
1.730,77
Na calculadora científica basta diminuir o desconto calculado acima do valor do título ou, fazendo
toda a operação:
1800 ÷ ( 1 + 24 ÷ 12 ÷ 100 x 2 ) = 1.730,77
Na HP 12C teclar:
1800 Enter 1 Enter 24 Enter 12 ÷ 100 ÷ 2
x
+ ÷
“Siga em frente, corajosamente, porque a vitória sorri somente àqueles que não param no meio da estrada”.
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16
EXERCÍCIOS – DESCONTOS SIMPLES
Obs: Os exercícios de 1 a 8 são transcritos e adaptados de: FRANCISCO, W. De, Matemática Financeira. 7a. ed. São Paulo: Atlas. 1994. (p. 36-37)
1. Qual o desconto comercial de uma duplicata de valor nominal equivalente a R$ 220,00, resgatada três meses antes
do vencimento, à taxa de 18% ao ano?
2. Uma nota promissória cujo valor de face é de R$ 860,00 foi paga três meses e quinze dias antes do vencimento com
desconto comercial de 1,5% ao mês. Qual o valor do resgate ?
3. O valor Atual (Presente) de um título, pelo desconto comercial de 2% ao mês, cinco mêses antes do vencimento, é
igual a R$ 720,00. Qual será o valor atual desse título se o desconto for racional?
4. A diferença entre os descontos comercial e racional de um título para quatro meses, à taxa de 18% ao ano, é de
R$ 3,40. Qual o valor nominal do título?
5. Um título de valor nominal igual a R$ 315,00 para noventa dias deverá ser quitado hoje juntamente com outro para
cento e cinqüenta dias cujo valor nominal é igual a R$ 477,80. Calcular o valor que será desembolsado por esta
quitação se a taxa de desconto comercial que envolve a transação é de 2,5% ao mês.
6. Você tem uma dívida de R$ 560,00 e que você pretende pagar antecipadamente em 75 dias. A taxa que envolve a
transação é 1,99% a.m. Qual será o valor do resgate pelo desconto racional?
7. Você tem uma dívida que foi resgatada por R$ 560,00 com 75 dias de antecedência. A taxa que envolveu a
transação foi de 1,99% a.m. Qual era o valor do título se o desconto foi comercial?
8. Uma Letra de Câmbio de valor nominal igual a R$ 2.500,00 foi resgatada dois meses e dezesseis dias antes do
vencimento a uma taxa de 2,7%a.m. Calcular o valor do resgate:
a) Pelo desconto comercial.
b) Pelo desconto racional.
9. Você tem uma dívida de R$ 860,00 e que você pretende pagar antecipadamente em 45 dias. A taxa bimestral que
envolve a transação é 2,5%. Qual será o valor do resgate:
a) pelo desconto comercial;
b) pelo desconto racional?
10. A diferença entre os descontos comercial e racional de um título para cento e trinta dias, à taxa de 21,80% ao ano,
é de R$31,54. Qual o valor nominal do título?
11. A diferença entre o desconto comercial e racional é igual a R$ 77,55. Qual é o valor do título sabendo-se que a taxa
da transação foi de 37%a.a., o vencimento é para cento e quinze dias?
12. A diferença entre os valores de resgate pelo desconto comercial e racional é igual a R$ 117,55. Qual é o valor do
título sabendo-se que a taxa da transação foi de 37,35%a.a., o vencimento é para quinze meses?
13. Você tem em mãos as duplicatas abaixo para serem descontadas no Banco BCB. A taxa que o banco oferece hoje é
de 19%a.a Complete a planilha:
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17
Duplicata
Valor
(em R$)
Vencimento
(em dias)
01
129,75
37
02
347,50
23
03
297,55
41
04
411,50
18
Desconto
(em R$)
Valor do Resgate
(em R$)
Total
RESPOSTAS
1
R$ 9,90
7
R$ 589,32
10
R$ 5.490,05
2
3
4
5
R$ 814,85
R$ 727,27
R$ 1.001,11
R$ 709,45
8.a
8.b
9.a
R$ 2.329,00
R$ 2.339,95
R$ 843,88
11
12
R$ 6.207,33
R$ 791,07
6
R$ 533,46
9.b
R$ 844,17
13
“Na adversidade conhecemos os recursos de que dispomos”. (Horácio)
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18
DESCONTOS COMPOSTOS
Conceito de desconto
- Desconto é o abatimento (em dinheiro) que um determinado título sofre quando é resgatado antes do seu vencimento.
Conceito de Desconto Composto
“Desconto composto equivale à soma dos descontos simples, calculados isoladamente em cada um dos períodos que faltam
para o vencimento do título”. (Francisco, 1994, p. 71).
Da mesma forma como em juros compostos, incorpora-se agora mais uma variável que é o regime de capitalização. Em
cada situação (exercício, negócio ou transação) deve estar expresso qual é o regime de capitalização (anual, semestral, trimestral,
mensal, etc).
Desconto Composto REAL
O desconto composto real equivale à soma dos descontos racionais, calculados sucessivamente em cada um dos períodos
que faltam para o vencimento do título. Assim, aplicando a fórmula do desconto racional
An =
d'=
N .i.n
1 + i.n
e a de seu valor atual
N
, desenvolvemos a fórmula para o cálculo do valor atual (valor do resgate):
1 + i.n
An =
N
(1 + i ) n
ou, passando o denominador para o numerador
An = N .(1 + i ) − n
Exemplo:
Uma Nota Promissória de valor nominal equivalente a R$ 1.800,00 foi resgatada noventa dias antes do seu vencimento à
taxa de 24% a.a. Qual foi o desconto real se a capitalização é mensal?
Dados:
An = N .(1 + i ) − n
então
A 3 = 1800 .(1 + 0 , 02 ) − 3
N = 1.800
k = mensal
A 3 = 1800 .( 0 ,942322335 ) e, finalmente A 3 = 1 . 696 ,18
i = 24 / 12 meses / 100 = 0,02
se d = N – An
então
d = 1800 – 1.696,18 = 103,82
n = 90 dias = 3 meses
Nas calculadoras comuns ou científicas (algumas) teclar:
1.800
x (1 + 0,02)xy 3 ± = 1.696,18
Na HP 12C teclar:
1800 CHS FV 24 g i
3 n
PV
Obs: O período e a taxa utilizada (sempre percentual) deverão estar de acordo com a capitalização.
Desconto Composto Bancário
O desconto composto bancário equivale à soma dos descontos comerciais, calculados sucessivamente em cada um dos
d = N.i.n
An = N.(1-i.n), desenvolvemos a fórmula para o cálculo do valor atual (valor do resgate):
períodos que faltam para o vencimento do título. Assim, aplicando a fórmula do desconto racional
atual
e a de seu valor
An = N .(1 − i ) n
Exemplo:
Calcular o desconto bancário do exemplo anterior.
Dados:
An = N .(1 − i ) n e substituindo, An = 1800 .(1 − 0,02) 3
N = 1.800
k = mensal
An = 1800.(0,941192) chegaremos a: A n = 1 . 694 ,15
i = 24 / 12 meses / 100 = 0,02
se d = N – An
então
d = 1800 – 1.694,15 = 105,85
n = 90 dias = 3 meses
Obs: Concluímos que o desconto bancário será sempre maior do que o desconto real. Com os seus valores atuais ocorre o contrário,
obviamente.
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19
Nas calculadoras comuns ou científicas (algumas) teclar:
1.800
x (1 – 0,02)yx 3
= 1.694,15 – 1800 = 105,85
Na HP 12C teclar:
1800 Enter 1 Enter 0,02 –
3 yx X
1800 –
Obs: A calculador HP 12C não tem teclas financeiras para este cálculo.
Capitalização contínua – Cálculo do valor Atual
A situação específica de capitalização contínua é matematicamente possível e chega-se à solução pela seguinte fórmula:
An = N.(e) – i.n
onde “e” é uma constante matemática de valor igual a 2,718281828.
Obs: Também neste caso as variáreis “i” e “n” devem estar expressas na mesma periodicidade (não importando qual).
“Para o autônomo que optou por abrir uma empresa, a ajuda de um contador é fundamental desde o começo”.
(Maurício Oliveira – editor de Você S/A)
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20
EXERCÍCIOS – DESCONTOS COMPOSTOS
Os exercícios de 1 a 8 são transcritos e adaptados de: FRANCISCO, W. De, Matemática Financeira. 7a. ed. São Paulo: Atlas. 1994. (p.91 e 262).
1.
Calcular o valor atual de um título de R$ 200,00 que sofreu um desconto real de 18% a.a., capitalizados
trimestralmente, dois anos antes do vencimento.
2. O desconto real de um título, pagável em dois anos e três meses, é igual a R$ 187,20. Calcular o valor nominal do
título, sabendo-se que a taxa empregada na transação é de 20% a.a., capitalizada trimestralmente.
3. Qual é o desconto bancário de um título de R$ 500,00, exigível em três anos, a 20% a.a., capitalizados
semestralmente?
4. Calcular o valor atual de um título de R$ 10.000,00, resgatando dois anos e seis meses antes do vencimento, à taxa
de desconto real de 20% a.a. capitalizados semestralmente.
5. Qual é o desconto bancário de um título de R$ 5.000,00 pagável em dois anos a 20% a.a. capitalizados
semestralmente?
6. O desconto real de um título, pagável em um ano e três meses é de 432,95. Calcular o valor nominal deste título,
sabendo-se que a taxa empregada foi de 20% a.a. com capitalizações trimestrais.
7. Um título, pagável em um ano e três meses, sofreu um desconto bancário de R$ 3.921,47 a 24% a.a. capitalizados
mensalmente. Determinar o valor nominal deste título.
8. Calcular o valor atual de um título de R$ 5.000,00, resgatado cinco anos e 4 meses antes do vencimento, a 12%
a.a., capitalizados continuamente.
9. Você deve para seu colega um valor equivalente a R$ 1.235,00. Se a taxa desta transação for de 34% a.a. e a
capitalização mensal, qual será o valor do desconto real se a antecipação desta dívida for de cento e cinqüenta dias?
10. Você deve para seu colega um valor equivalente a R$ 1.235,00. Se a taxa desta transação for de 34% a.a. e a
capitalização mensal, qual será o valor do desconto bancário se a antecipação deste título for de cento e cinqüenta
dias?
11. Você assumiu em uma instituição financeira um determinado título. Cinco meses e quinze dias antes do vencimento
você resgatou este título por um valor equivalente a R$ 5.584,00. Qual foi o valor do desconto concedido se a taxa da
transação foi de 21,80% a.a. e a capitalização foi contínua?
12. Você negociou pelo desconto bancário, em uma instituição financeira, um título equivalente a R$ 4.855,00, por um
valor 35% menor do que o valor original. Qual foi a taxa anual proporcional envolvida se a capitalização foi mensal e a
antecipação de cento e vinte dias?
13. O desconto real de um título, pagável em 1 ano e três meses, é de R$ 432,95. Calcular o valor nominal do título,
sabendo-se que a taxa mensal empregada na transação foi 2,7% e as capitalizações trimestrais.
14. Você deve pagar um título de R$ 12.345,00 com vencimento para dois bimestres e meio. Qual será o valor do
resgate pelo desconto composto real considerando uma taxa de 30% a.a. e capitalizações mensais?
15. A diferença entre os valores de resgate, calculados pelo desconto composto real e bancário, sobre o valor de um
título é igual a R$ 27,50. Qual é o valor deste título se a antecipação foi de oito meses, a taxa de 2,9% a.m. e a
capitalização bimestral?
16. Uma duplicata no valor equivalente a R$ 573,54 sofreu um desconto composto bancário igual a cinqüenta reais,
três bimestres antes do vencimento. Qual foi a taxa anual proporcional se as capitalizações foram mensais?
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
21
17. Você deve para seu colega um valor equivalente a R$ 7.431,00. Se a taxa da transação é igual a 47%a.a. e a
capitalização mensal, qual será o valor do desconto real se a antecipação deste título for de cento e cinqüenta dias?
18. Você assumiu em uma instituição financeira um determinado título. Nove meses e quinze dias antes do vencimento
você resgatou este título por um valor equivalente a R$ 7.431,00. Qual foi o valor nominal deste título se a taxa da
transação é igual a 47%a.a. e a capitalização é contínua?
19. Uma letra de câmbio de valor monetário equivalente a R$ 1.347,00 será antecipada em quatro meses à taxa anual
47%. Qual será o valor do resgate se as capitalizações forem bimestrais e o desconto for bancário?
20. A diferença entre os valores de resgate pelo desconto real e bancário é igual R$ 121,68. Qual é o valor do título
sabendo-se que a taxa da transação é de 47%a.a., o vencimento é para dezoito meses e a capitalização é trimestral?
21. Uma duplicata no valor equivalente a R$ 7.431,00, sofreu um desconto composto bancário igual a R$ 350,00, sete
meses antes do vencimento. Qual foi a taxa anual proporcional se as capitalizações foram bimestrais?
22. Você teve que apelar para um “agiota” para resolver um problema financeiro inusitado. Tomou emprestada uma
determinada quantia que foi resgatada por um valor equivalente a R$ 111.465,00 e que venceria daqui a dois bimestres
e meio. Qual era o valor da dívida se a taxa de desconto foi igual a 47%a.a., o desconto foi real e as capitalizações
mensais?
RESPOSTAS
1
R$ 140,64
8
R$ 2.636,46
16
18,1049% a.a.
2
R$ 526,74
9
R$ 161,02
17
1.298,73
3
4
5
6
7
R$ 234,28
R$ 6.209,21
R$ 1.719,50
R$ 2.000,00
R$ 15.000,00
10
11
12
13
14
15
R$ 165,32
R$ 586,76
122,52% a.a.
R$ 1.342,24
R$ 10.911,18
R$ 2.573,66
18
19
20
21
22
10.780,55
1.144,24
2.961,07
8,2139%
135.071,76
“Saber não é absolutamente nada, imaginar é tudo” (Analote France)
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
22
SÉRIES UNIFORMES
As séries uniformes também são definidas por alguns autores como RENDAS. Significam pagamentos ou
recebimentos periódicos gerados em uma transação. A série uniforme pode ser de prestações ou depósitos e que são
chamados de termos (T ou PMT). Denomina-se “n” o número de termos (pagamentos/receitas) e “i” a taxa de juros.
Se o objetivo da série é formar ou constituir um capital, este será então chamado de Montante da renda ou
série. Se, no entanto o objetivo é amortizar uma dívida, o valor desta dívida será chamado de Valor Atual ou Valor
Presente da série.
As Rendas, ou séries uniformes, podem ser genérica e esquematicamente classificadas em:
1. Perpétuas
2. Temporárias
Não periódicas
Periódicas
Variáreis
Constantes
Imediatas / Postecipadas
Antecipadas
Diferidas
Daremos aqui um enfoque para as Rendas Temporárias Periódicas, Constantes ou perpétuas, Imediatas,
antecipadas e diferidas, visto que são as formas mais comuns no ambiente comercial. As demais podem ser facilmente
entendidas com base na literatura deste mesmo assunto aqui tratado.
Valor Atual de uma Renda Unitária imediata ou postecipada (fator de valor atual)
Para se chegar à fórmula partimos do mesmo cálculo do Valor Atual calculado pelo desconto composto real,
considerando “n” termos, para um título de valor nominal igual a um (1) e uma taxa “i”.
Assim sendo , se An = N ( 1 + i )
- n
e aplicando sucessivamente este raciocínio para os “n” termos e
transformando a fórmula chegaremos finalmente a :
an i
=
Variáveis:
an┐i = Valor Atual de uma Renda Unitária imediata
n = número de termos
i = taxa considerada ( i / 100)
(1 + i ) n − 1
(1 + i ) n . i
Valor Atual das Rendas Imediatas ou postecipadas
Se “T” for o valor do termo (prestação, depósito, etc.), o cálculo para se saber o Valor Atual de uma série
uniforme de Rendas imediatas (com valor da prestação diferente de uma unidade ou valor monetário) será
simplesmente multiplicar o valor do termo (valor da prestação) pelo Valor Atual de Uma Renda Unitária imediata, ou
seja :
An┐i = T . an┐i
Exemplo :
Calcular o Valor Atual de uma dívida constituída de quinze prestações mensais de R$ 750,00, considerando
juros de 3,5% a.m..
Temos : n = 15
i = 3,5 /100
T = 750
an i
=
(1 + i ) n − 1
(1 + 0 , 035 ) 15 − 1
=
= 11 , 5174109
n
(1 + i ) . i
(1 + 0 , 035 ) 15 . 0 , 035
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23
An┐i
= 750 x 11,5174109
= 8.638,058175 =
An┐i
R$ 8.638,06
An┐i = T . an┐i
Obs.:
1. Os valores de an┐i são encontrados em tabelas próprias nos livros de Matemática Financeira. Após identificá-lo
basta multiplicar pelo valor do termo (T).
2. Para calcular o valor de an┐i na HP 12C basta teclar :
1
CHS
PMT
15 n
3,5 i
PMT
15 n
3,5
PV
Para calcular toda a operação na HP 12C:
750
CHS
i
PV
Juntando as duas expressões (fórmulas) teremos:
 (1 + i ) n − 1 
An┐i = T . 

n
 (1 + i ) .i 
Valor Atual das Rendas antecipadas
Analogamente às Rendas imediatas calculamos o seu valor atual pela fórmula :
A n┐i = T . a n┐i
n
a n┐i = (1 + i ) n −−1 1
onde (nesta situação)
(1 + i )
.i
Juntando as duas expressões (fórmulas) teremos:
 (1 + i ) n − 1 
A n ┐i = T . 

n −1
 ( 1 + i ) .i 
Para calcular a operação do exemplo anterior na HP 12C :
750
CHS
PMT
15
n
3,5
i
g BEG
PV
"A esperança tem duas filhas lindas, a indignação e a coragem; a indignação nos ensina a não aceitar as coisas como
estão; a coragem, a mudá-las!” (Anônimo)
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24
Montante de uma Renda Unitária Imediata (fator de montante)
O Montante de uma renda unitária (por ex. R$1,00) imediata equivale à soma dos montantes dos depósitos /
prestações unitárias, durante “n” períodos a uma taxa “i”.
Calculando o montante de cada termo (onde C = 1), pela fórmula dos juros compostos, ou seja,
Cn = C ( 1 + i )n
e, desenvolvendo para “n” termos à taxa “i” chegaremos à fórmula genérica :
n
sn┐i = (1 + i ) − 1
i
Montante de uma série uniforme de Rendas Imediatas
Seguindo o mesmo raciocínio (e forma de calcular) utilizado no Valor Atual, simplesmente multiplicamos o
valor dos termos / prestações / depósitos pelo valor de sn┐i calculado pela fórmula acima, ou seja
Sn┐i = T . sn┐i
Exemplo :
Calcular o Montante do exemplo anterior.
n
sn┐i = (1 + i ) − 1
i
Temos : T = 750
n = 15
i = 3,5 ÷ 100
=
(1 + 0 , 035 ) 15 − 1
0 , 035
sn┐i = 19,29568088
Sn┐i = T . sn┐i
Sn┐i = 750 x 19,29568088 = 14.471,76066
Sn┐i =
14.471,76
Obs.:
1. Os valores de sn┐i são encontrados em tabelas próprias nos livros de Matemática Financeira. Após identificá-lo basta multiplicar
pelo valor do termo (T).
2. Para calcular o valor de sn┐i na HP 12C basta teclar :
1
CHS
PMT
15
n
3,5
i
FV
Juntando as duas expressões (fórmulas) teremos:
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25
 (1 + i ) n − 1 
Sn┐i = T . 

i


Para calcular toda a operação na HP 12C :
750
CHS
PMT
15
n
3,5
i
FV
Montante das Rendas antecipadas
Analogamente às Rendas imediatas calculamos o seu montante pela fórmula:
s
n ┐i
= T . s n ┐i
onde (nesta situação)
s n┐i = (1 + i ).
(1 + i ) n − 1
i
Juntando as duas expressões (fórmulas) teremos:

(1 + i ) n − 1 
Sn┐i = T .  (1 + i ).

i


Para calcular a operação do exemplo anterior na HP 12C :
750
CHS
PMT
15
n
3,5
i
g BEG
FV
Rendas Perpétuas
1. Valor Atual (Séries Perpétuas postecipadas)
A oo┐i = T
i
2. Valor Atual (Séries Perpétuas Antecipadas)
A oo┐i =
T +
T
i
Rendas Diferidas
Obs: Podemos resolver as situações e/ou exercícios sobre séries/rendas diferidas, com os conhecimentos
adquiridos até aqui, empregando juros ou descontos compostos para o período de carência e as demais fórmulas de
séries uniformes para o(s) período(s) em que há o pagamento/recebimento das prestações.
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26
Importante:
Sobre o Capítulo de Séries Uniformes (assim como nos demais), é imprescindível aprofundar os
estudos utilizando a bibliografia recomendada no Plano de Ensino.
EXERCÍCIOS
Obs: Os exercícios de 1 a 08 são transcritos e adaptados de: FRANCISCO, W. De, Matemática Financeira. 7a. ed. São
Paulo: Atlas. 1994. (p.163).
01. Qual é o valor atual de uma renda imediata de quinze termos trimestrais de R$ 5.000,00 à taxa de 6% ao
trimestre?
02. Um aparelho de televisão foi comprado com dez prestações mensais antecipadas de R$ 100,00. Sabendo-se que os
juros são de 2% ao mês, qual foi o preço à vista do televisor?
03. Uma máquina foi comprada com uma entrada de R$ 2.000,00 e mais doze prestações trimestrais de R$ 800,00,
diferidas de um ano. Se os juros foram de 8% ao trimestre, qual foi o preço à vista da máquina?
04. Uma pessoa deposita em uma instituição, no fim de cada trimestre, a quantia de R$ 6.000,00, durante três anos.
Calcular o montante, considerando uma taxa de 24% ao ano.
05. Uma empresa deposita R$ 20.000,00 no início de cada semestre, a 20% ao ano, durante cinco anos. Qual será o
montante?
06. Quanto se deve depositar no início de cada trimestre, a 20% ao ano, durante três anos, para, no fim de quatro
anos, retirar o montante de R$ 100.000,00?
07. Qual é o valor atual de uma renda perpétua imediata mensal de R$ 540,00 à taxa de 3% ao mês?
08. Qual o termo trimestral antecipado, à taxa de 20% ao ano, de uma renda perpétua cujo valor atual é de R$
2.500,00?
09. Calcular quanto uma pessoa deve depositar no início de cada mês em uma determinada aplicação a juros de 18%
a.a. para ter ao final de 30 anos R$ 50.000,00.
10. Calcular a prestação mensal para amortizar um empréstimo de R$ 25.000,00 em 48 pagamentos com juros de 39%
a.a.
11. Calcular o Valor Atual de uma renda mensal imediata de R$ 320,00 com 240 termos a 2,5% a.m.
12. Um trabalhador deposita mensalmente R$ 9,50 para sua aposentadoria. Calcular o montante destes depósitos após
25 anos considerando uma taxa de 21% a.a.
13. Uma pessoa deposita em um fundo de investimentos - no fim de cada semestre - a importância de R$ 6.500,00,
durante 5 anos. Qual será o montante deste fundo, considerando uma taxa de 20% a.a.?
14. Quanto uma pessoa deve depositar mensalmente em uma determinada conta para, no fim de 10 anos possuir R$
120.000,00, considerando uma taxa de 16% a.a. ?
15. Um televisor foi comprado com dez prestações mensais (1 + 9) de R$ 134,00. Sabendo-se que os juros praticados
na loja são de 5% a.m. calcular o preço à vista do aparelho e o montante destas prestações.
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27
16. Uma concessionária de automóveis vende um veículo com uma entrada e mais 47 prestações mensais de R$
680,00. Aceitando que a taxa de juros cobrada é de 2% a.m., calcular o valor do veículo (à vista) e também o
montante que será pago por ele.
17. Qual o montante do salário mensal de R$ 4.600,00 de um determinado vereador se, capitalizado mensalmente,
durante os quatro anos do mandato? (Considerar taxa de 6% a.a.).
18.
Calcular o montante do salário mensal de R$ 14.200,00 (de um determinado Prefeito) , colocado em uma
poupança durante os 4 anos do seu mandato a 6% a.a. capitalizado mensalmente.
19. Você vendeu um veículo e receberá por ele R$ 685,00 por mês, durante trinta e seis meses. Este valor
deverá ser depositado integralmente (no dia do vencimento) em uma caderneta de poupança que rende 6%
ao ano. Como você só vai retirar o dinheiro meio ano após o término dos pagamentos/depósitos, qual
deverá ser o valor do montante nesta poupança? R: 27.763,76
20. Você está fazendo, por três anos e meio, uma aplicação financeira mensal imediata no valor de R$
483,00 (cada uma). Calcular o valor do montante ao final de cinco anos, considerando uma taxa anual de
dezenove porcento. R: 37.818,62
RESPOSTAS
1
2
3
4
5
6
7
8
R$ 48.561,25
R$ 916,22
R$ 6.431,39
R$ 101.219,64
R$ 350.623,34
R$ 4.922,53
R$ 18.000,00
R$ 119,05
10
11
12
13
14
15
16
17
R$ 1.035,58
R$ 12.765,84
R$ 98.314,94
R$ 103.593,26
R$ 410,16
R$ 1.086,45
R$ 1.769,71
R$ 21.274,88
R$ 55.039,60
R$ 248.850,03
9
R$ 3,49
18
R$ 768.189,22
Recomenda-se a solução de mais exercícios disponibilizados no livro: FRANCISCO, W. de, Matemática Financeira. 7a. ed. São Paulo: Atlas. 1994.
“Não são as idéias bonitas que valem; o que valem são as ações práticas.
Não fique parado de braços cruzados. Vá à luta”.
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28
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
(renegociação de créditos/débitos, formação de fundos, etc)
1. Permuta de títulos
Quando dois ou mais títulos tem vencimentos diferentes, eles são chamados de capitais
diferidos. Já vimos que, em capitalização simples, estes títulos ou capitais são equivalentes se,
descapitalizados para o seu valor de resgate (valor atual) os valores forem iguais.
Ou seja:
An = A’n
ou
PV = PV
Já em capitalização composta, esta equivalência pode se dar a qualquer momento. Sob
esta ótica ou conceito, dois ou mais títulos ou capitais podem ter a sua equivalência calculada
tanto nos seus valores atuais como nos seus montantes ou em posições intermediárias do seu
fluxo de caixa. Para tanto, estabelece-se o ponto focal da renegociação e projeta-se todo o fluxo
de caixa para aquele momento, capitalizando ou descontando os valores.
Exemplo:
Um título de valor nominal igual a R$ 5.000,00 vencível em trinta dias pretende ser substituído por outro com
vencimento para daqui a seis meses. Admitindo-se uma taxa de negociação de 3% a.m. e capitalização mensal, qual
será o valor nominal do novo título?
1a. Solução – equivalência no momento “zero’”.
A1 = A6
A1
5.000
|
|
|
|
|
|
|
Usando a fórmula do desconto composto real:
0
A6
1
2
3
4
5
6
N
An = N .(1 + i ) − n
A1 = 5.000 ( 1 + 0,03)- 1
A1 = 5.000 (0,970873786)
A1 = 4.854,37
como
A 1 = A6
4.854,37 = N.0,837484257
4.854,37
=N
0,83748257
A6 = N ( 1 + 0,03)- 6
A6 = N .(0,837484257)
então
N = 5.796,37
2a. Solução – equivalência no “momento focal seis”.
C5 = C0
5.000
Usando a fórmula de juros compostos:
C5
|
|
|
|
|
|
0
1
2
3
4
5
C n = C .(1 + i ) n
|
6 C0
N
C5= 5.000 ( 1 + 0,03)5
C5 = 5.000 (1,159274074)
C5 = 5.796,37
como
C5 = C0
= N
N = 5.796,37
3a. solução – equivalência no “momento focal três”. Usaremos as fórmulas do desconto composto real e dos juros, pois:
A1
5.000
|
|
|
0
A6
1
2
C2 = A3
C2
A3
|
|
|
|
3
4
5
6
N
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
29
C2= 5.000 ( 1 + 0,03)2
C2 = 5.000 (1,0609)
C2 = 5.304,50
como
C 2= A 3
então
5.304,50= N.0,915141659
5.304,50
= N e, finalmente,
0,915141659
N = 5.796,37
A3 = N ( 1 + 0,03)- 3
A3 = N .(0,915141659)
2. Formação de Fundos
Exemplo
Suponha que você queira assegurar que será possível pagar a faculdade da sua filha
daqui a 14 anos. Você estima que o custo mensal será de aproximadamente R$ 500,00 por
mês durante 4 anos. Suponha que ela resgatará este valor de uma caderneta de poupança no
início de cada mês.
a)
Quanto você precisará depositar nessa conta quando ela começar a faculdade, se a
conta paga 6% ao ano com capitalização mensal?
PV = ?
PMT = T = é R$ 500
| | | | | | | | | | | | || | | | |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...... 46 47 48
n: número de períodos de capitalização = 4 anos × 12 períodos por ano, portanto, n = 48 períodos.
i: taxa de juros por período de capitalização; i é 6% ao ano ÷ 12 períodos por ano = 0,5% por período.
PV = A n┐i = valor presente do capital = valor atual.
PV é o valor a ser calculado — o valor presente no início das retiradas.
PMT: valor do pagamento periódico. PMT = T = R$ 500.
A n┐i = T . a n┐i
onde (nesta situação)
n
a n┐i = (1 + i ) n −−1 1
( 1 + i ) .i
48


(
1
+
0
,
005
)
−
1
┐
=
21.396,61
Na
HP
12c
basta
teclar:
500
CHS
PMT 6 g i g BEG 48 n PV
A n i = 500 .
 (1 + 0 , 005 ) 47 . 0 , 005 


b)
Quanto você teria que depositar hoje (um único valor) para atender àquela situação?
Esse é um exemplo de um cálculo de juros / descontos compostos associado a séries uniformes.
PV = 21.396,61
C = An = PV
|
( 14 anos = 168 meses)
An = N .(1 + i ) − n
e,
| | | | | | | | | | | | || | | | |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...... 46 47 48
An = 21.396,61.(1 + 0,005) −168
Na HP 12c, na seqüência do cálculo anterior: f FIN
c)
PMT = T = é R$ 500
=
9.256,50
CHS FV
14 g n
6gi
PV
Quanto você teria que depositar por mês para ter aquele mesmo fundo no início da faculdade de sua filha?
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
30
FV = PV = 21.396,61
PMT = T = ?
PMT = T = é R$ 500
| | | | | | | -------( 14 anos = 168 meses) ---- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...... 46 47 48
Nesta situação o montante (FV) dos depósitos deverá ser o valor presente (PV) dos resgates/retiradas.
Considerando que o primeiro depósito seria hoje, a série dos depósitos também será antecipada. Assim sendo,
teremos:
s
n┐i
= T . s n┐i
onde (nesta situação de série antecipada)

(1 + 0 , 005 ) 168 
21 . 396 , 61 = T .  (1 + 0 , 005 ).

0 , 005


Na HP 12c, na seqüência do cálculo do item “a”: f FIN
s n┐i = (1 + i ).
T = 81,17
onde
CHS FV
(1 + i ) n − 1
i
14 g n
6gi
PMT
3. “Alongamento” de dívidas
Exemplo
Uma empresa fez determinado negócio cujos pagamentos deverão ser quitados em doze parcelas mensais
iguais e imediatas no valor de R$ 8.270,00. Após pagar quatro parcelas propõe que o restante da dívida seja diluída em
vinte e quatro parcelas mensais iguais. Qual será o valor da nova parcela, considerando uma taxa de 24% a. a.?
Lançando os valores em um fluxo de caixa teremos:
PV = ?
0 1
| |
01
PMT = T = R$ 8.270,00
2 3 4 5 6 7 8
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
PMT = T = ?
Inicialmente calcula-se o valor da dívida no “momento zero”:
An┐i = T . an┐i
onde
an i
An┐i = 8 . 270 .  (1 + 0 , 02 )

8
=
(1 + i ) n − 1
(1 + i ) n . i
− 1  = 60.581,73

(
1
+
0
,
02
)
.
0
, 02 

8
Essa dívida será então calculada para ser paga em 24 parcelas mensais, ou seja:
60.581,73
 (1 + 0,02) 24 − 1 
= T .

24
 (1 + 0,02) .0,02 
onde
T = 3.203,02
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31
Na HP 12c, para efetuar todo o cálculo, teclar em seqüência:
8270 CHS PMT 24 g i g END 8 n PV
f FIN
CHS PV
24 n
24 g i
PMT
“Um bom líder não apenas reconhece as boas idéias, mas também assume riscos por seu time”.
(Arthur Diniz)
EXERCÍCIOS – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS (RENEGOCIAÇÃO)
Obs: Alguns dos exercícios abaixo (1 a 10) foram adaptados de:
FRANCISCO, W. De, Matemática Financeira. 7a. ed. São Paulo: Atlas. 1994. (p.91, 92, 263 e 264).
1. Um título de valor nominal de R$ 1.000,00 com vencimento para dois anos será substituído por
outro título para três anos. Calcular o valor nominal do novo titulo, empregando a taxa de 16% a.a. com capitalizações
semestrais.
2. Uma empresa toma um empréstimo de R$ 5.000,00 para ser pago no fim de três anos com juros de 18% a.a. capitalizados
trimestralmente. Após algum tempo, o devedor propõe saldar a dívida com quatro pagamentos anuais iguais, realizáveis no
fim do 2o., 3o., 4o. e 5 o anos, respectivamente. Calcular o valor desses pagamentos.
3. Uma empresa toma R$ 2.000,00 emprestados por três anos com juros de 20% a.a. capitalizados bimestralmente. Um ano
após, a empresa propõe pagar R$ 1.000,00 imediatamente e liquidar o saldo no fim de quatro anos a partir desta data.
Calcular o valor do resgate.
4. Um empréstimo obtido com juros de 19% a.a. capitalizados mensalmente, deverá ser resgatado com dois pagamentos de
R$ 3.200,00 realizáveis no fim de dois e quatro anos, respectivamente. Entretanto após um ano, o devedor propõe pagar R$
2.500,00 imediatamente e saldar o débito com um único pagamento a realizar-se no fim de quatro anos, a partir desta data.
Calcular o valor desse pagamento.
5. Uma empresa deve pagar três títulos R$ 1.000,00, exigíveis no fim do 1o., 2o. e 3o. anos respectivamente. Entretanto , a
empresa pretende substituir os três títulos por um único de R$ 2.500,00. Calcular o prazo desse título empregando a taxa de
20% a.a. capitalizados semestralmente para essa transação.
6. Um empréstimo de R$ 8.700,00 deve ser pago no fim de três anos com juros de 12% a.a. capitalizados semestralmente.
Entretanto o devedor porpõe pagar a dívida com três pagamentos anuais iguais, realizáveis no fim do 2o., 3o. e 5o anos
respectivamente. Calcular o valor desses pagamentos.
7.Uma empresa devedora de dois títulos de R$ 2.000,00 para o fim de dois e quatro anos, respectivamente, propõe resgatar a
dívida com três pagamentos anuais iguais, realizáveis no fim do 2o., 3o. e 4o anos respectivamente. Calcular o valor desses
pagamentos, sabendo-se que a taxa do desconto real empregada nessa transação é de 20% a.a. capitalizados
trimestralmente.
8. Uma empresa toma R$ 20.000,00 emprestados por cinco anos a 22% a.a. capitalizados semestralmente. Passados dois
anos, a empresa resgata a dívida com desconto real de 20% a.a. capitalizados trimestralmente. Quanto pagou?
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32
9. Uma empresa toma um empréstimo de R$ 30.000,00 por cinco anos a 20% a.a. capitalizados semestralmente. Após algum
tempo, a empresa propõe resgatar a dívida com três pagamentos anuais iguais e antecipados. Calcular o valor desses
pagamentos.
10. Uma pessoa toma um empréstimo de R$ 27.350,00 por três meses a 18% a.a., capitalizados mensalmente. Após alguns
dias o devedor propõe saldar a dívida com quatro pagamentos mensais iguais, realizáveis no fim do 2o., 3o. 4o e 5
o
mês
respectivamente. Calcular o valor desses pagamentos.
11. Três títulos de R$ 10.000,00 cada, vencíveis em um, dois e três anos respectivamente, serão substituídos por um único
título para quatro anos. Calcular o valor deste título empregando a taxa da transação de 12% a.a., capitalizados mensalmente.
12. Uma empresa contraiu um empréstimo por cinco anos com juros de 23% a.a. capitalizados semestralmente. Passados dois
anos, a empresa propõe resgatar a dívida com três pagamentos anuais de R$ 20.000,00, realizáveis no fim do 3o., 4o. e 5o.
anos. Calcular o valor do empréstimo.
13. Você tem o Fluxo de Caixa abaixo, onde “M” representa um valor monetário equivalente a R$ 1.000,00 e “MQ”
representa um valor monetário equivalente a R$ 1.500,00. Transforme este fluxo em uma série uniforme antecipada (para o
mesmo período), considerando uma taxa anual de juros igual a 17,55%. Qual será o valor da nova prestação?
M
|
0
MQ
|
1
M
|
2
MQ
|
3
M
|
4
MQ
|
5
M
|
6
MQ
|
7
M
|
8
MQ
|
9
M
|
10
MQ
|
11
M
|
12 (meses)
14. Uma máquina industrial cujo valor à vista está fixado em R$ 53.235,00 foi comprada por sua empresa com uma entrada de
20% e mais 24 prestações mensais iguais e antecipadas, diferidas de dezoito meses com uma taxa anual de 27%. Após pagar
nove parcelas (no dia em que pagou esta nona parcela) você decidiu renegociar a dívida. A proposta é pagar o saldo
remanescente em quarenta e oito parcelas mensais iguais e postecipadas. Você ainda conseguiu reduzir a taxa para 16% a.a.
Qual deverá ser o valor da nova parcela?
15. Você fez determinada compra em uma loja de material de construção de sua cidade e assumiu pagar seis prestações
mensais iguais (sem entrada) no valor de R$ 1.234,56 (cada uma). Você paga a 1a, a 2ª e a 3ª no vencimento e, no dia em
que pagou a terceira prestação, você renegocia a dívida restante em dezoito prestações mensais iguais e antecipadas. Qual
será o valor de cada uma destas novas prestações, considerando que a loja cobra uma taxa anual de juros igual a 49%?
6. Um empréstimo de custeio agrícola no valor equivalente a vinte e cinco mil reais deveria ser pago após dez meses e foi
obtido com uma taxa anual de juros igual a dezenove porcento, capitalizado mensalmente. A seca frustrou a safra e você
renegociou a dívida (no vencimento) para ser quitada em oito pagamentos semestrais iguais. Qual será o valor de cada um
destes pagamentos?
17. Você comprou um veículo nas seguintes condições: entrada de 50% e restante financiado em 48
parcelas mensais iguais e postecipadas de R$ 563,95. Após pagar quatro parcelas, no dia em que
vencia a quinta parcela você propõe que a dívida restan te seja refinanciada em 24 parcelas mensais
iguais e postecipadas. Considerando que nesta renegociação não haja a cobrança de nenhuma outra
taxa, qual será o valor da nova parcela se o custo financeiro é de 2,78% a.m.?
18. Você está exercendo a função de gerente financeiro em uma grande loja de material de construção. À sua frente está um
cliente propondo um plano de pagamentos para as suas compras. O valor total das compras é de R$ 23.530,00. A proposta do
cliente é pagar sessenta prestações mensais uniformes postecipadas. A sua proposta é aceitar os sessenta pagamentos
propostos, mas, acrescido de reforços trimestrais (sendo o primeiro hoje) no valor (cada um) equivalente a R$ 2.353,00 e que
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33
ocorrerão durante o mesmo período de pagamento das prestações. A taxa anual que a loja pratica é igual a 42%. Qual será o
valor da prestação neste Plano de pagamentos?
19. Você está exercendo a função de caixa de uma loja de eletroeletrônicos. À sua frente está um cliente renegociando um
carnê de compras que está atrasado em três meses e a quarta prestação vence hoje. O valor de cada prestação é de R$
63,75. A taxa anual que a loja pratica é igual sessenta porcento. Para prestações atrasadas há uma multa de 1,5% sobre o
valor da prestação mais 1% a.m. de juros. Qual será o valor que cliente deve pagar?
20. Uma máquina industrial cujo valor à vista está fixado em R$ 15.235,00 foi comprada por sua empresa com uma entrada de
20% e mais 24 prestações mensais iguais e antecipadas, diferidas de doze meses com uma taxa anual de 17%. Qual será o
valor da prestação?
21. Continuando a questão anterior: Após pagar nove parcelas (no dia em que pagou esta nona parcela) você decidiu
renegociar a dívida. A proposta é pagar o saldo remanescente em quarenta parcelas mensais iguais e postecipadas. Você
ainda conseguiu reduzir a taxa para 12% a.a. Qual deverá ser o valor da nova parcela?
22. Você tem cinco títulos (notas promissórias) com valor equivalente a R$ 839,45 (cada um) com vencimentos em 30, 60, 90,
120 e 150 dias respectivamente. A intenção é trocar estes títulos por um único de R$ 4.197,25. Qual será o prazo do novo
título considerando que a taxa anual de juros nesta transação é igual a 49% e considerando capitalizações mensais?
23. Você tem uma loja de material de construção. À sua frente está um cliente propondo um plano de pagamentos para as
suas compras. O valor total das compras é de R$ 23.530,00. A proposta do cliente é pagar sessenta prestações mensais
uniformes postecipadas. A sua proposta é aceitar os sessenta pagamentos propostos, mas, acrescido de reforços trimestrais
(sendo o primeiro hoje) no valor (cada um) equivalente a R$ 1.500,00 e que ocorrerão durante o mesmo período de
pagamento das prestações. A taxa anual que a loja pratica é igual a 42%. Qual será o valor da prestação neste Plano de
pagamentos?
24. Você está exercendo a função de caixa de uma loja de eletroeletrônicos. À sua frente está um cliente renegociando um
carnê de compras que está atrasado em quatro meses e a quinta prestação vence hoje. O valor de cada prestação é de R$
83,75. A taxa anual que a loja pratica é igual sessenta porcento. Para prestações atrasadas há uma multa de 2,5% sobre o
valor da prestação mais 1,5% a.m. de juros. Qual será o valor que cliente deve pagar para deixar o seu carnê em dia?
25. Você tem em mãos um título de R$ 6.396,50 com vencimento para quatro meses. Como bom gerente financeiro você
propõe que este título seja parcelado em seis pagamentos mensais com o primeiro vencimento para daqui a 60 dias. Qual será
o valor de cada um destes pagamentos se a taxa da transação é de 12% ao semestre?
RESPOSTAS
1
2
3
4
5
6
R$ 1.166,40
R$ 2.270,70
R$ 3.151,94
R$ 4.183,13
11 meses e 23 dias
R$ 4.232,65
7
8
9
10
11
12
R$ 1.341,72
R$ 31.621,92
R$ 17.502,97
R$ 7.202,25
R$ 38.273,27
R$ 25.514,49
13
14
15
16
17
18
R$ 1230,71
R$ 1.208,37
R$ 261,37
R$ 5.460,11
R$ 842,41
R$ 103,42
19
20
21
22
R$ 261,72
R$ 703,45
R$ 287,69
2meses e 29 dias
23
R$ 407,88
24
25
R$ 439,88
R$ 1.076,08
“Inovar a administração não é um projeto para seis meses. É uma busca persistente e permanente pelos melhores
métodos para liberar e potencializar a capacidade humana”.
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(Gary Hamel)
34
MÉTODOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
RESUMO
1. Método do Payback – Por este método busca-se saber quanto tempo o projeto levará para
devolver o dinheiro investido nele.
1.1. Payback Simples (PBS) – Por este método, diminui-se os lucros líquidos a serem gerados pelo
investimento do desembolso inicial, independente se for uma série uniforme ou não. O resultado será o
número de períodos necessários para que “o Projeto devolva o valor ($) investido nele”.
Ex.:
Ex. Um investimento de $ 25.000,00 gerará retornos anuais de $ 5.000,00 durante 10 anos. Qual é o
seu PBS?
Vantagens:
- Informação rápida praticamente sem cálculos.
- Fornece uma idéia aproximada do prazo de recuperação do capital investido.
Desvantagens:
Desvantagens:
- Não considerada o valor do dinheiro no tempo.
- Não considerada o fluxo de caixa após o PB.
1.2. Payback Descontado (PBD) - Nesta variante do Payback, utiliza-se uma taxa de juros para
descontar até o momento focal zero, os lucros líquidos de cada período previsto no investimento. Para
fazer o cálculo pode-se utilizar qualquer taxa de interesse. Lapponi (1996, p.24) sugere que seja usada a
taxa do custo do capital, ou seja, se o investimento for financiado, utiliza-se a taxa do financiamento.
Casarotto (1998), considera este método como não exato e o chama de Payback Time. Zdanowicz sugere
que deva ser usada a TMA, pelas suas características intrínsecas. A subtração dos valores descontados do
investimento inicial fornece o número de períodos necessários para que “o investimento se pague”.
Ex.:
Ex. Um investimento de $ 25.000,00 gerará retornos anuais de $ 5.000,00 durante 10 anos. Qual é o
seu PBD se a TMA do projeto é de 10%a.a.?
Vantagens:
- Informação rápida com poucos cálculos.
- Fornece uma idéia bastante precisa do prazo de recuperação do capital investido.
Desvantagens:
- Não considerada o fluxo de caixa após o PB.
2. Método do Valor Atual
Por este método, utiliza-se a TMA para descontar todo o fluxo de caixa (lucros líquidos por
período), até o momento focal zero. A soma de todos os valores atuais (valores descontados) será
subtraída do investimento inicial gerando o Valor Presente Líquido (VPL
VPL)
VPL do projeto. O resultado é um valor
monetário utilizado na comparação com as outras alternativas, ou o uso alternativo do dinheiro. A decisão
recai para o Projeto de maior VPL.
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
35
Ex.:
Ex. Um investimento de $ 25.000,00 gerará retornos anuais de $ 5.000,00 durante 10 anos. Qual é o
seu VPL se a TMA do projeto é de 10%a.a.?
Vantagens
Facilidade de entendimento econômico-financeiro;
Rápida resposta quando da comparação entre alternativas mutuamente exclusivas, tendo
a mesma vida útil;
Possibilidade de aplicação a projetos com “fluxos de caixas não convencionais”;
Fácil visualização gráfica na comparação entre alternativas;
Permite o uso de taxas mínimas de atratividade.
Desvantagens
Quando analisados projetos com vida útil diferente, há necessidade de recorrer a uma vida
útil comum. Os VPL’s não mais teriam qualquer identificação com “lucros excedentes”.
Dificuldade de certas empresas em explicitar uma taxa mínima real de atratividade.
3. Método do Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE ou VAU ou VUL)
Lapponi chama este método de Valor Uniforme Líquido. Consiste em transformar o investimento em uma
série anual uniforme e comparar com as séries geradas pelo lucro líquido anual e pelo valor residual do
projeto. A taxa utilizada nos cálculos sempre será a TMA. A escolha recai sobre o projeto de maior VAUE.
Ex.1:
Ex.1 Um investimento de $ 25.000,00 gerará retornos anuais de $ 5.000,00 durante 10 anos. Qual é o
seu VAUE se a TMA do projeto é de 10%a.a.?
Ex.2:
Ex.2 Um investimento de $ 35.000,00 gerará retornos anuais de $ 6.000,00 durante 10 anos e terá um
valor residual de $ 8.000,00. Qual é o seu VAUE se a TMA do projeto é de 10%a.a.?
Ex.3
Ex.3: Um investimento de $ 35.000,00 gerará retornos anuais de $ 8.000,00 durante 4 anos, $
7.000,00/ano durante 3 anos, $ 6.000,00/ano durante 3 anos e terá um valor residual de $ 8.000,00. Qual é
o seu VAUE se a TMA do projeto é de 10%a.a.?
Vantagens
Não requer cálculo da vida útil comum quando se analisa diversos projetos;
Pode avaliar alternativas que só apresentam estruturas de custos;
Não necessita da obrigatoriedade de se trabalhar apenas com fluxos de caixa
convencionais;
É o critério ideal para as instituições de fomento tomarem decisões imediatas na
elaboração de “ranking” entre as propostas competitivas;
Não necessita de cálculos de projetos incrementais.
Desvantagens
O critério não apresenta um índice econômico-financeiro de fácil entendimento para o
grande público empresarial, ao contrário do que ocorre com a TIR e o VPL.
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36
4. Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)
Este método busca identificar a taxa de juros que anula o projeto de investimento. Ou seja, comparando
investimento, receitas e despesas, a taxa em que o VPL é nulo, indica a taxa interna de retorno deste
projeto. A grande vantagem deste método é a expressão do resultado em um valor percentual. Portanto,
leva em consideração todas as proporcionalidades das variáveis envolvidas: Volume do investimento,
volume do lucro líquido anual gerado e vida econômica do projeto. Isso possibilita que projetos com
volumes diferentes e vida econômica diferente possam ser melhor comparados.
Vantagens
Representa a taxa de lucro do projeto analisado. É de fácil entendimento para a
comunidade empresarial;
Independe da taxa mínima de atratividade para os procedimentos iniciais de sua
determinação;
Para projetos com vidas úteis diferentes não há a necessidade de igualar as vidas úteis;
Desvantagens
Na avaliação de dois ou mais projetos, faz-se necessário o cálculo da rentabilidade do
projeto incremental para decidir qual o mais rentável;
Não permite analisar projetos que apresentam apenas fluxos negativos de caixa ou de
custos.
5. Critério da Razão Benefício/Custo (CRBC)
(CRBC) - O indicador deste critério consiste na relação entre o
valor presente dos benefícios e o valor presente dos custos, afirmando-se que os projetos dados à análise
pelo critério serão economicamente viáveis quando esse indicador for maior que a unidade, ou seja, no
limite, igual à unidade.
Em termos públicos o conceito de benefícios e custos passam a ter uma conotação social.
6. Outros métodos: Índice de lucratividade, Valor Futuro Líquido, Taxa Interna de Juros, Taxa
Externa de Retorno, Custo Anual, etc.
etc.
7. Imposto de Renda e Rentabilidade dos Investimentos
Na análise de projetos de investimentos, a depreciação tem repercussão na diminuição do lucro
tributável da empresa o que contribui para elevar a TIR do investimento planejado frente a uma proposta
que não possua tal concessão.
Quanto aos financiamentos concedidos aos projetos de investimentos, semelhantes à depreciação,
podem ser deduzidos dos lucros tributáveis, o que também reforça uma melhor performance da TIR do
projeto.
Se fosse pela vontade do empresário ele gostaria de deduzir a parcela da depreciação no menor
espaço de tempo (depreciação acelerada). Para contornar a questão, a Receita Federal estipula
coeficientes que, de modo geral para o Brasil, se situam entre os 4% a.a. Para prédios (25 anos de
vida útil) e 20% a.a. para veículos (5 anos de vida útil) e os equipamentos em torno de 10% a.a.
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37
Um ponto fundamental, na análise da influência do IR/Depreciação sobre os investimentos, é saber
o que vale para efeito de dedução do lucro tributável é a Depreciação Contábil, diferente da
Depreciação Real ou Efetiva.
8. Análise de Sensibilidade – Os métodos vistos até aqui analisam propostas de investimento
considerando conhecido o futuro ao admitir os fluxos de caixa como certos ou determinados. No entanto,
no mundo real a prática tem demonstrado que o futuro é incerto e que o ambiente de tomada de decisão
presente nem sempre é fornecedor de subsídios tangíveis que concorram à sinalização de eventos
positivos ou negativos relacionados aos acontecimentos futuros. Por esta razão é de fundamental efetuar a
Análise de Sensibilidade em qualquer projeto, antes de sua implantação.
Bibliografia recomendada
CASAROTTO FILHO, N. Análise de Investimentos: Matemática Financeira, engenharia econômica, tomada
de decisão,
decisão, estratégia empresarial. 8ª ed. São Paulo: Atlas, 1998.
LAPPONI, J.C. Avaliação de Projetos de investimento. São Paulo: Lapponi Treinamento e Editora Ltda.,
1996.
ZDANOVICZ, J.E. Orçamento de Capital. 2ª ed. Porto Alegre: Sagra-Luzzatto. 1994.
DAMODARAN, A. Avaliação de Investimentos.
Investimentos Rio de Janeiro. Qualitymark, 1996.
OLIVEIRA, J.A.N. de, Engenharia Econômica : uma abordagem às decisões de investimento.
investimento São Paulo.
McGraw-Hill do Brasil.
PUCCINI, A. de L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
38
Universidade do Estado de Santa Catarina
Curso de Mestrado em Administração
Área de Concentração : Gestão Estratégica das Organizações
PLANEJAMENTO FINANCEIRO
DE MICRO E PEQUENAS EMPRESAS
Beno Nicolau Bieger
Florianópolis/SC
2001
Conteúdo extraído do Capítulo 1 – Revisão bibliográfica
1.4 Engenharia Econômica
1.4.1 Método do payback ou do Prazo de Recuperação do Capital
Este é um método bastante simplificado que busca identificar o período necessário para que os ingressos
líquidos (lucro / período) se igualem ao capital investido. Para calcular o payback basta dividir o investimento inicial
pelas receitas liquidas projetadas. O resultado dará uma noção genérica de quanto tempo aquele investimento
precisará gerar aquelas receitas para devolvê-las ao investidor. Por exemplo, se um investimento de R$ 20.000,00
gerar receitas liquidas de R$ 5.000,00 por ano durante cinco anos, o seu payback será : 20.000,00 / 5.000,00 = 4
anos. Esta forma direta e simples é também chamado de payback simples (PBS). A situação do exemplo anterior,
dificilmente acontece na prática, pois normalmente as receitas liquidas não são uniformes. Nesta situação pode-se
lançar os valores acumulados em um gráfico. Por exemplo : Um determinado investimento de R$ 400.000,00 gerará
um fluxo de caixa liquido (receitas liquidas) de R$ 80.000,00 no primeiro ano, R$ 120.000,00 no segundo ano,
130.000,00 no terceiro ano, R$ 80.000,00 no quarto ano, R$ 110.000,00 no quinto ano e R$ 95.000,00 no sexto ano.
Cria-se então uma tabela e um gráfico como segue :
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39
Figura 05 - Tabela e gráfico do payback simples (PBS)
Anos
0
1
2
3
4
5
6
Capitais
Capitais acumulados
(400.000,00)
(400.000,00)
80.000,00
(320.000,00)
120.000,00
(200.000,00)
130.000,00
(70.000,00)
80.000,00
10.000,00
110.000,00
120.000,00
95.000,00
215.000,00
300.000
200.000
100.000
0
(100.000)
(200.000)
(300.000)
(400.000)
1
2
3
4
5
6
Pelo gráfico pode-se perceber que a recuperação do capital se dará entre o terceiro e quarto anos.
Para saber quantos meses após o terceiro ano basta fazer a interpolação linear, considerando uma receita liquida
uniforme no decorrer daquele ano.
Analisando este método, é fácil concluir que este não pode ser o único quando são analisados investimentos.
Mas existem nele algumas vantagens, além de ser uma medida de liquidez, a facilidade de sua aplicação e
interpretação : quanto menor o payback, melhor o investimento. As desvantagens estão no fato de que não é
considerado o valor do dinheiro no tempo, não considera todos os capitais do fluxo de caixa dando ênfase a projetos
de curta maturação que podem ter baixa rentabilidade, e ainda, o método não é uma medida de rentabilidade do
investimento por somente analisar o prazo necessário para recuperar o valor do investimento.
Alguns autores, entre eles Lapponi (1996) ainda ampliam a análise deste método sugerindo uma segunda
análise com o método do payback descontado que leva em consideração o custo do capital no tempo. Esta maneira,
no entanto se aproxima muito do método do Valor Presente Liquido (VPL) que será analisado a seguir.
1.4.2 Método do Valor presente líquido ou do Fluxo de caixa descontado
Se o método do payback visto não leva em conta o custo do dinheiro no tempo, pelo método do Valor
Presente Liquido1 (VPL) ou do Fluxo de Caixa Descontado (FCD) calcula-se o Valor Atual / Valor Presente das receitas
e das despesas geradas pelo investimento projetado, utilizando-se a taxa mínima de atratividade (TMA)2 pretendida
pelo investidor e, então compara-se o resultado com o valor do investimento. "O método do VPL é mais do que um
simples cálculo, é o melhor método de avaliação que consegue mostrar a contribuição do projeto de investimento no
aumento do valor da empresa" (Lapponi, 1996, p.33).
O procedimento de cálculo do VPL nada mais é do que a soma dos valores presentes de todos os fluxos de
caixa gerados pelo investimento ao longo de sua vida útil / econômica. Para o exemplo apresentado no método
anterior onde eram gerados R$ 5.000,00/ano durante cinco anos para um investimento de R$ 20.000,00, se
considerarmos uma taxa de atratividade de 15% a.a., o Valor Presente Liquido será:
1
A palavra liquido é utilizada por se referir à diferença entre o valor presente dos capitais positivos e negativos do
fluxo de caixa do investimento/empresa projetado.
2
"A taxa mínima de atratividade ... é a taxa mínima de juros por que convém o investidor optar em determinado
projeto de investimento" (Francisco, 1994, p.198). Quando se usa a terminologia Fluxo de Caixa Descontado esta é a
"... taxa de desconto refletindo o risco inerente aos fluxos de caixa estimados" (Damodaran, 1999, p.12).
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
40
VPL = 5.000 *
(1 + i ) n − 1
(1 + 0,15) 5 − 1
=
5.000
*
= 5.000 * 3,352155 = 16.760,78 (3) e, diminuindo o
(1 + i) n .i
(1 + 0,15) 5 .0,15
investimento inicial de 20.000 chega-se a : – 3.239,22
ou então diretamente na HP 12C : 20000 CHS g CFo 5000 gCFj 5 g Nj 15 i f NPV
o resultado também será : – 3.239,22 ou seja, para uma taxa de atratividade de 15% a.a. o VPL será menor do que o
investimento inicial. Portanto o investimento não é interessante.
O outro exemplo também apresentado no método anterior (PBS) será assim calculado4 :
VPL = – 400.000 + 80.000(1,15)-1 + 120.000(1,15)-2 + 130.000(1,15)-3 +
80.000(1,15)-4 + 110.000(1,15)-5 +
95.000(1,15)-6 = – 12.719,61
E, usando a calculadora HP 12C :
400000 CHS g CFo 80000 g CFj 120000 g CFj 130000 g CFj 80000 g CFj 110000 g CFj 950000 gCFj 15 i f NPV =
– 12.719,61
Também para este exemplo pode-se concluir que o investimento não é compensador para a taxa de
atratividade de 15% a.a. pois seu VPL é menor do que o desembolso inicial.
Lapponi (1996, p.36) desenvolveu a seguinte fórmula genérica para o Valor Presente Liquido :
VPL = – I +
Rn
R1
R2
Q
+
+ ... +
+
2
n
1 + k (1 + k )
(1 + k )
(1 + k ) n
Onde I é o investimento do capital na época zero;
R1, R2, ... Rn, são os retornos após os impostos, ...;
n é o prazo da análise do projeto, denominado também de vida útil;
k é o custo do capital ..., taxa de atratividade, taxa de juros requerida, taxa de juros mínima aceitável, custo de
oportunidade;
Q é o valor residual do projeto no final do prazo da análise.
Damodaran (1999) trata longa e profundamente sobre avaliação de investimentos, avaliação de dividendos,
de imóveis e principalmente de empresas, sempre utilizando o método do fluxo de caixa descontado.
1.4.3 Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)
No método anterior (VPL) todos os valores do fluxo de caixa envolvendo ingressos ou desembolsos foram
levados para o momento zero do investimento, considerando determinada taxa envolvendo o negócio. No método da
Taxa Interna de Retorno busca-se identificar a taxa que anula o valor do VPL. A taxa interna de retorno é pois a taxa
de juros que anula a diferença entre os valores atuais das receitas e das despesas de seu fluxo de caixa. Numa
3
4
Fórmula desenvolvida para Valor Presente de Séries uniformes por Francisco (1994, p. 98)
Utilizando a fórmula do desconto composto real.
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
41
escolha entre mais de uma alternativa de investimento, considerando que todas atendem os demais objetivos da
empresa, escolhe-se aquela que tiver a maior taxa de retorno.
A fórmula desenvolvida por Lapponi para o VPL (vista acima) ficará então assim:
VPL = 0 = – I +
Rn
R1
R2
Q
+
+ ... +
+
2
n
1 + k (1 + k )
(1 + k )
(1 + k ) n
onde k é a taxa interna de retorno ainda não conhecida.
Como não se tem condições de calcular "k" diretamente na expressão acima, foram desenvolvidas algumas
maneiras práticas de fazê-lo.
Com o uso da calculador HP 12C para calcular a TIR do exemplo visto anteriormente tem-se o seguinte
procedimento :
400000 CHS g CFo 80000 g CFj 120000 g CFj 130000 g CFj 80000 g CFj 110000 g CFj 950000 g
CFj f IRR = 13,82% a.a.
Como se pode ver, naquele projeto havia uma pretensão de retorno (taxa de atratividade) de 15% a.a. e, na
verdade o retorno é de apenas 13,82% a.a.
Zdanowicz (1995) e também Francisco (1994) desenvolveram uma outra maneira para, numa seqüência de
cálculos pelo método das tentativas, chegar à taxa interna de retorno. Primeiramente transforma o fluxo de caixa numa
série uniforme e então, na fórmula do valor atual de séries uniformes têm-se como única incógnita a taxa. Numa
tabela de valores atuais para uma unidade monetária, busca-se identificar duas taxas de juros (uma abaixo e outra
acima deste valor) que serão então interpoladas, juntamente com os módulos de valores atuais produzidos por estas
taxas. O resultado da interpolação é a TIR do projeto.
Aplicando o método de Zdanowicz e Francisco no exemplo do investimento de R$ 20.000,00 que gera
receitas liquidas de R$ 5.000,00 por cinco anos, a taxa interna de retorno deste investimento será :
1º passo : Da fórmula de valor atual
onde
An┐i = T . an┐i
( 5)
An┐i = 20.000,00 (valor do investimento)
T = 5.000,00 (valor do termo da série uniforme)
a5┐i
será = 20.000 / 5.000 = 4,000
2º passo : Na tabela de valores atuais6 com
n=5 e
a5┐i = 4,000 a taxa de 7% corresponde a 4,100197 e a de
8% corresponde a 3,992710, portanto um valor acima e outro abaixo de 4,000.
3º passo : Calcular os módulos de valores atuais com a fórmula
An┐i = T . an┐i :
A5┐0,07 = (5000 . 4,100197) - 20.000 = 500,99
A5┐0,08 = (5000 . 3,992710) - 20.000 = 36,45
5
6
Francisco, 1994, p.98.
Esta tabela é produzida baseada na fórmula do valor atual de uma unidade monetária (desenvolvida a partir da
fórmula do desconto composto real) : an┐i =
(1 + i) n − 1
(1 + i) n .i
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
42
4º passo : Interpolar as taxas e os respectivos módulos pela fórmula7 :
Taxa.maior − TIR
TIR − Taxa.menor
=
Módulo
Módulo
0,08 − TIR TIR − 0,07
=
36,45
500,99
e, resolvendo a expressão tem-se TIR = 7,93 % a.a.
Fazendo o mesmo cálculo pela HP 12C o procedimento será :
20000 CHS PV 5000 PMT 5 n
i e o resultado será também 7,93 % a.a.
Por suas limitações e pela demora do cálculo este processo está caindo em desuso. Calculadoras financeiras,
planilhas do Excel ou similares tornam a tarefa extremamente simples e rápida podendo o resultado ser comunicado
em poucos segundos. Cabe a observação de que um mesmo projeto poderá vir a ter mais de uma taxa interna de
retorno, ou seja TIR's múltiplas. Esta sistemática não entrará nesta abordagem.
Quando a seleção de projetos de investimento recai exclusivamente sobre a TIR convém fazer também a
análise incremental de cada projeto8.
1.4.4 Método do Custo Anual (CA)
No método anterior foram desenvolvidas algumas formas de se identificar a taxa interna de retorno de um
investimento com o objetivo de se identificar uma taxa capaz de anular o fluxo de caixa das receitas e despesas ao
longo da vida útil do projeto. Francisco (1994) desenvolveu um método adicional que deve ser utilizado quando se
analisa diversas alternativas de investimento e a intenção for optar por um de menor custo anual. Neste método "o
fluxo de caixa de cada alternativa é reduzido a uma série anual uniforme com o emprego da taxa mínima de
atratividade" (p.207).
As fórmulas desenvolvidas pelo autor são :
CA = CARC + CO
onde
CA = Custo Anual
CARC = Custo Anual de Recuperação do Capital
CO = Custos operacionais
e o Custo Anual de Recuperação do Capital (CARC) é calculado :
CARC = [ (C - R) / an┐i ] + R.i
onde C = Custo inicial do investimento
R = Valor residual do investimento
i = Taxa de atratividade
7
8
Esta interpolação também pode ser efetuada de diversas outras maneiras.
Sobre Análise Incremental consultar Lapponi, 1996.
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
43
n = Vida útil do Investimento
Estabelecendo um Custo Operacional (hipotético) de R$ 27.000,00 / ano, e uma taxa de atratividade de
15% a.a. para o exemplo acima teríamos :
CARC = (20.000 - 0 ) / 3,352155 (9) + 0 x 0,15 = 5.966,31
CA = 5.966,31 + 27.000 = R$ 32.966,31
Os resultados obtidos nas análises das alternativas de investimento são então comparados e a opção recairá
sobre a de menor custo anual.
1.4.5 Método do Valor Uniforme Liquido (VUL)
O método do valor uniforme liquido (VUL), de acordo com Lapponi (1996) converte todo o fluxo de caixa do
investimento, do projeto ou da empresa numa série de termos iguais e postecipados entre as datas um e "n" do fluxo
de caixa.
Para o exemplo apresentado no método do payback simples e ainda considerando um valor residual de R$
60.000,00 tem-se o seguinte procedimento para o cálculo do valor uniforme líquido: Calcula-se uma série uniforme
para o capital de R$ 400.000,00 levando em conta a taxa de 15% a.a. para um período de seis anos e obtém-se o
valor de R$ 105.694,76 para cada período (coluna I); calcula-se então o valor presente líquido (VPL) para as receitas
anuais projetadas que será igual a R$ 387.280,39. Este valor também irá gerar uma série uniforme de R$ 102.333,77
representada na coluna "R". Em seguida calcula-se também uma série uniforme para o valor residual que resulta em
R$ 6.854,21 (coluna Q). O resultado das três colunas (-I + R + Q ) aparece na coluna VUL que é o valor uniforme
liquido do investimento. Por ser positivo, em tese, o investimento deve ser aceito pois gerará lucros extras de R$
3.493,22 ao ano além da taxa de atratividade de 15% a.a
Tabela 01 - Cálculo do Valor Uniforme Liquido (VUL)
Anos
0
1
2
3
4
5
6
6
9
an┐i =
Capitais
(400.000,00)
80.000,00
120.000,00
130.000,00
80.000,00
110.000,00
95.000,00
60.000,00
I
(105.694,76)
(105.694,76)
(105.694,76)
(105.694,76)
(105.694,76)
(105.694,76)
Séries Uniformes
R
Q
102.333,77
6.854,21
102.333,77
6.854,21
102.333,77
6.854,21
102.333,77
6.854,21
102.333,77
6.854,21
102.333,77
6.854,21
VUL
3.493,22
3.493,22
3.493,22
3.493,22
3.493,22
3.493,22
(1 + i ) n − 1
onde i = 15% (0,15 na fórmula) e n = 5 anos
(1 + i) n .i
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44
1.5 Alavancagem Financeira
No item anterior foram abordados os diversos métodos de análise de investimentos. Estes métodos permitem
que seja tomada a decisão sobre qual o melhor investimento quando se tem diversas alternativas e, quando está
sendo analisado apenas um projeto, tem-se a possibilidade de antever o comportamento financeiro e seus efeitos no
fluxo de caixa da empresa.
"O lucro líquido da empresa resulta da rentabilidade econômica dos ativos, diminuída do custo de suas
dívidas. ... O efeito de alavancagem traduz o fato de que, quando a rentabilidade dos ativos é mais elevada do que o
custo do endividamento, o crescimento das dívidas eleva a rentabilidade do capital próprio". (Fleuriet,1978, p.140). Já
Sant'Ana define alavancagem financeira como a utilização de recursos (próprios e de terceiros) para multiplicar os
lucros dos acionistas.
Na busca de capital – para implementar estes novos projetos ou mesmo para implementar projetos em
andamento – dentro do universo financeiro, pode-se selecionar duas fontes de recursos: Capital próprio e Capital de
terceiros. Estas formam o passivo da empresa.
A busca das fontes de financiamento será abordada rapidamente neste item. Primeiramente será analisado o
autofinanciamento e sua importância para depois ser enfocado o financiamento de longo prazo e seu poder de
alavancagem.
1.5.1 O autofinanciamento
Reportando-se ao balanço patrimonial enfocado no início do capítulo, observamos que as fontes de recursos
têm duas origens : recursos próprios representados pelo capital social, reservas e depreciações (Patrimônio Liquido)
e recursos de terceiros, que são representados pelos créditos de fornecedores e pelos empréstimos e financiamentos
bancários (Exigível). O capital próprio é aquele que não se caracteriza como uma exigibilidade, ou seja, o que
pertence aos proprietários da empresa, sendo denominado de Patrimônio Líquido.
O ativo econômico é assim o conjunto de aplicações que a empresa dispõe para gerir suas estratégias e
ações no mercado em que atua. Brasil e Fleuriet (1982) classificam o ativo econômico em : ativos de precaução, de
exploração, de operação ou cíclicos, e financeiros em caixa. Os ativos de precaução são investimentos em imóveis ou
títulos não ligados às operações da empresa. Já os ativos de exploração são investimentos em imóveis e
equipamentos necessários à produção. Os ativos de operação ou cíclicos são investimentos em estoques tanto de
matérias-primas como em duplicatas a receber. E, finalmente, os ativos financeiros em caixa são representados pelo
numerário disponível tanto em caixa como em instituições financeiras e se destinam ao pagamento de emergências e
dívidas de curto prazo.
O aumento do ativo econômico é financiado pelos lucros retidos mais a depreciação, constituindo-se nos
fundos para o autofinanciamento. A geração de recursos próprios define a capacidade de crescimento da empresa. É
portanto a primeira alavanca financeira de que a empresa dispõe para fomentar o seu crescimento. A otimização ou a
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45
maximização deste valor depende diretamente da estrutura de produção e organização da empresa. O aumento do
preço de venda e a economia com matéria prima e mão-de-obra são fundamentais neste processo.
Os recursos provenientes das depreciações dependem sobremaneira do perfil das máquinas e equipamentos,
bem como do produto fabricado ou serviço prestado pela empresa.
1.5.2 Financiamentos de terceiros
Além do autofinanciamento as empresas se valem, também, do capital de terceiros para desenvolverem as
suas atividades. O capital de terceiros se caracteriza como uma exigibilidade, ou seja, reflete em pagamento de juros,
comissões, etc., mais a devolução do principal em uma data pré-determinada. São os Passivos Exigíveis. Quando
estes passivos são exigíveis no curto prazo10 se caracterizam como Passivos Circulantes. Estes podem ainda ser
Passivos Circulantes Operacionais (PCO) quando são obtidos através de fornecedores e até mesmo dos impostos
ainda não desembolsados e, Passivos Circulantes Financeiros (PCF) quando os recursos provém de fontes não
ligadas à empresa (Bancos, Instituições, etc.).
Já se o prazo é longo11 estes passivos se denominam Exigíveis de Longo Prazo. Estes recursos tem origem
em financiamentos ou empréstimos de longo prazo que se destinam para realizar ampliações ou mesmo para acelerar
o ritmo de crescimento da empresa. Os empréstimos ou financiamentos de longo prazo são um dos componentes do
Capital de Giro (CDG), representando recursos de terceiros que, obviamente, também geram despesas financeiras.
Esta importante alavanca externa precisa ser analisada criteriosamente, pois o seu custo deverá ser passível de
absorção pela rentabilidade do próprio negócio.
Conclui-se facilmente que não se pode lançar mão desta modalidade sem conhecer rigorosamente a
rentabilidade do negócio em que a empresa está atuando.
1.6 Decisões de investimento e de financiamento
1.6.1 Decisão de investimento
A decisão de investimento é sem dúvida uma das principais decisões da área financeira. Em essência,
consiste na alocação de capital a projetos de investimentos, cujos benefícios serão auferidos no futuro. Como os
lucros futuros não podem ser estimados com absoluta certeza, a decisão de alocar capital, necessariamente, envolve
risco. Desta forma, tais decisões consideram não apenas o risco incremental que eles representam para a empresa
como um todo, visto que este se constitui num fator determinante do valor de mercado da empresa. (Sanvicente,
1995).
Os investimentos dizem respeito à avaliação de aplicação de recursos nas atividades da empresa.
Normalmente, as aplicações dos recursos na área de investimento destinam-se, entre outros, à:
10
11
Curto prazo – é o período menor que um exercício social. Normalmente 360 dias (1 ano).
Longo prazo – é o período maior que um exercício social.
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46
• Aquisição de máquinas novas;
• Substituição de um equipamento por outro;
• Instalação de sistemas de controle de produção e estoques;
• Compra de patente sobre processo de produção ou direitos de uso de marcas comerciais;
• Ampliação ou construção de uma nova fábrica;
• Abertura de uma nova linha de produtos e serviços;
1.6.2 Decisão de financiamento
A função financeira12 tem por finalidade assegurar a empresa como um todo e consiste em captar os
recursos necessários para financiar a estrutura produtiva no mais baixo custo possível. Isto significa analisar
principalmente as variáveis : prazos, datas de pagamentos, garantias exigidas pelos agentes financiadores, etc.
A decisão de financiar é portanto inerente ao nível hierárquico mais elevado de cada empresa e significa
determinar a melhor forma de financiar as suas operações. Em outras palavras, determinar qual a estrutura de
capital mais adequado e a decisão de conjugar o lucro desejado ao custo de capital de terceiro e o risco associado a
cada alternativa envolvida.
1.6.3 Decisão de distribuição de lucros
No balanço geral da empresa, os investimentos estão alocados no lado do Ativo e os financiamentos estão
no lado do Passivo que são as fontes de recursos que vêm sendo usadas pela empresa para sustentar suas
atividades.
A utilização do lucro líquido, recursos financeiros que a própria empresa gera em suas atividades
operacionais e extra-operacionais13, estão localizados na parte do patrimônio líquido do balanço geral da empresa. A
decisão da utilização do lucro líquido, também conhecida como política de dividendos14, se preocupa com a
destinação dada aos recursos financeiros gerados pela própria empresa. Desta forma , o que a empresa retém de seu
lucro, deixando de distribuir, constitui numa das suas fontes de recursos15.
Essa taxa representativa do custo de capital dos recursos selecionados constitui o padrão para a tomada de
decisões de investimento à medida que, aplicando recursos com retorno superior ao custo de capital, a empresa achese no caminho da maximização dos resultados para os que nela investem.
12
Dependendo do porte da empresa, a função financeira tem seu espaço determinado na estrutura organizacional sob
forma de gerência ou diretoria financeira. Nas micro empresas é função intrínseca do proprietário.
13
Receitas ou lucros obtidos com atividades que não são o objetivo da empresa e podem vir de alienação de imóveis,
receitas financeiras não operacionais, etc.
14
Em empresas de Capital Aberto (S/A).
15
Para maiores esclarecimentos ver : Lei das S.A. Manuais de legislação Atlas nº 28, 6ªed., 1999.
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47
1.7 Conclusão
Neste primeiro capítulo foram abordadas as principais demonstrações financeiras quais sejam : Balanço
Patrimonial, Demonstrações do Resultado do Exercício, Demonstração de Origem e Aplicações de Recursos e
Demonstração de Lucros e Prejuízos acumulados / Demonstração das Mutações do Patrimônio Líquido.
Para melhor conceber o Planejamento Financeiro foram inicialmente abordadas as idéias e seus principais
autores sobre planejamento estratégico, para depois discorrer sobre ciclo econômico x ciclo financeiro, capital de giro e
fluxos de caixa das empresas.
Avaliar ou analisar projetos de investimento ou empresas, é uma das funções do planejamento financeiro que
possibilita através de métodos específicos determinar a sua rentabilidade, retorno e custos projetados. Estes métodos
são abordados na engenharia econômica.
A alavancagem financeira analisa o autofinanciamento e o financiamento de terceiros. No tópico seguinte
aborda-se a questão das decisões de investimento, financiamento e de distribuição de lucros.
Com estas abordagens pretende-se estabelecer o conceitual teórico necessário à compreensão do
ferramental que envolve a prática do planejamento financeiro em empresas ou organizações.
No próximo capítulo será abordada a micro e pequena empresa, suas definições e classificações, bem como
a caracterização e perspectivas da micro e pequena empresa no oeste catarinense, especialmente no setor industrial e
de prestação de serviços.
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48
O presente texto foi extraído e adaptado da Dissertação de Mestrado de Patrícia Taha, apresentada à UFSC.
A íntegra encontra-se disponível em: http://www.eps.ufsc.br/disserta96/taha/cap3/cap3.htm
ESTUDO DE VIABILIDADE TÉCNICO-ECONÔMICA
DA PRODUÇÃO DE SURIMI
Patrícia Taha
Capítulo 3
CONSIDERAÇÕES METODOLÓGICAS
Este capítulo apresenta uma descrição dos métodos mais utilizados atualmente para uma análise
econômica de investimento.
Para análise do projeto é utilizado o modelo clássico de Economia da Engenharia, acrescido de
uma Análise de Sensibilidade para identificar as variáveis que mais interferem na viabilização do
projeto.
Dentre os métodos utilizados para análise de viabilidade de projetos, serão utilizados o Método do
Valor Presente, a Taxa Interna de Retorno e o Método Tempo de Recuperação do Capital (Pay
Back Time).
3.1. ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
O conceito de Análise de Investimentos pode ser considerado como um conjunto de técnicas que
permitem a comparação entre os resultados de tomada de decisões referentes a alternativas
diferentes de forma científica.
Nessas comparações, as diferenças que marcam as alternativas devem ser expressas tanto quanto
possível em termos quantitativos. Para expressar em termos quantitativos as diferenças entre as
alternativas em uma tomada de decisão usa-se basicamente da Matemática Financeira.
A Engenharia Econômica é, em boa parte, uma aplicação das técnicas de Matemática Financeira
nos problemas de tomada de decisões. É um conjunto dos métodos utilizados nas análises de
investimentos e das técnicas empregadas na escolha da melhor alternativa.
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
49
Surge um problema de Engenharia Econômica quando se deseja investir um capital ou ocorre a
necessidade de se comprar um bem de capital. Em ambos os casos, todas as alternativas
tecnicamente viáveis para o investimento devem ser analisadas.
Empregando métodos específicos os resultados das oportunidades de negócios são comparados
com o objetivo de apurar-se a melhor alternativa para o investimento. Economicamente, a melhor
alternativa é a que, a longo prazo, propicia maior rentabilidade ou menor custo.
De acordo com DE FRANCISCO (1988), um estudo de análise de investimentos compreende:
a. um investimento a ser realizado;
b. enumeração de alternativas viáveis;
c. análise de cada alternativa;
d. comparação das alternativas;
e. escolha da melhor alternativa.
Finalizando, cabe ainda ressaltar que na tomada de decisão a alternativa escolhida deve ser sempre
a mais econômica, após a verificação de que todas as variáveis que influem no sistema foram
convenientemente estudadas.
3.2. CONSIDERAÇÕES DA ENGENHARIA ECONÔMICA
Para a tomada de decisões de investimento, alguns pressupostos devem ser considerados como a
seguir:
a. Não existe decisão com alternativa única. Significa que, para tomar qualquer decisão, devemos
analisar todas as alternativas viáveis, sendo em número mínimo de duas.
b. Somente pode-se comparar alternativas homogêneas. Para melhor entendimento deste princípio,
vejamos um exemplo: O que é melhor comprar, um apartamento na Beira -Mar (Florianópolis zona altamente valorizada) por 300 mil dólares ou um outro em Capoeiras (Florianópolis, zona de
menor valorização) por 100 mil dólares? Não será possível esta comparação se não conseguirmos a
homogeneidade de dados de comparação. Se os dois apartamentos tiverem a mesma metragem, a
mesma qualidade de acabamento, os mesmos cômodos, e se considerarmos que o índice de
valorização de ambos os bairros são iguais e que seria indiferente morar na Beira-Mar ou em
Capoeiras, aí então poderíamos dizer qual das duas alternativas é melhor.
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
50
c. Apenas as diferenças das alternativas são relevantes. Se em ambas as alternativas tivermos uma
série de custos ou receitas iguais, elas não são necessárias para decidir qual é melhor, uma vez que
existindo as duas alternativas no mesmo momento, suas diferenças anulam-se.
d. Os critérios para decisão de alternativas econômicas devem reconhecer o valor do dinheiro no
tempo. Não pode-se comparar simplesmente a alternativa A (investir 1 milhão de dólares e receber
3 milhões em 2 anos) com a alternativa B (investir 1 milhão e receber 5 milhões em 4 anos),
porque existe uma diferença das alternativas com relação ao tempo. Desta forma, não é possível
simplesmente escolher a alternativa B porque 5 milhões é mais do que 2 milhões. Para se fazer esta
comparação teremos que igualar o tempo de vida ou de utilização das alternativas. Não se pode
esquecer, por exemplo que os 3 milhões recebidos antes podem ser reaplicados a determinada taxa
por mais dois anos.
e. Capital escasso. De nada adianta existir uma alternativa excepcionalmente rentável, se o capital
próprio mais o capital conseguido com terceiros não é suficiente para cobrir as necessidades de
capital do investimento.
f. Deve-se sempre atribuir certo peso para os graus relativos de incerteza associados às previsões
efetuadas. Como em todas as alternativas de investimento sempre observam-se valores estimativos,
deve-se tomar a precaução de atribuir a cada um destes eventos certo grau de incerteza. A
consideração formal do grau e do tipo de incerteza serve para assegurar que a qualidade da solução
será conhecida pelos responsáveis da tomada de decisões.
g. As decisões devem também levar em consideração os eventos qualitativos não quantificáveis
monetariamente. Seleção de alternativas requer que as possíveis diferenças entre alternativas sejam
claramente especificadas. Sempre que possível essas diferenças devem ser quantificáveis em uma
unidade comum, geralmente unidade monetária, para fornecer uma base para a seleção dos
investimentos. Os eventos não quantificáveis devem ser, entretanto claramente especificados a fim
de que os responsáveis pela tomada de decisão tenham os dados necessários relacionados, de forma
a tomar a melhor decisão. Em certos casos, a alternativa mais econômica não é a melhor solução
em função dos dados não monetários ou não quantificáveis.
h. Realimentação de Informações. A realimentação de dados para os técnicos responsáveis pelo
estudo de alternativas é vital para um reajuste das alternativas realizadas, além de permitir o
aumento do grau de sensibilidade e também para que se previnam erros nas decisões futuras.
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
51
3.3. MÉTODOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA PARA SELEÇÃO DE ALTERNATIVAS
A Engenharia Econômica é uma técnica destinada a escolher dentre várias alternativas de
investimento a mais rentável. Várias alternativas não podem ser comparadas a menos que suas
respectivas conseqüências em valores monetários sejam primeiramente transladadas a pontos
comparáveis no tempo, através de uma taxa de juros adequada.
Por isso, qualquer metodologia a ser adotada no processo de análise deve, necessariamente, incluir:
•
a. o quanto investir;
•
b. a data de pagamento para cada uma das alternativas;
•
c. a medida de retorno mínimo (TMA-taxa mínima de atratividade), que deve ser obtida
com a aplicação do capital disponível em outros investimentos.
A rentabilidade de uma série de pagamentos é dada pela taxa de juros que permite ao capital
empregado fornecer um certo retorno.
Ao analisar um possível investimento, deve-se levar em consideração que o mesmo já deslocou
capital passível de ser aplicado em outros investimentos que possibilitariam retorno. Portanto, esse
investimento para tornar-se atrativo deverá render , no mínimo, a taxa de juros equivalente à
rentabilidade das aplicações correntes e de pouco risco.
A análise de investimentos é a maneira que temos de antecipar , através de uma estimativa, os
prováveis resultados a serem obtidos. Para o estudo dos métodos de seleção de alternativas, o
conceito a seguir deve ser considerado.
3.3.1. Taxa Mínima de Atratividade (TMA)
Consiste na taxa mínima de juros que o investidor pretende conseguir como rendimento ao optar e
realizar certo investimento, para o nível de risco escolhido.
É a taxa a partir da qual o investidor espera estar obtendo ganhos. Corresponde, na prática, a taxa
oferecida pelo mercado para uma aplicação de capital como, a caderneta de poupança, depósitos a
prazo fixo, e outros. Assim, se um investimento propiciar uma rentabilidade abaixo do rendimento
dessas formas de aplicação de capital, ele não será atrativo ao investidor.
Os métodos de seleção de alternativas de investimentos que serão apresentados e utilizados para
análise do projeto proposto estão descritos abaixo:
3.3.2. Valor Presente Líquido (VPL)
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
52
O valor presente líquido, também conhecido por valor atual líquido (VAL) é um método bastante
difundido na área de tomada de decisão sobre investimento, por tratar-se de um método de fácil
elaboração.
Segundo FLEISCHER (1973), a característica essencial do método do Valor Presente "é o
desconto para o valor presente de todos os fluxos de caixa esperados como resultado de uma
decisão de investimento". Todos os fluxos de caixa futuros são descontados, usando-se a Taxa
Mínima de Atratividade (TMA).
Na prática trata-se em trazer para o presente, ou seja, para o tempo em que se iniciou o projeto
todas as despesas e receitas de capital esperados, a uma determinada taxa de juros que reflita os
juros de mercado.
Segundo CASAROTTO FILHO (1994) este método normalmente é utilizado nas análises de
investimentos isolados, que envolvam o curto prazo ou que tenham baixo número de períodos.
Para ilustrar mais facilmente a repetição dos fluxos de caixa pode-se expressá-lo através de um
diagrama, onde:
Figura C : Fluxo de Caixa
(3.1.)
A partir de fluxos similares ao apresentado na figura 3, para calcular o Valor Presente Líquido
pode-se usar a equação (3.1), onde 'VP' é igual ao valor presente, 'P' o fluxo de caixa líquido no fim
de cada período 't' e 'i' é a taxa mínima de atratividade.
A análise econômica de um único projeto através do Valor Presente, como é o caso deste estudo, é
simplesmente analisar se este é positivo, neste caso o projeto é vantajoso.
Porém, pelo Método do Valor Presente Líquido, se tivermos várias alternativas de projetos a serem
analisadas e estas possuírem tempos de vida diferentes é necessário transformá-las em projetos
com o mesmo número de períodos, o que pode ser feito considerando-se um período de
planejamento igual ao menor múltiplo comum das vidas dos projetos através da repetição dos
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
53
mesmos. Vantagens do Valor Presente Líquido sobre os outros critérios de avaliação de
investimentos, são descritos a seguir:
a. O valor presente líquido pressupõe que um dólar disponível hoje, vale mais do que um dólar
disponível amanhã, porque este pode ser aplicado e começar imediatamente a render juros (Valor
Temporal do Dinheiro).
b. O valor presente líquido depende unicamente dos fluxos de caixa previsionais do projeto e do
custo de oportunidade do capital, não é afetado pelas preferências do decisor, pelos métodos de
contabilização usados pela empresa, pela rentabilidade da atividade atual da empresa ou pela
rentabilidade de outros projetos autônomos, o que conduziria a decisões menos qualificadas.
c. Outra propriedade muito importante do valor presente líquido é a propriedade da aditividade. Por
exemplo, existindo dois projetos A e B, o VPL do investimento conjunto é:
VPL (A + B) = VPL(A) + VPL(B)
No caso do projeto B apresentar VPL negativo, a soma dos dois terá um VPL menor do que o do
projeto A que é positivo. Desta forma, provavelmente, não se escolherá um mau projeto (B) só
porque está se associando a um bom projeto (A).
3.3.3. Taxa Interna de Retorno (TIR)
Segundo FLEISCHER (1973), a taxa interna de retorno de um investimento é a taxa de juros para a
qual o valor presente dos recebimentos resultantes do projeto é exatamente igual ao valor presente
dos desembolsos, ou seja, é a obtenção de uma taxa de juros que zere o valor presente do fluxo de
caixa. Assim o critério para a decisão de investimento com base na TIR é aceitar um projeto de
investimento se o custo de oportunidade do capital for menor do que a taxa interna de retorno.
OLIVEIRA (1982) define taxa interna de retorno como aquela que torna o valor dos lucros futuros
equivalente ao valor dos gastos realizados com o projeto. Assim a TIR caracteriza-se como a taxa
de remuneração esperada para o capital investido e pode ser calculada através de [equações ou
ferramentas adequadas como HP 12C ou Excel].
Não há solução algébrica simples para esta equação, portanto para calcular a TIR aplica-se o
processo de tentativa e erro, isto implica na obtenção de um valor positivo e outro negativo,
correspondente as duas taxas de juros tomadas arbitrariamente. Como a taxa de juros solução deve
resultar em valor presente zero, é necessário encontrar a solução dentro dos limites das tabelas
disponíveis em livros que tratam do assunto. A interpolação linear desses valores fornecerá a TIR
aproximada. [ver Bieger, 2001 acima]
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger
54
A TIR e o VPL baseiam-se nos mesmos princípios da equivalência de capitais e conduzem à
mesma decisão, à exceção de alguns casos particulares.
A diferença fundamental dentre estas duas técnicas é que o VPL assume reinvestimentos ao custo
de capital, enquanto a TIR assume que os reinvestimentos se farão à própria taxa interna de
retorno. Entretanto, o critério da TIR é suscetível à apresentar algumas desvantagens, entre as
quais:
•
a. Nem todas as séries de fluxo de caixa tem VPL que diminua à medida que aumenta a
taxa de atualização. Por exemplo, quando faz-se um empréstimo deseja-se uma baixa taxa
de rentabilidade, mas verifica-se que o VPL aumenta à medida que se eleva a TMA. Neste
caso, o critério da taxa interna de retorno não funciona, tendo-se que procurar uma TIR
menor que a TMA.
•
b. Outra complicação que pode surgir com a TIR é a existência de fluxos de caixa onde
quantias positivas e negativas (recebimentos e pagamentos) se alternam ao longo dos
períodos. Neste caso, segundo a Regra de Descartes, poderá haver tantas raízes (VP=0)
quantas forem as mudanças de sinais nos fluxos de caixa, e portanto, o projeto de
investimento poderá ter várias taxas de retorno. Pode também ocorrer casos em que não
existe qualquer TIR. Por exemplo um projeto pode apresentar um VPL positivo para todas
as taxas de atualização (TMA). Nestes casos, a aceitabilidade ou não do projeto de
investimento consiste na utilização do VPL.
•
c. Outro ponto crítico da comparação de projetos utilizando-se a TIR, surge quando as
empresas tem que decidir em optar por investir em um projeto entre várias alternativas
mutuamente exclusivas. Neste caso, a TIR também pode apresentar-se inadequada. Nestes
casos muitas vezes é interessante analisar a TIR dos fluxos incrementais, tendo o cuidado
porque os fluxos de caixa podem apresentar mudanças de sinais, o que inviabilizaria a
decisão pela TIR. Então, pode-se concluir que o uso da TIR para ordenação de projetos de
diferentes escalas e ordenação de projetos que geram diferentes padrões de fluxos de caixa
não é adequado.
•
d. Outra desvantagem da utilização da TIR aparece quando comparam-se projetos que
apresentam investimentos iniciais e/ou vidas diferentes. Isto exige uma análise incremental,
além de outras suposições quanto à equivalência e uniformização dos fluxos de caixa.
•
e. Quando as taxas de juros de curto prazo são diferentes das de longo prazo surge mais
uma vez a inadequação do critério da TIR para análise da viabilidade ou não do projeto de
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investimento. Nestes casos pode-se comparar a TIR do projeto com a TIR esperada por um
título que seja equivalente ao projeto em risco e que tenha o mesmo padrão temporal de
fluxo de caixa. Mas como isso não é simples de se avaliar na prática, deve-se optar pelo
VPL para analisar a viabilidade de investimento sempre que a estrutura temporal do projeto
for significativa.
Quando observa-se conflito entre os métodos de VPL versus TIR, a decisão correta é selecionar o
projeto com maior VPL, assumindo-se que o objetivo é maximizar o valor presente da empresa.
Quando se calcula o VPL de um projeto, busca-se saber se o projeto vale mais do que ele custa.
Estima-se seu valor calculando quanto seu fluxo de caixa deveria valer se uma reivindicação sobre
o projeto fosse oferecida isoladamente aos investidores e negociada no mercado. É por este motivo
que se calcula o VPL descontando fluxos de caixa futuros ao custo de oportunidade de capital, isto
é, à taxa de retorno esperada oferecida para títulos que têm risco similar ao projeto.
Por fim, cabe lembrar que o VPL permite que milhares de acionistas, que têm uma enormidade de
diferenças entre níveis de riqueza e atitudes frente ao risco, participem de uma mesma empresa e
deleguem sua operacionalização a um profissional, através de uma simples instrução: "Maximizem
o Valor Presente" (BREALEY and MYERS,1991).
3.3.4. Período de Recuperação do Capital Investido (Pay Back)
O Pay Back é o principal método não exato. Ele mede o tempo necessário para que a somatória das
parcelas anuais seja igual ao investimento inicial.
Este método é bastante utilizado pelos empresários para determinar a atratividade de um
investimento. Considerando que o maior objetivo de um projeto é o lucro e não o tempo de
recuperação do capital investido, este método ignora qualquer ocorrência além do período final em
que o capital foi recuperado. Assim mesmo, ele pode fornecer informações de interesse,
principalmente quando o futuro é altamente incerto, e o interesse em recuperar o investimento
inicial é o mais rápido possível, mas este método deve ser usado somente para fornecer
informações adicionais. Existem, no entanto, algumas desvantagens no método Pay Back, as quais
são descritas a seguir.
•
a. Falta relação com as conseqüências do investimento além do final do período de
recuperação.
•
b. O método não leva em consideração a Taxa Mínima de Atratividade.
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•
c. O método não leva em consideração a vida do investimento, tornando-se mais difícil seu
uso quando o investimento inicial se der por mais de um ano ou quando os projetos
comparados tiverem investimentos iniciais diferentes.
3.3.5. Período de Recuperação Atualizado ou Pay Back Descontado
Este método tem vantagem em relação ao Pay Back porque ele questiona quantos períodos serão
necessários para o projeto ser aceito em termos de valor presente líquido. Isto quer dizer que é dada
uma ponderação igual a todos os fluxos, antes do período limite, mas ele continua a não considerar
os fluxos de caixa que ocorrem após o período.
3.4. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Uma forma de analisar os possíveis resultados de um investimento é através da Análise de
Sensibilidade, que estuda o efeito que a variação de um dado de entrada (input) pode ocasionar nos
resultados finais. A análise determina o efeito que variações nos inputs, como receitas e custos
operacionais, usados para estimar fluxos caixa, podem ocasionar no valor presente líquido ou em
qualquer outro fator de decisão utilizado (PARK, 1993).
Quando uma pequena variação num parâmetro altera drasticamente a rentabilidade de um projeto,
diz-se que o projeto é muito sensível a este parâmetro e poderá ser interessante concentrar esforços
para obter dados menos incertos (CASSAROTTO FILHO e KOPITTKE, 1994).
A Análise de Sensibilidade demonstra portanto, o quanto o Valor Presente Líquido ou outro fator
utilizado mudará, devido a uma dada alteração de um input. Assim, na análise de fluxos de caixa
pelos modelos de Engenharia Econômica, alguns itens podem ter maior influência no resultado
final do que outros, podendo-se identificar os inputs mais significativos.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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__________ . Planejamento financeiro de Micro e Pequenas Empresas. Florianópolis/SC: ESAG/UDESC. 2001.
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FRANCISCO, Walter de. Matemática Financeira. 7a. ed. São Paulo: Atlas. 1994.
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ZDANOVICZ, J.E. Fluxo de Caixa. Uma decisão de planejamento e controle financeiros. 6ª ed. Porto Alegre:
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“Não há nada que conduza à verdade.
Tendes que navegar por mares sem roteiros para a encontrardes”.
(Krishnamurti
)
“O homem é um aprendiz, a dor é o seu mestre”.(Galileu)
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