Universidade Federal do Vale do São Francisco
Câmpus Juazeiro BA
Colegiado de Engenharia Elétrica
Prof. Pedro Macário de Moura
Cálculo Diferencial e Integral 1
Lista – 5: Regras de Derivação
01. Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação:
x 3 3x
a) y 

2
2
1

b) f  x    3x    6 x  1
x

c) y 
d) y 
x5
x2

x
ab ab
 x  13
x
3
j) y 


dy 4 x 2b  x 

dx
b  x 
dy
 2 9x 2  x  1
dx

2
2
2 2
2
R:
dy  6aa  x 2

dx
a  x 4
R:
dy
1

dx 1  x  1  x 2
3
1 x
1 x

dy 3x  12 x  1

dx
2x 5
2
3
a x

a x
i) y  1  x
R:
R:
j) y  
3

dy 5 x 4
2x


1
dx a  b a  b
2
2x 4
b2  x2
h) y 
R:
R:
e) y  x2 x  13x  2
f) y 

dy
3 2

x 1
dx
2
df x 
1
R:
 36x  2  3
dx
x
R:
dy  1
1 


R:

dx  x
x 3 x 
3
2x 2  1
R:
x 1 x2
k) y  x 2  a 2 
5
R:
dy

dx
2
1  4x 2


dy
 10 xx  a 
dx
x2 1 x2
2
3
2 4
Nos exercícios 2 – 3, calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
02.
–
03.
04. Encontre uma equação da reta tangente à curva
no ponto
O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário. Albert Einstein
1
05. Encontre a reta tangente à curva
em
.
06. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da função
paralela à reta
07. Determine uma equação da reta tangente à elipse
que seja
no ponto
.
08. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y  f (x) dada
implicitamente por ln y  y ln x  x  1 , no ponto
09. Calcular
das funções dadas implicitamente:
–
a)
d)
–
b)
e)
–
c)
f)
10. Calcule as derivadas:
a) f (x) 
2sen 2 (x  )
 arctg(3x)
ln(x 2 )
 x  2sen(t)
 y  4cos(2t)

5
 x  tg(t)
dy
, no ponto de abscissa x = 1, quando 
;
dx
 y  cos(t)
b) 
i)
c) f ’’(0), se f(x) = 2sen(x2)
j) dy/dx para 
d) f(x) =
e) f(x) =
f) f(t) =
3
(3x ²  6 x  2)²
a 3x
b
3 x ² 6 x
et  1
et  1
g) f(x) = e2x cos3x

5
h) f (x)  x.sen(  3x)  cos 2 (  x);
t
 x  e
3t
 y  e
k) f(x) =
l) f(s) =
7 x²
2( 3x  1)
5
 3x  1
1
(a + bs)In(a + bs)
2
o) f(x) = 2e3x² + 6x + 7
p) f(x) = sen³ (3x² + 6x)
m) f(x) = 1/a (bx² + c) – Inx
q) f(x) = sen² x + cos² x
n) f(x) = sen² (x/2).cos² (x/2)
r) f(t) = e2 cos 2t
11. Encontre a derivada de cada função usando a regra da cadeia.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário. Albert Einstein
2
12. Encontre a derivada das seguintes funções:
a) y = sen3x
b) y = cos(2x+1)
c) y = senx2
d) y = tg(2x2 + 4x3)
e) f(x)  e 2x 1 ;
2
f) f(x)  e x  x 1
g) f(x) = ln(x3 +x2 )
h) f(x) = ln(x2+1) + tgx2
i) f(x)  e x cos(3x  1)
j) f(x) 
senx 2
x
k) f(x)  log 3 (3x  1)  2 x
2
3
2
l) f(x) = sen2(3x+1)
m) f(x) = cos3(x2+3x+5);
n) f(x) = (senx2 + cos3x )3;
o) f(x) = ( e2x + 3lnx)3
p) f(x) = (tgx2 + cotg3x) –1
q) f(x)  x 3  2e x
r) f(x) = sen2x e3x
s) f ( x ) 
x 2  sen 5x
t) f ( x ) 
ex
cos 2 (2x  1)
x 1
Gabarito
a) y  3 cos3x;


b) y  -2sen(2x+1);

e) f ( x )  2e 2 x 1 ;
d) y  sec 2 2x 2  4x 3 . 4x  12 x 2 ;
g) f ( x ) 
3x  2
x x
2
;
h) f ( x ) 
3
2x
x 1
2
k) f ( x ) 


2

 . 2xsec x
2
2 2

13. Para
s) f ( x ) 
, calcule
y
;
com

q) f ( x ) 
 3 cossec 2 3x ;
x  12
15. Probar que
3
2
3
 2 ln 2.x.2 x ;
ln 3.(3x  1)

 4 cos(2x  1). sen(2 x  1). ( x  1)  cos2 (2x  1)
14. Calcule a derivada de

;
2
3
o) f ( x )  3 e 2 x  3 ln x . 2e 2 x  ;
x

r) f ( x )  sen 2x. e 3x  3 sen 2 x e 3x ;
t) f ( x ) 
 x 1
m) f ( x )   3 cos2 ( x 2  3x  5) sen( x 2  3x  5)(2x  3) ;
n) f ( x )  3 sen x 2  cos3x . 2x cos x 2  3 sen 3x ;
p) f ( x )   tgx 2  cot g3x
2
2 x 2 cos x 2  sen x 2
x
3

f) f ( x )  (2x  1).e x
j) f ( x ) 
 2x sec 2 x 2 ;
i) f ( x )  3x 2 .e x cos(3x  1)  3e x sen(3x  1);
l) f ( x )  6 sen(3x  1) cos(3x  1);
c) y  2x. cos x 2 ;
3x 2  2e x
2 x 3  2e x
2x  5 cos x  x 2  sen 5x
ex
;
;
;
–
.
, tienen la misma derivada
O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário. Albert Einstein
3
16. Uma função é par se
para todo
em seu domínio, e é ímpar se
. Para todo em seu domínio. Sendo derivável, demonstre que:
a) se é par, então é ímpar. Ou seja, se
para todo no domínio de .
b) se é ímpar, então é par. Ou seja, se
para todo no domínio de .
17. Calcule a derivada das funções seguintes.
a)
b)
c)
18. Derivar las expresiones:
a)
b)
c)
d)
19. Aplicação das funções exponenciais: Sabe-se por dados experimentais que quando um pedaço
de rádio se desintegra, a taxa de desintegração é proporcional a quantidade de rádio restante.
Assim temos
, onde t é o tempo, a quantidade de matéria e a constante de
desintegração. Suponhamos
, onde k é constante. Admitamos que
.
Encontre o valor de . E depois calcule
.
20. Considere que a equação
defina implicitamnete uma função
numa vizinhação do ponto
. Determine
,
e motre que,
. Determine
também a equação da reta tangente e normal ao gráfico da função no ponto dado.
21. Calcule a derivada das seguintes funções nos pontos indicados.
a)
. Em
).
b)
c) Seja a função
. Em
.
–
Calcule o valor de:
22. A potência que uma bateria consegue fornecer a um aparelho (como um celular) depende da
resistência interna da bateria. Para uma bateria de voltagem e resistência interna , a potência
total fornecida a um aparelho de resistência
a) Calcule
é
.
supondo que V e r sejam constantes.
b) Encontre o valor de
no qual a tangente ao gráfico de
por
é horizontal.
O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário. Albert Einstein
4
23. Calcule a primeira, segunda e terceira derivada da função
24. Determine
para
25. Determine
em
.
para
.
26. Do solo um projétil é disparado verticalmente para cima, obedecendo à função
. Sendo a altura em metros e o tempo em segundos. Determine:
a) As funções velocidade e aceleração do projétil;
b) Em que instante
o projétil pára?
c) Quantos segundos duram todo o trajeto do projétil;
d) Com que velocidade e aceleração o projétil atingirá o solo?
e) Esboce o gráfico da função
.
27. Derivar las expresiones:
a)
.
b)
d)
e)
.
c)
.
f)
28. Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa em gramas:
. Onde é medido em dias. Qual a razão de aumento
do peso da ave quando
e quando
?
BIBLIOGRAFIA
1.
ANTON, Howard, BIVENS, Irl, DAVIS, Stephen. Cálculo Vol. 1, 10ª ed. Porto Alegre:
Bookman, 2014.
2.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo, Vol. 01. 5ª ed. [Reimp.]. Rio de
Janeiro: LTC, 2011.
3.
STEWART, James. Cálculo, Vol. 1. 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
4.
THOMAS, George Brinton, [et al]. Cálculo, Vol. 1. 12ª ed. São Paulo: Pearson Education do
Brasil, 2012.
Bom Estudo!
O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário. Albert Einstein
5