Introdução ao curso de
Matemática Simbólica no
MatLab
Prof. Marcelo Sousa Neves
Mestre em Engenharia Elétrica
1
Symbolic Math Toolbox

O
Toolbox
de
Matemática
Simbólica
disponibiliza uma coleção de diversas funções
do MATLAB utilizadas para calcular operações
básicas, tais como: derivadas, limites, integrais,
expansão da serie de Taylor, e outras
operações. A manipulação simbólica no
MATLAB pode ser vista como uma evolução do
modo como você utiliza o MATLAB para
processar números.
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Symbolic Math Toolbox

A grande vantagem de se utilizar tal
processo é que podemos obter resultados
mais exatos, eliminando-se assim a
imprecisão introduzida pelos valores
numéricos. Podemos resolver derivadas,
integrais,
equações
diferenciais
e
algébricas utilizando-se esta poderosa
ferramenta.
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Symbolic Math Toolbox
EXPRESSÕES SIMBÓLICAS
Deve-se entender por Expressão simbólica as
expressões que contêm objetos simbólicos que
podem representar números, funções e operações
e variáveis.
Dica: As variáveis simbólicas não precisam de um
valor numérico. Esta variável simbólica representa
apenas um símbolo de uma expressão simbólica.
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Symbolic Math Toolbox
EXPRESSÕES SIMBÓLICAS
Exemplos:
x
3
d
z
(5 x 4 )
dx
5
Symbolic Math Toolbox
O MATLAB disponibiliza várias funções que
trabalham com funções polinomiais e que podem ser
utilizadas para representar funções polinomiais.
Dentre elas, encontram-se as seguintes funções:
 collect
 expand
 factor
 simplify
 simple
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Symbolic Math Toolbox
collect
Organiza os coeficientes

Sintaxe
collect( f )
mostra um polinômio f em sua variável simbólica, seja x, e
organiza todos os coeficientes com a mesma potência de x.
Um segundo argumento pode especificar a variável que se deve
organizar se houver mais de uma variável simbólica possível.
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Symbolic Math Toolbox
collect(f)
1) Escreva a função y = (x+1)^3 na forma polinomial
>> clear
% Limpa a Janela de Comandos
>> x = sym('x'); % Define a variavel simbolica “x”
>> y = (x + 1)^3; % Define a função y = f(x)
>> collect(y);
% Organiza os coeficientes
>> pretty(ans)
% Exibe o resultado
x3 + 3x2 + 3x + 1
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Symbolic Math Toolbox
Faça você!!!
Escreva a função y = (x + 1)(x + 2) na forma
polinomial.
9
Symbolic Math Toolbox

collect( f, nome da variável simbólica)
A função collect neste caso aceita um segundo argumento
que especifica que variável simbólica deve ser utilizada
para organizar o polinômio.
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Symbolic Math Toolbox
collect(f, nome da variável simbólica)
2) Escreva a função f(x,z) = (x + 1)^3 + z na forma
polinomial.
>> x = sym('x');
% Define a variável simbólica x
>> z = sym(‘z’);
% Define a variável simbólica z
>> y = (x +1)^3 + z; % Define a função y = f(x,z)
>> collect(y,x);
% Organiza os coeficientes em x
>> pretty(ans)
% Exibe o resultado
x3 + 3 x2 + 3 x + 1 + z
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Symbolic Math Toolbox
Faça você!!!
Escreva a função y = (x + 1)^3 + (z + 1)^2
na forma polinomial, em termos de z.
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Symbolic Math Toolbox

expand
realiza a distribuição de produtos para polinômios
e aplica outras identidades que envolvem funções
de somas, identidades trigonométricas, exponenciais
e logaritmos.
Sintaxe

expand( f )
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Symbolic Math Toolbox
expand(f)
3) Escreva a função y = (x+1)^3 na forma polinomial
>> clear
% Limpa a Janela de Comandos
>> x = sym('x'); % Define a variavel simbolica “x”
>> y = (x + 1)^3; % Define a função y = f(x)
>> expand(y);
% Realiza o produto polinomial
>> pretty(ans) % Exibe o resultado
x3 + 3x2 + 3x + 1
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Symbolic Math Toolbox
expand X collect
Além de representar funções polinomiais a função é
bastante útil na manipulação de expressões simbólicas
trigonométricas, exponenciais, hiperbólicas, entre outras
funções. Esta é uma das características marcantes que
diferenciam a função expand da collect. A função
expand é bem mais robusta, porque trabalha com
muitos tipos de funções, enquanto a função collect é
restrita apenas a funções polinomiais. Podemos, dizer
que a função expand é uma evolução da função collect,
agregando-se novas funcionalidades.
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Symbolic Math Toolbox
expand
4) Obtenha a forma expandida
trigonométrica cos(x + y).
da função
x = sym(‘x’);
% Cria a variável simbólica x.
y = sym(‘y’);
% Cria a variável simbólica y.
expand(cos(x+y)) % Realiza a operação
ans =
% Variável padrão do matlab
cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
% Resultado
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Symbolic Math Toolbox
Faça você!!!
Obtenha a forma expandida da função
exponencial exp(x + y).
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Symbolic Math Toolbox
Factor
Fatoração

Sintaxe
factor(X)
Esta função obtém a forma fatorada de um polinômio.
Na sintaxe da função X, pode ser apenas a expressão
simbólica. Ou um array simbólico contendo vários
expressões simbólicas. No caso de utilizar um array, a
função factor retorna um array com as expressões
simbólicas correspondentes.
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Symbolic Math Toolbox

Uso da Função factor
 Calcular
os fatores primos de um número
inteiro.
 Obter a forma polinomial fatorada.
 Simplificar expressões simbólicas.
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Symbolic Math Toolbox
Factor(x)
5) Calcule os fatores dos seguintes números 15 e 50.
>> factor(15)
ans =
3 5
>> factor(50)
ans =
2 5
5
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Symbolic Math Toolbox
Factor(x)
5) Calcule os fatores do número 12345678901234567890
>> factor(sym('12345678901234567890'))
ans =
(2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)
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Symbolic Math Toolbox
6) Obtenha a forma fatorada da equação
y = x^3 +3*x^2 + 3*x + 1
>> x = sym('x');
% Cria a variável simbólica x.
>> y = x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1 % Define a função y = f(x)
>> factor(y);
% Fatoração
>> pretty(ans)
% Exibe o resultado
(x + 1)^3
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Symbolic Math Toolbox
Faça você!!!
Obtenha a forma fatorada da equação
y = x^2 + 3*x + 2
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Symbolic Math Toolbox
Simplify
Simplificação simbólica.

Sintaxe:
R = simplify(S)
A função simplify é uma ferramenta poderosa, que em
geral aplica várias identidades algébricas que envolvem
somas, potência inteira, raízes quadradas e potência
fracionária, como também vários identidades que
envolvem funções trigonométricas, exponencial e funções
de Bessel, função gama, etc.
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Symbolic Math Toolbox
7) Simplifique a seguinte expressão:
x3  8
y 4
x  16
>> x = sym('x');
% Cria a variável simbólica x.
>> y = (x^3 + 8)/(x^4 - 16); % Define a função y = f(x)
>> simplify(y);
% Simplificação simbólica
>> pretty(ans)
% Exibe o resultado
x^2 - 2x + 4
------------------x^3 - 2x^2 + 4x - 8
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Symbolic Math Toolbox
Faça você!!!
x2
Simplifique a seguinte expressão: y  3
x 8
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Symbolic Math Toolbox
8) Simplifique a seguinte expressão
y  cos ( x)  sin ( x)
2
2
>> x = sym(‘x’);
% Cria a variável simbólica x.
>> y = cos(x)^2 + sin(x)^2; % Define a função y = f(x)
>> simplify(y);
% Simplificação simbólica
>> pretty(ans)
% Exibe o resultado
1
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Symbolic Math Toolbox
9) Simplifique a seguinte expressão:
log(x * y)
>> syms x y positive % Cria as variáveis simbólicas
x e y, ambas positivas.
>> simplify(log(x*y)); % Simplificação simbólica
>> pretty(ans)
% Exibe o resultado
log(x) + log(y)
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Symbolic Math Toolbox
Simple
Busca a forma mais simplificada para a expressão simbólica.

Sintaxe:
r
= simple( S )
[r,how] = simple( S )
A função simple(S) tenta várias simplificações algébricas
diferentes na expressão simbólica S, exibe a representação de
menor comprimento para S. S é um sym. Se S for uma matriz, o
resultado indica a representação mais curta da matriz inteira
que necessariamente não é a representação mais curta de
cada elemento individual.
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Symbolic Math Toolbox
10 ) Simplifique a expressão y = (x + 1)(x + 2)
>> x = sym(‘x’); % Cria a variável simbólica x.
>> simple((x+1)(x+2)) % Simplificação
ans =
x^2+3*x+2
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Symbolic Math Toolbox
Faça você!!!
Simplifique a expressão
y  2 cos2 ( x)  sin 2 ( x)
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Symbolic Math Toolbox
pretty
Esta função imprime uma expressão simbólica.

Pretty(expressão simbólica).
A grande vantagem do uso da função pretty quando trabalha-se
com matemática simbólica é que a exibição da expressão
simbólica é a mais clara possível.
Dica: Ao trabalhar com matemática simbólica, sempre use a
função pretty, para tornar mais legível a expressão simbólica
mostrada na tela.
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Créditos


Notas de aulas do prof. Josenildo F. Galdino, 2007 –
UFCG.
www.mathworks.com
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